2023年河南省卢氏实验高中高三考前热身数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数二满足z(l-i)=2,其中i为虚数单位，贝lz—1=().

A.iB.-iC.1+zD.l-i

2.设全集U=R,集合4=&|尤2-3工-4>0},则a)A=()

A.{x|-l<x<4}B.{x|-4<x<l}C.{x|-l<x<4}D.{x|-4Sr<l}

3.若复数z满足(I+3i)z=(l+i)2,则|z|=()

N亚R有CD.叵

A・------15・-----lx♦

45~r5

4.已知函数〃x)=(lnax-D(x2+ox-4),若x>()时，恒成立，则实数"的值为()

A.ZeB.I

"&-2,J4-e

zt

5.已知复数4=6-81,z2=-i,则一()

Z2

A.8—6iB・8+6i(-8+6iD.-8-6i

4%

6.如图所示，用一边长为0的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为7的鸡

蛋(视为球体)放入其中，蛋巢形状保持不变则鸡蛋(球体)离蛋巢底面的最短距离为()

<A>

XZ

,5/2+1

A.r

22

&-1

C.i

22

7.已知函数/(x)=cos2x+J^sin2x+l,则下列判断错误的是()

A./(x)的最小正周期为万B..f(x)的值域为

7T

C./(X)的图象关于直线》=上对称D./(幻的图象关于点一?,0)对称

6

kx,x>0

8.记/(x)=X-［幻其中㈤表示不大于x的最大整数g(x)=1八，若方程在/(%)=g(x)在[-5,5]有7个不

——,x<0

x

同的实数根，则实数〃的取值范围()

,1]_]_]_]_

A.B.C.D.

6?5655ma554

9.设加，”是两条不同的直线，a,£是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若加//〃，mL/3,则〃，/?；

②若mHa,mH0,则。〃£；③若加_La,nila,贝④若加〃a,mL/3,则a_L4；其中真命题的个

数为()

A.1B.2C.3D.4

10.已知i为虚数单位，复数二满足Z-(l-i)=i,则复数二在复平面内对应的点在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

22

11.已知双曲线=1(。>04>0)的右焦点为尸，若双曲线。的一条渐近线的倾斜角为且点尸到该渐近

线的距离为6,则双曲线C的实轴的长为

A.1B.2

4

0・竽

2

12.若双曲线C：工—y2=i的一条渐近线方程为3x+2y=O,则/〃=()

m

4923

A.B.-C.一D.-

9432

填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知圆柱的上、下底面的中心分别为。「。2,过直线aa的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则

该圆柱的表面积为

14.如图，某地一天从6〜14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(Q)x+e)+。，则这段曲线的函数解析式为

771：

15.如图，AB是圆。的直径，弦BD,C4的延长线相交于点E,ER垂直84的延长线于点尸.求证:

AB-=BE-BD-AE-AC

16.已知集合A={1,4},3={弓一5,7}.若4<^3={4},则实数a的值是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)如图所示的几何体中，面底面ABCQ,四边形AOEF为正方形，四边形ABC。为梯形,

JT

AB//CD,NBAD=—,AB=AD^2CD=4,G为BF中点.

2

(1)证明：CG〃面ADEF；

(2)求二面角A—8/一。的余弦值.

2

18.(12分)设函数/(x)=|x-a|+|x+-|(a>0).

a

2

(1)若不等式/(x)-|x+一|%x的解集为{x降"，求实数a的值;

a

(2)证明：/(x)>272.

19.（12分）如图，在三棱柱ABC-A与G中，46人平面ABC,ABLAC,且AB=AC=A6=2.

G/】

曲

(1)求棱AR与8C所成的角的大小；

(2)在棱与G上确定一点P,使二面角P-AB-4的平面角的余弦值为竽.

20.(12分)为增强学生的法治观念，营造“学宪法、知宪法、守宪法”的良好校园氛围，某学校开展了“宪法小卫士”

活动，并组织全校学生进行法律知识竞赛.现从全校学生中随机抽取50名学生，统计他们的竞赛成绩，已知这50名

学生的竞赛成绩均在［50,100］内，并得到如下的频数分布表：

分数段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

人数51515123

(1)将竞赛成绩在［70,100］内定义为，，合格”，竞赛成绩在［50,70)内定义为“不合格”.请将下面的2/2列联表补充完

整，并判断是否有95%的把握认为“法律知识竞赛成绩是否合格”与“是否是高一新生”有关？

合格不合格合计

高一新生12

非高一新生6

合计

(2)在(1)的前提下，按“竞赛成绩合格与否”进行分层抽样，从这5()名学生中抽取5名学生，再从这5名学生中随

机抽取2名学生，求这2名学生竞赛成绩都合格的概率.

参考公式及数据：K2=----------丛㈣—---------,其中〃=a+Z?+c+d.

(〃+b)(c+d)(〃+c)(/?+d)

2

P(K>k0)0.1000.05()0.0100.001

k。2.7063.8416.63510.828

21.(12分)随着互联网金融的不断发展，很多互联网公司推出余额增值服务产品和活期资金管理服务产品，如蚂蚁

金服旗下的“余额宝”，腾讯旗下的“财富通”，京东旗下“京东小金库”.为了调查广大市民理财产品的选择情况，随机抽

取1200名使用理财产品的市民，按照使用理财产品的情况统计得到如下频数分布表：

分组频数（单位：名）

使用“余额宝”X

使用“财富通”y

使用“京东小金库”30

使用其他理财产品50

合计1200

已知这1200名市民中，使用“余额宝”的人比使用“财富通”的人多160名.

（1）求频数分布表中“，丁的值；

（2）已知2018年“余额宝”的平均年化收益率为2.8%,“财富通”的平均年化收益率为4.2%.若在1200名使用理财产

品的市民中，从使用“余额宝”和使用“财富通”的市民中按分组用分层抽样方法共抽取7人，然后从这7人中随机选取

2人，假设这2人中每个人理财的资金有10000元，这2名市民2018年理财的利息总和为X,求X的分布列及数学

期望.注：平均年化收益率，也就是我们所熟知的利息，理财产品“平均年化收益率为3%”即将100元钱存入某理财产

品，一年可以获得3元利息.

22.（10分）如图，四棱锥P—ABC。中，PAL底面ABC。，ABYAD,点E在线段上，且CEHAB.

（2）若Q4=AB=1，AD=3,CD=6，NCD4=45°,求二面角P-CE-3的正弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

先化简求出z,即可求得答案.

【详解】

因为z(l—i)=2,

2_2(1+z)_2(1+7)

所以z==l+z

1^7"-2

所以z—l=l+i—l=i

故选：A

【点睛】

此题考查复数的基本运算，注意计算的准确度，属于简单题目.

2.C

【解析】

解一元二次不等式求得集合A,由此求得&A

【详解】

由f-BxTWxTNx+l)>。，解得X<—1或x〉4.

因为A={x|x<—1或x>4},所以3bA={x|-14x<4}.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合补集的概念和运算，属于基础题.

3.D

【解析】

先化简得z=1+gi,再求|z|得解.

【详解】

2i2i(l-3i)31.

z=----=---------=---1--1

l+3i1055'

所以|z|=半.

故选：D

【点睛】

本题主要考查复数的运算和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

4.D

【解析】

通过分析函数y=lnax-l（x>0）与y=x2+ar-4（x>0）的图象，得到两函数必须有相同的零点f,解方程组

In"-1=0

即得解.

矿+at—4—0

因为x>0时，/（力2。恒成立,

于是两函数必须有相同的零点乙

Inar-1=0

所以《

a2+at-4=Q

at=4-t2=e>

解得"忌，

故选：D

【点睛】

本题主要考查函数的图象的综合应用和函数的零点问题，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解

掌握水平.

5.B

【解析】

分析：利用/=_］的恒等式，将分子、分母同时乘以i,化简整理得五=8+6i

Z2

Z16—8z6z—8广

详解：一=-=---—=8+6］,故选B

z?-j—i

点睛：复数问题是高考数学中的常考问题，属于得分题，主要考查的方面有：复数的分类、复数的几何意义、复数的

模、共辗复数以及复数的乘除运算，在运算时注意『=7符号的正、负问题.

6.D

【解析】

47r

因为蛋巢的底面是边长为1的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1,又因为鸡蛋的体积为三，所

以球的半径为1,所以球心到截面的距离1=Ji］工=正，而截面到球体最低点距离为1-无，而蛋巢的高度为,，

V4222

1(出)出

故球体到蛋巢底面的最短距离为彳-1-一=丫丁.

点睛:本题主要考查折叠问题，考查球体有关的知识.在解答过程中，如果遇到球体或者圆锥等几何体的内接或外接几何

体的问题时，可以采用轴截面的方法来处理.也就是画出题目通过球心和最低点的截面，然后利用弦长和勾股定理来解

决.球的表面积公式和体积公式是需要熟记的.

7.D

【解析】

先将函数f(x)=cos2x+百sin2x+l化为/(x)=2sin(2x+V+l,再由三角函数的性质，逐项判断，即可得出结

果.

【详解】

/(x)=cos2x+>/3sin2x+1

可得/(x)=2—•cos2x+-sin2x+1=2sinf2x+—>1+1

2兀2TI

对于A,/(x)的最小正周期为7=「=丁=»，故A正确；

1。12

对于B,由-l<sin(2x+£j4l,可得—lW/(x)W3,故B正确；

jrjr

对于C,•.•正弦函数对称轴可得：2%+工=Z〃+—，UeZ)

62

解得：与=g上"+?,(%£Z),

JT

当Z=0,x=-,故C正确；

06

对于D,•.•正弦函数对称中心的横坐标为：2%+"=攵乃,仕€2)

6

1JT

解得：/=—%"+—,(ZEZ)

212、7

若图象关于点［-£,()］对称，则!左万+2=一工

<4J2124

2

解得：k=-］，故D错误；

故选：D.

【点睛】

本题考查三角恒等变换，三角函数的性质，熟记三角函数基本公式和基本性质，考查了分析能力和计算能力，属于基

础题.

8.D

【解析】

做出函数/(x),g(x)的图象，问题转化为函数/(x),g(x)的图象在［-5,5］有7个交点，而函数/(x),g(x)在［-5,0］上

有3个交点，则在［0,5］上有4个不同的交点，数形结合即可求解.

【详解】

方程f(x)=g(x)在［-5,0］上有3个不同的实数根，

则在［0,5］上有4个不同的实数根，

当直线y=履经过(4,1)时，k=］

当直线y=船经过(5,1)时，kJ,

可知当时，直线y=与f(x)的图象在［0,5］上有4个交点，

54

即方程/(%)=g(x),在［0,5］上有4个不同的实数根.

故选:D.

【点睛】

本题考查方程根的个数求参数，利用函数零点和方程之间的关系转化为两个函数的交点是解题的关键，运用数形结合

是解决函数零点问题的基本思想，属于中档题.

9.C

【解析】

利用线线、线面、面面相应的判定与性质来解决.

【详解】

如果两条平行线中一条垂直于这个平面，那么另一条也垂直于这个平面知①正确；当直线加

平行于平面。与平面夕的交线时也有加〃a,ml1/3,故②错误；若〃2,a,则〃?垂直平面

a内以及与平面a平行的所有直线，故③正确；若/篦〃a,则存在直线/ua且机/〃，因

为〃?所以从而故④正确.

故选：C.

【点睛】

本题考查空间中线线、线面、面面的位置关系，里面涉及到了相应的判定定理以及性质定理，是一道基础题.

10.B

【解析】

求出复数z,得出其对应点的坐标，确定所在象限.

【详解】

由题意2=丁匚=7.、=-［+Ii,对应点坐标为(—1,2),在第二象限.

l-i(l-i)(l+i)2222

故选：B.

【点睛】

本题考查复数的几何意义，考查复数的除法运算，属于基础题.

11.B

【解析】

双曲线C的渐近线方程为^=±2》，由题可知2=tan工=6.

aa3

16cl

设点尸(c,0),则点尸到直线y=可的距离为=6,解得c=2,

J(国+(-1)2

所以="2+6=/+3/=4/=4,解得4=1,所以双曲线C的实轴的长为2。=2,故选B.

12.A

【解析】

根据双曲线的渐近线列方程，解方程求得，〃的值.

【详解】

4

1313-

由题意知双曲线的渐近线方程为y=±-/=x(/〃>0),3x+2y=0可化为y=——x,则丁=39-

7m27m2

故选：A

【点睛】

本小题主要考查双曲线的渐近线，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.12先

【解析】

设圆柱的轴截面的边长为x,可求得x=2近，代入圆柱的表面积公式，即得解

【详解】

设圆柱的轴截面的边长为X,

则由炉=8,得x=2a，

S圆柱表=2s底+S例=2x%x(起产+2%x血x272=12乃.

故答案为：12万

【点睛】

本题考查了圆柱的轴截面和表面积，考查了学生空间想象，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.

14.y=10sin^—x+—j+20,XG[6,14]

【解析】

根据图象得出该函数的最大值和最小值，可得A=小一,h=)嬴+，结合图象求得该函数的最小正周期1,

22

24、

可得出。=下，再将点(10,20)代入函数解析式，求出/的值，即可求得该函数的解析式.

【详解】

由图象可知，

ymax=30,ymin=10,；.A=%维丁皿=10,b=X；%M=20,

yn>rr

从题图中可以看出，从6〜14时是函数y=4sin(5+e)+8的半个周期，贝117=2x(14—6)=16,.』=』=生.

T8

jrj7r37r

又不乂10+夕=2乃+2攵万，keZ、得夕=了+2%%(％£2),取0=丁，

f1r\'\兀3兀

所以y=10sin[fX+7+20,XG[6,14].

故答案为：(jr37r

y=10sinUx+T+20,xe[6,14].

【点睛】

本题考查由图象求函数解析式，考查计算能力，属于中等题.

15.证明见解析.

【解析】

ARsr

试题分析：ARE,尸四点共圆，所以BDBE=BABF,又xABCs^AEF,所以——=—,即

AEAF

ABAF^AEAC,得证.

试题解析:

A.连接4),因为A3为圆的直径，所以

又EFLAB,则AD,E,F四点共圆,

所以BDBE=BABF.

又AABCsAAEF,

AD\r

所以一=——，即AB-4F=AE-AC,

AEAF

:.BE・BD-AEAC=BA・BF-ABAF=AB<BF-AF)=AB2.

16.9

【解析】

根据集合交集的定义即得.

【详解】

•.・集合A={1,4},B={a-5J],Ac3={4},

。-5=4,则a的值是9.

故答案为：9

【点睛】

本题考查集合的交集，是基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)见解析；(2)-

3

【解析】

(1)取AE的中点H,结合三角形中位线和长度关系，C£>”G为平行四边形，进而得到根据线面平行判定

定理可证得结论；

(2)以AB，AD,AE为x,二轴建立空间直角坐标系，分别求得两面的法向量，求得法向量夹角的余弦值；根据

二面角为锐角确定最终二面角的余弦值；

【详解】

(1)取AE的中点“，连结GH,HD

因为G为8尸中点，AB//CD,AB=2CD,

所以GH〃CD,G”=CD,...COHG为平行四边形，

所以CG//HD,

又因为“力u面ADEE,。62面4。£：/

所以CG〃面AOEE；

(2)由题及(1)易知AB,AD,AE两两垂直，

所以以A8，AD,Ab为x,z轴建立空间直角坐标系，

则4(0,0,0),3(4,0,0),£>(0,4,0),网0,0,4),C(2,4,0),BF=(-4,0,4),而=(2,4,-4)

易知面A5尸的法向量为(0,1,0)

设面ABF的法向量为后=(x,y,z)

,而2-BF=-Ax+4z=0

则Vr

n2-FC=2x+4y—4z=0

可得〃2=(1，!/

I2)

1

所以cos(〃i,〃2)=

如图可知二面角A—BE—C为锐角，所以余弦值为:

3

【点睛】

本题考查立体几何中直线与平面平行关系的证明、空间向量法求解二面角，正确求解法向量是解题的关键，属于中档题.

18.(1)a=l；(2)见解析

【解析】

(1)由题意可得分类讨论去掉绝对值，分别求得x的范围即可求出a的值.(2)由条件利用绝对值三角不

等式，基本不等式证得/(x)>272.­

【详解】

2

(1)由/(x)-|x+—|>4x,可得|X-Q|N4X,(a>0),

a

当xNa时，x-a>4x9解得》<一]，

这与工法>0矛盾，故不成立，

当xVa时，a-x>4x,解得％

又不等式的解集是{X|XS1},故三=1，解得a=L

222

(2)证明：/(x)=|x-a|+|x+—|>\x-a-(x+一)|=|a+—Va>0,

aaa

2?I2

.•.la+-l=a+->2,a--=2y/2>当且仅当。=血时取等号，

aa\a

故/(x)>2y[2-

【点睛】

本题主要考查绝对值三角不等式，基本不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础

题.

19.（1）y（2）P（l,3,2）

【解析】

试题分析：（1）因为AB_LAC,AiBJL平面ABC,所以以A为坐标原点，分别以AC、AB所在直线分别为x轴和y

轴，以过A,且平行于BAi的直线为z轴建立空间直角坐标系，由AB=AC=AB=2求出所要用到的点的坐标，求出棱

AAi与BC上的两个向量，由向量的夹角求棱AAi与BC所成的角的大小；

（2）设棱BiCi上的一点P,由向量共线得到P点的坐标，然后求出两个平面PAB与平面ABAi的一个法向量，把二

面角P-AB-Ai的平面角的余弦值为名叵，转化为它们法向量所成角的余弦值，由此确定出P点的坐标.

5

试题解析：

解（D如图，以A为原点建立空间直角坐标系，

则。（2,0,0）,3（0,2,0）,4（0,2,2）,耳（0,4,2）,

豆=（0,2,2）,而=酝=（2,-2,0）.

cosAABC-的__4__1

偿’小画画一直诋一于

故与棱BC所成的角是

（2）p为棱4G中点，

设即=4南=（2/1,-2/1,0）,贝！JP（24,4-24,2）.

设平面Q4B的法向量为I=（x,yz）,丽=（244-24,2）,

勺•AP-0x+3y+2z=0z=-Ax

则《n<

勺・AB=02y=0|y=0

故I=(1,0,T)

1275

而平面ABA,的法向量是元=（1,0,0）,则cosn,,n2=

1+/125

解得4=（,即p为棱用G中点，其坐标为P（L3,2）.

点睛：本题主要考查线面垂直的判定与性质，以及利用空间向量求二面角.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是:

（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面

的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理

结论求出相应的角和距离.

3

20.(1)见解析；(2)P=—

10

【解析】

（1）补充完整的2x2列联表如下:

合格不合格合计

高一新生121426

非高一新生18624

合计302050

则心的观测值八嚅号等卷，4.327>3的,

所以有95%的把握认为“法律知识竞赛成绩是否合格”与“是否是高一新生”有关.

（2）抽取的5名学生中竞赛成绩合格的有30X卷=3名学生，记为a,b,c,

竞赛成绩不合格的有20x卷=2名学生，记为〃4",

从这5名学生中随机抽取2名学生的基本事件有：ah,ac,he,am,an,bm,bn,cm,cn,nm,共10种,

这2名学生竞赛成绩都合格的基本事件有：ab,ac,bc,共3种，

3

所以这2名学生竞赛成绩都合格的概率为P=—

x=640

21.（1）\；（2）680元.

y=480

【解析】

x-y=160

（1）根据题意，列方程-CM然后求解即可

x+y=1200—80

（2）根据题意，计算出10000元使用“余额宝”的利息为l（XXX）x2.8%=28（）（元）和

10000元使用“财富通”的利息为KXXX）x4.2%=420（元），

得到X所有可能的取值为560（元）,700（元），84（）（元），

然后根据X所有可能的取值，计算出相应的概率，并列出X的分布列表，然后求解数学期望即可

【详解】

x-j=160

（1）据题意，得＜

x+y=1200-80

x-640

所以《

y=480

（2）据640:480=4:3,得这被抽取的7人中使用“余额宝”的有4人，使用“财富通”的