2022-2023学年福建省福州重点中学高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省福州重点中学高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知集合”={-2,—1,0,1,2},N={X|K2—%—6W0},则“aeM”是“aeN”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.若a为第二象限角，sina=cos2a,贝ijs讥a=（）

A.—1或：B.1C.—D.：

3.如果一个复数的实部与虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数z=（2-山）i为

“等部复数”，则实数a的值为（）

A.-1B.1C.2D.-2

4.方程久+仇％-3=0的根所在区间为（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

5.若租，几是两条不同的直线，仇，夕是两个不同的平面，则下列结论中正确的是（）

A.若znua,nu0,a〃S，则zn〃n

B.若al/7,7n1£,则

C.若a1，,aPIS=m,mln,则n1，

D.若租1n,m1a,n1/?,则a10

6.某高中的“篮球”“无人机”“戏剧”三个社团考核挑选新社员，已知高一某新生对这

三个社团都很感兴趣，决定三个考核都参加，假设他通过“篮球”“无人机”“戏剧”三个

社团考核的概率依次为爪，J,n,且他通过每个社团考核与否是相互独立的，若三个社团考

核他都能通过的概率为白，至少通过一个社团考核的概率为则机+71=（）

4U1U

A-tB4CQD/

AC

在△ABC中，已知AC=4,向量荏在向量前方向上的投影向量为，，则前•

7.雨~BD=2DC

BD=()

A.12B.8C.6D.4

8.设函数y=/(%),(%。0),对于任意正实数%1，%2(%1工%2)，都有<0,已

lnx-[—lnx2

知函数y=f(x+1)的图象关于点(-1,0)中心对称,且/(I)=1,则不等式/(%)<好的解集

为()

A.[—1,0)u(0刀B.[—1,0)u[1,+8)

C.(-001-1]U(0,1]D.(-00,-1]U[1,+00)

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.i为虚数单位，复数z=—l+2i,下列说法正确的是()

A.|z|=5B.W在复平面内对应的点位于第三象限

C.-=D.z2>0

z55

10.已知函数/(久)=Asin(ci)x+9)(其中4>0,3>0,\(p\<>A

兀)的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是()/A

A.函数f(x)的最小周期为兀/\2式

B.函数/'(久)的图象关于点(工,。)中心对称一中~~~~

C.函数/(x)在[/币上的最大值为212\：/

D.直线y=1与y=/(x)(-<X<岩3的图象所有交点的横

坐标之和为]

O

11.已知x〉0,y>0,且x+2y+xy=6,贝！|()

A.xy的最大值为。B.x+y的最小值为4/7—3

C.击+泰的最小值为好D.(x+2产+(y+1产的最小值为16

12.如图，正方体4BCD-4当酊5的棱长为1,E为线段

416(包含端点为,6)上动点，则下列结论正确的是()

A.存在点E,使4B〃CE

B.存在点E,使DiE1CE

C.存在点E,使CE与4/所成的角为30。

D.三棱锥当-4/6外接球的表面积为3兀

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知向量N=(—2,1),b=(m,4)，若—B)，则zn=.

14.已知在一次随机试验E中，定义两个随机事件4B,且P(4)=0.4,p山)=0.3,P(4B)=

0.3,贝i]P(4+B)=.

15.图1中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱

柱”，图2是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”，莱洛三角形

是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，如图3,若曲侧面三

棱柱的高为10,底面任意两顶点之间的距离为20,则其侧面积为.

16.在小ABC中，记角力，B,C所对的边分别是a",c,面积为S,则筹记的最大值为____

az+2bc

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知向量记=(2cosx,—2Vr3cos久)，n=(sinx,cosx).

(1)若沅〃元，且x为第二象限角，求tan6一久)的值；

(2)若函数/(%)=布•元+/石，求函数/(久)的单调递减区间.

18.(本小题12.0分)

三棱锥D-ABC(如图1),。、E、F分别是线段AC、AD.BD的中点，G是。C中点(如图2).

(1)若力B=4C,DB=DC,求证：AD1BC；

(2)求证：FG〃平面BOE.

DD

某地区为了了解居民可支配收入增长情况，用抽样调查的方式随机抽取了一个100人的样本,

经统计，这100人在2021年的可支配收入(单位：万元)均在区间[4.5,10.5]内，现按[4.5,5.5),

[556.5),[6.5,7.5),[7.5,8.5),[8.5,9.5),[9.5,10.5]分为6组，作出频率分布直方图如图所示，

(1)求a,6的值，并估计这100位居民可支配收入的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点

值作代表)；

(2)以样本频率估计总体频率，若用分层随机抽样的方法从该地可支配收入在[7.5,8.5)和

[8.5,9.5)两区间内的居民里抽取5人复访，再从这5人中随机抽取2人作问卷调查，求参加问卷

调查的2人来自不同收入区间的概率.

20.(本小题12.0分)

已知a,b,c分别为△力BC三个内角4B,C的对边，且空=Cs讥C+cosC.

a

(1)求角4

(2)若a=3,AABC的外心为。，求|南+2旅|的值.

21.(本小题12.0分)

已知定义在R上的奇函数f(%)和偶函数g(%)满足f(%)+g(%)=2%.

(1)求函数丫=祟的值域；

91町

(2)若存在X£生2],使得不等式好⑴-g(2x)<0成立，求实数a的取值范围.

22.(本小题12.0分)

如图，在三棱柱力BC-4/16中，平面ABC1平面441GC,四边形441GC是边长为4的菱形，

N4/C=60°,AB=BC=点。为棱AC上动点(不与力，C重合)，平面B/D与棱儿&交

于点E.

(1)求证：BBJ/DE；

(2)若要=',求直线与平面占8DE所成角的正弦值.

AC.4

B

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：•：集合M={-2,—1,0,1,2},N={x\x2-%-6<0}={x|-2<x<3},

uaeM”n"aeN",“aEN”推不出“aGM”，

“a€M”是“aeN”充分不必要条件.

故选：A.

由用=N={x\x2-%-6<0}={x|-2<x<3},知“aeM”n“aeN”，

“aeN”推不出“a£M",再结合充分条件和必要条件的定义判断即可.

本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题.

2.【答案】D

【解析】解：因为sina=cos2a,

所以sina=1-2sin2a,

解得sina=Iosina=-1,

因为a为第二象限角，

所以sina=

故选：D.

利用二倍角的余弦公式将已知转化，从而可求得s讥a的值，由a为第二象限角，正弦值为正，即可

得出正确答案.

本题主要考查二倍角的余弦公式，考查运算求解能力，属于基础题.

3.【答案】C

【解析】解：z=(2-ai)j=a+2i,

因为“等部复数”的实部和虚部相等，复数z为“等部复数”，

所以a=2,所以a=2.

故选：C.

根据已知条件，结合复数的四则运算，以及实部和虚部的定义，即可求解.

本题主要考查复数的四则运算，以及实部和虚部的定义，属于基础题.

4.【答案】C

【解析】解：令/'(x)=久+bur-3,%>0,

显然函数为增函数，又/(3)=伉3>0,/(2)="2-1<0,

故存在mG(2,3)使得/(m)=0.

故选：C.

利用零点存在性质定理，结合函数的单调性判断即可.

本题考查函数的零点存在性定理，属于基础题.

5.【答案】D

【解析】解：若mua,nu0,a〃/?,则或ni与?1异面，故A错误；

若a_L£,m1/3,则m〃a或mua,故B错误；

若aJ.£,=m,mln,则nu£或n〃0或n与0相交，相交也不一定垂直，故C错误；

若m1n,m1a,则nua或n〃a,又ri1°,则a1S，故。正确.

故选：D.

由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定逐一分析四个选项得答案.

本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思

维能力，是基础题.

6.【答案】D

【解析】解：••・三个社团考核他都能通过的概率为上,

4U

至少通过一个社团考核的概率为看，

11

4mn=40,

((1-m)(1-》(1-m=1一看

解得：m+n=^~.

故选：D.

利用相互独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率计算公式、列出方程组，即可求出爪+n的

值.

本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础

题.

7.【答案】B

【解析】解：已知向量说在向量近方向上的投影向量为需，

AC_AC

\AC\\AC\一丽，

即称前二\AC\，

又2C=4,RD=2DC，

则前.前=押•同二|J?•函-布=|(AC2-AC-AB}=|x(16-4)=8.

故选：B.

由投影向量的运算，结合平面向量数量积的运算求解即可.

本题考查了投影向量的运算，重点考查了平面向量数量积的运算，属基础题.

8.【答案】B

【解析】解：函数y="％+1)的图象关于点(一1,0)成中心对称，

故函数y=/(久)的图象关于点(0,0)成中心对称，记y=/(久)是奇函数,

记9(%)=等，9(一乃=符=肾=9(乃，所以9(%)是偶函数，

X

对于任意正数第1，%2(1H%2)，都“27"一：1""2)v0,

LnX-y-LTIX2

/(%1)f-2)

即炉久3,点：<0，所以g(x)在(0,+8)单调递减，

12lnx1—lnx2

因为=所以g(l)=l,

因为9(%)是偶函数，故9(%)在(-8,0)单调递增，且g(-1)=1,

当汽>0时，/(%)4％30g(%)<1=g(l)%>1,

当％<0时，/(%)(/qg(%)>1=g(-1)=^>—1<%<0,

故/(%)</的解集为[_i,o)u[1,4-00).

故选：B.

先判断函数y=/(乃的奇偶性，构造函数g(£)=§杂，判断久久)的单调性和奇偶性，分情况讨论,

利用单调性即可求解.

本题考查了导数的应用，函数单调性和奇偶性的综合，属于中档题.

9【答案】BC

【解析】解：z=-1+21,

对于4,\z\=J(-1)2+2?=V-5，故A错误;

对于B,z=-1+2i,

则z=-1—2i,

故5在复平面内对应的点(-1,-2)位于第三象限，故8正确；

对于Jz=-l+2t=(-l+2i)(-l-2i)=~5~5^故C正确；

对于D,z2=(-l+2i)2=-3-4i,虚数无法比较大小，故。错误.

故选：BC.

根据已知条件，结合复数模公式，共辗复数的几何意义，复数的四则运算，即可求解.

本题主要考查复数模公式，共辗复数的几何意义，复数的四则运算，属于基础题.

10.【答案】AC

【解析】解：依题意，*却一驾得7=兀，故A正确；

451Z4

3=2,4=2,则/Q)=2s讥(2x+9),当k=:时，取最小值，

则2x:+0=:，得R屋，即f(x)=2s讥(2x+”,

当刀=专时，/附)=2s讥(2x"+$=2s呜大0,故2错误；

%€肯丁则2支+旌[一权刍,则-2Wf(x)W2,故C正确；

WxW岩，则2久+?e[0,2扪，

设直线y=1与y=/(x)(-<x<岩)图象所有交点的横坐标为如

则2%+(+2叫+(=兀,解得/+%2=巳故。错误.

故选：AC.

先利用函数图象T,A,3,<p,从而求得函数解析式，然后利用零点，对称性及正弦三角形最值

求解得结果.

本题主要考查由y=As讥(3%+0)的部分图象确定其解析式，考查正弦函数的图象与性质，考查

运算求解能力，属于中档题.

11.【答案】BCD

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于4,%>0,y>0,则x+2y22J2xy,当且仅当x=2y时等号成立，

则有6—x+2y+xy>xy+2v成,变形可得xy+xy—6<0,

解可得：—3，无工尸工，攵，贝by的最大值为2,当且仅当％=2y=2时等号成立，A错误；

OOO

对于8,x+2y+xy=6,变形可得％=闲■-2,故X+y=百N―2+y=又3+y+1-32

2J肃X(y+1)-3=4c-3,

当且仅当y=2。一1时等号成立，B正确；

对于C,%+2y+%y=6,变形可得(％+2)(y+1)=8,

则有吃+々=陪+々22I陪x4r=¥，当且仅当)/+1=乂+2=2。时等号成立，

%+2y+l8y+1勺8y+12'

C正确；

对于D,由于(x+2)(y+1)=8,

则(x+2/+(y+I)2>2(%+2)(y+1)=16,当且仅当y+1=x+2=2。时等号成立，。正

确.

故选：BCD.

根据题意，由基本不等式的性质依次分析选项是否正确，综合可得答案.

本题考查基本不等式的性质以及应用，注意原等式的变形，属于基础题.

12.【答案】BCD

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于4当点E与&不重合时，由异面直线的定义，与CE异面，当点E与&重合时，与CE相

交，故A*与CE不会平行，A错误；

对于B,当E与Q重合时，有。1£(6)1CE(G),B正确；

对于C,当E为4cl的中点时，连接CD】，易得NDiCE或其补角就是CE与所成的角

如图：

CD1=V1+1=V-2»DIE=1XV1+1=CE=J1+1

则cos皿CE=，D疗2楞=?,则ND]CE=30。，

此时CE与4/所成的角为30。，C正确；

对于D,三棱锥/-&BQ外接球就是正方体4BCD-4B1QD1的外接球，

正方体2BCD-的外接球的半径R=1^^=|xV1+1+1=?,

则三棱锥/一力/G外接球的表面积S=MR?=3兀，D正确.

故选：BCD.

对于4由空间直线与直线的位置关系，分析与CE的位置关系，可得A错误；对于B,举出特

列，当E与G重合时，可得2正确；对于C,举出特列，当E为4G的中点时，CE与所成的角

为30。，C正确；对于D,分析可得三棱锥外接球就是正方体4BCD-&B1C1A的外接

球，分析正方体外接球的表面积，可得。正确，综合可得答案.

本题考查空间直线与直线的位置关系，涉及直线与直线所成的角，属于中档题.

13.【答案】一^

【解析】解：a—b=(—2—m,—3)»五=(-2,1),且五1(五一B)，

a-(a—K)=4+2m-3=0，解得m

故答案为：—

可求出方一另=(一2-犯一3)，根据五1(五一南得出五,(,一画=0，然后进行数量积的坐标运算

即可求出租的值.

本题考查了向量坐标的减法和数量积的运算，向量垂直的充要条件，考查了计算能力，属于基础

题.

14.【答案】0.8

【解析】解：P(B)=0.3，P(B)=0.7,

P(4+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.4+0.7-0.3=0.8.

故答案为：0.8.

由对立事件的概率关系求出P(B),再利用P(4+B)=PQ4)+P(B)-P(4B)求解即可.

本题主要考查了事件概率的求法，属于基础题.

15.【答案】20071

【解析】解：莱洛三角形由三段半径为20,圆心角为g的圆弧构成，

所以该零件底面周长为3X^X2O=20兀，

故其侧面积为207rx10=2007T.

故答案为：200兀.

由莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，结合已知

可得半径为20,由弧长公式求得底面周长，即可得结果.

本题考查圆柱侧面积，考查新定义，属于基础题.

16.【答案】■

【解析】解：因为—7=22珈s讥"——=之义一^—/*,(当且仅当6=。时

a+2bC2

b+c2-2bccosA+2bc2^+2-2cosA4cosTl-2

取得等号)，

令S£TL4=y,cosA=x,

叱』W《X力

因为％?+y2=i,且y>0,

故可得点(％y)表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：

目标函数Z=3，表示圆弧上一点到点4(2,0)点的斜率，

数形结合可知，当且仅当目标函数过点”弓,?)，即4=60。时，取得最小值—?；

故可得z=3e[—?,o),

又s<=x上,

人。2+2儿34“％-2'

故可得-卒)=2，当且仅当A=60。，b=c,也即三角形为等边三角形时，取

a2+2bc4v3712

得最大值.

故答案为：言.

由已知可得*彳<—Jx3*,令Sim4=y,cosA=x,可得萼『W—数形结合可

az+2oc4cosA-2/az+2bc4x—2

知z=4e[-f,0)，又白彳w—；X告，可得亍=w一。X(-?)=噌，当且仅当4=60。,

x-2L3',砂+2儿4x-2a2+2bc4v3712

b=c,也即三角形为等边三角形时，取得最大值.

本题考查三角形中边角互化、面积以及利用基本不等式求最值时，代数式的变形技巧，本题的难

点一是不会建立已知条件与目标式之间的关系；二是式子结构较复杂不会变形，二角函数与基本

不等式交汇一直是高考考查的热点，也是难点，属于难题.

17.【答案】解：(1)若记〃1

则2cos2%+2y/~3sinxcosx=0,

又x为第二象限角，

则cos汇*0,

所以cosx+V_3sinx=0,

贝ijcotx=竺^=—V-3,

所以tan(1—x)=cotx——\Z~~3；

(2)/(%)=2cosxsinx-2A/-3cos2x+V_-3=sin2x-V_3(cos2久+1)+

=sinlx—y/-3cos2x=2sin(2x—今,

令1+2kli<2x—+2/c7i,kG.Zt

则—F2/OT<2.x<——F2/CTT,k&Z>

则技+fc?r<x<+ku,kE.Z>

即函数的单调递减区间为既+k兀，岑+时,kez.

【解析】(1)根据沅//元，可得cos比+「s出x=0,进而得到cotx,再由诱导公式得解;

(2)利用平面向量的数量积以及辅助角公式化简函数/(%),再由正弦型函数的性质得解.

本题考查平面向量与三角函数的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题.

18.【答案】证明：(1)在三棱锥D—2BC中，取BC的中点H,连接A”，DH,如图，

因为AB=AC,DB=DC,贝第4"1BC,DH1BC,

^AHHDH=H,AH,DHu平面AD”,因止匕BC1平面力D”,

又ADu平面ZD”,所以AD1BC.

(2)连接4F,与BE交于M,连。M,

因为E、F分别是线段AD、BD的中点，则点M是AaBD的重心,

于是4M=2MF,又。是线段4C的中点，G是0C的中点,

则4。=0C=20G,即黑=怒，因此/G〃M0,

而M。u平面BOE,FG，平面BOE,^\^FG//nBOE.

【解析】(1)取BC的中点H,连接2H,DH,利用线面垂直的判定及性质推理作答；

(2)连接2F,与BE交于M,连。M,证明FG〃OM,再利用线面平行的判定推理作答.

本题主要考查线线垂直的证明，线面平行的证明，考查逻辑推理能力，属于中档题.

19.【答案】解：⑴由频率分布直方图，可得0.05+0.12+a+b+0.2+0.08=1,

解得a+6=0.55,①

因为居民收入数据的第60百分位数为8.1,

所以0.05+0,12+a+（8.1—7.5）xb=0.6,即a+0.6b=0.43,②

将①与②联立，解得a=025,6=0.3,

所以平均值为0。5x5+0,12X6+0,25x7+0.3X8+0,2x9+0.08x10=7.72；

（2）由样本频率估计总体频率，在［7.5,8.5）和［8.5,9.5）两区间内的居民频率分别为0.3和0.2,

故抽取的5人中来自［758.5）区间的有5x言和=3（人），设为a,b,c,

来自［8.5,9.5）区间的有5x言a=3（人），设为1,2

则从5人中随机抽取2人的样木空间为

0={ab,ac,al,a2,be,bl,b2,cl,c2,12},

记A="参加问卷调查的2人来自不同收入区间”，

则A={al,a2,bl,b2,cl,c2},

所以P（z）=黯=4=1，

故参加问卷调查的两人来自不同收入区间的概率为，

【解析】（1）由频率分布直方图和第60百分位数求出a,b,再求平局值；

（2）结合频率分布直方图确定在［7.5,8.5）和［8.5,9.5）两区间内的居民频率分别为0.3和0.2,进而求得

在［7.5,8.5）和［859.5）两区间内的居民分别为3人，2人，再运用古典概型模型求解.

本题考查由频率分布直方图求频数、频率、平均值，考查频率公式，百分位数，古典概型，属于

基础题.

20.【答案】解：(1)由处+cosC,正弦定理可得四竺号匹=讥C+cosC.

''asinA

由正弦定理得sinB+sinC=yT~3sinAsinC+sinAcosC,

即sin(Z+C)+sinC=sinAcosC+cosAsinC+sinC=y/~^sinAsinC+sinAcosC,

^cosAsinC+sinC=y/~~3sinAsinC,

即1+cosA=y/~~3sinA,

所以2cos29=2V-3sin^cosp

显然cosJwO,所以tan。：号,

因为9G(。1]),

所以

Cna3___

(2)设△ABC的外接圆圆心为R,则2»=诉=亘，解得R=C，

2

A\0B\=|0C|=C，又|BC|=3,

Q2+Q2-32

cosZ-BOC=-2x>T3x<3-7乙BOC吟

\0B+20C\=I(<^)2+(2<3)2-2xx2AT3X|=3-

【解析】(1)利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式化简得tan?=?，由此可求得4

(2)利用正弦定理可得外接圆半径，利用余弦定理可求得COSNBOC；利用余弦定理求|南+2旅|.

本题考查了三角恒等变形、正弦定理、与余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

21.【答案】解：(1)已知定义在R上的奇函数/(©和偶函数g(x)满足/(x)+g(x)=2"

此时V久GR,使得/(一x)+g(-x)=-/(x)+g(x)=2~x,

加厂/'(x)+9。)=2T

W"(x)+gQ)=2*'

—%Io—X

整理得f0)=文Ao，g(x)=

则函数、=舒=黑,

解得‘=胃〉°,

所以—1<y<1,

故函数y=黑的值域为｛y|-1<y<1｝；

9\.x)

(2)若存在Xe停,2],使得不等式好(久)-g(2久)<0成立,

即当久€停,2],不等式a(2%-2-x)-(22X+2-2X)<0成立,

不妨令”2,-23te[与，抒

此时存在te《，身使得不等式a<t+|成立，

不妨设h(t)=t+q,函数定义域为序，知

令t],e,V-2],且“<t2，

此时岫)一h(t2)=t1+1-t2-1=(57(；：2-2),

易知(G—t2)(t112—2)>0,

所以以幻一/1«2)>0，

即九(11)>/l(t2),

则函数伏。在定义域上单调递减，

同理得函数h(t)在区间[C,学]上单调递增，

又点)=浮<崂畸,

所以当t=?时，函数h(t)取得极大值也是最大值，最大值做竽)=缪，

则实数a的取值范围为(-8,掾).

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