2020-2021学年连云港市高一年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年连云港市高一上学期期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1.下列说法正确的是（）

A.命题“若/=i,则久=1”的否命题为“若/=1,贝卜丰1"

B.命题“若a=B,贝股m2=tanB”的逆否命题为假命题

a2

C.命题3x0eR,x^+x0-l<0"的否定是FeR,x+x-l>0"

D.若“p或q”为真命题，则p,q中至少有一个为真命题

2.已知集合a=[-1,1],B={%|(x+3)(2%-1)<0},则4ns=()

A.[-3,j]B.[-l,j]C7)D.(-39

3.若/（cos无）=cos4x,则/'（sinl5。）的值等于（）

-更1

ABC.D.

-1-T2

4.如图，设全集U=R,M={x\x<l,xER},N={x\x<0或%>2},

则图中阴影部分表示的集合为（）

A.{%|1<%<2}B.[x|l<x<2}C.{%|1<%<2}D.

{%|1<%<2]

5.已知集合4={x||x|<3},B={x\y=lg(x-1)},则集合4C3为()

A.[0,3)B.[1,3)C.(1,3)D.(-3,1]

—（卜一十皿「/、,4bx+sinx+bxcosx

6.已知函数/■（%）=a+——痴右----（a,b€R）,若/（%）在R上既有最大值又有最小值，且最大值

与最小值的和为4,则3b-2a=（)

A.6B.—4C.5D.3

7.函数7"（＞）=/_:的图象可能为（)

8.已知01co+1=6R,neN*）,则下列说法正确的是（）

①9n（x）关于点（0,T）成中心对称•

②0x（%）在（0,+8）单调递增.

③当71取遍N*中所有数时不可能存在c£[|,1]使得g£c）=0.

A.①②③B.②③C.①③D.②

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9,下列命题中，正确的有（）

A,若a>b>0,则ac?>be2

B.若a<b<0,贝！Ja?>ab>b2

C.若a〉b>0且c>0,则比>2

a+ca

D.若a<b<0且c<0,则fV

设=友比自力=则下列结论正确的有（）

10.ao

11111

二

A.a+b<0B.—a—b=1C.ctbV0D.a-27+b727>2

11.如图，摩天轮的半径为40根，其中心。点距离地面的高度为50租，摩天

轮按逆时针方向做匀速转动，且20min转一圈，若摩天轮上点P的起始

位置在最高点处，则摩天轮转动过程中（）5040

A.经过lOmin点P距离地面10根

B.若摩天轮转速减半，则其周期变为原来的1倍

C.第17min和第43min时P点距离地面的高度相同

D.摩天轮转动一圈，P点距离地面的高度不低于707n的时间为gmin

12.下列函数中是偶函数，且在（0,+8）上为增函数的有（）

32

A.y=cosxB.y=xC.y=%+4D.y=log2|%|

三、单空题（本大题共3小题，共15.0分）

13.已知/(%)是(一8,0)U(0,+8)上偶函数，当X6(0,+8)时，/(%)是单调增函数，且/(I)=0,则

fO+i)<0的解集为.

14.下列命题：

①函数y=-sin(fc7r+x)(keZ)是奇函数；

②函数/(%)=sin|x|是最小正周期为兀的周期函数；

③设。为第二象限角，则tcmO>cos且sin1>cosg

④函数y=cos2x+sinx的最小值为—1

其中真命题的序号是((写出所有正确命题的编号))

15.(1)函数y=sinx+V^cosx在区间上的最小值为

(2)四边形ABCD中，AB=AD=2,^BAD=90°,^.ADC=60°,4ABC=120°,E为8。的中

点，则瓦心正=.

(3)集合a={%|2x2-4<22x~2a,xEZ)={1},则a的取值范围是.

(4)已知f(x)=sin(2x+。)，其中旌(0,兀)，若方程f(x)=。在(0,兀］上的所有解之和为导则

实数a的取值范围为.

四、多空题(本大题共1小题，共5.0分)

16.每年的三月十二号是植树节，某学校组织高中65个学生及其父母以家庭为单位参加“种一棵小

树，绿一方净土”的义务植树活动.活动将65个家庭分成4B两组，4组负责种植150棵银杏

树苗，B组负责种植160棵紫薇树苗.根据往年的统计，每个家庭种植一棵银杏树苗用时|%,种

植一棵紫薇树苗用时|八.假定4B两组同时开始种植，若使植树活动持续时间最短，则4组的家

庭数为_(1)_，此时活动持续的时间为_(2)_儿

五、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

4yin(27T+a)tan(7r-a)cos(-7T-a)

17.(1)已知5<a<n,

且sin(兀-a)=『求一sin(^_a)cos(|+a)-的值.

l+sin20-cos26

(2)已知点尸(COS。,S讥。)在直线y=-2%上，求:的值.

l+sin20+cos2O

18.已知不等式久(a%—1)>—1),其中aWR.

⑴当a=之时，解不等式；

(2)若不等式在xeR上恒成立，求实数a的取值范围.

19.如图，在一个圆心角为90。，半径为10米的扇形草地上，需铺设一个直角三

角形PQR的花地，其中NRQP为直角，要求P,R,Q三点分别落在线段BC,

AC和弧卷上，且PQ=/LRQ(4>0),△PQR的面积为S.

(1)当；1=2且QR14C时，求S的值；

(2)无论如何铺设，要求S始终不小于20平方米，求而勺取值范围.

20.如图，某污水处理厂要在一正方形污水处理池4BCD内修建一个三角形隔离区以投放净化物质,

其形状为三角形4PQ,其中P位于边CB上,Q位于边CD上.已知4B=20米,NP&Q=2设NP4B=

9,记〃。卜止隼臂空担，当越大，则污水净化效果越好.

(1)求/(。)关于的函数解析式，并求定义域;

(2)求/(。)最大值，并指出等号成立条件?

DQ

P

AB

21.已知函数/Q)=sin(3x+m)(3>0).

6

(1)求函数/'(x)的解析式;

(2)求函数/(久)的单调递增区间;

(3)当xe[O,争时，求函数/(x)的最小值，并求出使y=/(x)取得最小值时相应的x的值.

22.设函数f(%)=|x-a|+|x+||(cz0,aGR).

(1)当a=l时，解不等式“x)W5；

(2)记f(x)的最小值为g(a),求g(a)的最小值.

参考答案及解析

1.答案：D

解析：解：对于4命题''若为2=1,则x=l”的否命题为“若产大1,贝次71"，故A错误;

对于B：命题“若a=8,贝亚m2=tanB”是真命题，故其逆否命题为真命题，故2错误；

对于C：命题“m%o€R,琮+q-1<0”的否定是F€R,x2+x-l>0,故C错误；

A,B,C都不正确，

故选：D,

分别对4B,C,。进行判断，从而得出答案.

本题考查了复合命题以及命题之间的关系，是一道基础题.

2.答案：B

解析：解：由B中不等式解得：—33%转，即8=[—3,)

1•,A=[-1,1],

1

AClB=[―1,-],

故选：B.

求出B中不等式的解集确定出B,找出4与B的交集即可.

此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

3.答案：A

解析：M：•••f(cosx)=cos4x,

/(s讥15°)=f(cos75。)=cos300°=cos(360°-60°)=cos60°=

故选：A.

将sinl。变形为cos75。，根据/(cos%)=cos4%变形，利用诱导公式化简即可得到结果.

此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键.

4.答案：D

解析：解：由Perm图得阴影部分对应的集合为Q(MUN),

M={x\x<l,xER},N={x\x<0或%>2],

；.MUN={x\x<1或%>2],

贝UCU(MUN)={%|1<%V2},

故选：D.

根据Perm图进行转化求解即可.

本题主要考查集合的基本运算，利用Me/m图表示集合关系是解决本题的关键.

5.答案：C

解析：解：，.・因<3

・•・一3<%V3

故4=(-3,3)

•••y=lg(x-1)

x—1>0,解得x>1

故3=(l,+oo)

AdB=(1,3)

故选：C.

根据绝对值和对数函数求出集合a和B,然后由交集的定义求出结果.

本题考查交集的定义的运算，是基础题.解题时要认真审题，注意含绝对值不等式和对数函数的性

质的灵活运用.

6.答案：B

解析：解：则;•(%)—a=竺笔必四竺为奇函数，

4+cosx

则/(%)小"一a+f^min-a=0,

即/(%)7na%+=2Q,

,•,最大值与最小值的和为4,

2a=4,贝！Ja=2,

4bx+sinx+bxcosx,bx(4+cosx>)+sinx,,,sinx

•••/(%)=a+---------=aH----------=a+bx------

4+cosx4+cosx4+cosx

・••若/•(X)在R上既有最大值又有最小值,

・•・b=0,否则函数的值域为R,

则3b—2a=—4.

故选：B

根据函数解析式的特征可以判断b=0,再把函数变形后利用函数的

本题主要考查函数最值的应用，利用条件构造奇函数是解决本题的关键.

7.答案：A

解析：解：函数的定义域为{制％。0},

/(—%)=—X32-==-/(%),

••・函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除BC,

当久>0时，函数/(%)为增函数，故排除D,

故选：A.

判断函数的奇偶性和单调性即可求出.

本题考查了函数图象的识别和应用，属于基础题.

8.答案：D

24

解析：解：①,・•g九(一式)+0/%)+2=-+±+…W0,・•・0i(%)关于点(0,-1)不成中心对称.

--24

—2n—1

②,*,xE(0,+oo),/.g晨x)=1+：+可+…T———>0,*,•0T(%)在(0,+8)单调递增.

③当九=1,史。)+1=%,假设存在ce[|,1]使得gi(c)+1=c,%©=。-1=0,解得c=1.

当九=2,g2(%)+1=%+j假设存在c£[|,1]使得如⑹=%+^—1=0,解得c=—2±2A/2W1.

434

因此当n取遍N*中所有数时不可能存在ce[|,1]使得0t(c)=0.

综上可知：只有②正确.

故选：D.

①由■工，可得(%)关于点不成中心对称.

一9^T-l(、—%)+gn(%)+2=2+?4+,,,0(0,-1)

_271—1

②由于x6(0,+8),可得%(切=1+升菅+...+不>0,即可得出外(X)在(0,+8)单调性.

③当n=1,%3)+1=%，假设存在ce[|,1]使得gi(c)=c-1=0,解得c=1.当n=2,g2[x}+

2n2

1=%+I，假设存在cE匕，1]使得P2(C)=%+^1---1=0，解得c=—2+2V2。1,即可判断出.

434

本题考查了函数的对称性、单调性、函数的零点，考查了导数的应用，考查了推理能力和计算能力，

属于难题.

9.答案：BC

解析：

本题考查了不等式的基本性质.

根据选项的条件，取特殊值，即可判断an；根据不等式的基本性质，即可判断B；利用作差法，结

合不等式的基本性质，即可判断c.

解：A当c=0时，tic?>be?不成立，故A错误；

3.由aVbVO,可知M>出)，ab>b2,a2>ab>b2,故B正确；

「，T△Ltc匕+cbab+ac-ab-bc(a-b)c、八,,一»

。；£1>6>0且。>0,二^——=—————=v^>°，故C正确；

a+caa(a+c)a(a+c)

D由aVb<0且c<0,取。=-2,b=-1,c=-1,则?<不成立，故。错误.

az

故选：BC.

10.答案：BCD

解析：

本题考查了不等式的性质和基本不等式的应用，属于中档题.

根据对数的运算性质和不等式的性质判断4BC,根据基本不等式判断D.

解：设a=10g6,匕=则a+b=log26+log34=logz6-log36>0,故A错误；

11

---=log62+log63=log66=1,故B正确；

1

a=log26>0,h=log3-<0,

•e*ab<0,故正确；

2222

,a=。嗝2)2+(-log63)=(log62)+(log63)=(log62+log63)-2log62log63>1-2x

(咏斐史)2=1-1=|,故O正确.

故选：BCD.

11.答案：ACD

解析：

本题考查三角函数的模型应用，考查三角函数的解析式的求解于应用，考查了三角不等式的求解，

属于中档题.

根据题意求出4、h、T和3,得到在t时刻时点P离地面的高度h=40cos^t+50,t20,进而可确定

各选项正误.

解：由图形知，可以以点。为原点，OP所在直线为y轴，与。P垂直的向右的方向为x轴建立坐标系.

设摩天轮按逆时针方向旋转tznizi时，点P离地面的高度为厉n.

由题意/=40,T=20可得3=~

故点P离地面的高度h=40sin(^t+今+50,

即在t时刻时点P离地面的高度h=40sin(^t+5+50,

化简得h—40cos—t+50,t>0.

当t=10min时，h=10(m),故A正确；

若摩天轮转速减半，7=40,则其周期变为原来的2倍，故5错误；

第17min,P点距离地面的高度为h(17)=40cos^+50=40cosg+50；

第43min,P点距离地面的高度为h(43)=40cos答+50=40cos|^+50,

第17min和第43min时P点距离地面的高度相同，故C正确；

摩天轮转动一圈，P点距离地面的高度不低于70血，

即40cos豪+50270,BPcos^>|,

0<t<20,得0W2兀，

八,nt.7i_户57rTit。

解得或曰<tW20,共gmin,故D正确.

故选ACD

12.答案：CD

解析：

本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，注意常见函数的奇偶性和单调性，属于基础题.

根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，综合可得答案.

解：根据题意，依次分析选项：

对于4,y=cosx,是偶函数，但在在(0,+8)上不具有单调性，A错误；

对于B,y=x3,是奇函数不是偶函数，B错误;

对于C,y=x2+4,是二次函数，是偶函数，且在(0,+8)上为增函数，C正确；

对于D,y=log2|M=£%2：：；J是偶函数，且在(0,+8)上为增函数，。正确；

故选：CD.

13.答案:(—2,—1)U(—1,0)

解析：解：由于f(l)=0,所以不等式/Q+l)<0可化为/Q+1)</(1),

又/'(%)是(一8,0)U(0,+8)上的偶函数，

所以f(%+1)<f(1)=f[\x+1|)<f⑴,

而当xe(0,+8)时，/(%)是单调增函数，

所以0<|x+l|<L解得一2<x<0,且久力一1.

即/'(X+1)<。的解集为(—2,—1)U(-1,0).

故答案为：(-2,-l)U(-l,0).

由已知,不等式/(尤+1)<0等价于〃|x+l|)</(l),再利用函数在(0,+8)上的单调性,可去

掉函数符号“/”，从而不等式可解.

本题主要考查抽象函数的单调性、奇偶性，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，而奇函数

在关于原点对称的区间上单调性相同.

14.答案：①④

解析：解析：依次分析命题：①根据奇函数的定义进行判断；②结合函数y=sin|x|的图象可判断；

③首先推知：所在的象限，然后再来比较它们的大小；④根据s讥％e[-1,1]>y=—(s讥x-|)2+：,

利用二次函数的性质求得它的最小值.本题考查命题的真假判断和应用，解题时要注意函数的连续

性和极限的灵活运用.

是奇数访中一

解：①函数y=—sin(k7r+x)(keZ)=为奇函数，成u；

-s讥是偶数

②函数y=sin|x|得图象如图所示，由图象可知函数不是周期函数,

③是第二象限的角，即2人兀+弓<9<2々兀+兀，k&z,可得卜兀+巴<g<k?r+E,

2422

・•・g可能在第一或第三象限，

・•.无法比较tcm。与cos3sing与cos?的大小，故③不一定成立；

④函数y=cos2%+sinx=-sin2%+sinx+1=—(sinx—|)2+1,再根据sin%G[—1,1]，

可得当s讥x=3寸，函数取得最大值为3当sinx=-1时，函数取得最小值为-1,

Z4

故④成立.

综上所述，正确的结论是：①④.

故答案是：①④.

15.答案:(1)1；

(2)-1;

⑶[23;

(4)(-1,)

解析:

(1)

本题考查三角函数的性质,

先化简函数y=sinx+V^cosx=2s讥(x+§,因为％€[。图，所以％+2sin(%+§€

住,1]即可求得结果.

解：函数y=sinx+V3cosx=2sin(x+g),

因为久所以%+2sin(x+q)e[1,2],

所以函数的最小值为1,

故答案为|.

(2)

本题考查平面向量的数量积运算，

依题意得EZ=EB=EC=ED=|BO=V2,^AEC=120°,所以成■EC=\EA\\EC\COSAAEC,计

算即可.

解:依题意，△ABC为等腰直角三角形，ZCBD=120°-45°=75°,

乙CDB=60°-45°=15°,EA=EB=EC=ED=^BD=V2,

所以NBCD=90°,NECB=NEBC=75°,

乙BEC=30。，^.AEC=120°,

所以或-FC=|£1|\EC\COS^AEC=V2xV2x(-0=-1,

故答案为-L

(3)

本题考查指数函数的单调性及二次函数的图像与性质，

由A={%|2--4<22x~2a,x€Z}={1},得/一2%-4+2a<0仅由一个整数解1,

jf(0)=—4+2a之0

令/(%)=/-2%-4+2a,贝4/(1)=-5+2aV0,解不等式组即可.

(7(2)=-4+2a>0

解：由4={%|2--4v2242a,%CZ}={1},得久2一2%-4+2。<0仅由一个整数解1,

r/(0)=-4+2a>0

令/(%)=——2汽一4+2a,则{/(I)=-5+2a<0,

壮(2)=-4+2a>0

5

解

许2

<a<-

-2

故答案为[21).

⑷

本题考查三角函数的图像与性质及函数零点问题，

依题意，方程/■(>)=。在(0,兀I上的所有解之和为詈，2x?+2?=3兀，所以e=?从而可得-1<

解：令2%+g=X,,xE(0,n],Xe((p,(p+n],

又06(0,兀)，所以在一个周期内安=当，

2%i+9+2%2+9=3兀，即2(与+犯)+2g=3TT,

又方程/(x)=a在(0,扪上的所有解之和为拳

所以2X等+2?=3兀，

所以9=也从而可得—

故答案为(-1中

16.答案：25

12

T

解析：解：若使植树活动持续时间最短，则两种树苗种植的时间和人数应该对应成比例，

150棵银杏树，一个家庭种植完需要的时间为150x|h=60h,

160棵紫薇树苗，一个家庭种植完需要的时间为160x|h=96h,

对应的时间比为60：96=5：8,

则65个家庭分成这个比例进行分配，则4组的家庭数为言X65=^X65=25,

5+o13

活动持续的时间为鬃=净，

故答案为：25,y

根据条件求出两种树苗种植的总时间，得到若使植树活动持续时间最短，则两种树苗种植的时间和

人数应该对应成比例，建立比例关系进行求解即可.

本题主要考查函数的应用问题，根据条件建立比例关系是解决本题的关键.考查学生的阅读和分析

能力.

17.答案：解：(1)<a<7r,sin(7r-a)=sina=(1分)

•••cosa=—V1—sin2a=—7,故tcma=...(3分)

5cosa3'"

sin(27r+a)tan(7r-a)cos(-7r-a)_sina-(-tana)•(-cosa)4

由诱导公式可得:=tana=-

sin(芋一a)cos《+a)-cosa\-sina')3；...(6^)

(2)由题意得sina=-2cosa,

,sina日

tCLTLOC-------=12..••(7分)

cosa

l+sin26-cos20_sin20+cos26+2sin0cos6-(cos26-sin20)

l+sin20+cos20sin20+cos20+2sinOcosO+(cos23-sin20'))

2sin26+2sin0cos6

2cos20+2sin0cosd

tan20+tan0

・•.(11分)

1+tanO

=tanO

——2....（12分）

解析：（1）由已知及诱导公式，同角三角函数关系式可求cosa,tcma的值，利用诱导公式化简所求后

即可得解；

(2)根据任意角的三角函数的定义可求ttma,利用三角函数恒等变化化简所求后即可得解.

本题主要考查了诱导公式，同角三角函数关系式，三角函数恒等变化的应用，考查了计算能力，属

于基础题.

18.答案：解：(1)当。=胡寸，不等式即为—1)—1),

即为％2-3%+1>0,

解得X>*或久<上些，

22

即不等式的解集为(-8,萼)U(竽,+00).

(2)不等式%(◎%—1)>a(x—1)可化为:ax2—(a+l)x+a>0,

显然当a=0时,不合题意，

因此应有IN：—(a+l)F_4a2<0，

解得a>1,

故实数a的取值范围是(1,+8).

解析：本题考查了一元二次不等式的解法和不等式恒成立的问题，属于中档题.

(1)当a=［时，根据一元二次不等式的解法，解得即可；

(2)原不等式可化为a/-(a+1)%+a>0,需要分类讨论，显然当a=0时，不合题意，则a>0,

21<0,解得即可.

19.答案：解：(1)以C为原点，CB,C4所在直线分别为％,y轴建立平面直

角坐标系,

因为PQ=2RQ,且QRL4C,所以Q在直线y=2%上.'

又因为Q在圆/+必=loo上，所以QQ其4迷)，

此时S=aPQ.QR=2x275x475=20,C'

所以当2=2且QR14C时，S的值为20平方米.

(2)过Q作垂足为M,作QNL8C,垂足为N,

所以ARMQsAPNQ,且相似比为1：A,

所以%：%=1：2,又因为Q在圆光2+y2=100上，代入计算可得坊=提，%=鬻，

设QR=x,则QP=Qr,所以S=^QR•QP=|；1%2,

当R与M重合时，/=Q2=提，此时/取得最小值，所以讥=J.格=,，

M1+/I。21+A1+A

要使S始终不小于20平方米，则普220,解得:W2W2,

1+A22

所以4的取值范围是E，2],

答：要使S始终不小于20平方米，4的取值范围为s2],

解析：(1)以C为原点，CB,C4所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系，由Q在直线y=2x上.又

Q在圆/+必=io。上，解得Q的坐标，由三角形的面积公式可得所求值；

(2)过Q作QML2C,垂足为M,作QN18C,垂足为N,由三角形的相似性质可得久Q：yQ=1：A,

考虑Q在圆/+必=io。上，解得Q的坐标，当R与M重合时，可得S取得最小值，要使S始终不小于

20平方米，可令S的最小值不小于20,解不等式可得所求范围.

本题考查函数在实际问题中的运用，考查三角形的面积的求法，运用坐标法是解题的关键，考查方

程思想和运算能力，属于中档题.

20.答案:解：(1)0<0<0<|«6<p

<0<-,

124

如图4P=—,AQ=—年—,S=-AP-AQsin2=———,

如囹arcos。'"cosg-e)，AhAPp0Q2"6cose.cos《-e)'

•••f(。)=,霁=4cos0-cos(g-9),Qe[-,-]；

cos0cos(-0)124

(2)/(。)=