高三一轮总复习理科数学课时跟踪检测71空间几何体的结构特征及三视图与直观图

[课时跟踪检测][基础达标]1．某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是()A．三棱锥 B．四棱锥C．四棱台 D．三棱台解析：因为正(主)视图和侧(左)视图都为三角形，可知几何体为锥体，又因为俯视图为三角形，故该几何体为三棱锥．答案：A2．(2017年浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A.eq\f(π,2)＋1 B．eq\f(π,2)＋3C.eq\f(3π,2)＋1 D．eq\f(3π,2)＋3解析：由图可知，几何体由半个圆锥与一个三棱锥构成，∵半圆锥的体积V1＝eq\f(1,2)×(π×12)×3×eq\f(1,3)＝eq\f(π,2)，三棱锥的体积V2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×1×\f(1,2)))×3×eq\f(1,3)＝1，∴该几何体的体积V＝V1＋V2＝eq\f(π,2)＋1.答案：A3．(2017年全国卷Ⅱ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A．π B．eq\f(3π,4)C.eq\f(π,2) D．eq\f(π,4)解析：过圆柱的轴作截面，所得截面如图，则圆柱的底面半径为r＝eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(3),2)，所以圆柱的体积为πr2·h＝π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2×1＝eq\f(3π,4).答案：B4．(2017年全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为()A．10 B．12C．14 D．16解析：由三视图可画出立体图形，如图所示．该多面体有两个面是梯形，其面积之和为2×(2＋4)×2÷2＝12.故选B.答案：B5.把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起形成的三棱锥A－BCD的正(主)视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为()A.eq\f(\r(2),2) B．eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),4) D．eq\f(1,4)解析：由正(主)视图与俯视图可得三棱锥A－BCD的一个侧面与底面垂直，其侧视图是直角三角形，且直角边长均为eq\f(\r(2),2)，所以侧(左)视图的面积为S＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,4).答案：D6．已知四棱锥P－ABCD的三视图如图所示，则四棱锥P－ABCD的四个侧面中面积最大的是()A．3 B．2eq\r(5)C．6 D．8解析：四棱锥如图所示，取AD的中点N，BC的中点M，连接PM，PN，则PM＝3，PN＝eq\r(5)，S△PAD＝eq\f(1,2)×4×eq\r(5)＝2eq\r(5)，S△PAB＝S△PDC＝eq\f(1,2)×2×3＝3，S△PBC＝eq\f(1,2)×4×3＝6.所以四个侧面中面积最大的是6.答案：C7．(2018届山东泰安统考)一个几何体的三视图如图所示，且其侧(左)视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为()A.eq\f(4＋π\r(3),3) B．(4＋π)eq\r(3)C.eq\f(8＋π\r(3),2) D．eq\f(8＋π\r(3),6)解析：该几何体为一个四棱锥与一个半圆锥的组合体，四棱锥的高为eq\r(3)，底面为正方形；半圆锥高为eq\r(3)，底面是半径为1的半圆，因此体积为eq\f(1,3)×eq\r(3)×22＋eq\f(1,3)×eq\r(3)×eq\f(π×12,2)＝eq\f(8＋π\r(3),6).答案：D8．(2017届山西太原三模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．2 B．eq\f(8,3)C．4 D．eq\f(20,9)解析：观察三视图并依托正方体，可得该几何体直观图为A1－ABEF，如图所示，其体积为V正方体－VAFD－BEC－VA1－BEC1B1－VA1－FEC1D1＝2×2×2－eq\f(1,2)×2×1×2－eq\f(1,3)×2×(1＋2)×2×eq\f(1,2)－eq\f(1,3)×1×2×2＝eq\f(8,3).答案：B9.一水平放置的平面四边形OABC，用斜二测画法画出它的直观图O′A′B′C′如图所示，此图为一个边长是1的正方形，则原平面四边形OABC的面积为________．解析：因为直观图的面积是原图形面积的eq\f(\r(2),4)倍，且直观图的面积为1，所以原图形的面积为2eq\r(2).答案：2eq\r(2)10．(2017年江苏卷)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则eq\f(V1,V2)的值是________．解析：设球的半径为R，则V1＝2R×πR2＝2πR3，V2＝eq\f(4,3)πR3，所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)11．已知正三角形ABC的边长为2，那么△ABC的直观图△A′B′C′的面积为________．解析：如图，图①、图②所示的分别是实际图形和直观图．从图②可知，A′B′＝AB＝2，O′C′＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(\r(3),2)，所以C′D′＝O′C′sin45°＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(6),4).所以S△A′B′C′＝eq\f(1,2)A′B′·C′D′＝eq\f(1,2)×2×eq\f(\r(6),4)＝eq\f(\r(6),4).答案：eq\f(\r(6),4)12．已知正三棱锥V－ABC的正(主)视图、侧(左)视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出侧(左)视图的面积．解：(1)直观图如图所示．(2)根据三视图间的关系可得BC＝2eq\r(3)，∴侧视图中VA＝eq\r(42－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)×\f(\r(3),2)×2\r(3)))2)＝2eq\r(3)，∴S△VBC＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×2eq\r(3)＝6.[能力提升]1.(2017年全国卷Ⅰ)如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为________．解析：设△ABC的边长为x，则0<x<5eq\r(3)，连接OD交BC于点P(图略)，则OP＝eq\f(\r(3),6)x，PD＝5－eq\f(\r(3),6)x，∴三棱锥的高h＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(\r(3),6)x))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)x))2)＝eq\r(25－\f(5\r(3),3)x)，∴三棱锥的体积V＝eq\f(1,3)·eq\f(\r(3),4)x·x·eq\r(25－\f(5\r(3),3)x)＝eq\f(\r(5),12)eq\r(15x4－\r(3)x5).令f(x)＝15x4－eq\r(3)x5，则f′(x)＝60x3－5eq\r(3)x4＝5x3(12－eq\r(3)x)．令f′(x)＝0得x＝0或x＝4eq\r(3).当0<x<4eq\r(3)时，f′(x)>0；当x>4eq\r(3)时，f′(x)<0，所以当x＝4eq\r(3)时，f(x)取最大值．当x＝4eq\r(3)时，最大体积V＝eq\f(\r(5),12)eq\r(15×4\r(3)4－\r(3)×4\r(3)5)＝4eq\r(15)(cm3)．答案：4eq\r(15)2．(2017年江苏卷)如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10eq\r(7)cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm.现有一根玻璃棒l，其长度为40cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)(1)将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；(2)将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度．解：(1)设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，在平面ACM中，过N作NP∥MC交AC于点P.∵A1B1C1D1－ABCD∴CC1⊥平面ABCD.又∵AC⊂平面ABCD，∴CC1⊥AC，∴NP⊥AC，即NP＝12cm，且AM2＝AC2＋MC2，解得MC＝30cm.∵NP∥MC，∴△ANP∽△AMC，∵eq\f(AN,AM)＝eq\f(NP,MC)，即eq\f(AN,40)＝eq\f(12,30)，则AN＝16cm.即l没入水中部分的长度为16cm.(2)设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，在平面E1EGG1中，过点N作NP⊥EG交EG于点P，过点E作EQ⊥E1G1交E1G1于点∵EFGH－E1F1G1∴EE1＝GG1，EG∥E1G1，EG≠E1G∴EE1G1G为等腰梯形，画出平面E1∵E1G1＝62cm，EG＝14cm∴E1Q＝24cm，又在Rt△EE1Q中EQ＝32cm，根据勾股定理得E1E＝40cm.∴sin∠EE1Q＝eq\f(4,5)，sin∠EGM＝sin∠EE1G1＝eq\f(4,5)，cos∠EGM＝－eq\f(3,5)