2023-2024学年福建省福宁古五校联合体高一（下）期中数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年福建省福宁古五校联合体高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z=i(1+A.−1−i B.−1+i2.已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题正确的是(

)A.若m/​/α，n/​/β，α/​/β，则m/​/n

B.若m/​/α，m3.已知平面向量a=(1,m)，b=(n,2A.6 B.−6 C.2 D.4.在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，若E

A.12 B.−12 C.25.在△ABC中，其内角A，B，C的对边分别是a，b，c根据下列条件解三角形，其中有两解的是A.b=7，c=3，C=30° B.b=5，c=4，B=45°6.设平面向量|a|=10，|b|A.1 B.14 C.14 D.7.斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，如图给出了它的画法：以斐波那契数1，1，2，3，5，⋯的变化规律为边的正方形，依序拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.如果用图中接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面，那么该圆锥的底面积为(

)A.4π

B.5π

C.8π8.在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，己知acosBA.(33,22) 二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设向量a=(−1,1A.|a|=|b| B.(a−b)10.对于△ABC，有如下命题，其中正确的有A.若sinA=sinB，则△ABC为等腰三角形

B.若sinA=cosB，则△ABC11.如图，BC，DE是半径为6的圆O的两条不同的直径BF=2A.BF=12FC

B.若∠COE=60°，则FE在DE上的投影向量为3412.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M，N分别为棱A.四面体A1D1MN的体积为定值

B.当M，N分别为棱B1C1，CD的中点时，则在正方体ABCD−A1B1C1D1中存在棱与平面A1MN平行

C.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.如图所示的是△AOB用斜二测画法画出的直观图，则AOB14.i是虚数单位，已知|ω−2|=|ω15.如图，某景区有三条道路AB，BC，AC，其中BA长为2千米，是正北方向，BC长为23千米，是正东方向，某游客在道路AC上相对B东偏北α度的且距离B为

16.在直角△ABC中，AB⊥AC，AC=3，AB=四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

已知复数z1=m−3i，z2=1+2i(m∈R)．

18.(本小题12分)

已知△OAB中，点D在线段OB上，且OD=2DB，延长BA到C，使BA=AC.设OA=a,OB19.(本小题12分)

现给出两个条件：①2bsinA=atanB，②a(sinA−sinC)=bsinB−csinC，从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题20.(本小题12分)

如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=1，D21.(本小题12分)

如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，e1，e2分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量OP=xe1+ye2，则把有序数对(x,y)叫做向量在斜坐标系xOy中的坐标，记为OP=(22.(本小题12分)

如图，在四边形ABCD中，已知△ABC的面积为S1=34(AC2−AB2−BC2

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：由复数的运算可得z=i(1+i)=−2.【答案】B

【解析】【分析】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．

由平行于同一平面的两直线的位置关系判断A；直接证明B正确；由平行于同一直线的两平面的位置关系判断C；由直线与直线平行分析直线与平面的关系判断D．【解答】

解：若m/​/α，n/​/β，α/​/β，则m/​/n或m与n相交或m与n异面，故A错误；

若m/​/α，则在平面α内存在不同于n的直线l，使得l/​/m，则l/​/β，从而l/​/n，故m/3.【答案】D

【解析】解：因为a/​/c，

所以1×4−2m=0⇒m=2，

又b⊥c4.【答案】A

【解析】解：因为在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，

则AD=12(AB+AC)，且AE=5.【答案】D

【解析】解：对于A：若b=7，c=3，C=30°，由正弦定理可得bsinB=csinC，

则sinB=bsinCc=7×123=76>1，此时B不存在，三角形无解，故A错误；

对于B：若b=5，c=4，B=45°，由正弦定理可得bsinB=csinC，

则sinC=csinBb=4×6.【答案】B

【解析】解：因为向量|a|=10，|b|=2，且|a−b|=10，

所以|a−b|27.【答案】A

【解析】解：由斐波那契数的规律可知，从第三项起，每一个数都是前面两个数之和，

∴接下来的圆弧所在扇形的半径是3+5=8，

对应的弧长l=2π×8×14=4π，

设圆锥的底面半径为r，则2π8.【答案】C

【解析】解：由于acosB−bcosA=b，利用正弦定理sinAcosB−sinBcosA=sin(A−B)=sinB，

故A−B=B，整理得A=2B；

9.【答案】CD【解析】【分析】本题考查命题真假的判断，考查向量的模、向量平行、向量垂直、向量夹角的余弦值等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

分别求出两个向量的模，判断A；求出a−b判断B；求出a−b，求得(a−b【解答】

解：向量a=(−1,1)，b=(0,2)，

对于A，|a|=2，|b|=2，故A错误；

对于B，a−b=(−1,−1)，与a不平行，故B10.【答案】AC【解析】解：A中，sinA=sinB，由正弦定理可得a=b，所以三角形为等腰三角形，所以A正确；

B中，sinA=cosB=sin(π2−B)，可得A=π2−B或π−A=π2−B，

即A+B=π2或A−B=π2，所以三角形为直角三角形或钝角三角形，所以B不正确；

C中，因为sin2A+sin2B+cos2C<1，可得sin2A+sin2B<11.【答案】AC【解析】解：对于A，由BF=2FO，得BF=23BO=13BC，即BF=13(BF+FC)，整理得BF=12FC，故A项正确；

对于B，设圆O的半径r=1，若∠COE=60°，则OC⋅OE=|OC|⋅|OE|cos60°=12，

FE=FO+OC=13OC+OE，DE=2OE，可得FE⋅12.【答案】AC【解析】解：点M，N在棱B1C1，CD上运动时，M到A1D1距离始终为2，N到平面A1D1M的距离始终为2，

所以四面体A1D1MN的体积VN−A1MD1=13×2×12×2×2=43恒为定值，A正确；

在正方体ABCD−A1B1C1D1中，棱可分为三类，分别是A1A，A1B1，A1D，即分别与它们平行的棱，

又A1A，A1B1，A1D不与平面A1MN平行，则在正方体ABCD−A1B1C1D1中，不存在棱与平面A1MN平行，B错误；

正方体棱长为2，则其外接球的直径为正方体体对角线，

所以2R=22+22+22=23，即R=3，

则外接球的表面积为4πR2=4π×3=12π，故C正确；

如图，取BC中点M′，连接AM′，MM′，有MM′//B13.【答案】16

【解析】解：由斜二测画法画出的直观图可知，O′B′=4，

故原图形AOB中，OB=4，

又和y′轴平行的线段的长度为4，

故原图形AOB的高为8，

14.【答案】ω=1+i(【解析】解：设ω=a+bi，(a,b∈R)，

则|ω−2|=|(a−2)+bi|=(a−2)15.【答案】17【解析】解：根据题意，可得BA=2千米，BC=23千米，

因为S△ABP+S△ACP=S△ABC，所以12⋅7⋅16.【答案】4−【解析】解：根据题意，动点P满足CP=1，则点p的轨迹是以C为圆心，半径为1的圆，

建立如图所示坐标系，则A(0,−3)，B(1,−3)，

设P点坐标为(cosθ,sinθ)，θ∈[0,2π]，

则AP17.【答案】解：(1)∵z1=m−3i，z2=1+2i，

∴z1z2=m−3i1+2i=(m−3i【解析】本题主要考查复数的几何意义，以及复数模公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．

(1)根据已知条件，结合复数的除法运算，可得z1z2=(m18.【答案】解：(1)∵BA=AC，

∴A为BC的中点，

∴OA=12(OB+OC)，

可得OC=2OA−OB=2a−【解析】本题考查了向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题．

(1)由A是BC中点，得OA=12(OB+OC)，从而算出OC=19.【答案】解：1)若选①：因为2bsinA=atanB，

由正弦定理可得2sinBsinA=sinAtanB=sinAsinBcosB，

由A，B∈(0,π)，则sinA≠0【解析】(1)若选①：利用正弦定理可得cosB=12，即可得角B；若选②：利用正、余弦定理可得cosB=20.【答案】(1)证明：如图，连接A1C，交AC1于O，连接OD，

∵OD是△CA1B的中位线，∴OD//A1B，

又OD⊂平面ADC1，A1B⊄【解析】(1)连接A1C，交AC1于O，连接OD，可得OD//A1B，再由直线与平面平行的判定得A121.【答案】解：(1)依题意|e1|=|e2|=1，e1⋅e2=|e1||e2|cos60°=12，

由a=(1,2)，b=(2,−3)，得a+b=e1+2e2+2e1−3e2=3e1−e2，【解析】(1)将a，b用e1，e2表示，根据向量模的运算求解即可；

(2)求出|a22.【答案