第18节等腰三角形（完整版）

第18节等腰三角形数学毕节地区

等腰三角形的性质与判定【例1】(1)如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠C的度数为()A．35°B．40°C．45°D．50°A(2)(2017·毕节模拟)已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为()A．16B．20或16C．20D．12点拨：(1)利用等腰三角形的性质和外角的性质可求；(2)注意分类讨论．C【例2】如图，锐角△ABC的两条高BD，CE相交于点O，且OB＝OC.(1)求证：△ABC是等腰三角形；(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．点拨：(1)由AAS可证△BEO≌△CDO，得∠EBO＝∠DCO，再证∠ABC＝∠ACB即可；(2)连接AO，由SSS证△BAO≌△CAO即可．解：(1)∵BO＝OC，∠BEO＝∠CDO＝90°，∠BOE＝∠COD，∴△BEO≌△CDO，∴∠EBO＝∠DCO.又∵∠OBC＝∠OCB，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形(2)点O在∠BAC的平分线上．理由：连接AO，∵AB＝AC，BO＝OC，AO＝AO，∴△ABO≌△ACO，∴∠BAO＝∠CAO，∴点O在∠BAC的平分线上

等边三角形的性质与判定【例3】如图，若△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE＝CD，则BE＝()A．7B．8C．9D．10C【例4】如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在BC，AC边上，且AE＝CD，AD与BE相交于点F.(1)求证：△ABE≌△CAD；(2)求∠BFD的度数．点拨：(1)利用等边三角形的性质用SAS可证；(2)由△ABE≌△CAD可得∠ABE＝∠CAD，再由外角的性质和等量代换可求．解：(1)∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠BAE＝∠C＝60°，又AE＝CD，∴△ABE≌△CAD(SAS)(2)∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE＝∠CAD，∵∠BFD＝∠ABE＋∠BAD，∴∠BFD＝∠CAD＋∠BAD＝60°等边三角形是特殊的等腰三角形，它除具备等腰三角形的所有性质外，还具备其三边中线、三条高、三条内角平分线的交点重合的性质，且此点到三个顶点的距离相等，到三边的距离相等，到顶点的距离是到对边中点的距离的2倍．等腰三角形的情况考虑不全面．【例5】等腰三角形一腰上的高与腰的夹角为50°，则顶角的度数为_______________________．点拨：三角形可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形，所以有两种情况，分别求出即可．140°或40°1．(2017·烟台)某城市几条道路的位置关系如图所示，已知AB∥CD，AE与AB的夹角为48°，若CF与EF的长度相等，则∠C的度数为()A．48°B．40°C．30°D．24°DB

C4．(2017·滨州)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为()A．40°B．36°C．30°D．25°BD

6．(2017·聊城)如图，是由8个全等的矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个小矩形的顶点，连接PA，PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是()A．2个B．3个C．4个D．5个BD8．(2017·江西)如图1所示是一把园林剪刀，把它抽象为图2，其中OA＝OB.若剪刀张开的角为30°，则∠A＝________度．759．(2017·丽水)等腰三角形的一个内角为80°，则顶角的度数是________________________．10．(2017·毕节模拟)如图，等腰△ABC的底角为72°，腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点E，垂足为D，连接BE，则∠EBC的度数为____________．80°或20°36°11．(2016·铜仁)如图，∠AOB＝30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC＝4，则PD等于______．212．(2017·淄博)在边长为4的等边三角形ABC中，D为BC边上的任意一点，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则DE＋DF＝__________.13．(2017·内江)如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形．

解：∵DE∥AC，∴∠1＝∠3，∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∵AD⊥BD，∴∠2＋∠B＝90°，∠3＋∠BDE＝90°，∴∠B＝∠BDE，∴BE＝DE，∴△BDE是等腰三角形14．(2017·连云港)如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE，连接BE，CD，交于点F.(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；(2)求证：过点A，F的直线垂直平分线段BC.15．如图，点P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，AP＝CQ，PQ交AC于点D.(1)求证：DP＝DQ；(2)过P作PE⊥AC于E，若BC＝4，求DE的长．解：(1)过点P作PM∥BC交AC于点M，则∠DPM＝∠Q，∵△ABC为等边三角形，∴△APM是等边三角形，∴AP＝PM，又∵AP＝CQ，∴PM＝CQ，可证△DPM≌△DQC(AAS)，∴DP＝DQD17．如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝44°，则∠P的度数为()A．44°B．66°C．88°D．92°D18．(导学号78324034)如图，AB＝A1B，A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4，……，若∠A＝70°，则∠Bn－1AnAn－1的度数为___________．19．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为__________度．10820．(导学号78324035)如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点．(1)求证：△ACE≌△BCD；(2)求证：2CD2＝AD2＋DB2.(2)∵△ACB是等腰直角三角形，∴∠B