7.2探索平行线的性质(讲+练)（解析版）

7.2探索平行线的性质平行线的性质如图，直线a∥直线b，直线a，b被直线c所截，则有：（1）两直线平行，同位角相等.（2）两直线平行，内错角相等.（3）两直线平行，同旁内角互补.拓展：在上图中（1）每一组同位角的角平分线相互平行.（2）每一组内错角的角平分线相互平行.（3）每一组同旁内角的角平分线相互垂直.“猪蹄”模型（M型）如图①，已知：AB∥CD，结论：∠APC=∠A+∠C.“铅笔头”模型如图，已知：AB∥CD，结论：∠PAB+∠APB+∠PCD=360°.“拐角”模型如图①，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3.如图②，AB∥CD，结论：∠2=∠1+∠3.折叠问题如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，得到△C’BD，则∠CBD=∠ADB=∠C’BD，进而可得△BED是等腰三角形。题型1：平行线的性质1．如图所示，AB∥CD，若∠2是∠1的2倍，则∠2等于（）A．60° B．90° C．120° D．150°【分析】因为平行，所以有∠1＝∠3，又∠3和∠2为邻补角互补，且∠2＝2∠1＝2∠3，所以可求出∠2．【解答】解：如图所示，∵AC∥BD，∴∠3＝∠1，∵∠2是∠1的2倍，∴设∠1＝∠3＝x，则∠2＝2x，又∵∠3与∠2互补，∴∠3+∠2＝180°，即x+2x＝180°，∴x＝60°，即∠2＝2x＝2×60°＝120°．故选：C．【变式1-1】如图，AC∥BD，AE∥BF，下列结论错误的是（）A．∠A＝∠B B．∠A+∠B＝180° C．∠B＝∠DPE D．∠A＝∠APB【分析】利用平行线的性质逐一分析作出判断即可．【解答】解：∵AC∥BD，∴∠A＝∠DPE，∠A＝∠APB，故D选项正确；∵AE∥BF，∠DPE＝∠B，∠B+∠BPE＝180°，故C选项正确；∴∠A＝∠B，故A选项正确；∴∠A+∠BPE＝180°，∴∠A+∠B≠180°，故B选项错误．故选：B．【变式1-2】如图，直线a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1＝50°，则∠2的度数为（）A．60° B．50° C．40° D．30°【分析】根据由两直线平行，同位角相等分析即可．【解答】解：由两直线平行，同位角相等，可知，∠2＝∠3，∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，由图可知，∠1+∠ABC+∠3＝180°，∴∠1+90°+∠3＝180°，∴∠1+∠3＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∴∠2＝40°．故选：C．题型2：“猪蹄”模型2.如图，AB∥CD，则图中∠1、∠2、∠3关系一定成立的是（）A．∠1+∠2+∠3＝180° B．∠1+∠2+∠3＝360° C．∠1+∠3＝2∠2 D．∠1+∠3＝∠2【分析】首先过点E作EF∥AB，由AB∥CD，可得EF∥AB∥CD，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠AEF＝∠1，∠CEF＝∠3，继而可得∠1+∠3＝∠2．【解答】解：过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠AEF＝∠1，∠CEF＝∠3，∵∠2＝∠AEF+∠CEF＝∠1+∠3．故选：D．【变式2-1】如图，直线a∥b，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝58°，则∠2的度数为（）A．58° B．42° C．32° D．30°【分析】先利用平行线的性质得出∠3，进而利用三角板的特征求出∠4，最后利用平行线的性质即可．【解答】解：如图，过点A作AB∥b，∴∠3＝∠1＝58°，∵∠3+∠4＝90°，∴∠4＝90°﹣∠3＝32°，∵a∥b，AB∥b，∴AB∥a，∴∠2＝∠4＝32°，故选：C．【变式2-2】如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β和γ的关系是（）A．β＝α+γ B．α+β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝90° D．β+γ﹣α＝180°【分析】此题可以构造辅助线，利用三角形的外角的性质以及平行线的性质建立角之间的关系．【解答】解：延长DC交AB与G，延长CD交EF于H．在直角△BGC中，∠1＝90°﹣α；△EHD中，∠2＝β﹣γ，∵AB∥EF，∴∠1＝∠2，∴90°﹣α＝β﹣γ，即α+β﹣γ＝90°．故选：C．【变式2-3】如图，直线CE∥DF，∠CAB＝125°，∠ABD＝85°，则∠1+∠2＝（）A．30° B．35° C．36° D．40°【分析】过点A作l1的平行线，过点B作l2的平行线，根据两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠1，∠4＝∠2，再根据两直线平行，同旁内角互补求出∠CAB+∠ABD＝180°，然后计算即可得解．【解答】解：如图，过点A作l1的平行线AC，过点B作l2的平行线BD，则∠3＝∠1，∠4＝∠2，∵l1∥l2，∴AC∥BD，∴∠CAB+∠ABD＝180°，∴∠3+∠4＝125°+85°﹣180°＝30°，∴∠1+∠2＝30°．故选：A．题型3：“铅笔头”模型3.如图，AB∥ED，∠B＝115°，∠D＝120°，则∠BCD的度数为（）A．125° B．135° C．115° D．105°【分析】过点C作CM∥AB，根据平行线的性质及角的和差求解即可．【解答】解：如图，过点C作CM∥AB，∵AB∥ED，∴CM∥AB∥ED，∴∠B+∠BCM＝180°，∠D+∠DCM＝180°，∵∠B＝115°，∠D＝120°，∴∠BCM＝65°，∠DCM＝60°，∴∠BCD＝∠BCM+∠DCM＝125°，故选：A．【变式3-1】如图，l1∥l2，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠α等于（）A．70° B．65° C．60° D．55°【分析】首先过点A作AB∥l1，由l1∥l2，即可得AB∥l1∥l2，然后根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠3与∠4的度数，又由平角的定义，即可求得∠α的度数．【解答】解：过点A作AB∥l1，∵l1∥l2，∴AB∥l1∥l2，∴∠1+∠4＝180°，∠2+∠3＝180°，∵∠1＝105°，∠2＝140°，∴∠4＝75°，∠3＝40°，∵∠α+∠3+∠4＝180°，∴∠α＝180°﹣∠3﹣∠4＝65°．故选：B．【变式3-2】如图，已知AB∥CD，∠PAQ＝2∠BAQ，∠PCD＝3∠QCD，∠P＝75°，则∠AQC＝95°．【分析】先根据平行线的性质求出∠APC+∠PAB+∠PCD＝360°，由∠APC＝75°求出∠PAB+∠PCD＝285°，根据∠PAQ＝2∠BAQ可得∠PAB＝3∠BAQ，由∠PCD＝3∠QCD可得∠BAQ+∠QCD＝95°，最后证∠AQC＝∠BAQ+∠QCD即可得出答案．【解答】解：过点P作PE∥AB，过点Q作QF∥AB，如图：∵AB∥CD，QF∥AB，∴AB∥QF∥CD，∴∠BAQ＝∠AQF，∠QCD＝∠CQF，∴∠BAQ+∠QCD＝∠AQF+∠CQF，即∠BAQ+∠QCD＝∠AQC，∵AB∥CD，PE∥AB，∴AB∥PE∥CD，∴∠APE+∠PAB＝180°，∠CPE+∠PCD＝180°，∴∠APE+∠CPE+∠PAB+∠PCD＝360°，即∠APC+∠PAB+∠PCD＝360°，∵∠APC＝75°，∴∠PAB+∠PCD＝285°，∵∠PAQ＝2∠BAQ，∴∠PAB＝3∠BAQ，∵∠PCD＝3∠QCD，∴3∠BAQ+3∠QCD＝285°，∴∠BAQ+∠QCD＝95°，∴∠AQC＝95°．故答案为：95°．题型4：“拐角”模型4.如图，AB∥CD，∠A+∠E＝80°，则∠C为（）A．60° B．65° C．80° D．75°【分析】由三角形外角的性质，可求得∠1的度数，又由平行线的性质，即可求得∠C的度数．【解答】解：∵∠A+∠E＝80°，∴∠1＝∠A+∠E＝80°，∵AB∥CD，∴∠C＝∠1＝80°．故选：C．【变式4-1】如图，直线FD∥BE，∠1＝110°，∠A＝40°，则∠2的度数是（）A．100° B．110° C．120° D．130°【分析】根据外角的性质先求出∠AFC，进一步根据邻补角的定义求出∠CFB，再根据平行线的性质即可求出∠2．【解答】解：∵∠1＝∠A+∠AFC，∠1＝110°，∠A＝40°，∴∠AFC＝70°，∴∠CFB＝180°﹣70°＝110°，∵FD∥BE，∴∠CFB＝∠2＝110°．故选：B．【变式4-2】如图AB∥CD，BC∥DE，∠A＝30°，∠BCD＝110°，则∠AED的度数为（）A．90° B．108° C．100° D．80°【分析】延长DE交AB于F，根据平行线的性质得到∠AFE＝∠B，∠B+∠C＝180°，根据三角形的外角的性质即可得到结论．【解答】解：如图，延长DE交AB于F，∵AB∥CD，BC∥DE，∴∠AFE＝∠B，∠B+∠C＝180°，∴∠AFE＝∠B＝70°，又∵∠A＝30°，∴∠AED＝∠A+∠AFE＝100°，故选：C．【变式4-3】如图，AB∥CD，∠ABK的角平分线BE的反向延长线和∠DCK的角平分线CF的反向延长线交于点H，∠K﹣∠H＝27°，则∠K＝（）A．76° B．78° C．80° D．82°【分析】分别过K、H作AB的平行线MN和RS，根据平行线的性质和角平分线的性质可用∠ABK和∠DCK分别表示出∠H和∠K，从而可找到∠H和∠K的关系，结合条件可求得∠K．【解答】解：如图，分别过K、H作AB的平行线MN和RS，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥RS∥MN，∴∠RHB＝∠ABE=12∠ABK，∠SHC＝∠DCF=12∠DCK，∠NKB+∠ABK＝∠MKC+∠∴∠BHC＝180°﹣∠RHB﹣∠SHC＝180°-12（∠ABK+∠∠BKC＝180°﹣∠NKB﹣∠MKC＝180°﹣（180°﹣∠ABK）﹣（180°﹣∠DCK）＝∠ABK+∠DCK﹣180°，∴∠BKC＝360°﹣2∠BHC﹣180°＝180°﹣2∠BHC，又∠BKC﹣∠BHC＝27°，∴∠BHC＝∠BKC﹣27°，∴∠BKC＝180°﹣2（∠BKC﹣27°），∴∠BKC＝78°，故选：B．题型5：折叠问题5.如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠BGD'＝x°，则∠1的度数为（）A．（90﹣x）° B．（90-12x）° C．（120﹣x）° D．（120-【分析】利用平行线的性质以及翻折的性质求解．【解答】解：∵四边形ABCD为长方形，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠1，由翻折可知，∠DEF＝∠D'EF，∵∠EGF＝∠BGD'＝x°，∴x°+∠1+∠1＝180°，∴∠1＝（90-12故选：B．【变式5-1】如图，有一足够长的长方形纸片，E、F分别为AD、BC上的动点，沿EF折叠后，FM与AE的所夹的锐角为30°，则∠α的度数为（）A．75° B．60° C．15°或75° D．30°或75°【分析】根据AD∥BC，所以∠MFB＝∠EMF＝30°，∠MFC＝180°﹣∠MFB＝150°．由折叠性质即可求∠α的值．【解答】解：∵AD∥BC．∴∠MFB＝∠EMF＝30°．∴∠MFC＝180°﹣∠MFB＝150°．由折叠可知；∠EFC=∴∠α＝∠EFC＝75°．所以A选项正确，故选：A．【变式5-2】如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点D，C分别在M，N的位置上，EM与BC的交点为点G．若∠EFG＝62°，则∠2＝130°．【分析】根据两直线平行，内错角相等求出∠3，再根据翻折的性质以及平角等于180°，求出∠1，然后根据两直线平行，同旁内角互补，列式计算即可得解．【解答】解：∵长方形纸片ABCD的边AD∥BC，∴∠3＝∠EFG＝62°，根据翻折的性质，可得∠1＝180°﹣2∠3＝180°﹣2×62°＝56°，又∵AD∥BC，∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣56°＝124°．故答案为：124°．【变式5-3】如图，图1是长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3．若图3中∠CFE＝120°，则图1中的∠DEF的度数是（）A．30° B．20° C．40° D．15°【分析】先根据平行线的性质，设∠DEF＝∠EFB＝α，图2中根据图形折叠的性质得出∠AEF的度数，再由平行线的性质得出∠GFC，图3中根据∠CFE＝∠GFC﹣∠EFG即可列方程求得α的值．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB，设∠DEF＝∠EFB＝α，图2中，∠GFC＝∠BGD＝∠AEG＝180°﹣2∠EFG＝180°﹣2α，图3中，∠CFE＝∠GFC﹣∠EFG＝180°﹣2α﹣α＝120．解得α＝20．即∠DEF＝20°，故选：B．题型6：平行线判定和性质的综合运用6.如图，AD∥BC，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，∠EFC＝140°．求证：EF∥AD．证明：∵AD∥BC（已知），∴∠DAC+∠ACB＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．∵∠DAC＝120°（已知），∴∠ACB＝180°﹣120°＝60°（等式的性质）．又∵∠ACF＝20°（已知），∴∠BCF＝∠ACB﹣∠ACF＝40°．∵∠EFC+∠BCF＝140°+40°＝180°，∴EF∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．∵AD∥BC（已知），∴EF∥AD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．【分析】利用平行线的性质和平行线的判定解答即可．【解答】证明：∵AD//BC（已知），∴∠DAC+∠ACB＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．∵∠DAC＝120°（已知），∴∠ACB＝180°﹣120°＝60°（等式的性质）．又∵∠ACF＝20°（已知），∴∠BCF＝∠ACB﹣∠ACF＝40°．∵∠EFC+∠BCF＝140°+40°＝180°，∴EF//BC（同旁内角互补，两直线平行）．∵AD∥BC（已知），∴EF//AD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．故答案为：已知；∠ACB；两直线平行，同旁内角互补；已知；120°；已知；∠ACB；同旁内角互补，两直线平行；已知；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．【变式6-1】如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，ED∥CF，∠1＝∠2．（1）求证：FG∥BC；（2）若∠A＝60°，∠AGF＝70°，求∠B及∠2的度数．【分析】（1）由平行线的性质、等量代换推知内错角∠2＝∠BCF，则易证得结论；（2）在△AFG中，由三角形内角和是180度求得∠AFG＝50°；然后根据（1）中的FG∥BC推知同位角∠B＝∠AFG＝50°；由CF⊥AB，DE∥FC得ED⊥AB，再结合∠1＝∠即可求出∠2＝40°．【解答】解：（1）证明：∵DE∥FC，∴∠1＝∠BCF．又∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠BCF，∴FG∥BC；（2）∵在△AFG中，∠A＝60°，∠AGF＝70°，∴∠AFG＝180°﹣∠A﹣∠AGF＝50°．又由（1）知，FG∥BC，∴∠B＝∠AFG＝50°，∵CF⊥AB，DE∥FC，∴ED⊥AB，∴∠1＝90°﹣∠B＝40°∴∠2＝40°．【变式6-2】如图，AB∥CD，连结CA并延长至点H，CF平分∠ACD，CE⊥CF，∠GAH+∠AFC＝90°．（1）求证AG∥CE；（2）若∠GAF＝120°，求∠AFC的度数．【分析】（1）根据平行线的性质可得∠AFC＝∠DCF，根据角平分线的定义可得∠ACF＝∠DCF，进而得出∠AFC＝∠ACF，再根据余角的性质可得∠ECH＝∠GAH，从而得出AG∥CE；（2）根据平行线的性质可得∠ECD＝∠GAF，根据角的和差关系可得∠DCF＝∠ECD﹣∠ECF＝40°，再根据平行线的性质解答即可．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠AFC＝∠DCF，∵CF平分∠ACD，∴∠AFC＝∠ACF，∴∠AFC＝∠ACF，又∵CE⊥CF，∠GAH+∠AFC＝90°，∴∠ECH＝∠GAH，∴AG∥CE；（2）解：∵AB∥CD，∴∠ECD＝∠GAF＝120°，又∵CE⊥CF，∴∠DCF＝∠ECD﹣∠ECF＝120°﹣90°＝30°，∴∠AFC＝∠DCF＝30°．【变式6-3】如图，∠1+∠2＝180°，∠B＝∠3．（1）求证：DE∥BC；（2）若∠C＝74°，∠AED＝2∠3，则∠CEF的度数为69°．【分析】（1）由已知条件可证得AB∥EF，从而有∠B＝∠EFC，则得∠3＝∠EFC，得证DE∥BC；（2）由（1）得DE∥BC，利用两直线平行，同旁内角互补可求解．【解答】（1）证明：∵∠1+∠2＝180°，∠2＝∠4，∴AB∥EF，∴∠B＝∠EFC，∵∠B＝∠3，∴∠3＝∠EFC，∴DE∥BC；（2）解：∵DE∥BC，∠C＝74°，∴∠C+∠DEC＝180°，∠AED＝∠C＝74°，∵∠AED＝2∠3，∴∠3＝37°∵∠DEC＝180°﹣∠C＝106°，∴∠CEF＝∠DEC﹣∠3＝106°﹣37°＝69°，故答案为：69°．一．选择题（共6小题）1．如图，直线a，b被c所截，a∥b，若∠1＝40°，则∠2的度数为（）A．30° B．40° C．50° D．60°【分析】根据两直线平行，内错角相等可以判断∠2＝∠1，即可求出∠2的度数．【解答】解：∵a∥b，∠1＝40°，∴∠2＝∠1＝40°，故B正确．故选：B．2．如图，直线AB∥CD，∠M＝90°，∠MPA＝36°，则∠MEC的度数是（）A．54° B．126° C．136° D．144°【分析】根据三角形外角的性质，可求得∠BFE的度数，再根据两直线平行，内错角相等即可求解．【解答】解：∵∠M＝90°，∠MPA＝36°，∴∠BFE＝∠M+∠MPA＝90°+36°＝126°，∵AB∥CD，∴∠MEC＝∠BFE＝126°．故选：B．3．如图所示，∠ACB＝∠DCE＝90°．则下列结论：①∠1＝∠3；②∠2+∠BCE＝180°；③若AB∥CE，则∠2＝∠E；④若∠2＝∠B，则∠4＝∠E．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】利用余角的定义，平行线的性质对各结论进行分析即可．【解答】解：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠1+∠2＝∠3+∠2，即∠1＝∠3，故①结论正确；∵∠ACB+∠DCE＝180°，∴∠ACB+∠2+∠3＝180°，即∠BCE+∠2＝180°，故②结论正确；∵AB∥CE，∴∠4＝∠E，故③结论错误；∵∠2＝∠B，∠B+∠A＝90°，∠2+∠3＝90°，∴∠3＝∠A，∴AB∥CE，∴∠4＝∠E，故④结论正确．故正确的结论有3个．故选：C．4．有一条直的宽纸带，按如图所示的方式折叠，折叠后，∠DEF＝30°，则∠α的度数等于（）A．50° B．60° C．105° D．85°【分析】根据∠α﹣∠CBF与∠α组成一个平角，构建方程求解即可．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠CBF＝∠DEF＝30°．∵AB为折痕，∴2∠α﹣∠CBF＝180°，即2∠α﹣30°＝180°，解得∠α＝105°．故选：C．5．如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F在AD边上，点G，H在BC边上，分别沿EG，FH折叠，使点D和点A都落在点M处，若α+β＝119°，则∠EMF的度数为（）A．57° B．58° C．59° D．60°【分析】根据平行线的性质得到∠DEG+∠AFH＝119°，由折叠得：∠DEM＝2∠DEG，∠AFM＝2∠AFH，从而得到∠DEM与∠AFH的和．利用两个平角求出∠FEM与∠EFM的和，最后根据三角形内角和等于180°即可求出答案．【解答】解：∵长方形ABCD，∴AD∥BC，∴∠DEG＝α，∠AFH＝β，∴∠DEG+∠AFH＝α+β＝119°，由折叠得：∠DEM＝2∠DEG，∠AFM＝2∠AFH，∴∠DEM+∠AFM＝2×119°＝238°，∴∠FEM+∠EFM＝360°﹣238°＝122°，在△EFM中，∠EMF＝180°﹣（∠FEM+∠EFM）＝180°﹣122°＝58°，故选：B．6．如图，已知射线OP∥AE，∠A＝α，依次作出∠AOP的角平分线OB，∠BOP的角平分线OB1，∠B1OP的角平分线OB2，…，∠Bn﹣1OP的角平分线OBn，其中点B，B1，B2，…，Bn都在射线AE上，则∠ABnO的度数为（）A．180°-α2n B．C．180°-α2n+1 D【分析】根据角平分线的性质和平行线的性质得到规律，即可求得∠ABnO的度数．【解答】解：由图形可知，∠ABO=12（180°﹣α），∠AB1O=12（180°﹣∠OBB1）=12∠ABO=14（180°﹣α），∠AB则∠ABnO=180°-α故选：C．二．填空题（共8小题）7．如图，AB∥CD，∠1+∠2＝110°，则∠GEF+∠GFE＝70°．【分析】根据平行线的性质得出∠BEF+∠DFE＝180°，再根据角的和差关系即可求解．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE＝180°，∵∠1+∠2＝110°，∴∠GEF+∠GFE＝180°﹣110°＝70°．故答案为：70°．8．如图，把长方形ABCD沿对角线BD折叠，若∠ABD＝55°，则∠DFE＝70°．【分析】根据平行线的性质和折叠的性质，可以求出∠EDF的度数，再根据∠E＝90°和三角形内角和，即可求得∠DFE的度数．【解答】解：∵∠ABD＝55°，AD∥BC，∴∠ABD＝∠BDC＝55°，∵∠BDC＝∠EDB，∴∠EDC＝2∠BDC＝110°，∵∠ADC＝90°，∴∠EDF＝∠EDC﹣∠ADC＝20°，∵∠E＝90°，∴∠DFE＝180°﹣∠E﹣∠EDF＝70°，故答案为：70°．9．如图，直线a∥b，直线l与直线a相交于点P，直线l与直线b相交于点Q，PM⊥l于点P，若∠1＝55°，则∠2＝35°．【分析】根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠3＝∠1，根据PM⊥l于点P，则∠MPQ＝90°，即可求解．【解答】解：∵直线a∥b，∴∠3＝∠1＝55°，又∵PM⊥l于点P，∴∠MPQ＝90°，∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣55°＝35°．故答案是：35．10．如图，已知AB∥CD，F为CD上一点，∠EFD＝60°，∠AEC＝2∠CEF，若6°＜∠BAE＜12°，∠C的度数为整数，则∠C的度数为37°．【分析】先过E作EG∥AB，根据平行线的性质可得∠AEF＝∠BAE+∠DFE，再设∠CEF＝x，则∠AEC＝2x，根据6°＜∠BAE＜12°，即可得到6°＜3x﹣60°＜12°，解得22°＜x＜24°，进而得到∠C的度数．【解答】解：如图，过E作EG∥AB，∵AB∥CD，∴GE∥CD，∴∠BAE＝∠AEG，∠DFE＝∠GEF，∴∠AEF＝∠BAE+∠DFE，设∠CEF＝x，则∠AEC＝2x，∴x+2x＝∠BAE+60°，∴∠BAE＝3x﹣60°，又∵6°＜∠BAE＜12°，∴6°＜3x﹣60°＜12°，解得22°＜x＜24°，又∵∠DFE是△CEF的外角，∠C的度数为整数，∴∠C＝60°﹣23°＝37°．故答案为：37°．11．如图所示，AB∥CD，若∠ABE＝120°，∠ECD＝40°，则∠BEC＝100°．【分析】过点E作EF∥AB，可得∠BEF+∠ABE＝180°，从而得到∠BEF＝60°，再由AB∥CD，可得∠FEC＝∠DCE，从而得到∠FEC＝40°，即可求解．【解答】解：如图，过点E作EF∥AB，∵EF∥AB，∴∠BEF+∠ABE＝180°，∵∠ABE＝120°，∴∠BEF＝180°﹣∠ABE＝180°﹣120°＝60°，∵EF∥AB，AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FEC＝∠DCE，∵∠DCE＝40°，∴∠FEC＝40°，∴∠BEC＝∠BEF+∠FEC＝60°+40°＝100°．故答案为：100°12．如图，AB∥EG，CD∥EF，BC∥DE，若x＝50°，y＝30°，则z度数为20°．【分析】延长AB交DE于H，依据平行线的性质，即可得到∠ABC＝∠DEG，即x＝z+y，进而得到x﹣z＝y．【解答】解：如图所示，延长AB交DE于H，∵BC∥DE，∴∠ABC＝∠AHE＝x，∵CD∥EF，AB∥EG，∴∠D＝∠DEF＝z，∠AHE＝∠DEG＝z+y，∴∠ABC＝∠DEG，即x＝z+y，∴z＝x﹣y＝50°﹣30°＝20°．故答案为：20°．13．如图，已知直线AB∥CD，点M、N分别在直线AB、CD上，点E为AB、CD之间一点，且点E在MN的右侧，∠MEN＝128°．若∠BME与∠DNE的平分线相交于点E1，∠BME1与∠DNE1的平分线相交于点E2，∠BME2与∠DNE2的平分线相交于点E3，……，依此类推，若∠MEnN＝8°，则n的值是4．【分析】过E作EH∥AB，E1G∥AB，根据平行线的性质及角平分线定义得出∠ME1N=12∠MEN，进而得到∠MEnN=12n∠MEN，然后解方程12n∠MEN=1【解答】解：过E作EH∥AB，E1G∥AB，∵AB∥CD，∴EH∥CD，E1G∥CD，∴∠BME＝∠MEH，∠DNE＝∠NEH，∴∠BME+∠DNE＝∠MEH+∠NEH＝∠MEN＝128°，同理∠ME1N＝∠BME1+∠DNE1，∵ME1平分∠BME，NE1平分∠DNE，∴∠BME1+∠DNE1=12（∠BME+∠DNE）=1∴∠ME1N=12∠同理，∠ME2N=12∠ME1N=1∠ME3N=12∠ME2N=1•••，∴∠MEnN=12∠MEn﹣1N=1若∠MEnN＝8°，则12n∠MEN=12∴n＝4．故答案为：4．14．如图，已知AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n的度数为180°（n﹣1）．【分析】分别求出有3个角，4个角时相应的值，从而可推导出∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n的度数．【解答】解：当求∠1+∠2+∠3的度数时，如下图，过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠1+∠GEF＝180°，∠3+∠HEF＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝∠1+∠GEF+∠HEF+∠3＝360°＝2×180°；当求∠1+∠2+∠3+∠4的度数时，如下图，过点E作EF∥AB，MN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥MN∥CD，∴∠1+∠GEF＝180°，∠MEF+∠NME＝180°，∠4+∠HMN＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝∠1+∠GEF+∠MEF+∠NME+∠HMN+∠4＝540°＝3×180°；...，同理可得：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+…+∠n＝180°（n﹣1），故答案为：180°（n﹣1）．三．解答题（共5小题）15．已知直线AB∥CD，点P，Q分别在直线AB，CD上．（1）如图①，当点E在直线AB，CD之间时，连接PE，QE．探究∠PEQ与∠BPE+∠DQE之间的数量关系，并说明理由；（2）如图②，在①的条件下，PF平分∠BPE，QF平分∠DQE，交点为F．求∠PFQ与∠BPE+∠DQE之间的数量关系，并说明理由；（3）如图③，当点E在直线AB，CD的下方时，连接PE，QE．PF平分∠BPE，QH平分∠CQE，QH的反向延长线交PF于点F．若∠E＝40°时，求∠F的度数．【分析】（1）过点E作EM∥AB，则∠BPE＝∠PEM，EM∥CD，进而得出∠DQE＝∠QEM，即可得出结论；（2）同（1）得出∠BPF+∠DQF＝∠PFQ，根据角平分线的定义得出∠BPF=（3）过点E作EN∥AB，根据平行线的性质得出∠CQE＝220°﹣∠BPE，同（1）∠F=【解答】解：（1）∠PEQ＝∠BPE+∠DQE，理由如下：如图所示，过点E作EM∥AB，∴∠BPE＝∠PEM，∵AB∥CD，∴EM∥CD，∴∠DQE＝∠QEM，∴∠PEQ＝∠PEM+∠QEM＝∠BPE+∠DQE，即∠PEQ＝∠BPE+∠DQE；（2）∠PFQ=理由如下：∵PF平分∠BPE，QF平分∠DQE，∴∠BPF=由（1）可知∠PEQ＝∠BPE+∠DQE，同理可得∠BPF+∠DQF＝∠PFQ，∴∠PFQ=即∠PFQ=（3）如图，过点E作EN∥AB，∴∠PEN＝∠BPE，∵PF平分∠BPE，QH平分∠CQE，∴∠BPF=12∵∠FQD=∵AB∥CD，AB∥EN，∴CD∥EN，∠PEQ＝40°，∴∠CQE＝180°﹣∠NEQ＝180°﹣（∠PEN﹣∠PEQ）＝180°﹣∠BPE+40°＝220°﹣∠BPE，由（1）可得∠F=∠16．（1）已知：如图1，AB∥CD，求证：∠B+∠D＝∠BED；（2）已知：如图2，AB∥CD，试探求∠B、∠D与∠E之间的数量关系，并说明理由．拓展提升：如图3，已知AB∥DE，BF，EF分别平分∠ABC与∠CED，若∠BCE＝140°，求∠BFE的度数．【分析】（1）根据平行线性质得出∠1＝∠B，∠2＝∠D，即可得出答案；（2）根据平行线性质求出∠BEF＝∠B，∠DEF＝∠CDE，即可得出答案；（3）过点C作CP∥AB，然后利用两直线平行，内错角相等得到∠ABC+∠CED＝∠BCP+∠ECP＝∠BCE＝140°；同理过点F作FM∥DE，则∠BFM＝∠ABF，∠MFE＝∠DEF，结合角平分线的性质就可求出∠BFE的度数．【解答】（1）证明：如图1，过E点作EF∥AB，则∠1＝∠B，又∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠B+∠D＝∠1+∠2，即∠BED＝∠B+∠D．（2）解：∠B﹣∠D＝∠E，理由：如图2，过E点作EF∥AB，则∠BEF＝∠B，又∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠DEF＝∠CDE，又∵∠BEF﹣∠DEF＝∠BED，∴∠B﹣∠CDE＝∠BED；（3）解：如图，过点C作CP∥AB，则∠BCP＝∠ABC，∠ECP＝∠CED，∴∠ABC+∠CED＝∠BCP+∠ECP＝∠BCE＝140°；又∵BF，EF分别平分∠ABC，∠CED，∴∠ABF=12∠ABC，∠DEF=1∴∠ABF+∠DEF=12（∠ABC+∠DEC）＝过点F作FM∥DE，则∠BFM＝∠ABF，∠MFE＝∠DEF，∴∠BFE＝∠BFM+∠MFE＝∠ABF+∠DEF＝70°．17．如图，AB∥CD，点P为平面内一点．（1）如图①，当点P在AB与CD之间时，若∠A＝20°，∠C＝45°，则∠P＝65°；（2）如图②，当点P在点B右上方时，∠ABP、∠CDP、∠BPD之间存在怎样的数量关系？请给出证明；（不需要写出推理依据）（3）如图③，EB平分∠PEG，FP平分∠GFD，若∠PFD＝40°，则∠G+∠P＝120°．【分析】（1）过点P作MN∥AB，利用平行线的性质计算；（2）延长AB交PD于点H，利用平行线的性质和三角形内角与外角的关系计算；（3）延长AB交PF于点H，过点G，作MN∥AB，利用平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角与外角的关系计算．【解答】解：（1）过点P作MN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥MN，又∵∠A＝20°，∠C＝45°，∴∠APM＝∠A＝20°，∠MPC＝∠C＝45°，∴∠P＝∠APM+∠MPC＝20°+45°＝65°；故答案为：65；（2）延长AB交PD于点H，∴∠ABP是△PBH的一个外角，∵AH∥CD，∴∠CDP＝∠BHP，∴在△PBH，∠BPD+∠BHP＝∠ABP，∴∠ABP、∠CDP、∠BPD之间存在的数量关系为：∠ABP＝∠CDP+∠BPD；（3）延长AB交PF于点H，过点G，作MN∥AB，∵AB∥CD，∴MN∥AB∥CD，∴∠HEG＝EGM，∠EHF＝∠PFD，∠MGF＝∠GFD，∵EB平分∠PEG，FP平分∠GFD，若∠PFD＝40°，∴∠PEH＝∠HEG，∠PFD＝∠PFG＝40°，∠GFD＝80°，∴∠G＝∠EGM+∠MGF＝∠HEG+∠GFD＝∠PEH+80°，∠P+∠PEH＝∠EHF＝∠PFD＝40°，∴∠P＝40°﹣∠PEH，∴∠G+∠P＝∠PEH+80°+40°﹣∠PEH＝120°．故答案为：120．18．（1）问题发现：如图①，直线AB∥CD，连结BE，CE，可以发现∠BEC＝∠B+∠C．请把下面的证明过程补充完整：证明：过点E作EF∥AB，∴∠B＝∠BEF（两直线平行，