2019年广西桂林市中考数学试卷（解析版）

2019年广西桂林市中考数学试卷

一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符

合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）

1.（3分）（2019•桂林）2的倒数是（）

3

A.3B.-3c.-2D.2

2233

【考点】17：倒数.

【专题】511：实数.

【分析】直接利用倒数的定义得出答案.

【解答】解：2的倒数是：色.

32

故选：A.

【点评】此题主要考查了倒数，正确把握定义是解题关键.

2.（3分）（2019•桂林）若海平面以上1045米，记做+1045米，则海平面以下155米，记

做（）

A.-1200米B.-155米C.155米D.1200米

【考点】II：正数和负数.

【专题】511：实数.

【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答.

【解答】解：若海平面以上1045米，记做+1045米，则海平面以下155米，记做-155

米.

故选：B.

【点评】此题主要考查了正负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么

是一对具有相反意义的量.在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一

个就用负表示.

3.（3分）（2019•桂林）将数47300000用科学记数法表示为（）

A.473X105B.47.3X106C.4.73X107D.4.73X105

【考点】H：科学记数法一表示较大的数.

【专题】511：实数.

【分析】科学记数法的表示形式为“X10”的形式，其中1＜间＜10,〃为整数.确定“

的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值＞1时，〃是正数；当原数的绝对值＜1时，〃是负数.

【解答】解：将47300000用科学记数法表示为473X1（）7,

故选：C.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为aX10"的形式，其

中lW|a|＜10,”为整数，表示时关键要正确确定a的值以及"的值.

4.（3分）（2019•桂林）下列图形中，是中心对称图形的是（）

C.L——।直角三角形D.\--------/正五边形

【考点】R5：中心对称图形.

【专题】558：平移、旋转与对称.

【分析】根据中心对称图形的概念求解即可.

【解答】解：A、是中心对称图形，本选项正确；

B、不是中心对称图形，本选项错误；

C、不是中心对称图形，本选项错误；

。、不是中心对称图形，本选项错误.

故选：A.

【点评】本题考查了中心对称图形的概念.中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180

度后两部分重合.

5.（3分）（2019•桂林）9的平方根是（）

A.3B.±3C.-3D.9

【考点】21：平方根.

【分析】根据（±3）2=%即可得出答案.

【解答】解：；（±3）2=%

二9的平方根为：±3.

故选:B.

【点评】本题考查了平方根的知识，掌握平方根的定义是关键，注意一个正数的平方根

有两个且互为相反数.

6.（3分）（2019•桂林）如图，一个圆形转盘被平均分成6个全等的扇形，任意旋转这个转

盘1次，则当转盘停止转动时，指针指向阴影部分的概率是（）

2346

【考点】X5：几何概率.

【专题】543：概率及其应用.

【分析】用阴影部分扇形个数除以扇形的总个数即可得.

【解答】解：当转盘停止转动时，指针指向阴影部分的概率是工，

6

故选：D.

【点评】本题主要考查几何概率，求概率时，已知和未知与儿何有关的就是几何概率.计

算方法是长度比，面积比，体积比等.

7.（3分）（2019•桂林）F列命题中，是真命题的是（）

A.两直线平行，内错角相等

B.两个锐角的和是钝角

C.直角三角形都相似

D.正六边形的内角和为360°

【考点】01：命题与定理.

【专题】551：线段、角、相交线与平行线；55D：图形的相似.

【分析】利用平行线的性质、钝角及锐角的定义、相似三角形的判定及正多边形的内角

和公式分别判断后即可确定正确的选项.

【解答】解：A、两直线平行，内错角相等，正确，是真命题；

8、两个锐角的和不一定是钝角，故错误，是假命题；

C、所有的直角三角形不一定相似，故错误，是假命题；

D、正六边形的内角和为720°,故错误，是假命题；

故选:A.

【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质、钝角及锐角

的定义、相似三角形的判定及正多边形的内角和公式，难度不大.

8.（3分）（2019•桂林）下列计算正确的是（）

A..a2*a3=a60B.8a.—2a4=a

C.a+a^2aD.（a+3）2=a2+9

【考点】35：合并同类项；46：同底数幕的乘法；48：同底数幕的除法；4C：完全平方

公式.

【专题】512：整式.

【分析】直接利用同底数嘉的乘除运算法则以及完全平方公式、合并同类项法则分别化

简得出答案.

【解答】解：A、«2-«3=a5,故此选项错误；

B、“8+/=/,故此选项错误；

C、tz+tz--正确；

D、（a+3）2^a2+6a+9,故此选项错误；

故选：C.

【点评】此题主要考查了同底数基的乘除运算以及完全平方公式、合并同类项，正确掌

握相关运算法则是解题关键.

9.（3分）（2019•桂林）如果〃>儿c<0,那么下列不等式成立的是（）

A.a+c>bB.a+c>b-c

C.ac-1>bc-1D.〃（c-1）<b（c-1）

【考点】C2：不等式的性质.

【专题】524：一元一次不等式（组）及应用；66：运算能力.

【分析】根据不等式的性质即可求出答案.

【解答】解：

：.c-1<-1,

"：a>b,

.'.a（c-1）<b（c-1）,

故选：D.

【点评】本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练运用不等式的性质，本题属于中等

题型.

10.（3分）（2019•桂林）一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边

三角形，俯视图是圆，根据图中所示数据，可求这个物体的表面积为（）

A.nB.2ITC.3nD.）n

【考点】KK：等边三角形的性质；U1：简单几何体的三视图；U3：由三视图判断几何

体.

【专题】55C：与圆有关的计算；55F：投影与视图.

【分析】由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为百的正三角形.可

计算边长为2,据此即可得出表面积.

【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为正的正三角形.

...正三角形的边长=1^—=2.

sin60

圆锥的底面圆半径是1,母线长是2,

底面周长为2n

二侧面积为工x2nX2=如，•.•底面积为nr2=n,

2

全面积是3n.

故选：C.

【点评】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系

是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长.

11.（3分）（2019•桂林）将矩形ABC力按如图所示的方式折叠，BE,EG,FG为折痕，若

顶点A,C,。都落在点。处，且点B,O,G在同一条直线上，同时点E,O,尸在另一

条直线上，则坦的值为（）

B.V2cD.愿

A.f4

【考点】LB：矩形的性质；PB：翻折变换(折叠问题).

【专题】558：平移、旋转与对称.

【分析】由折叠可得，E,G分别为A£>,CD的中点，设CD=2a,AD=2b,根据Rt4

8CG中，CG1+BC2=BG1,可得即/+(2b)2=(3a)2,进而得出他的值.

AB

【解答】解：由折叠可得，AE=OE=DE,CG=OG=DG,

：.E,G分别为AD,CD的中点，

设CD=2a,AD=2b,则AB=2“=0B,DG=OG=CG=a,BG=3a,BC=AD=2b,

VZC=90°,

；.RtZ\BCG中，CG1+BC1=BG1,

即a2+(2b)2=(3a)

即b=y[2a,

*二五'

...坦的值为企,

AB

故选：B.

【点评】本题主要考查了折叠问题，解题时，我们常常设要求的线段长为x,然后根据折

叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用

勾股定理列出方程求出答案.

12.(3分)(2019•桂林)如图，四边形ABC。的顶点坐标分别为4(-4,0),8(-2,-

1),C(3,0),D(0,3),当过点8的直线/将四边形分成面积相等的两部分时,

直线/所表示的函数表达式为()

A.y--^v+—B.y=-^x+—C.y=x+lD.

■10533■42

【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；FA：待定系数法求一次函数解析式.

【专题】533：一次函数及其应用.

=14;

【分析】由已知点可求四边形A8CD分成面积=LxACX（|yg|+3）=—X7X4

22

求出8的直线解析式为y=-x+3,设过B的直线/为），=辰+'并求出两条直线的交点,

直线/与x轴的交点坐标，根据面积有7=LX（3-1Z2L）X（兆ZL+1）,即可求k；

2kk+1

【解答】解：由A（-4,0）,B（-2,-1）,C（3,0）,D（0,3）,

；.AC=7,£）0=3,

四边形ABC。分成面积=工xACX（|泞+3）=1x7X4=14,

22

可求CD的直线解析式为y=-x+3,

设过B的直线/为y=kx+b,

将点B代入解析式得y=kx+2k-1,

...直线co与该直线的交点为（生包L,生L）,

k+1k+1

直线y=fcv+2h1与x轴的交点为（上在_,0）,

k

；.7=LX（3->2k）*（5k-l+1）>

2kk+1

仁立•或k=0,

4

直线解析式为>=刍+3；

,42

故选：D.

【点评】本题考查一次函数的解析式求法；掌握平面内点的坐标与四边形面积的关系,

熟练待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键.

二、填空题（共6小题.每小题3分，共18分，请将答案填在答题卡上）

13.（3分）（2019•桂林）计算：1-20191=2019.

【考点】15：绝对值.

【专题】511：实数.

【分析】根据绝对值解答即可.

【解答】解：|-2019（=2019,

故答案为：2019.

【点评】此题考查绝对值问题，关键是根据负数的绝对值是其相反数解答.

14.（3分）（2019•桂林）某班学生经常采用“小组合作学习”的方式进行学习，王老师每

周对各小组合作学习的情况进行综合评分.下表是各小组其中一周的得分情况:

组别—■二三四五六七八

得分9095908890928590

这组数据的众数是90.

【考点】W5：众数.

【专题】541：数据的收集与整理.

【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数.

【解答】解：90出现了4次，出现的次数最多，则众数是90；

故答案为：90

【点评】此题考查了众数，注意中位数和众数的区别，中位数是将一组数据从小到大（或

从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中

位数；众数是一组数据中出现次数最多的数

15.（3分）（2019•桂林）一元二次方程（x-3）（x-2）=0的根是修=3,电=2.

【考点】A8：解一元二次方程-因式分解法.

【专题】523：一元二次方程及应用.

【分析】利用因式分解法把方程化为x-3=0或x-2=0,然后解两个一次方程即可.

【解答】解：x-3=0或x-2=0,

所以为=3,X2=2.

故答案为xi=3,汹=2.

【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出

方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法.

16.（3分）（2019•桂林）若，+or+4=（x-2）~,则a=-4.

【考点】54：因式分解-运用公式法.

【专题】512：整式.

【分析】直接利用完全平方公式得出a的值.

【解答】解：,.•/+0）;+4=（x-2）

".a=-4.

故答案为：-4.

【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键.

17.（3分）（2019•桂林）如图，在平面直角坐标系中，反比例y=k*>0）的图象和△ABC

X

都在第一象限内，AB=AC=^,BC〃x轴，且BC=4,点A的坐标为（3,5）.若将△

2

ABC向下平移机个单位长度,4C两点同时落在反比例函数图象上，则胆的值为旦.

一4一

~O左

【考点】G2：反比例函数的图象；G6：反比例函数图象上点的坐标特征；KH：等腰三

角形的性质；Q3：坐标与图形变化-平移.

【专题】534：反比例函数及其应用.

【分析】根据已知求出B与C点坐标，再表示出相应的平移后A与C坐标，将之代入反

比例函数表达式即可求解；

【解答】解：BC=4,点4（3,5）.

2

：.B（1,工），C（5,2），

22

将△48C向下平移m个单位长度，

AA（3,5-m）,C（5,工-机）,

2

C两点同时落在反比例函数图象上，

A3（5-m）=5（-L-m）,

2

；.，"=也"；

4

故答案为反；

4

【点评】本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握等腰三角形的性质，通过等腰三

角形求出点的坐标是解题的关键.

18.（3分）（2019•桂林）如图，在矩形ABCD中，AB=M，AO=3,点P是边上的一

个动点，连接8P,作点A关于直线BP的对称点A”连接AiC,设4c的中点为Q,当

点P从点A出发，沿边AD运动到点D时停止运动，点Q的运动路径长为—除匚.

【考点】LB：矩形的性质；04：轨迹：P2：轴对称的性质.

【专题】556：矩形菱形正方形；558：平移、旋转与对称.

【分析】如图，连接BAi，取BC使得中点0,连接0Q,BD.利用三角形的中位线定理

证明0。=返=定值，推出点Q的运动轨迹是以。为圆心，0。为半径的圆弧，圆心角

2

为120°,已解决可解决问题.

【解答】解：如图，连接84，取8c使得中点。，连接。Q,BD.

；四边形ABCD是矩形，

:.NBAD=90°,

tanNABD=

AB

AZABD=60°,

•・・AIQ=QC，BO=OC,

：.0Q=XBAI=乙3=返，

222

点。的运动轨迹是以。为圆心，。。为半径的圆弧，圆心角为120°,

加

_120-/-

，点Q的运动路径长=----------

1803

故答案为返m

3

【点评】本题考查轨迹，矩形的性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所

学知识解决问题，属于中考常考题型.

三.解答题（本大题共8题，共66分，请将解答过程写在答题卡上）

19.（6分）（2019•桂林）计算：（-1）2019-Vl^-tanbO0+（n-3.14）0.

【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幕；T5：特殊角的三角函数值.

【专题】511：实数.

【分析】先计算乘方、化简二次根式、代入三角函数值、零指数累，再计算加减可得.

【解答】解：原式=-1-2愿+«+1

=-V3.

【点评】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握乘方的定义、二次根式的性质及

零指数基的规定.

20.（6分）（2019•桂林）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度.我们

将小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点均在格点上.

（1）将△ABC先向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到△4B1G，画

出平移后的△AiBiG；

（2）建立适当的平面直角坐标系，使得点A的坐为（-4,3）；

（3）在（2）的条件下，直接写出点心的坐标.

【考点】Q4：作图-平移变换.

【专题】13：作图题.

【分析】（1）利用网格特点和平移的性质画出A、B、C的对应点Ai、8|、G，从而得到

△A]8[C]；

（2）利用A点坐标画出直角坐标系；

（3）利用第二象限点的坐标特征写出点4的坐标.

【解答】解：（1）如图，△431G为所作；

y

（2）如图，

（3）点Ai的坐标为（2,6）.

【点评】本题考查了作图-平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、

平移距离.作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离

确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形.

22

21.（8分）（2019•桂林）先化简，再求值：（工-工）2工其中犬=2+&,

yx2xyy-x

y=2.

【考点】6D：分式的化简求值.

【专题】513：分式.

【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x、y的值代入计算可得.

［解答］解：原式=汉.2xy+，_

xy（x-y）2X力

=2+J__

3

当x=2+&,y=2时,

原式3

2+V2-22

【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和

运算法则.

22.（8分）（2019•桂林）某校在以“青春心向觉，建功新时代”为主题的校园文化艺术节

期间，举办了A合唱，8群舞，C书法，。演讲共四个项目的比赛，要求每位学生必须

参加且仅参加一项，小红随机调查了部分学生的报名情况，并绘制了下列两幅不完整的

统计图，请根据统计图中信息解答下列问题：

（1）本次调查的学生总人数是多少？扇形统计图中部分的圆心角度数是多少？

（2）请将条形统计图补充完整；

（3）若全校共有1800名学生，请估计该校报名参加书法和演讲比赛的学生共有多少人？

【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图.

【专题】542：统计的应用.

【分析】（1）由A项目人数及其所占百分比可得总人数，用360。乘以。项目人数所占

比例可得；

（2）由各项目人数之和等于总人数可得C的人数，从而补全条形图；

（3）利用样本估计总体思想求解可得.

【解答】解：（1）本次调查的学生总人数是120・60%=200（人），

扇形统计图中“D”部分的圆心角度数是360°X旦=14.4°；

200

（2）C项目人数为200-（120+52+8）=20（人）,

补全图形如下：

（3）估计该校报名参加书法和演讲比赛的学生共有1800X在坦=252（人）.

200

【点评】本题考查了条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必

要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图

直接反映部分占总体的百分比大小.

23.（8分）（2019•桂林）如图，AB=AD,BC=DC,点E在AC上.

（1）求证：AC平分N8AO；

（2）求证：BE=DE.

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KF：角平分线的性质.

【专题】552：三角形；553：图形的全等.

【分析】（1）由题中条件易知：△ABCgZVIOC,可得AC平分/BA。；

（2）利用（1）的结论，可得△8AE名△D4E,得出BE=OE.

rAB=AD

【解答】解：（1）在△4BC与△4OC中，，AC=AC

BC=DC

.,.△ABC丝△AQC（SSS）

：.ZBAC=ZDAC

即AC平分/BAD；

（2）由⑴NBAE=NDAE

'BA=DA

在△BAE与△加£中，得，ZBAE=ZDAE

,AE=AE

.'.△BAE丝△OAE（SAS）

：.BE=DE

【点评】熟练运用三角形全等的判定，得出三角形全等，转化边角关系是解题关键.

24.（8分）（2019•桂林）为响应国家“足球进校园”的号召，某校购买了50个A类足球和

25个B类足球共花费7500元，已知购买一个B类足球比购买一个4类足球多花30元.

（1）求购买一个A类足球和一个B类足球各需多少元？

（2）通过全校师生的共同努力，今年该校被评为“足球特色学校”，学校计划用不超过

4800元的经费再次购买A类足球和B类足球共50个，若单价不变，则本次至少可以购

买多少个4类足球？

【考点】9A：二元一次方程组的应用；C9：一元一次不等式的应用.

【专题】34：方程思想；521：一次方程（组）及应用；524：一元一次不等式（组）及应用.

【分析】（1）设购买一个A类足球需要x元，购买一个B类足球需要y元，根据“购买

50个A类足球和25个B类足球共花费7500元，购买一个8类足球比购买一个A类足球

多花30元”，即可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设购买机个A类足球，则购买（50-〃?）个B类足球，根据总价=单价X数量结合

总费用不超过4800元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得

出结论.

【解答】解：（1）设购买一个A类足球需要x元，购买一个B类足球需要y元，

依题意，得：-Ox+25尸7500,

y-x=30

解得：（x=90.

ly=120

答：购买一个A类足球需要90元，购买一个8类足球需要120元.

（2）设购买，〃个A类足球，则购买（50-%）个B类足球，

依题意,得:90/n+120（50-;n）W4800,

解得：，〃240.

答：本次至少可以购买40个A类足球.

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是:

（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出

一元一次不等式.

25.（10分）（2019•桂林）如图，8M是以为直径的。。的切线，B为切点，8c平分/

ABM,弦CD交AB于点E,DE=OE.

（1）求证：△4CB是等腰直角三角形；

（2）求证：OA2=OE・DC：

（3）求tan/ACQ的值.

【考点】MR：圆的综合题.

【专题】559：圆的有关概念及性质；55A：与圆有关的位置关系；55D：图形的相似.

【分析】(1)由切线的性质和圆周角定理可得/AC2=/ABM=90°,由角平分线的性

质可得/C48=NCBA=45°；

(2)通过证明△EDOsZ^OOC,可得毁口，即可得结论；

DCDO

(3)连接8。，AD,作交8。于点尺由外角的性质可得NCAB

=ZCDB=45°=ZEDO+ZODB=3ZODB,可求NOZ)B=15°=NOBD,由直角三角

形的性质可得BO=OF+BF=J示。+2AO,即可求tanZACD的值.

【解答】证明：(1)是以A8为直径的。。的切线，

：.N4BA/=90°,

平分NA8M,

/ABC=L/A8M=45°

2

；A3是直径

/.ZACB=90°,

：.ZCAB=ZCBA=45C,

：.AC=BC

...△ACB是等腰直角三角形；

(2)如图，连接0力，OC

,:DE=EO,DO=CO

：./EDO=ZEOD,NEDO=ZOCD

：.ZEDO=AEDO,NEOD=NOCD

:.△EDOsAODC

.QD_DE

"'DC^DO

.•.O£>2=OE・OC

：.OAi=DE，DC=EO*DC

(2)如图，连接BO,AD,DO,作NBAF=/OBA,交BD于点、F,

'：DO=BO

：.ZODB=ZOBD,

：.NAOD=2/ODB=/EDO,

"：ZCAB=ZCDB=45°=NED0+N0DB=3N0DB,

：.ZODB=15°=ZOBD

"：ZBAF=ZDBA=\5°

：.AF=BF,ZAFD=30°

'：AB是直径

NADB=90°

：.AF=2AD,DF=yfsAD

：.BD=DF+BF=y[y\D+2AD

：.tnnZACD=tanZABD=^-^—^==2-遥

BD2+V3

【点评】本题属于圆的综合题，考查了圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性

质以及锐角三角函数等知识.注意准确作出辅助线是解此题的关键.

26.（12分）（2019•桂林）如图，抛物线y=-，+fev+c与x轴交于点A（-2,0）和B（/,

0）,与y轴交于点C.

（1）求抛物线的表达式；

（2）作射线AC,将射线AC绕点A顺时针旋转90°交抛物线于另一点D,在射线AD

上是否存在一点“，使△C”B的周长最小.若存在，求出点，的坐标；若不存在，请说

明理由；

（3）在（2）的条件下，点。为抛物线的顶点，点尸为射线4力上的一个动点，且点P

的横坐标为f,过点P作x轴的垂线/,垂足为E,点P从点A出发沿A。方向运动，直

线/随之运动，当时，直线/将四边形ABCQ分割成左右两部分，设在直线/

左侧部分的面积为S,求S关于r的函数表达式.

【考点】HF：二次函数综合题.

【专题】153：代数几何综合题；25：动点型；2C：存在型；32：分类讨论；41：待定系

数法；46：几何变换；521：一次方程(组)及应用;533：一次函数及其应用；535：二

次函数图象及其性质；554：等腰三角形与直角三角形；558：平移、旋转与对称.

【分析】(1)由抛物线与x轴两交点坐标，可得抛物线交点式为y=-(x+2)(x-1),

去括号即得到抛物线的表达式.

(2)由于点H在射线40上运动，点C、8在射线的同侧，求△CH8的周长最小即

求CH+8H最小,作点C关于直线AO的对称点C即有C”=C”，只要点C、H、B在

同一直线上时，CH+BH=C'H+BH=CB最小.求点C坐标，即求直线AC解析式，由射

线AQ是由射线AC旋转90°得到可求得直线AD解析式.由点A为CC中点求得点C

坐标，即求得直线CB解析式，把直线AO与直线C8解析式联立成方程组，求得的解即

为点H坐标.

(3)求点Q坐标，画出图形，发现随着，的变化，直线/与四边形ABC。不同的边相交，

即直线/左侧部分的形状不相同，需分直线/分别与线段AQ、QC、C8相交三种情况.当

直线/与线段AQ相交于点尸时，S即为△AEF的面积，求直线4Q解析式，即能用f表

示尸的坐标进而表示4E、E尸的长，代入面积公式即得到S与/的函数关系式；当直线/

与线段QC相交于点G时，作QMLx轴于点M,S为AAOM与梯形MEGQ面积的和，

求直线QC解析式，用f表示G的坐标进而表示GE、ME的长，再代入计算；当直线/

与线段BC相交于点N时，S为四边形ABCQ与△BEN面积的差，求直线BC解析式，用

f表示N的坐标进而表示NE、BE的长，代入计算即可.

【解答】解：(1)抛物线与x轴交于点A(-2,0)和8(/,0)

••.交点式为y=-(x+2)(x-1)=-(x2+x-2)

抛物线的表示式为y=-/-x+2

(2)在射线上存在一点H,使△CH8的周长最小.

如图1,延长CA到C,使AC=AC,连接BC,BC与AO交点即为满足条件的点H

：x=0时，产-x2-x+2=2

：.C(0,2)

：.OA=OC=2

：.ZCAO=45a,直线AC解析式为y=x+2

•.•射线AC绕点A顺时针旋转90°得射线AD

：.ZCAD=90Q

：.ZOAD^ZCAD-ZCAO=45°

直线AO解析式为y=-x-2

■：AC=AC,ADLCC

：.C(-4,-2),AQ垂直平分CC

：.CH=CH

.•.当C、H、B在同一直线上时，CMHB=CH+BH+BC=CH+BH+BC=BC+BC最小

设直线BC解析式为丫=履+“

...f-4k+a=-2解得：

[k+a=0

直线8C：y=2r-Z

55

'_2_2x=4

V.尸石*了解得：，

_6

y=-x-2y=-

.•.点〃坐标为(-旦,-0)

77

(3),•y--x-x+2--(x+L)2+—

24

•••抛物线顶点Q(-1，1)

24

①当-2V/W-马h如图2,直线/与线段AQ相交于点产

2

设直线AQ解析式为y=mx+n

-2m+n-03

19解得：<嗔

n=3

，直线AQ：尸当+3

2

•.•点尸横坐标为bP/LY轴于点E

FCt,3+3)

2

：.AE=t-(-2)=1+2,庄=乡+3

2

.•.S=SAAEF=L?EF=LG+2)(当+3)=当+3什3

2224

②当-L<fWO时，如图3,直线/与线段QC相交于点G,过点Q作QMLx轴于M

2

：.AM=-L-(-2)=旦,QM=

22l

••・SAAQM=XAM'QM=—X—X—

222416

设直线CQ解析式为y=»+2

把点。代入：-/+2=/解得：~~2

...直线CQ：--kr+2

：.GCt,」+2)

2

：.EM=t-(」)=f+LGE=-Xf+2

222

S(jf,®M£GO——(QM+GE)•ME——(—--i-/+2)(f+—)--l--

22422416

22

■'-S—S^AQM+SMEGQ--^-^(-Ar+2r+AZ_)=--Lf+2z+Al-

1641644

③当0<yi时，如图4,直线/与线段BC相交于点N

设直线BC解析式为）=疗+2

把点8代入：什2=0,解得：r=-2

，直线BC：y=-2x+2

：.N(r,-2/+2)

：.BE^i-t,NE=-2t+2

•••SABEN=^E・NE=L(1-r)(-2r+2)=z2-2t+l

22

榜形"OCQ=L(QM+CO).OM=Lx(2+2)xJ_=lL,SABOC=20・CO=LX1

22421622

X2=l

2

•'•S-S^AQM+S悌彩MOCQ+S^BOC-SABEN=^"+^-+1-(/-2z+l)=r-

16164

t2+3t+3(-2<t<

综上所述，S=jWt+2t+/(个

t2-2t+^(0<t<l)

城,

月八JOE外力

1^

J图L3

【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质，轴对称求最短路径，一次函

数的图象与性质，解二元一次方程组.其中第（3）题画图分类讨论后计算较繁琐复杂，

要细心运算.

考点卡片

1.正数和负数

1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号叫做负数，一个数前面的

”号叫做它的符号.

2、0既不是正数也不是负数.0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数.

3、用正负数表示两种具有相反意义的量.具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包

含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量.

2,绝对值

(1)概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值.

①互为相反数的两个数绝对值相等；

②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数.

③有理数的绝对值都是非负数.

(2)如果用字母a表示有理数，则数a绝对值要由字母“本身的取值来确定：

①当。是正有理数时，〃的绝对值是它本身a；

②当。是负有理数时，。的绝对值是它的相反数-a；

③当“是零时，。的绝对值是零.

即|a|={a(a>0)0(a=0)-a(a<0)

3.倒数

(1)倒数：乘积是1的两数互为倒数.

一般地，«,—=1(aWO),就说a(a#0)的倒数是L.

aa

(2)方法指引：

①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”.正像减法转化为加法及相反数一

样，非常重要.倒数是伴随着除法运算而产生的.

②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0没有倒数，这与相反数不同.

【规律方法】求相反数、倒数的方法

求一个数的相反数求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“-”即可

求一个数的倒数求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一

求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置

注意：0没有倒数.

4.科学记数法一表示较大的数

（1）科学记数法：把一个大于10的数记成aX10"的形式，其中a是整数数位只有一位的

数，〃是正整数，这种记数法叫做科学记数法.【科学记数法形式：“X10",其中l<aV10,

〃为正整数.】

（2）规律方法总结：

①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数

位数少1;按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数小

②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用

此法表示，只是前面多一个负号.

5.平方根

（1）定义：如果一个数的平方等于小这个数就叫做。的平方根，也叫做a的二次方根.

一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根.

（2）求一个数”的平方根的运算，叫做开平方.

一个正数a的正的平方根表示为“«”，负的平方根表示为“-值

正数a的正的平方根，叫做。的算术平方根，记作a.零的算术平方根仍旧是零.

平方根和立方根的性质

1.平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0;负数没有平方

根.

2.立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数,

0的立方根是0.

6.实数的运算

（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、

乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方.

（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算

乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行.

另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用.

【规律方法】实数运算的“三个关键”

1.运算法则：乘方和开方运算、幕的运算、指数(特别是负整数指数，0指数)运算、根

式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等.

2.运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从

左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算.

3.运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度.

7.合并同类项

(1)定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项.

(2)合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不

变.

(3)合并同类项时要注意以下三点：

①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同

系数的代数项；字母和字母指数；

②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数

会减少，达到化简多项式的目的；

③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字

母和字母的指数不变.

8.同底数幕的乘法

(1)同底数基的乘法法则：同底数基相乘，底数不变，指数相加.

仆/=/"(相，〃是正整数)

(2)推广:am-an-ap^am+n+p(〃?，n,p都是正整数)

在应用同底数累的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如2?与2§,(Jb2)3与(a2/,2)

4,(x-y)2与(x-y)3等；②。可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只

有相乘时才是底数不变，指数相加.

(3)概括整合：同底数幕的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键.在

运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变

形为同底数累.

9.同底数幕的除法

同底数塞的除法法则：底数不变，指数相减.

am-^a'=a""Ca^O,m,"是正整数，m>n）

①底数“WO,因为0不能做除数；

②单独的一个字母，其指数是1,而不是0；

③应用同底数基除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是

什么，指数是什么.

10.完全平方公式

（1）完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2,.

可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”.

（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，

其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算

符号相同.

（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a,b可是单项式，也可以是多项式；（2）

对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两

项看做一项后，也可以用完全平方公式.

11.因式分解-运用公式法

1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法.

平方差公式：a2-I^=（a+h）（a-/>）；

完全平方公式：/±2。匕+。2=（a±6）2；

2、概括整合：

①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符

号相反.

②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）

的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍.

3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止.

12.分式的化简求值

先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值.

在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简.化简的最后结果分子、分母要进行约分，注

意运算的结果要化成最简分式或整式.

【规律方法】分式化简求值时需注意的问题

1.化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值.化简时不能跨度太大，而缺

少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式=

2.代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法.解题时可根据题目的具体条件选

择合适的方法.当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式

都有意义，且除数不能为0.

13.零指数累

零指数幕：a=\(a^O)