压轴题大招新高考第19题分类练习冲刺2024高考数学（原卷）

压轴题大招新高考第19题冲刺2024高考数学【突破压轴型】（原卷）题型探究目录【题型一】数列新定义题【题型二】函数与导数压轴题【题型三】集合新定义题【题型四】解析几何【题型五】向量 【题型六】概率与统计各个击破【题型一】数列新定义题【知识回顾】1.Sn与an的关系an=S2.等差数列（1）递推公式：an+1an=d(n∈N*)或anan1=d(n≥2，n∈N*)（2）中项性质：a，A，b成等差数列⇔2A=a+b⇔A=a+b2（3）通项公式：an=a1+(n1)d.（4）前n项和：已知首项、末项与项数，则Sn=n(a已知首项、公差与项数，则Sn=na1+n(n−1)23.等比数列递推公式：an+1an=q(n∈N*)或a通项公式：an=a1qn1.中项性质：在等比数列{an}中，若k+l=m+n(k，l，m，n∈N*)，则akal=aman.特别地，若m+n=2r(m，n，r∈N*)，则aman=ar前n项和公式：已知首项、公比与项数，Sn=a1(1已知首项、末项与公比Sn=a1．（2024·吉林白山·二模）已知数列的前项和为，若数列满足：①数列项数有限为；②；③，则称数列为“阶可控摇摆数列”.(1)若等比数列为“10阶可控摇摆数列”，求的通项公式；(2)若等差数列为“阶可控摇摆数列”，且，求数列的通项公式；(3)已知数列为“阶可控摇摆数列”，且存在，使得，探究：数列能否为“阶可控摇摆数列”，若能，请给出证明过程；若不能，请说明理由.2．（2024·全国·模拟预测）设满足以下两个条件的有穷数列为阶“曼德拉数列”：①；②.(1)若某阶“曼德拉数列”是等比数列，求该数列的通项（，用表示）；(2)若某阶“曼德拉数列”是等差数列，求该数列的通项（，用表示）；(3)记阶“曼德拉数列”的前项和为，若存在，使，试问：数列能否为阶“曼德拉数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由.3．（2024·天津·一模）若某类数列满足“，且”，则称这个数列为“型数列”.(1)若数列满足，求的值并证明：数列是“型数列”；(2)若数列的各项均为正整数，且为“型数列”，记，数列为等比数列，公比为正整数，当不是“型数列”时，（i）求数列的通项公式；（ii）求证：.4．（2023·上海杨浦·模拟预测）设是定义域为的函数，如果对任意的、均成立，则称是“平缓函数”.(1)若，试判断和是否为“平缓函数”?并说明理由;(参考公式:时，恒成立)(2)若函数是“平缓函数”，且是以1为周期的周期函数，证明:对任意的、，均有;(3)设为定义在上函数，且存在正常数使得函数为“平缓函数”.现定义数列满足:，试证明:对任意的正整数.【题型二】函数与导数压轴题【知识回顾】1.指数均值不等式与对数均值不等式指数均值不等式：对于实数a,b,定义为a,b的指数平均数,则（当且仅当a=b时，等号成立）对数均值不等式：对于a,b两个正数的对数平均线，则有（当且仅当a=b时，等号成立）2.微分中值定理【注意】（1）以上3个中值定理，特别时拉格朗日中值定理建立了函数在区间上的变化（改变量）与函数在该区间内一点处导数的关系，从而使我们能够利用导数来研究函数在区间上的整体性态.（2）罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊形式，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的拓展形式.3.泰勒公式泰勒（Taylor）公式的主要作用是用多项式逼近函数和近似计算，对应的分别时带有皮亚诺余项的泰勒公式和带有拉格朗日余项的泰勒公式。带有皮亚诺余项的泰勒公式:若函数在点处存在直至n阶导数，则有用得比较多的是在时的特殊形式：它称为带有皮亚诺余项的麦克劳林公式.4.常用的泰勒公式（带有皮亚诺余项）5.由泰勒公式，我们得到下列常用的不等式：6.高中常用的泰勒公式（麦克劳林公式）如下：7.切线放缩5．（2024·上海普陀·二模）对于函数，和，，设，若，，且，皆有成立，则称函数与“具有性质”.(1)判断函数，与是否“具有性质”，并说明理由；(2)若函数，与“具有性质”，求的取值范围；(3)若函数与“具有性质”，且函数在区间上存在两个零点，，求证.6．（2024·上海杨浦·二模）函数、的定义域均为，若对任意两个不同的实数，，均有或成立，则称与为相关函数对.(1)判断函数与是否为相关函数对，并说明理由；(2)已知与为相关函数对，求实数的取值范围；(3)已知函数与为相关函数对，且存在正实数，对任意实数，均有.求证：存在实数，使得对任意，均有.7．（2024·全国·模拟预测）已知函数，且在处取得极大值．(1)求的值与的单调区间．(2)如图，若函数的图像在连续，试猜想拉格朗日中值定理，即一定存在，使得，求的表达式〔用含的式子表示〕．(3)利用这条性质证明：函数图像上任意两点的连线斜率不大于．8．（2324高三下·山东菏泽·阶段练习）帕德近似是法国数学家亨利帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，，，注：，，，，已知函数.(1)求函数在处的阶帕德近似，并求的近似数精确到(2)在（1）的条件下：①求证：；②若恒成立，求实数的取值范围.9．（2024·浙江宁波·二模）定义：对于定义在区间上的函数，若存在实数，使得函数在区间上单调递增（递减），在区间上单调递减（递增），则称这个函数为单峰函数且称为最优点.已知定义在区间上的函数是以为最优点的单峰函数，在区间上选取关于区间的中心对称的两个试验点，称使得较小的试验点为好点（若相同，就任选其一），另一个称为差点.容易发现，最优点与好点在差点的同一侧.我们以差点为分界点，把区间分成两部分，并称好点所在的部分为存优区间，设存优区间为，再对区间重复以上操作，可以找到新的存优区间，同理可依次找到存优区间，满足，可使存优区间长度逐步减小.为了方便找到最优点（或者接近最优点），从第二次操作起，将前一次操作中的好点作为本次操作的一个试验点，若每次操作后得到的存优区间长度与操作前区间的长度的比值为同一个常数，则称这样的操作是“优美的”，得到的每一个存优区间都称为优美存优区间，称为优美存优区间常数.对区间进行次“优美的”操作，最后得到优美存优区间，令，我们可任取区间内的一个实数作为最优点的近似值，称之为在区间上精度为的“合规近似值”，记作.已知函数，函数.(1)求证：函数是单峰函数；(2)已知为函数的最优点，为函数的最优点.（i）求证：；（ii）求证：.注：.10．（2324高二下·重庆·阶段练习）对于整系数方程，当的最高次幂大于等于3时，求解难度较大.我们常采用试根的方法求解：若通过试根，找到方程的一个根，则，若已经可以求解，则问题解决；否则，就对再一次试根，分解因式，以此类推，直至问题解决.求根的过程中常用到有理根定理：如果整系数方程有有理根，其中、，，，那么，.符号说明：对于整数，，表示，的最大公约数；表示是的倍数，即整除.(1)过点作曲线的切线，借助有理根定理求切点横坐标；(2)试证明有理根定理；(3)若整数，不是3的倍数，且存在有理数，使得，求，.【题型三】集合新定义题【知识回顾】(略）11．（2024·北京顺义·二模）已知点集满足，，.对于任意点集，若其非空子集A，B满足，，则称集合对为的一个优划分.对任意点集及其优划分，记A中所有点的横坐标之和为，B中所有点的纵坐标之和为.(1)写出的一个优划分，使其满足；(2)对于任意点集，求证：存在的一个优划分，满足；(3)对于任意点集，求证：存在的一个优划分，满足且.12．（2024·浙江绍兴·二模）已知，集合其中.(1)求中最小的元素；(2)设，，且，求的值；(3)记，，若集合中的元素个数为，求.13．（2024·湖南益阳·模拟预测）我们知道，二维空间（平面）向量可用二元有序数组表示；三维空间向盘可用三元有序数组表示．一般地，维空间向量用元有序数组表示，其中称为空间向量的第个分量，为这个分量的下标．对于维空间向量，定义集合．记的元素的个数为（约定空集的元素个数为0）．(1)若空间向量，求及；(2)对于空间向量．若，求证：，若，则；(3)若空间向量的坐标满足，当时，求证：．14．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，两点的“曼哈顿距离”定义为，记为，如点的“曼哈顿距离”为5，记为.(1)若点是满足的动点的集合，求点集所占区域的面积；(2)若动点在直线上，动点在函数的图象上，求的最小值；(3)设点，动点在函数的图象上，的最大值记为，求的最小值.15．（2024·湖南邵阳·二模）给定整数，由元实数集合定义其随影数集.若，则称集合为一个元理想数集，并定义的理数为其中所有元素的绝对值之和.(1)分别判断集合是不是理想数集；（结论不要求说明理由）(2)任取一个5元理想数集，求证：；(3)当取遍所有2024元理想数集时，求理数的最小值.注：由个实数组成的集合叫做元实数集合，分别表示数集中的最大数与最小数.【题型四】解析几何【知识回顾】椭圆的标准方程.双曲线的标准方程抛物线的标准方程16．（2023·全国·模拟预测）定义：一般地，当且时，我们把方程表示的椭圆称为椭圆的相似椭圆．已知椭圆，椭圆（且）是椭圆的相似椭圆，点为椭圆上异于其左、右顶点的任意一点．(1)当时，若与椭圆有且只有一个公共点的直线恰好相交于点，直线的斜率分别为，求的值；(2)当（e为椭圆的离心率）时，设直线与椭圆交于点，直线与椭圆交于点，求的值．17．（2024·江苏南通·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：的离心率为，直线l与Γ相切，与圆O：相交于A，B两点.当l垂直于x轴时，.(1)求Γ的方程；(2)对于给定的点集M，N，若M中的每个点在N中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为.（ⅰ）若M，N分别为线段AB与圆O上任意一点，P为圆O上一点，当的面积最大时，求；（ⅱ）若，均存在，记两者中的较大者为.已知，，均存在，证明：.18．（2024·湖南·二模）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.(1)若圆是直线族的包络曲线，求满足的关系式；(2)若点不在直线族：的任意一条直线上，求的取值范围和直线族的包络曲线；(3)在（2）的条件下，过曲线上两点作曲线的切线，其交点为.已知点，若三点不共线，探究是否成立？请说明理由.19．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）在平面直角坐标系中，重新定义两点之间的“距离”为，我们把到两定点的“距离”之和为常数的点的轨迹叫“椭圆”．(1)求“椭圆”的方程；(2)根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由；(3)设，作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为的左顶点为，过作直线交于两点，的外心为，求证：直线与的斜率之积为定值．【题型五】向量【知识回顾】(略）20．（2024·河南南阳·一模）在椭圆(双曲线)中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心是椭圆(双曲线)的中心，半径等于椭圆(双曲线)长半轴(实半轴)与短半轴(虚半轴)平方和(差)的算术平方根，则这个圆叫蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆的面积为，该椭圆的上顶点和下顶点分别为，且，设过点的直线与椭圆交于两点（不与两点重合）且直线.(1)证明：，的交点在直线上;(2)求直线围成的三角形面积的最小值.21．（2024·云南·模拟预测）三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下：.若，则称为空间向量与的叉乘，其中，，为单位正交基底.以为坐标原点，分别以的方向为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，已知是空间直角坐标系中异于的不同两点.(1)①若，求；②证明：.(2)记的面积为，证明：；(3)问：的几何意义表示以为底面､为高的三棱锥体积的多少倍？22．（2324高二上·四川绵阳·阶段练习）空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（轴、轴､轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜60°坐标为，记作．

(1)若，，求的斜60°坐标；(2)在平行六面体中，，，N为线段D1C1的中点．如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”．①求的斜60°坐标；②若，求与夹角的余弦值．【题型六】概率统计【知识回顾】1.二项分布1.一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X=k)=Cnkpk(1p)n2.二项分布的期望与方差：一般地，如果X~B(n，p)，那么E(X)=np，D(X)=np(1p).2.超几何分布1.一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件

(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=CMkCN−M若随机变量X服从超几何分布，则其均值E(X)=nMN若X服从参数为N，n，M的超几何分布，即X~H(N，n，M)，则D(X)=nM(N−3.正态分布1.正态曲线：函数f(x)=1σ2.正态分布：若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X~N(μ，σ2).特别地，当μ=0，σ=1时，称随机变量X服从标准正态分布.23．（2024·广东广州·一模）某校开展科普知识团队接力闯关活动，该活动共有两关，每个团队由位成员组成，成员按预先安排的顺序依次上场，具体规则如下：若某成员第一关闯关成功，则该成员继续闯第二关，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关；若某成员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关，该团队接力闯关活动结束.已知团队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为和，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响.(1)若，用表示团队闯关活动结束时上场闯关的成员人数，求的均值；(2)记团队第位成员上场且闯过第二关的概率为，集合中元素的最小值为，规定团队人数，求.24．（2024·山东潍坊·一模）若，是样本空间上的两个离散型随机变量，则称是上的二维离散型随机变量或二维随机向量．设的一切可能取值为，，记表示在中出现的概率，其中．(1)将三个相同的小球等可能地放入编号为1，2，3的三个盒子中，记1号盒子中的小球个数为，2号盒子中的小球个数为，则是一个二维随机变量．①写出该二维离散型随机变量的所有可能取值；②若是①中的值，求（结果用，表示）；(2)称为二维离散型随机变量关于的边缘分布律或边际分布律，求证：．25．（2024·辽宁·一模）十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出二进制记数法的人，用二进制记数只需数字0和1，对于整数可理解为逢二进一，例如：自然数1在二进制中就表示为，2表示为，3表示为，5表示为，发现若可表示为二进制表达式，则，其中，或1（）.(1)记，求证：；(2)记为整数的二进制表达式中的0的个数，如，.（ⅰ）求；（ⅱ）求（用数字作答）.26．（2024·广东汕头·一模）2023年11月，我国教育部发布了《中小学实验教学基本目录》，内容包括高中数学在内共有16个学科900多项实验与实践活动.我市某学校的数学老师组织学生到“牛田洋”进行科学实践活动，在某种植番石榴的果园中，老师建议学生尝试去摘全园最大的番石榴，规定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头.结果，学生小明两手空空走出果园，因为他不知道前面是否有更大的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到.假设小明在果园中一共会遇到颗番石榴（不妨设颗番石榴的大小各不相同），最大的那颗番石榴出现在各个位置上的概率相等，为了尽可能在这些番石榴中摘到那颗最大的，小明在老师的指导下采用了如下策略：不摘前颗番石榴，自第颗开始，只要发现比他前面见过的番石榴大的，就摘这颗番石榴，否则就摘最后一颗.设，记该学生摘到那颗最大番石榴的概率为.(1)若，求；(2)当趋向于无穷大时，从理论的角度，求的最大值及取最大值时的值.（取）27．（2324高三上·浙江温州·期末）现有标号依次为1，2，…，n的n个盒子，标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从号盒子里取出2个球放入n号盒子为止．(1)当时，求2号盒子里有2个红球的概率；(2)当时，求3号盒子里的红球的个数的分布列；(3)记n号盒子中红球的个数为，求的期望．28．（2024·山西临汾·二模）在计算机科学中，维数组是一种基础而重要的数据结构，它在各种编程语言中被广泛使用．对于维数组，，定义与的差为与之间的距离为．(1)若维数组，证明：；(2)证