第10章 分式（学生版）

2023-2024学年苏科版数学八年级下册章节培优复习知识讲练第10章分式（思维导图+知识梳理+十二大重点考向举一反三讲练）1.理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.2．了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则．3．掌握分式的四则运算．4．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想．知识点01：分式的有关概念及性质【高频考点精讲】1．分式一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.【易错点剖析】分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式才有意义.2.分式的基本性质

（M为不等于0的整式）.

3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简.知识点02：分式的运算【高频考点精讲】1．约分利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.2．通分利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．3．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.（2）乘法运算，其中是整式，.两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算，其中是整式，.两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.（4）乘方运算分式的乘方，把分子、分母分别乘方.

4.分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.知识点03：分式方程【高频考点精讲】1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根.【易错点剖析】因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解.知识点04：分式方程的应用

列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.重点考向01：分式有意义的条件重点考向02：分式的值重点考向03：分式的基本性质重点考向04：分式的乘除法重点考向05：分式的加减法重点考向06：分式的混合运算重点考向07：分式的化简求值重点考向08：分式方程的解重点考向09：解分式方程重点考向10：换元法解分式方程重点考向11：分式方程的增根重点考向12：分式方程的应用重点考向01：分式有意义的条件【典例精讲】（2023春•高明区月考）若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠0 B．x≠5 C．x≠﹣5 D．x≠﹣10【变式训练1-1】（2023春•都昌县期末）当x时，分式无意义．【变式训练1-2】当x满足什么条件时，下列分式有意义？；（2）；；（4）．重点考向02：分式的值【典例精讲】（2024•开州区开学）若a2﹣2a﹣4＝0，则的值为．【变式训练2-1】．（2023秋•河北区校级期末）已知x为整数，且分式的值也为整数，则满足条件的所有x的值之和为．【变式训练2-2】（2023春•武侯区校级期中）关于x的不等式组恰有两个整数解，且的值为正整数，则整数m的值为．重点考向03：分式的基本性质【典例精讲】（2023秋•官渡区期末）将分式中的x、y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（）A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的一半 C．保持不变 D．无法确定【变式训练3-1】（2023春•沙坪坝区校级期中）简单的规则可以涌现出丰富的代数结构．对单项式x进行如下操作：规定a1＝b1＝c1＝x，计算，，称为第一次操作：计算，，，称为第二次操作；以此类推：①a5＝﹣x；②；③当x＝2，c2401＝﹣698；④对任意正整数n，等式b4n+3（c4n﹣c4n+1）＝b4n+2总成立．以上说法正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式训练3-2】（2023•石家庄模拟）我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如．（1）下列分式中，属于真分式的是CA、B、C、D、（2）将假分式，化成整式和真分式的和的形式．【变式训练3-3】（2023春•沈丘县月考）已知分式A＝．（1）当a＞2时，把分式A的分子、分母同时加上3后得到分式B，分式B的值较原来的分式A的值是变大了还是变小了，试说明理由；（2）若A的值是整数，且a也是整数，求出符合条件的所有a的值．重点考向04：分式的乘除法【典例精讲】（2023春•晋江市期末）计算：＝【变式训练4-1】（2023春•长安区月考）甲、乙两个工程队合修一条公路，已知甲工程队每天修（a2﹣4）m，乙工程队每天修（a﹣2）2m（其中a＞2），则甲工程队修900m所用时间是乙工程队修600m所用时间的多少倍？【变式训练4-2】（2022春•天桥区校级期中）化简下列分式．；（2）÷；÷．【变式训练4-3】（2021•市中区校级开学）已知：A＝xy﹣x2，B＝，C＝，若A÷B＝C×D，求D．重点考向05：分式的加减法【典例精讲】（2023•景县校级模拟）已知a≠﹣1，b≠﹣1，设M＝，N＝，结论Ⅰ：当ab＝1时，M＝N；结论Ⅱ：当a+b＝0时，M⋅N≤0，对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（）A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对【变式训练5-1】（2023秋•无棣县期末）阅读下面的材料，并解答问题：分式的最大值是多少？解：，因为x≥0，所以x+2的最小值是2，所以的最大值是2，所以的最大值是4，即的最大值是4．根据上述方法，试求分式的最小值是．【变式训练5-2】（2023春•开江县校级期末），则A+B＝．【变式训练5-3】（2023春•玄武区校级期中）深化理解：阅读下列材料，并解答问题：材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．解：由分母x+1，可设x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b；则x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b＝x2+ax+x+a+b＝x2+（a+1）x+a+b．∵对于任意x上述等式成立，∴解得：．∴＝x﹣2+．这样，分式就拆分成一个整式x﹣2与一个分式的和的形式．（1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为；（2）已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数x的值．重点考向06：分式的混合运算【典例精讲】（2023秋•白河县期末）下列分式化简正确的是（）A． B． C． D．【变式训练6-1】（2023秋•靖宇县期末）式子称为二阶行列式，规定它的运算法则为＝ad﹣bc，则二阶行列式＝．【变式训练6-2】（2023•朝阳区校级开学）计算：；（2）．【变式训练6-3】（2022秋•文登区期中）我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则，等等．小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如：＝＝+＝1+；＝＝+＝2+（﹣）．（1）下列分式中，属于真分式的是：③（填序号）；①②③④（2）将假分式化成整式与真分式的和的形式为：＝2+，若假分式的值为正整数，则整数a的值为；（3）将假分式化成整式与真分式的和的形式：＝．重点考向07：分式的化简求值【典例精讲】（2023秋•右玉县期末）若分式，则分式的值等于（）A．﹣ B． C．﹣ D．【变式训练7-1】．（2023秋•汉阳区期末）实数a、b满足ab＝1，记M＝+，N＝+，则M，N大小关系【变式训练7-2】（2023秋•成武县期末）（1）化简：；（2）先化简，再求值：，其中a在﹣1，1，2中选取一个．【变式训练7-3】（2023秋•襄城县期末）阅读理解材料：为了研究分式与分母x的关系，小明制作了表格，并得到如下数据：x…﹣4﹣3﹣2﹣101234……﹣0.25﹣0.﹣0.5﹣1无意义10.50.0.25…从表格数据观察，当x＞0时，随着x的增大，的值随之减小，并无限接近0；当x＜0时，随着x的增大，的值也随之减小．材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如：．根据上述材料完成下列问题：（1）当x＞0时，随着x的增大，的值减小（增大或减小）；当x＜0时，随着x的增大，的值减小（增大或减小）；（2）当x＞1时，随着x的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数；（3）当0≤x≤2时，求代数式值的范围．重点考向08：分式方程的解【典例精讲】（2023秋•纳溪区期末）已知关于x的分式方程＝1的解是非负数，则m的取值范围是（）A．m≥1 B．m≤1 C．m≥﹣1且m≠0 D．m≥﹣1【变式训练8-1】（2023秋•綦江区期末）若整数m既能使关于x的不等式组有解，也能使关于y的分式方程有整数解，则整数m的值为．【变式训练8-2】（2023秋•阳新县期末）若关于y的不等式组无解，且关于x的分式方程1的解为负数，则所有满足条件的整数a的值之和是．【变式训练8-3】（2022秋•济宁期末）阅读：对于两个不等的非零实数a、b，若分式的值为零，则x＝a或x＝b．又因为﹣（a+b），所以关于x的方程x+＝a+b有两个解，分别为x1＝a，x2＝b．应用上面的结论解答下列问题：（1）方程x+＝q的两个解分别为x1＝﹣2、x2＝3，则p＝﹣6，q＝1；（2）方程x+＝8的两个解中较大的一个为7；（3）关于x的方程2x+＝2n的两个解分别为x1，x2（x1＜x2），求的值．（用含有字母n的式子表示）重点考向09：解分式方程【典例精讲】（2023秋•佳木斯期末）对于实数a，b定义一种新运算“⊗”：a⊗b＝，例如，1⊗3＝＝﹣．则方程x⊗2＝﹣1的解是．【变式训练9-1】（2023秋•海陵区校级期末）（1）计算：；（2）解方程：．【变式训练9-2】（2023秋•高邮市期末）解方程：（2）﹣＝1．【变式训练9-3】（2022秋•平城区校级期末）请阅读下列材料并回答问题：在解分式方程时，小明的解法如下：解：方程两边同乘以（x+1）（x﹣1），得2（x﹣1）﹣3＝1①去括号，得2x﹣1＝3﹣1②解得x＝检验：当x＝时，（x+1）（x﹣1）≠0③所以x＝是原分式方程的解④（1）你认为小明在哪里出现了错误（只填序号）（2）针对小明解分式方程出现的错误和解分式方程中的其他重要步骤，请你提出三条解分式方程时的注意事项；（3）写出上述分式方程的正确解法．重点考向10：换元法解分式方程【典例精讲】（2023春•青浦区期末）用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程可以化为关于y的整式方程是．【变式训练10-1】（2022春•静安区校级期中）用换元法解分式方程+3＝0时，如果设＝y，将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是．【变式训练10-2】（2023春•西安校级月考）阅读下面材料，解答后面的问题．解方程：．解：设，则原方程化为，方程两边同时乘y，得y2﹣4＝0，解得y＝±2．经检验：y＝±2都是方程的解．当y＝2时，，解得x＝﹣1；当y＝﹣2时，，解得．经检验：x＝﹣1和都是原分式方程的解，所以原分式方程的解为x＝﹣1或．上述这种解分式方程的方法称为换元法．用换元法解：．重点考向11：分式方程的增根【典例精讲】（2023秋•林州市期末）已知关于x的分式方程有增根，则k的值为（）A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．3【变式训练11-1】（2023秋•定陶区期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值是．【变式训练11-2】（2021春•城关区校级期末）已知关于x的分式方程+＝（1）若方程的增根为x＝1，求m的值（2）若方程有增根，求m的值（3）若方程无解，求m的值．重点考向12：分式方程的应用【典例精讲】（2023秋•夏津县期末）赣南脐橙果大形正，橙红鲜艳，肉质脆嫩化