2023年湖南省岳阳县高考数学三模试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在直角坐标平面上，点尸（x,y）的坐标满足方程元2-2x+y2=o,点。（a,h）的坐标满足方程

"+炉+6”%+24=0则上心的取值范围是（）

x-a

-4-5-4+近

C.一3,

2.等比数列｛4,｝中，q=：,q=2,则知与6的等比中项是（）

8

11

A.±4B.4C.±-D.-

44

Y

4.已知定义在R上的奇函数f（x）,其导函数为一（X）,当xNO时，恒有§/'（幻+/（》）＞0.则不等式

x3f(x)-(l+2x)3/(l+2x)<0的解集为().

A.{%|-3<x<—1}B.{x|<%<——}

C.{x|x<-3或x>—1}D.{x|x<—1或x>—}

5.五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分.古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五

类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中任选2类元素，则2

类元素相生的概率为()

111

---

2B.4D.5

6.2021年某省将实行“3+1+2”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政

治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为

1111

A.—B.—C.—D.一

8462

7.如图所示，直三棱柱的高为4,底面边长分别是5,12,13,当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8,

「96岛

3

8.已知函数/(X)满足当xWO时，2f(x-2)=f(x),且当xe(—2,0］时，/(x)=|x+l|-l；当x〉0时,

/(%)=log,,>0且aH1).若函数/*)的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则a的取值范围是()

A.(625,+oo)B.(4,64)C.(9,625)D.(9,64)

9.定义域为R的偶函数/(幻满足任意xeR,有/(x+2)=/(x)-/⑴，且当xe［2,3］时，/(x)=-2x2+12x-18.

若函数丫=/(幻-108“。+1)至少有三个零点，则。的取值范围是()

10.下列函数中既关于直线x=l对称，又在区间［-1,0］上为增函数的是()

A.y=simuc.B.y=］x-\\

C.y=cos%xD.y=ev+e~x

11.某几何体的三视图如图所示(单位：c/n),则该几何体的表面积是()

A.8的2B.\2cnrC.(4石+2卜机？D.卜百+4)c加

12.设等差数列{4}的前〃项和为S“，若的=2，q+4=5,则56=()

A.10B.9C.8D.7

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知集合A={x|x=2k+l,ZeZ},B=|x|x(x-5)<Oj,则AnB=.

14.执行以下语句后，打印纸上打印出的结果应是：.

J4-I

X4-4

Wkibf<10

x<-x+2i

i—i+3

BadWhile

Print"jr="」

15.在矩形ABC。中，43=2,A£)=1,点E,尸分别为3C,CD边上动点，且满足EF=1,则说.淳的最大

值为.

16.对定义在［0』］上的函数Ax),如果同时满足以下两个条件:

(1)对任意的xe[O,l]总有/(x)..O

（2）当X1..O,x2..O,%+々”1时，总有/（%+%）••/（石）+/（X2）成立.

则称函数fix）称为G函数.若〃（x）=a-2'-l是定义在rO,l]±G函数，则实数a的取值范围为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）本小题满分14分）

已知曲线。的极坐标方程为夕=4sin6,以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线/的

1

X=—t,

2

参数方程为「（f为参数），求直线/被曲线。截得的线段的长度

广乌+1

I2

18.（12分）（选修4-4：坐标系与参数方程）

V--J3cosa

在平面直角坐标系xOy,已知曲线C：'（。为参数），在以。原点为极点，1轴的非负半轴为极轴建立

y=sin。

的极坐标系中，直线/的极坐标方程为日夕cos（e+?）=-i.

（1）求曲线。的普通方程和直线/的直角坐标方程；

（2）过点〃（一1,0）且与直线/平行的直线4交。于A,B两点,求点"到A,8的距离之积.

19.（12分）如图，在四棱锥P-ABC。中，平面ABC。平面DU）,AD//BC,AB=BCAPAD,ZADP=30°,

2

（1）证明：PD工PB；

（2）设AO=2,点M在线段PC上且异面直线8M与CE所成角的余弦值为半，求二面角M—AB—P的余弦值.

20.（12分）如图1,在边长为4的正方形ABCD中，E是AO的中点，尸是CO的中点，现将三角形OEF沿E尸翻

折成如图2所示的五棱锥P-ABCFE.

(1)求证：AC//平面PEF；

(2)若平面PEF，平面ABCFE,求直线PB与平面所成角的正弦值.

21.(12分)如图，在直三棱柱A5C-A151cl中，ZABC=90°,AB=AAi,M,N分别是AC,BCi的中点.求证:

(1)A/N〃平面A881A1；

(2)ANLAiB.

22.(10分)已知椭圆,+,=1.〉力＞0),点4(1,0),3(0,1),点P满足砺+亨丽=而(其中。为坐标原

点)，点民P在椭圆。上.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设椭圆的右焦点为F,若不经过点厂的直线/：y=米+加仕＜0,加＞0)与椭圆C交于M,N两点.且与圆

/+寸=1相切.4肱环的周长是否为定值?若是，求出定值；若不是，请说明理由.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.

【解析】

由点P（x,y）的坐标满足方程/一2x+y2=o,可得尸在圆（工一1『+丁=1上，由。（“。）坐标满足方程

/+〃+6。_汕+24=0,可得。在圆（x+3）2+（y—4）2=l上，则三=%四求出两圆内公切线的斜率，利用数

形结合可得结果.

【详解】

点P（x,y）的坐标满足方程x2-2x+y2=0,

r.P在圆（x-1）-+）、2=［上，

••・Q（a,b）在坐标满足方程a2+〃+6a—88+24=0,

二。在圆（x+3）2+（y-4）2=1上，

则上必二攵朋作出两圆的图象如图，

x-a

设两圆内公切线为A3与CD,

由图可知k^B—kpQ4kCD,

设两圆内公切线方程为丫=丘+〃?，

卜+时］

1+"=>k+m|=|-34+/〃一4|,

则

\-3k+m-4\_^1111

J1+公

圆心在内公切线两侧，...攵+加=一（一3人+加一4）,

|%+同|2Z:+2|

可得〃?=Z+2,；=1,

X+k2J1+G

化为弘2+8k+3=0，卜厂士守,

3

即心B

.-4-y/l/y-b_i--4+V7

•'■Z-=kpQS-»

3x-a3

y—b~~4-,\/*7-4+^7

2—的取值范围一看,——,故选B.

x-a[_33

【点睛】

本题主要考查直线的斜率、直线与圆的位置关系以及数形结合思想的应用，属于综合题.数形结合是根据数量与图形

之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，尤其在解决选择题、填空题时发挥着

奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出曲线图象，充分利用数

形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.

2.A

【解析】

利用等比数列｛4｝的性质可得尺=%。8，即可得出.

【详解】

设％与小的等比中项是X.

由等比数列｛q｝的性质可得.

:.为与的等比中项x=±4=±」x25=±4.

8

故选A.

【点睛】

本题考查了等比中项的求法，属于基础题.

3.C

【解析】

根据函数奇偶性可排除AB选项；结合特殊值，即可排除D选项.

【详解】

\c2cos2x2'+1-

•fx)=cos2x+---------=---A----xcos2x,

八"2.<_12_1

〃T)=|^XCOS(_2X)=一2X+1

xcos2x=-/(%),

2V-1

，函数/(x)为奇函数，

...排除选项A,B；

又•当时，/(x)>0,

故选：C.

【点睛】

本题考查了依据函数解析式选择函数图象，注意奇偶性及特殊值的用法，属于基础题.

4.D

【解析】

先通过《/'(X)+/(x)>0得到原函数g(X)=土乂立为增函数且为偶函数，再利用到)’轴距离求解不等式即可.

33

【详解】

构造函数g(x)=W，9,

贝!Jg[x)=x2〃x)+q/(x)=x2(2/(x)+/(x))

由题可知：/'(x)+/(x)>o,所以g(尤)=立1立在X>o时为增函数;

33

由/为奇函数，/(X)为奇函数，所以g(x)=£警为偶函数；

又x3f(x)-(1+2x)3/(I+2x)<0,即x3f(x)<(1+2x)3/(I+2x)

即g(x)<g(l+2x)

又g(x)为开口向上的偶函数

所以|x|<|l+2x|,解得x<—l或

故选：D

【点睛】

此题考查根据导函数构造原函数，偶函数解不等式等知识点，属于较难题目.

5.A

【解析】

列举出金、木、水、火、土任取两个的所有结果共10种，其中2类元素相生的结果有5种，再根据古典概型概率公式

可得结果.

【详解】

金、木、水、火、土任取两类，共有：

金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土10种结果，

其中两类元素相生的有火木、火土、木水、水金、金土共5结果，

所以2类元素相生的概率为故选A.

102

【点睛】

本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的

关键，基本事件的探求方法有（1）枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；（2）树状图法：适合于较

为复杂的问题中的基本事件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先（4，4），（4，与）_.（4,4）,

再（人,与），⑷应）.....⑷,纥）依次（&,4）（&,鸟）..“（4,纥）…这样才能避免多写、漏写现象的发生.

6.B

【解析】

甲同学所有的选择方案共有12种，甲同学同时选择历史和化学后，只需在生物、政治、地理三科中再选择一

31

科即可，共有c；=3种选择方案，根据古典概型的概率计算公式，可得甲同学同时选择历史和化学的概率尸=;=1,

故选B.

7.A

【解析】

设球心为。，三棱柱的上底面/小斗弓的内切圆的圆心为。〃该圆与边吗J切于点M,根据球的几何性质可得/。。/卜为

直角三角形，然后根据题中数据求出圆为半径，进而求得球的半径，最后可求出球的体积.

【详解】

如图，设三棱柱为4BC-4/B/C/,且N8=/2,BC=5,/C=",高画/=4.

所以底面/由鸟。/为斜边是由q的直角三角形，设该三角形的内切圆为圆圆0与边鸟q切于点

则圆。/的半径为O/A/=---------=2-

设球心为0,则由球的几何知识得为直角三角形，且=8-4=4,

所以。A/=旧+/=2而，

即球。的半径为2小，

所以球O的体积为:xnx（2扬3=竺竺.

故选A.

【点睛】

本题考查与球有关的组合体的问题，解答本题的关键有两个：

（1）构造以球半径R、球心到小圆圆心的距离4和小圆半径，为三边的直角三角形，并在此三角形内求出球的半径，这

是解决与球有关的问题时常用的方法.

（2）若直角三角形的两直角边为a也斜边为c,则该直角三角形内切圆的半径厂=伫士;合理利用中间结论可提高

2

解题的效率.

8.C

【解析】

先作出函数/（x）在（-8,0］上的部分图象，再作出/（无）=log“x关于原点对称的图象，分类利用图像列出有3个交点

时满足的条件，解之即可.

【详解】

先作出函数/（X）在（-8,0］上的部分图象，再作出了（幻=log”x关于原点对称的图象，

如图所示，当0＜。＜1时，对称后的图象不可能与.f（x）在（-8,0］的图象有3个交点;

当4＞1时，要使函数/（X）关于原点对称后的图象与所作的图象有3个交点,

a>1

-log„3>-1,解得9<a<625.

-log(,5<-1

故选I：C.

【点睛】

本题考查利用函数图象解决函数的交点个数问题，考查学生数形结合的思想、转化与化归的思想，是一道中档题.

9.B

【解析】

由题意可得f(x)的周期为2,当xw[2,3]时，/(k=_2/+12%—18,令g(x)=log〃(x+l),则Ax)的图像和g(x)

的图像至少有3个交点，画出图像，数形结合，根据g(2)>/(2),求得。的取值范围.

【详解】

/1)是定义域为R的偶函数，满足任意xeR,

/(x+2)=f(x)-/(I)，令x=—1，/⑴=/(-I)-/(I),

又〃-1)=又1),.'./(I)=0"。+2)=又/,

・・・/(X)为周期为2的偶函数，

当xe[2,3]时，f(x)=-2X2+12X-18=-2(X-3)2,

当尤e[0,1],x+2e[2,3]J(x)=/(x+2)=-2(x-I)2,

当xe[T,0],re[0,1],/(x)=f(-x)=-2(x+1)2,

作出/(x),g(x)图像，如下图所示：

函数y=fM-log„(x+l)至少有三个零点,

则/(x)的图像和g(x)的图像至少有3个交点,

V/(%)<0,若4>1,

/(X)的图像和g(x)的图像只有1个交点，不合题意，

所以0<a<1,/(x)的图像和g(x)的图像至少有3个交点，

则有g(2)>/(2),即log“(2+1)>/⑵=-2,.•.log.3>-2,

-z->3,，「<一，0<a<1,0<a<—

a233

故选:B.

【点睛】

本题考查函数周期性及其应用，解题过程中用到了数形结合方法，这也是高考常考的热点问题，属于中档题.

10.C

【解析】

根据函数的对称性和单调性的特点，利用排除法，即可得出答案.

【详解】

A中，当％=1时，y=sin7Lx=0#l,所以y=sin7tr不关于直线％=1对称，则A错误；

B中，-1I所以在区间［—1,0］上为减函数，则8错误；

11［-x+l,(x<1)

D中,y=f(x)=ex+ex,而/(0)=2,八2)=/+6-2,则〃0)。〃2),所以y=e'+e-不关于直线x=l对

称，则。错误;

故选：C.

【点睛】

本题考查函数基本性质，根据函数的解析式判断函数的对称性和单调性，属于基础题.

11.D

【解析】

根据三视图判断出几何体为正四棱锥，由此计算出几何体的表面积.

【详解】

根据三视图可知，该几何体为正四棱锥.底面积为2x2=4.侧面的高为收口了=石，所以侧面积为

4x1x2x75=475.所以该几何体的表面积是(475+4卜病.

故选：D

【点睛】

本小题主要考查由三视图判断原图，考查锥体表面积的计算，属于基础题.

12.B

【解析】

根据题意外=4+2d=2,。］+。4=2。］+3"=5,解得q=4,d=-\,得到答案.

【详解】

%=q+2d=2,q+%=2q+3d=5,解得q=4,d——1,故―6q+15d=9.

故选：B.

【点睛】

本题考查了等差数列的求和，意在考查学生的计算能力.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.{1,3}

【解析】

由集合A和集合8求出交集即可.

【详解】

解：•.,集合A={x|x=2k+1,%eZ},B={x|x(x-5)<O},

Ac3={l,3}.

故答案为：{1,3}.

【点睛】

本题考查了交集及其运算，属于基础题.

14.1

【解析】

根据程序框图直接计算得到答案.

【详解】

程序在运行过程中各变量的取值如下所示:

是否继续循环ix

循环前14

第一圈是44+2

第二圈是74+2+8

第三圈是104+2+8+14

退出循环，所以打印纸上打印出的结果应是：1

故答案为：1.

【点睛】

本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力.

15.4

【解析】

利用平面直角坐标系，设出点E,厂的坐标，由"=1可得（a—Ip+伍一2）2=1,利用数量积运算求得

AE-AF^2b+a＞再利用线性规划的知识求出t^a+2b的最大值.

【详解】

建立平面直角坐标系，如图（1）所示:

设E（2,a）,-0,l）,

即（。7）2+伍_2）2=1,

又荏•通=2/7+。，

☆t=a+2b,其中0＜。＜1,0＜。＜2,

画出图形，如图（2）所示：

当直线r=a+2。经过点以0,2）时，/取得最大值，=4.

故答案为：4

【点睛】

本题考查了向量数量积的坐标运算、简单的线性规划问题，解题的关键是建立恰当的坐标系，属于基础题.

16.{1}

【解析】

由不等式恒成立问题采用分离变量最值法：。25对任意的xe[0,1]恒成立，解得又一4（2告-1）（2。-1）

在玉20,々N0,玉+/41恒成立，即仁'■40,所以从而可得a=l.

a

【详解】

因为h（x）=a-2x-}是定义在[0,为上G函数,

所以对任意的xe[0,1]总有h（x）＞0,

则。之1对任意的xe[O,1J恒成立，

解得a＞\,

当以01时,

又因为X1..O,x2..O,%+々,，1时，

总有+工2）-〃（4）+〃（工2）成立，

即/2（玉+%2）_[〃（玉）+/2（/）]=a.2"+热—a-2x'-a-2X'+1

二4（2'|-1）（2*2—1）+1-々20恒成立，

即伫L（2*_1）（2金一1）恒成立，

又此时（2*—1）（2--1）的最小值为0,

即巴匚40恒成立，

a

又因为。之1

解得a=1.

故答案为：{1}

【点睛】

本题是一道函数新定义题目，考查了不等式恒成立求参数的取值范围，考查了学生分析理解能力，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.2^22-（1）2=V15

【解析】解：解：将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程为Y+V-4），=0,

即Y+（y—2尸=4,它表示以（0,2）为圆心，2为半径圆......................4分

直线方程I的普通方程为y=石N+1........8分

圆C的圆心到直线/的距离1=,，....................10分

2

故直线/被曲线C截得的线段长度为2^22-4）2=715...........14分

18.（1）曲线C：—+/=1,直线/的直角坐标方程%-丁+2=0；（2）1.

3

【解析】

试题分析：（1）先根据三角函数平方关系消参数得曲线。化为普通方程，再根据x=pcos9,y=psine将直线/的极

坐标方程化为直角坐标方程；（2）根据题意设直线4参数方程，代入C方程，利用参数几何意义以及韦达定理得点”

到A,B的距离之积

2

试题解析：（1）曲线。化为普通方程为：—+/=1,

3

由:pcos0+―J=-l,得pcos6-psine=—2,

所以直线/的直角坐标方程为x—丁+2=0.

X=-1H--1

（2）直线4的参数方程为厂a为参数）,

反

[y=——2t

2

代入、r+y2=l化简得：2/一J^-2=0，

设A,6两点所对应的参数分别为44,贝IJ他=T，

.•.|M4|-|MB|=|r/2|=l.

19.（1）见解析；（2）迈

7

【解析】

（1）由平面ABC£>J_平面PAO的性质定理得43,平面弘0，.•.A3_LP£>.在AB4D中，由勾股定理得

PDLAP,：.PD上平面PAB,即可得PDJ.PB；

（2）以尸为坐标原点建立空间直角坐标系，由空间向量法和异面直线8M与CE所成角的余弦值为巫，得点M的

5

坐标，从而求出二面角A1—AB—P的余弦值.

【详解】

（1）••,平面A6CD_L平面PAD，平面A3C£）n平面PAD=AO,XBAD=90»所以.由面面垂直的

性质定理得平面Q4O，.•.A5，P£>,在ARAD中，vAP^-AD,NADP=30,二由正弦定理可得：

2

sinZADP=-sinZAPD,

2

.•.ZAP£>=90°,即PO_LAP,平面：.PD±PB.

（由iA

（2）以P为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则8（0,1,1）,C^--,-,1,

（22J

七（日,0,0,设/[等a,（a,a（0<«<1）,则两=1等——l,

35

…瓯徐=前黄5h_回

I2一行一5

2cl—3。+2x—

2

得a=g,.•.BA/=|芋，一|,一；，而通=(0,0,1),设平面A8M的法向量为。=(x,y,z),由＜；飞::可得:

一?;z=。，令x=2,则”=(2,6,0),取平面Q4B的法向量沅=(1,0,0),则

m-n22币2x11

cos而，元=5[=，=+，故二面角M—AB—P的余弦值为迫■.

\m\\n\V777

【点睛】

本题考查了线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养和向量法的合理运用，

属于中档题.

20.(1)证明见解析；(2)久巫.

15

【解析】

(1)利用线面平行的定义证明即可

(2)取石厂的中点。，并分别连接。尸，0B,然后，证明相应的线面垂直关系，分别以OE,0B,。尸为x轴，y

轴，z轴建立空间直角坐标系，利用坐标运算进行求解即可

【详解】

证明：(1)在图1中，连接AC.

又E,b分别为AQ,CO中点，

所以EF\\AC.即图2中有EF\\AC.

又EFu平面PEF,AC(Z平面

所以AC〃平面P£F.

解：(2)在图2中，取石厂的中点。，并分别连接。P,0B.

又平面PEF平面ABCFE,平面A平面ABCFE=EF,POu平面PEF，所以P。平面ABCFE.

又45=4,所以PF=AE=PE=2,E0=0P=0F=6,OB=372-

分别以OE,08,O尸为x轴，)，轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则0(0,0,0),P(0,0,V2),B(0,3A/2,0),

E(V2,0,0),A(2&,夜⑼,所以丽=倒,-36⑹，£4=(72,72,0),丽=卜血,0,夜).

fV2x+V2y=0

设平面Q4E的一个法向量〃=(x,y,z),贝！］

[-夜x+=0

取x=l,贝!|丁=-1,z=l,所以〃

又BPn=忸网|/?|cos<BP,n>,

—.-0xl+f-3>/2)x(-l)+>/2xlr—