高一年级上学期2.2基本不等式（分类超全）

题型一：基本不等式的直接应用【例1】三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中，对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为几何解释的是（）A．如果，那么B．如果，那么C．如果，那么D．对任意实数a和b，有，当且仅当时，等号成立【答案】D【解析】直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，则，在正方形的面积为，四个直角三角形的面积和为，因此有，即，当且仅当时，中间没有小正方形，等号成立．故选：D．【例2】下列不等式中等号可以取到的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】对于A，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故A不符合；对于B，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故B不符合；对于C，因为，所以，当且仅当，即时取等号，故C符合；对于D，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故D不符合.故选：C.【】给出下列命题中，真命题的个数为（

）①已知，则成立；②已知且，则成立；③已知，则的最小值为2；④已知，，则成立．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】利用基本不等式以及基本不等式的使用要求逐一判断即可.【详解】当时，①中的不等式是错误的，①错；因为与同号，所以是正确的，且，即时等号成立，所以②中的基本不等式计算是正确的，②对；（当时，无解，等号不成立），故③错；因为，所以且，且，即时等号成立，所以④中的基本不等式运算是正确的，④对．故选:B．【】下列命题中正确的是（

）A．当时，的最小值为2 B．当时，C．当时，的最小值为2 D．当时，【答案】B【分析】结合基本不等式“一正，二定，三相等”求解即可.【详解】选项A，，，等号成立的条件是，等号取不到，所以，故A错误；选项B，当时，，，当且仅当时等号成立，故B正确；选项C，，，等号成立的条件是，等号取不到，即，故C错误；时，，等号成立的条件是，即时等号成立，故，故D错误.故选：B题型二：基本不等式中“1”的代换【例3】已知，，，则的最小值为（

）A． B．12 C． D．6【答案】A【分析】根据基本不等中“1”的用法，即可求出结果.【详解】因为，，，所以，当且仅当，即时，等号成立.故选：A.【】已知，，且，则的最小值为（

）A．9 B．10 C．11 D．【答案】B【解析】利用“乘1法”将问题转化为求的最小值，然后展开利用基本不等式求解．【详解】，，又，且，，，当且仅当，解得，时等号成立，故的最小值为10．故选：B．【点睛】本题考查利用基本不等式求最和的最值，考查“1”的巧妙运用，难度一般，灵活转化是关键.【】已知x>0，y>0，且＋＝1，若恒成立，则实数m的取值范围是（

）A．m≤－2或m≥2 B．m≤－4或m≥2C．－2＜m＜4 D．－2＜m＜2【答案】D【分析】由基本不等式得出的最小值，进而得出实数m的取值范围.【详解】∵x>0，y>0且，当且仅当，即x＝4，y＝2时取等号，∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2恒成立，只需(x＋2y)min>m2恒成立，即8>m2，解得.故选：D【】已知，，且，则的最小值是（

）A． B．2 C．9 D．4【答案】A【分析】利用基本不等式可求解.【详解】由题意可得．因为，，所以，则，当且仅当，时，等号成立．故选：A【】若，，且，的最小值为（

）A．12 B．14 C．16 D．18【答案】D【分析】由，可得，后由基本不等式可得答案.【详解】，，于是，当且仅当，即时取等号.故选：D【】已知p，q为正实数且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题得，再利用基本不等式求解.【详解】解：由可知，，当，即时，“”成立，故选：A.【】已知对任意，且，恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用已知等式可得，根据，利用基本不等式可求得，由此可得结果.【详解】由得：，，，，（当且仅当时取等号），当恒成立时，.故选：D.【例4】已知、均为正实数，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】转化，结合均值不等式，即可得解.【详解】均为正实数，且，则当且仅当时取等号.的最小值为20.故选：C.【】已知正数x，y满足，则的最小值（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用换元法和基本不等式即可求解.【例5】已知，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】“1”的妙用，基本不等式求解的最小值.【详解】由，得：，且，当且仅当，即时等号成立.【】已知，，且，求的最小值为（

）A．25 B．18 C．13 D．12【答案】A【分析】等式变形为，则根据基本不等式即可得到答案．【详解】解：已知，，且．，即．则，当且仅当，即的最小值为25．故选：A．题型三：基本不等式与方程的思想【例6】若实数满足：，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根据基本不等式可求的最小值.【详解】因为，所以，由基本不等式可得，故，解得或（舍），即当且仅当时等号成立，故的最小值为1，故选：A.【】若，且，则的最小值为（

）A．100 B．81 C．64 D．49【答案】A【分析】根据基本不等式进行求解即可.【详解】因为，即，所以，即，当且仅当时，等号成立.故选：A【】设，，，则ab的最小值是（

）A．4 B．9 C．16 D．25【答案】D【分析】利用均值不等式，把方程转化为不等式，解之即可.【详解】∵，，∴，令，则，即，解得，∴，当且仅当时，等号成立.故选：D【例7】已知，则的最大值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据题意可得，从而可求得答案.【详解】解：因为，所以，即，则，所以，又，所以，所以最大为3.故选：C.【】若实数满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由，令，利用不等式的性质即可求得的范围．【详解】解：，又，，令，则，，即，当且仅当时，取等号，的取值范围是，．故选：A．【】已知，，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题可得，再利用基本不等式即得.【详解】∵，，，∴，∴，当且仅当，即，时“”成立．故选：A．【】若正实数，满足，且存在实数，使不等式成立，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由结合基本不等式得到，解不等式即得解.【详解】由得，因为，所以，所以，所以或（舍），所以.因为存在实数，使不等式成立，所以，所以，所以或.题型四：基本不等式与函数的思想【例8】已知正实数、满足，则的最小值是.【答案】/【分析】由已知可得出且，化简代数式，利用基本不等式可求得结果.【详解】因为正实数、满足，则，由可得，所以，.当且仅当时，等号成立.因此，的最小值是.故答案为：.【】已知，则的最小值是．【答案】【分析】依题意可得，代入利用基本不等式计算可得.【详解】∵，∴且，∴，当且仅当，即，时取等号，∴的最小值为.故答案为：.【】已知，且，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【详解】由题意，可知，且，则，则，当且仅当，即等号成立，即最小值是，故选A.【】已知，，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知得，所以，记，可得，然后利用基本不等式可得答案.【详解】因为，所以，因为，，所以，得，所以，记，所以，所以，且，所以，当且仅当即等号成立，此时，

.故选：A.【例9】若，则的最小值为（

）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【分析】化简原式得，然后利用基本不等式求解【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，故，的最小值为6．故选：C．【】当时，函数的最小值为（

）A． B．C． D．4【答案】B【分析】使用变量分离，将化为，使用基本不等式解决.【详解】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立．故选：B．【】若，且，则的最小值为（

）A．8 B．3 C．2 D．【答案】C【分析】根据，得，将变形为，再与相乘，利用基本不等式即可求解.【详解】，又，，则，又，所以所以，当且仅当，且，即时不等式取最小值2.故选：C题型五：多次使用基本不等式【例9】已知，那么的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用基本不等式可求得，所求式子，再次利用基本不等式可求得结果.【详解】，，，（当且仅当且，即，时取等号），的最小值为.【】已知，则的最小值为.【答案】【分析】根据题意，结合基本不等式得到，再结合，即可求解.【详解】由，可得，可得，当且仅当，即时，等号成立，又由，当且仅当，即时，等号成立，综上所述，当时，取得最小值.故答案为：.【】已知，，，则的最小值为（

）A．8 B．16 C．24 D．32【答案】D【分析】由题意利用“1”的妙用，可先求出的最小值，再由求出答案.【详解】由（当且仅当时取等号），又由（当且仅当a＝4，b＝2时取等号），有，可得的最小值为32．故选：D．题型六：整体换元化简型【例10】已知a，b都是正数，则的最小值是．【答案】2【分析】设，，解出，，代入化简得，利用基本不等式即可求出最值.【详解】因为均为正实数，故设，，则联立解得，，，当且仅当，即，即，即时取等号，故答案为：2.【】已知，，则最小值为．【答案】16【分析】令，，则可化为，从而用两次基本不等式即可.【详解】由，可知，，令，，所以，，当且仅当“”时，两个等号同时成立．则x=y=3时最小值为16.故答案为：16．【】已知正数，满足，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用基本不等式“1”的妙用及换元法即可求得结果.【详解】，令，，则，，，当且仅当且，即，时，等号成立，所以，故有最小值.故选：D.题型七：万能“k”法一般情况下的“万能K法”设K法的三个步骤：⑴、问谁设谁：求谁，谁就是K；⑵、代入整理：整理成某个变量的一元二次方程（或不等式）；⑶、确认最值：方程有解（或不等式用均值放缩），≥0确定最值。求谁设谁，构造方程用均值【例11】已知，若，则的最小值是（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】A【分析】设，将变形整理，用含k的式子表示，这样会出现互为倒数的形式，再利用基本不等式即可求解.【详解】解：设，则，∴∴整理得：，由得，当且仅当时取“=”.∴，解得或（舍去）,即当时，取得最小值8，故选：A.【】已知实数x，y满足，，且，则的最小值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】由，利用基本不等式求出的取值范围，即可求解.【详解】，，令，，，当且仅当时取等号，可得，，，，，的最小值为.故选：A【】已知，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首