2023湘教版新教材高中数学必修第二册同步练习-全书综合测评

全书综合测评

（满分150分，考试用时120分钟）

一、单项选择题（本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的）

1.在复平面内，复数目对应的点位于（）

（1-1）2

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

2.水平放置的△45C用斜二测画法作出的直观图是如图所示的△/'4。’,其中

O'A'=O'B'=2,O'C'=W,则△/阿绕所在直线旋转一周后形成的几何体的表面

积为

A.8V3nB.16V3n

C.(8V3+3)JiD.(16V3+12)n

3.设〃为%所在平面内一点，品=3丽,则()

A.AD=--AB+-ACB.AD=-AB--AC

3333

>4>1>>4>1.

C.AD=-AB+-ACD.AD=-AB--AC

3333

4.下列说法正确的是()

A.若A,夕为两个事件,则“4与B互斥”是“4与6相互对立”的必要不充分条

件

B.若A,〃为两个事件,则P（A+n）=P（A）+P（助

C.若事件A,B,。两两互斥,则2⑷+〃（⑸+2（。=1

D.若事件A,8满足夕（0+〃（而=1,则A与8相互对立

5.已知向量华（8弓％）,"（x,1）,其中x>0,若（才26）//（2a+6）,则x的值为（）

A.4B.8C.0D.2

6.骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动,深受大众喜爱.如图

是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆月（前轮），圆〃（后轮）的直径均为

1,丛ABE,XBEC,△£徵均是边长为1的等边三角形.设点刀为后轮上的一点,则在

骑该自行车的过程中，丽•丽的最大值为)

A.3B.3+yC.3+V3D.3V3

7.已知圆柱的底面圆的半径和母线长均为2,44分别为圆见圆。上的点,

若异面直线。/与6M所成的角为60°,则AB=)

A

A.2V2B.4V2

C.2&或4D.4或4加

8.已知在锐角三角形ABC^,角A,B,。所对的边分别为a,b,c,若心a（a+c）,则

的取值范围是

A.（。爷B.（。与

C.D.（评）

二、多项选择题（本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中,

有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分）

9.已知复数z=l+2i,下列说法正确的是)

A.复数z的虚部是2iB.|z|=5

C.zi=-2+iD.复数z的共辗复数为1-2i

10.抛掷两枚质地均匀的骰子,有如下随机事件:走“至少一枚骰子点数为

1”，庐“两枚骰子点数一奇一偶"，C="两枚骰子点数之和为8"，分“两枚骰子

点数之和为偶数”，则下列结论正确的是（）

A.AQBB.8,〃为对立事件

C.A,。为互斥事件D.A,〃相互独立

11.在a'中，角A,4C所对的边分别为a,b,c.若炉ccosN如C角A的平分线

交比1于点〃，/氏1,cosN的作:，以下结论正确的是（）

8

A.3B./庐8

4

C.空」D.XABD的面积为叱

BD84

12.已知正方体ABCAABCD的棱长为2,点£Q分别是棱AB,A出的中点，点〃在

四边形4式》内（包含边界）运动,则下列说法正确的是（）

A.若尸是线段力的中点，则平面/笈2L平面DEF

B.若尸在线段4C上,则异面直线〃/与4G所成角的取值范围是［；,：

C.若如〃平面则点夕的轨迹长度为鱼

D.若勿〃平面BCD、,则线段/长度的取值范围是［遍,2V2］

三、填空题（本题共4小题,每小题5分，共20分）

13.sin50。（1+V3tan10°）=.

14.已知圆锥的高是底面圆的半径的8倍，侧面积为〜夕为圆锥顶点，若正方形

49切内接于底面圆0,则四棱锥？4盟?的侧面积为

15.已知中，分别是线段BC,〃的中点,4?与座交于点0,且

N加信90°,若除2,则△/比1的周长的最大值为.

16.在一次数学考试中，第22题和第23题为选做题,规定每位考生必须且只需在

其中选做一题.设四名考生选做这两题的可能性均为a则甲、乙两名考生选做同

一道题的概率为;甲、乙两名考生都选做第22题的概率为.

四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤）

17.（10分）设甲、乙两位同学上学期间，每天7:30之前到校的概率均为|.假定甲、

乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.

⑴设甲同学上学期间的三天中，7:30之前到校的天数为X求后0,弟1,后2,右3

时的概率/（右0）,尸（上4）,尸（后2）,尸（后3）;

（2）设"为事件”上学期间的三天中，甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在

7:30之前到校的天数恰好多2”，求事件〃发生的概率.

18.（12分）如图，在△如〃中，已知月为线段四上一点,而=赤+卜赤.

⑴若前41,求实数x,y的值；

⑵若前=3而，OA=4,|施=2,且就与质的夹角为60°,求赤•荏的值.

B

r

0A

19.(12分)设函数f(x)=cosx•cos(久—l+V5sin、-乎.

⑴求f(x)的最小正周期和单调递增区间；

(2)当北玲,同时,求函数4)的最大值和最小值.

20.(12分)在①2acosGc=2b,②cos史上-cosBcos上三,③(sinB+

24

sin6)~=sin2^+3sin〃sin。这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以

解答.

在中，角A,B,。所对的边分别为a,6,c,且.

(1)求角力的大小；

(2)若a=2,求a1面积的最大值.

注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.

21.（12分）如图是一个四棱柱被一个平面所截的几何体,底面/比7?是正方形,M

是切的中点，后如CR2,B六1,EMVBD.

⑴证明：平面⑸/61平面ABCD-,

⑵求直线房与平面加所成角的正弦值.

22.（12分）如图甲，在矩形ABCD^,E是5的中点,AB=2,B（=<2,以AE,硬为折痕

将△4〃£与△方2折起，使〃。重合（仍记为〃），如图乙（以夕〃所在平面为底

面）.

（1）探索折叠形成的几何体中直线班'的几何性质并证明（写出一条即可,不含

DEVDA.DEVD^）;

（2）求翻折后几何体氏/如外接球的体积.

答案全解全析

1n••1+i1+i(l+i)i-1+i1,1.

1.B.--T=—=-_-....=—+-1,

(1-i)2-2i-2ii222

.••复数在复平面内对应的点的坐标为(-[J)，在第二象限，故选B-

2.B如图，根据“斜二测画法”可得A3B12,彼2口所以AB=A(=B(=4,

将△/比绕所在直线旋转一周后形成的几何体是两个相同圆锥的组合体，每个

圆锥的底面圆的半径r=2V3,母线长7=4,所以它的表面积

贷2冗27=2弘义2次义4=16811.故选B.

3.AAD=AB+'BD=AB+'BC+CD=AB+-BC=AB+-（AC^AB）=--AB+-AC.故选A.

3333

4.A对于A,若事件A与夕互斥,则A与夕不一定相互对立，但4与方相互对立，

则月与台一定互斥，故”4与方互斥”是“4与夕相互对立”的必要不充分条件，

故A正确；

对于B,若A,夕为两个事件,则〃（力+8）=&4）+尸（戌-84门8）,故B错误；

对于C,若事件A,&C两两互斥,则〃（⑷+夕（4）+夕（。=1不一定成立,如:抛掷一枚

均匀的骰子一次，记/=”向上的点数为1”，分“向上的点数为2”，公”向上的

点数为3”，事件A,4。两两互斥，但P（A）+P⑶+P（。=；+；+；="故C错误；

6662

对于D,抛掷一枚均匀的骰子,所得的点数为偶数的概率是去抛掷一枚硬币，正面

向上的概率是条满足产（4+2（夕）=1,但是A与8不对立,故D错误.故选A.

5.A因为&=（8彳%）,炉（x,1）,

所以3-2左（8—2x,^x—2）,2a+Z?=（16+x,x+1）.

因为（a-2b）//（2a+8）,所以（8-2X）（x+1）=（16+^）gx-2）,

即-%2+40=0,解得x=±4,因为x〉0,所以A=4,故选A.

6.B以〃为坐标原点,4。所在直线为x轴,过〃作的垂线为y轴，建立如图所

示的平面直角坐标系，

则〃(0,0),A(-2,0),用―1,/)'4-'!’/)'

设/^Qcosajsina),

则/P=gcosa+2jsina),BD=(^,

所以Q•丽=取0cosa+2)-更"sina3osa--sina+3=—Xcos(a4-

2\2722442\

故当cos（a+f=l时,AP•丽取得最大值,且最大值为3+y.

7.C如图，过夕作母线BD,连接AD,0A

贝ijaa//BD,0仿BD,

...四边形。口以为平行四边形，

...OyB//0,D,

.•.NW"〃（或其补角）为异面直线。夕与44所成的角，

即N4"氏60°或N/%9=120°,

当/月口氏60°时，/分2,

此时/比2位；

当N4"ZM20。时，由余弦定理得/仄J4+4-2X2X2X0=273,

止匕时力庐4.

故4斤2鱼或AB^4.故选C.

8.C由62=a(a+c)及余弦定理，

得c'-ac=2accosB,

Vc^O,c-ap2acosB,

由正弦定理，得sinPsin力=2sin4cosB.

'：A+B+(=TI,

sin(班/)-sin尔2sinAcosB,

...sin(6⑷=sinA,

•••△4%是锐角三角形，

：.B-A=A,：.B=2A,

又0<^<-,-<A+B<Jt,

64

则由正弦定理，得h71Vl4粤2=sinae").

bcosA-acosBsin(B-A)\22/

9.CD复数z的虚部是2,|z|=V5,zi=(l+2i)i=i+2i2=-2+i,复数z的共聊复数

5=l-2i.故选CD.

10.BC根据题意，事件力包含的样本点有

(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(6,1),(5,1),(4,1),(3,1),(2,1),共

11个；

事件8包含的样本点有

(1,2),(1,4),(1,6),(2,1),(2,3),(2,5),(3,2),(3,4),(3,6),(4,1),(4,3),(4,

5),(5,2),(5,4),(5,6),(6,1),(6,3),(6,5),共18个；

事件。包含的样本点有(2,6),(6,2),(3,5),(5,3),(4,4),共5个；

事件〃包含的样本点有

(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,

6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6),共18个.

对于A,由于事件)中的样本点(1,1),(1,3),(1,5),(5,1),(3,1)均不在事件〃中,

所以加氏故A错误；

对于B,事件夕与事件〃互斥,且并集为样本空间故B,〃为对立事件,故B正

确；

对于C,显然事件A与事件C是不可能同时发生,为不可能事件，故4。为互斥事

件，故C正确；

对于D,由题知产(冷=刍尸事件4G〃包含的样本点有

36362

(1,1),(1,3),(1,5),(5,1),(3,1),共5个,则尸(如〃)=［显然

36

P{AnD)W尸(4)P⑦,故D错误.故选BC.

11.ACD如图，在相中，由己知及余弦定理得,cos/6小2孝二R所以

2bcc

4+养房所以w.

由已知及倍角公式得cosN胡仁2cos解得cosN。分三(负值舍去).

84

在RtA/167?中，AOADcosZCAI^-,故A正确；

4

在回中，cosZBAC=—=~,又AO-,所以A&6,故B错误；

AB84

-1-1

S^ADB-BDAC-ABAD-Sinz.BAD

所以CDACW，故C正确;

BDAB

在初中，由cosN为场cosN。女,得sinZBAD=—,

44

所以必祈工49・AB•sin/BAgX1X6X—=—,故D正确.故选ACD.

2244

CI)

12.ACD对于A,如图①,因为正"分别是线段BC,4?的中点,

所以△力的N△的笈则/乃I比//庞；

又/PAB+/D4p=9。°,所以的490°,所以APA.DE,

又因为厅工平面ABCD,4t平面ABCD,所以EFVAP,

又DECE广E,DE,加t平面DEF,

所以4;U平面庞E因为加七平面ABP

所以平面仍2L平面协;故A正确；

图①

对于B,在正方体ABCD~A、BCD,中，4C〃/C

所以〃户与4G所成的角即为〃/与所成的角，

连接DC则为等边三角形，

所以〃/与4G所成角的取值范围为椁,1|,故B错误；

对于C,如图②,设平面4。建与直线充交于点G,

连接CGEG,则G为回的中点,分别取以%的中点M,N,连接仄虬MN,D、N,

因为〃必〃GG,〃/施平面平面4G5；

所以〃也〃平面4G£同理可得以V〃平面4G七

又因为nD\N=D\,DM,〃A匕平面〃觇

所以平面〃物V//平面4GE

又必〃平面4GE所以直线如＜=平面D\MN,

故点尸的轨迹是线段MN,易得肠箕鱼,故点〃的轨迹长度为近，故C正确；

图②

对于D,如图③,取切的中点N,m的中点R,及7的中点G,连接FN,

因为FBJ/NC,FBENC,所以四边形胡③为平行四边形，

所以FN〃B\C,又因为用a平面BCD\,区。U平面B、C及

所以即〃平面4az,

连接BD,NG,则眩〃傲又因为BD〃B\D\,所以NG〃B、D\,

又因为MW平面B@\,£〃u平面B\CD\,

所以〃平面4勿，

连接FR,GR,由GR//B.C,且B\C〃FN,得RG〃FN,

故月&G,〃四点共面,所以平面硼前〃平面B@\,

因为依〃平面BCD、,所以次平面FNGR,

所以点尸的轨迹为线段M7,

由正方体ABCD~A\BC"的棱长为2,得小2企,检企,连接FB,FG,

在RtZXW中，FG=FR+B於(V5)2+l=6,所以FGZ&

所以所=腑+%,所以/用290°,

故线段/长度的最小值为吩伤,最大值为不忙2加,

所以线段件长度的取值范围是［遍,2位］,故D正确.故选ACD.

13.答案1

解析sin50°(1+V3tan100)=sin50°(1+遮x^^)二

\cosl0°7

.广八0、/coslO°+V3sinlO°.

sin50X-----------=sin

COS100

50oX2&°sl0°+Vsinl0°)2sin500sin(100+30o)2sin500cos500sin00()ocosl.0°]

coslO°coslO°coslO°coslO°coslO°

14.答案V7

解析设圆锥底面圆的半径为乙则高为Hr,母线长为2r.

•.•圆锥的侧面积为几，

Ji•r,2厂n,即/=1.

设正方形的边长为a,则2a2=4/,所以年夜r,

易知四棱锥为正四棱锥,其斜高为J（恁/+（小?=”，

•••正四棱锥的侧面积为4x1xV2rX^=2V7/=V7.

15.答案2+2V1U

解析因为在△/a1中,D,后分别是线段BC,〃1的中点,力〃与做交于点0,所以0

为的重心，因为/加俏90°,所以0*BOL所以力氏3。氏3.

因为而三（荏+尼），所以2AD=AB+AC,

所以4AD2=（AB+AC）2=AB2+AC2+2AB・AC,

故4A^=A^+A（^+2AB•AC*cosZBAOA^+Ae+2AB•AC•

2ABAC

BG=2A#+2AC-4,

所以40=2萌+2—=商+〃+（4疥我）2所+/+244・AO{AB+AC）2,当且仅当

/斤/eVIO时,等号成立.

所以力班4々2同，

因此△/回的周长的最大值为2/1U+2.

16.答案24

解析设事件A表示“甲选做第22题”，事件〃表示“乙选做第22题”，则甲、

乙两名考生选做同一道题的事件为（（ABUA月"，\•事件48相互独立，

甲、乙两名考生选做同一道题的概率为去

»）夕⑶=;><M，

224

.♦•甲、乙两名考生都选做第22题的概率为:

4

17.解析⑴由独立事件的概率计算公式可得P（后0）=（1-|?崂

〃（a1）=3X|X（1一|），|,

产（弟2）=3X针X（1一|后，

尸件3）=（|）3崂（4分）

⑵设乙同学上学期间的三天中，7:30之前到校的天数为K

则尸（助=尸（右2,片0）+尸（弟3,右1）=尸（加2）尸（片0）+尸（加3）尸（右1）=士义工+义义“史.

927279243

（10分）

18.解析⑴•.诉=刀,：.BO+OP=PO+OA,

即2OP=OB+OA,（2分）

J.OP^OA^OB,

22

即下|,启.（4分）

（2）'：~BP=3PA,

：.'BO+OP=3PO+3OA,即4OP=OB+3OA,（6分）

：.~OP=-OA+-OB,（8分）

44

：.OP・AB=（^OA+^OB^・（OB-OA）

=-OB2--OA2+-OA-OB

442

=-X22--X42+-X4X2X-=-9,（12分）

4422

19.解析（1）f（x）=cosx•cos（%—g+V^sir?『券

=cos〈季cos%+：sin%）+V^（l-cos,x）一乎

-1si.nxcosx~—V3cos2x,+V—S

224

__1.A/3

=-sinLox~—cos2Ox

44

=|sin（2%-=）,（2分）

所以f（x）的最小正周期是（4分）

由』+2AnW2x-XE+24n,届Z,

232

解得—工+〃五WxW也+A■兀k^-Z,

1212

所以f（x）的单调递增区间为[―看+加冷+kn\,AGZ.（6分）

（2）由（1）知，/'（x）gsin（2%—

当x噜用时，2*卜*,（8分）

所以sin（^2x-^e[-1,l],（10分）

所以f（x）引一；,"

L42J

综上,当x目三同时，函数F（X）的最大值为今最小值为q（12分）

.1ZZZ4

20.解析（1）选①：由正弦定理，得2sinAcos仆sin^=2sinB,

得2sinAcos£>sin伐2sin（4+0=2（sinAcosC^cosAsinC）,（2分）

所以sin俏2cos/sinC所以sin（7（2cos4T）=0,（4分）

因为CG（0,n）,所以sin6>0,所以cosA=^,

又（0,n）,所以A=^.（6分）

1+cBc

选②：因为cos坦丁-cosBcos^=°^-）-C0S及osC

_l-cosBcosC+sinBsinC_l-cos（F+C）_3

（2分）

224’

所以COS（4+。=彳，

所以COS长-cos（班。=|,（4分）

又因为北（0,n）,所以弓.（6分）

选③：因为（sin京sin6）2-sin;^+3sin以inC,

所以sin%'sin?介2sin咫in伐sinZ+3sin厌inC,

即sin2^-sin2（7-sin2^=sin为sinC,（2分）

所以由正弦定理,得券be,则cos在标;c「2q,（4分）

因为北（0,冗），所以耳.（6分）

（2）由（1）得A=^,由余弦定理,得a=tj+c'-2bccosA=lj+c-bc^2,bc-bc=bc,当且仅

当左。时取等号，（8分）

又a=2,所以6cW4,

当且仅当b=c=2时取等号，

故S&Q沙siny4^|x4Xy=V3,当且仅当b=c=2时取等号，

所以△/a1面积的最大值为VI.（12分）

21.解析⑴证明：证法一:如图①，连接4C因为四〃CG"斤CG,

所以四边形45ZK是平行四边形，

所以力勿用（2分）

因为四边形/仇》是正方形，

所以Ha/C所以初

因为EMVBD,£GAEM-E,EG,El仁平面EMG,

所以劭，平面EMG,又劭c平面ABCD,

所以平面屣_L平面力及力.（6分）

R

图①

证法二:如图②,取/〃的中点0,连接EO,OM,AC,

则OM//AC//EG,所以£G,M,。四点共面，（2分）

因为四边形四必是正方形,所以BDA.AC,所以BDA.0M,

又EMVBD,QMGEM^M,0M,威t平面EMG,所以初_1平面EMG,

又劭c平面ABCD,所以平面£%LL平面ABCD.（6分）

图②

⑵如图③，取AE的中点“连接BN,ND,

国为BF〃NE,B产NE,

所以四边形跖刻是平行四边形，

所以EF//BN,

又因为劭_L平面向e，

所以N的切就是炉与平面⑸浴所成角的余角，（8分）

取4〃的中点0,连接EO,0M,则OM//AC//EG,

所以£GM。四点共面，

又初，平面EMG,属七平面EMG,

所以BDLEO,

又EOLAD,BDC4大〃初,/△=平面ABCD,

所以£<9_L平面ABCD,

所以EOVAB,又ABLAD,EOCAD=O,E0,4代平面EAD,

所以四，平面EAD,

所以ABLAE,（10分）

易知?W?=V3,初=2&，

所以杨+“=7^,

所以N£W=90°,

所以cosN/VS店邛，

所以鳍与平面包外所成角的正弦值为尊.（12分）

4

图③

22.解析⑴性质1:〃反1平面力被证明如下:（1分）

翻折前,DELDA,CELBC,翻折后垂直关系不变，则DELDA,DELDB,又

DAnDB^D,DA,如u平面ABD,所以DEL平面AB