2023年甘肃省天水市甘谷县高考适应性考试数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

考生须知：

1,全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2,请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

V—xx0

1.已知函数/（幻=2'"二，则/（/（T））=（）

x+l,x<0,

A.2B.3C.4D.5

rr

2.如图，四面体ABC。中，面ABD和面BCD都是等腰直角三角形，AB=y/2.ZBAD=ZCBD=-,且二面角

945189212835

-----B.--------C.------D.-------

1632648

4.若集合A=1x|皆40；,3={x]—l<x<2},则从口3=（）

A.[-2,2）B.（-1,1]C.（-L1）D.（-1,2）

1-/

5.已知复数z=」（i为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（）

6.设等差数列｛凡｝的前〃项和为S“，若%=2,%+%=5,则56=（）

A.10B.9C.8D.7

7.已知直线产-x+l)(Q0)与抛物线C:V=4》相交于A,8两点，尸为C的焦点，^\FA\=2\FB\,则|E4|=()

A.1B.2C.3D.4

8.甲、乙、丙、丁四人通过抓阉的方式选出一人周末值班(抓到“值”字的人值班).抓完阉后，甲说：“我没抓到.”乙

说：“丙抓到了.”丙说：“丁抓到了”丁说：“我没抓到.”已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定

值班的人是()

A.甲B.乙C.丙D.丁

9.直线ax+by+=0(。/;〉())与圆x?+y?=1的位置关系是()

A.相交B.相切C.相离D.相交或相切

10.已知向量£与£+万的夹角为60。，同=1,|4=百，则£4=()

A.--B.0C.0或D.--

222

11.设集合用=卜«2+3%+2>0},集合N={x|(g)，<4},则M<JN=()

A.{x|x>-21B.C.{x|x<-2}D.R

12.已知等比数列{可}满足4=1，4=16,等差数列也}中幺=%，S”为数列他}的前"项和，则S,)=()

A.36B.72C.-36D.±36

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知多项式(x+l)3(x+2)2=x5+aix4+a2x3+a3x2+a4x+a$,则a4=>as=.

14.如图，在一个倒置的高为2的圆锥形容器中，装有深度为〃的水，再放入一个半径为1的不锈钢制的实心半球后,

半球的大圆面、水面均与容器口相平，则〃的值为.

15.某校高三年级共有800名学生参加了数学测验(满分150分)，已知这800名学生的数学成绩均不低于90分，将

这800名学生的数学成绩分组如下：[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150],得到的

频率分布直方图如图所示，则下列说法中正确的是(填序号).

①a=0.045；

②这800名学生中数学成绩在110分以下的人数为160；

③这800名学生数学成绩的中位数约为121.4；

④这80()名学生数学成绩的平均数为125.

16.已知全集。={—1,0,1},集合A={0,|x|},则电A=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22

17.(12分)已知P(0,-2),点A3分别为椭圆£：，+5=1(。>/,>())的左、右顶点，直线9交E于另一点

a~b"

Q,A48P为等腰直角三角形，且|PQ|:|0B|=3:2.

(I)求椭圆E的方程；

(II)设过点P的直线/与椭圆E交于M,N两点，总使得NMQV为锐角，求直线/斜率的取值范围.

18.(12分)如图，在正四棱柱ABC。—AUG。中，48=1,M=3,过顶点A,G的平面与棱Bg,分

别交于M，N两点(不在棱的端点处).

(1)求证：四边形AMGN是平行四边形；

(2)求证：AM与AN不垂直；

(3)若平面AM£N与棱8C所在直线交于点P,当四边形AMCN为菱形时，求PC长.

114

19.(12分)在①&=4，②------,③坊=35这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.

q。2”2

已知等差数列{a„}的公差为d(d>0),等差数列也}的公差为2d.设儿,以分别是数列{4},也}的前〃项和，且

4=3,4=3,,

(1)求数列｛%｝,也｝的通项公式；

3

(2)设q,=2""+――,求数列｛c“｝的前〃项和5,,,

—+1

20.(12分)已知函数，(力=；/一ox+(a-l)hw,g(x)=的最大值为L

(1)求实数的值；

⑵当a>l时，讨论函数“X)的单调性；

(3)当a=O时,令尸(x)=2/(x)+g(x)+21nr+2,是否存在区间［〃?,〃仁(1,+℃),使得函数尸(可在区间［小,〃］

上的值域为［左(加+2),左(〃+2)］?若存在，求实数A的取值范围；若不存在，请说明理由.

21.(12分)如图，在直棱柱ABCO—AgG。中，底面ABCD为菱形，AB=BD=2,8片=2,与AC相

交于点E,4。与A2相交于点。.

(1)求证：AC,平面BBQQ；

(2)求直线OB与平面。耳。所成的角的正弦值.

22.(10分)求函数y=JT7+J3x+2的最大值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

根据分段函数直接计算得到答案.

【详解】

因为/(%)=F，一：所以/(/(-1))=/⑵=22-2=2.

x+l,x<0,

故选：A-

【点睛】

本题考查了分段函数计算，意在考查学生的计算能力.

2.B

【解析】

分别取BD、CO的中点M、N,连接AM、MN、AN,利用二面角的定义转化二面角4一比)一。的平面角为

2乃

ZAMN=—,然后分别过点M作平面河的垂线与过点N作平面BCD的垂线交于点。，在RfAOMN中计算出

OM,再利用勾股定理计算出Q4,即可得出球。的半径，最后利用球体的表面积公式可得出答案.

【详解】

如下图所示，

分别取80、CO的中点M、N,连接AM、MN、AN,

由于AARD是以/班£>为直角等腰直角三角形，M为8D的中点，

vZCBZ)=-,且加、N分别为BD、CO的中点，所以，MN/IBC,所以，MN±BD,所以二面角A—80—C

2

2万

的平面角为NAMN=7，

AB=AD=41则BD=NAB。+=2，且BC=2，所以，AM=^BD=1,MN=；BC=\,

•••AABD是以NEM＞为直角的等腰直角三角形，所以，的外心为点M，同理可知，ASC。的外心为点N,

分别过点M作平面板＞的垂线与过点N作平面BCD的垂线交于点。，则点。在平面40N内，如下图所示，

27r7171

由图形可知，ZOMN=ZAMN-ZAMO=-------=一，

326

厂八MN2G

在MAOMN中，型=cosNOMN=2,°M=kr，

OM2—

2

所以，04=J0M2+。序=且,

球。的半径为R=X史，因此，球。的表面积为47/?2/叵丫_284

所以,

3

故选：B.

【点睛】

本题考查球体的表面积，考查二面角的定义，解决本题的关键在于找出球心的位置，同时考查了计算能力，属于中等

题.

3.D

【解析】

写出二项式的通项公式,再分析x的系数求解即可.

【详解】

二项式（]一£|展开式的通项为=G]£|（-3）"7-2，,令7—2厂=-1,得r=4,故:项的系

数为谓臼（—3）4=型.

\2y8

故选：D

【点睛】

本题主要考查了二项式定理的运算，属于基础题.

4.C

【解析】

求出集合A，然后与集合B取交集即可.

【详解】

由题意，A=Y^<oj={x|-2<x<l},8={x[-l<x<2),则AflB={x|-1<x<1},故答案为C.

【点睛】

本题考查了分式不等式的解法，考查了集合的交集，考查了计算能力，属于基础题.

5.A

【解析】

直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求得2的坐标得出答案.

【详解】

l-Z(1-0(2+1)31.

解・*/z=---=----------=----1・

廨。2-i(2-z)(2+z)55

：.z在复平面内对应的点的坐标是

故选：A.

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.

6.B

【解析】

根据题意外=4+2d=2,q+%=2q+3d—5,解得q=4,d=—1»得到答案.

【详解】

%=q+2d=2,q+%=2q+3"=5,解得q=4,d=-l,故Sf=6q+15d=9.

故选：B.

【点睛】

本题考查了等差数列的求和，意在考查学生的计算能力.

7.C

【解析】

方法一：设P(-1,0),利用抛物线的定义判断出3是AP的中点，结合等腰三角形的性质求得3点的横坐标，根据抛

物线的定义求得IFB|,进而求得|E4|.

方法二：设出4,5两点的横坐标4,》8,由抛物线的定义，结合|E4|二2|EB|求得乙,4的关系式，联立直线

y=Z（x+l）的方程和抛物线方程，写出韦达定理，由此求得乙，进而求得|E4|.

【详解】

方法一:由题意得抛物线V=4x的准线方程为/:x=-1,直线y=k（x+1）恒过定点尸（一1,0），过A,B分别作AM±/

于M，BN11于N,连接QB,由|EA|=2|EB|,则|A例|=2|8N],所以点3为AP的中点，又点。是PE的

中点，

则|06|=1|AF|,所以|。6|=|6用，又|OE|=1

2

所以由等腰三角形三线合一得点B的横坐标为!，

2

由题意设A,B两点横坐标分别为>°)，

则由抛物线定义得IFA|=xA+l,\FB\=XB+\

又|E4|=2|RB|,.,.XA+1=2(XB+1)=XA=24+1①

=>k2%1+(2Zr2—4)x+k'=0=>=1(2)

[y=z(x+i)

由①®得/一/一2=0,%=2,|£4|=%+1=3.

故选：c

【点睛】

本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，属于中档题.

8.A

【解析】

可采用假设法进行讨论推理，即可得到结论.

【详解】

由题意，假设甲：我没有抓到是真的，乙：丙抓到了，则丙：丁抓到了是假的，

T：我没有抓到就是真的，与他们四人中只有一个人抓到是矛盾的；

假设甲：我没有抓到是假的，那么丁：我没有抓到就是真的，

乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立，

所以可以断定值班人是甲.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了合情推理及其应用，其中解答中合理采用假设法进行讨论推理是解答的关键，着重考查了推理与分析

判断能力，属于基础题.

9.D

【解析】

由几何法求出圆心到直线的距离，再与半径作比较，由此可得出结论.

【详解】

解：由题意，圆f+y2=l的圆心为0(0,()),半径卜=1,

/y-7

•.•圆心到直线的距离为d=I,

Va2+b2

Qa2+b2>2ah>

：.d<\,

故选：D.

【点睛】

本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题.

10.B

【解析】

由数量积的定义表示出向量［与的夹角为60。，再由f=同，不=,代入表达式中即可求出7H

【详解】

由向量口与2+另的夹角为60。,

得“a+B)=a+a-b=|a||a+目cos60°,

—»-*\21I-1/—2-•一2

所以加=a+bj=—|G|A/«+2a-b+b,

又W=l,W=V5,a=|a|,b'=|^|2,

所以l+a・Z?=—x1x+2公.B+3,解得a•b—0•

2

故选：B

【点睛】

本题主要考查向量数量积的运算和向量的模长平方等于向量的平方，考查学生的计算能力，属于基础题.

11.D

【解析】

试题分析：由题M=卜―+3x+2)o}={xIX(—2或x)—1},

N={x|(g)'441=<;N={x|xZ-2},MDN=R，选D

考点：集合的运算

12.A

【解析】

根据即是生与4的等比中项，可求得知，再利用等差数列求和公式即可得到S9.

【详解】

等比数列{4}满足的=1，4=16,所以包=±向以=±4,又4=。2引>0,所以%=4,由等差数列的性

质可得S9=9bs=9a4=36.

故选：A

【点睛】

本题主要考查的是等比数列的性质，考查等差数列的求和公式，考查学生的计算能力，是中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.164

【解析】

只需令x=0,易得as,再由(X+1)3(X+2)2=(X+1)5+2(X+1)4+(X+1)3,可得.4=C；+2C：+C；.

【详解】

令x=0,得的=(0+1)3(0+2)2=4,

而(X+1)3(X+2)2=(X+1)3[(X+1)2+2(X+1)+1]=(X+1)5+2(X+1)4+(X+1)3；

则«4=C；+2C；+C；=5+8+3=16.

故答案为：16,4.

【点睛】

本题主要考查了多项式展开中的特定项的求解，可以用赋值法也可以用二项展开的通项公式求解，属于中档题.

14.次

【解析】

由已知可得到圆锥的底面半径，再由圆锥的体积等于半球的体积与水的体积之和即可建立方程.

【详解】

设圆锥的底面半径为r,体积为V,半球的体积为匕，水(小圆锥)的体积为匕，如图

则OA=r,OC=l,OB=2,BE=/z,所以2xr=V777xl，解得

所以V=J万/x2=»»,V,=—7T,V,=-^-x(—)2xh=—7rh^,

39132329

Q91

由旷=匕+匕，得5%=3»+§)川,解得％=次.

故答案为：过

【点睛】

本题考查圆锥的体积、球的体积的计算，考查学生空间想象能力与计算能力，是一道中档题.

15.②③

【解析】

由频率分布直方图可知(0.010x2+0.025+4+0.015+0.005)x10=1,解得。=0.035,故①不正确；这800名学生中数

学成绩在110分以下的人数为800x(0.010+0.010)x10=160,故②正确；设这8()()名学生数学成绩的中位数为x,则

0.010xl0+0.010xl0+0.025xl0+(x-120)x0.035=0.5,解得x=121.4,故③正确；④这80()名学生数学成绩的平均

^^95x0,010x10+105x0.010x10+115x

0.025x10+125x0.035x10+135x0.015x10+145x0.005x10=120,故④不正确.综上，说法正确的序号是②③.

16.{-1}

【解析】

根据题意可得出A={0,1},然后进行补集的运算即可.

【详解】

根据题意知，*1=1,

••.A={0』},U={-1,0,1},

.・©A={T}.

故答案为：{-1}.

【点睛】

本题考查列举法的定义、全集的定义、补集的运算，考查计算能力，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(I)[+y=l；(II)—2,一等卜(#,2).

【解析】

(I)由题意可知：由=月，求得。点坐标，即可求得椭圆E的方程；

(H)设直线)，=米一2,代入椭圆方程，由韦达定理，由/>0,由NMON为锐角,则0贬.所>0,由向量数量

积的坐标公式，即可求得直线/斜率的取值范围.

【详解】

解：(I)根据题意A4BP是等腰直角三角形

..a=2t

：.B(2,0),

设Q(q,y°)由|PQ|：|。同=3:2

得「0=^0分

6

则

4

>2=一彳

代入椭圆方程得〃=1

，椭圆E的方程为二+y=l

4

（II）根据题意，直线/的斜率存在，可设方程为），="-2

设加（与，凶）N（W，M）

y=kx-2

由＜f,得（1+4公）》2—16辰+12=0

彳+）=•

由直线I与椭圆£有两个不同的交点则J＞0

即（-16炉-4XI2X（1+442）>0

得I

16A

又

12

砧=4正

ZMON为锐角则cosAMON>0

/.OM-ON>0玉工2+X%>0

;X]4+y%=百X2+（处—2）（牝_2）=（1+攵2）%%2-2Mxi+々）+4>0

即0+〃）后口部+4）。

k2<4②

由®®得且＜%＜2或一2＜女＜一且

22

故直线/斜率可取值范围是-2,一

【点睛】

本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量数量积的坐标运算，韦达定理，考

查计算能力，属于中档题.

18.(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)PC=2.

【解析】

(1)由平面与平面没有交点，可得AM与不相交，又AM与NG共面，所以AM//NC1,同

理可证AN//MG，得证；(2)由四边形AM&N是平行四边形，且|肱7"同。|,则AMG'不可能是矩形，所以

AM与AN不垂直；⑶先证制用“，可得M为B片的中点，从而得出8是PC的中点，可得PC.

【详解】

(1)依题意AM,G，N都在平面AG上，

因此40=平面4C»NC|U平面AC-

又AMq平面ABB]A,,Ng工平面DCCR,

平面与平面OCG2平行，即两个平面没有交点，

则AM与NG不相交，又AM与NG共面，

所以AM//NCi同理可证AN//MG，

所以四边形AMCiN是平行四边形；

(2)因为"，N两点不在棱的端点处，所以|MN|<|8Db|ACj,

又四边形AMGN是平行四边形，|MN上|AG|，

则AMGN不可能是矩形，所以AM与AN不垂直；

(3)如图，延长GM交CB的延长线于点尸,

若四边形AMC|N为菱形，则AM=M£,易证放AABM=/?以。|用M，

所以BM=B1M,即M为BB1的中点，

因此BM=|CC,.旦BM//CQ,所以8M是APCC,的中位线，

则8是PC的中点，所以PC=23C=2.

【点睛】

本题考查了立体几何中的线线平行和垂直的判定问题，和线段长的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推

理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，属中档题.

19.(1)a,=〃,b,=2〃+l；(2)

2n+3

【解析】

方案一：(1)根据等差数列的通项公式及前〃项和公式列方程组，求出《和d,从而写出数列｛%｝,｛d｝的通项公式;

(2)由第(1)题的结论，写出数列｛%｝的通项%=2'+|(三匕-5高)，采用分组求和、等比求和公式以及裂

项相消法，求出数列｛q,｝的前八项和S”.

其余两个方案与方案一的解法相近似.

【详解】

解：方案一：

(1)•・•数列｛%｝，｛2｝都是等差数列，且4=3,&=员，

2“+d=3[a,=l

•Iu.c解得L1

5q+1i0nd=9+6d[d=l

/.an=4+(/?-l)d=n,

bn=/?j+(H-1)2J=2〃+1

综上风=n,bn=2n+l

(2)由(1)得:

〜3c〃3/i1

2H-------------------=2H--------

(2几+1)(2〃+3)2(2〃+l2〃+3

S"=Q+22+…+2")+|[(聂)+《1)+…+(+-+)]

1-22(32n+3)

=2"+i35+2)

2〃+3

方案二：

、，114

(1)•.•数列｛%｝，也｝都是等差数列，且4=3,--------=—,

a।a、

'2q+d=3q=1

•V<

4q(q+d)=d(6+2d)d=\

an=“+(〃-l)d=n,

bn=h]+(n—l)2d=2〃+1.

综上，an=n,bn=2n+l

(2)同方案一

方案三：

(1)V数列｛a,,｝,也｝都是等差数列，且4=3,为=35.

2q+d=3

,解得MCL=1

5x4

3x5+——x2d=35

2

an=q+(〃-Y)d=n,

2=4+(〃-l)2d=2〃+1.

综上，。“=〃也=2〃+1

(2)同方案一

【点睛】

本题考查了等差数列的通项公式、前〃项和公式的应用，考查了分组求和、等比求和及裂项相消法求数列的前"项和,

属于中档题.

20.(1)2=0;(2)a=2时，/(X)在(0,小)单调增；1<"2时，”X)在单调递减，在(0,。一1),0,+8)

单调递增；。>2时,同理/(力在(1,。-1)单调递减，在(0,1),(。-1,+8)单调递增；⑶不存在.

【解析】

分析：(1)利用导数研究函数的单调性，可得当x='时，g(x)取得极大值，也是最大值，

e

由g(：)=：+可得结果；(2)求出了'(X),分三种情况讨论。的范围，在定义域内，分别令/'(x)>0求得x

的范围，可得函数“X)增区间，尸(x)<0求得x的范围，可得函数/(x)的减区间；(3)假设存在区间

［m,n］c(l,+oo),使得函数尸(x)在区间［八〃］上的值域是［%(m+2),左(〃+2)］,贝ij

F(m)=m2-mlnm+2=Z:(zn+2)、,、,、

［2/］，问题转化为关于x的方程父―xlnx+2=Z(x+2)在区间(1,+s)内是否存在两

个不相等的实根，进而可得结果.

详解：⑴由题意得g'(x)=—lnx—l,

令g'(x)=0,解得x=1,

e

当时，g'(x)>0,函数g(x)单调递增；

当xeg,+a>］时，g'(x)<0,函数g(x)单调递减.

所以当尤=，时，g(x)取得极大值，也是最大值，

e

所以=，+力=」，解得人=0.

\e)ee

(2)/(%)的定义域为(0,+8).

/(力=i+0/"+"一］=・18+一)

XXX

①a-1=1即a=2,则/(x)=(xT),故/(x)在(0,+。。)单调增

②若a-l<l,而a>l,故l<a<2,贝ij当xe(a-l,l)时，/r(x)<0；

当xe(O,a-1)及xe(l,+»)时，/'(x)>0

故.f（x）在（。-1,1）单调递减，在（0,4-1）,（1,”）单调递增.

③若。一1>1,即a>2,同理“X）在（1,。一1）单调递减，在（0,1）,（a—1,”）单调递增

(3)由⑴F(x)=x2-xlnx+2,

所以F'(x)=2x-lnx+l,令a)(x)=F(x)=2x-hxr+l,则o'(x)=2——>0对^¥£(1,-«)0)恒成立，所以尸(九)

在区间（1,+8）内单调递增，

所以尸（x）>/⑴=1>0恒成立，

所以函数尸（x）在区间（1,+8）内单调递增.

假设存在区间上〃〃仁（1,+8）,使得函数网力在区间［m,〃］上的值域是［&（利+2）,左（〃+2）］,

/（〃2）=irr-mlnm+2=k［m+2^

人"F（n）=n2-nlnn+2=k^n+2^'

问题转化为关于x的方程幺-北四+2=攵（％+2）在区间（1,+8）内是否存在两个不相等的实根，

即方程k二二二一竺土2在区间（1,+8）内是否存在两个不相等的实根，

令〃(%)=『一+2,xe(l,+oo),则〃。)

设〃（力=¥+3x-4-21nx,XG（1,+OO）,则p［x）=2x+3—Z=^~1）卜+2）>。对Vx“I,+oo）恒成立,所

XX

以函数p（x）在区间（1,M）内单调递增，

故p（x）>p（l）=0恒成立，所以"（x）>o,所以函数〃（x）在区间（1,+8）内单调递增，所以方程k=1-2在

x+2

区间（1,长。）内不存在两个不相等的实根.

综上所述，不存在区间［加,〃仁（1,+8）,使得函数F（x）在区间卜〃,可上的值域是根（加+2）,女（“+2）］.

点睛：本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的最值值，属于难题.求函数极值、最值的步骤：（1）确定函

数的定义域；（2）求导数；（3）解方程求出函数定义域内