2023-2024学年福建省泉州五中九年级（上）期中数学试卷（有答案）

2023-2024学年福建省泉州五中九年级（上）期中数学试卷一、选择题（单项选择，每小题3分，共40分）．在答题卡上相应题目的答题区域内作答．1．（3分）计算sin30°的值等于（）A． B． C． D．2．（3分）下列图形中的角是圆心角的是（）A． B． C． D．3．（3分）若两个相似三角形周长的比为1：4，则这两个三角形对应边的比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 4．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C＝130°，则∠A的度数为（）A．25° B．30° C．50° D．65°5．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝5，BC＝6，EF＝4，则DE的长为（）A．2 B．3 C．4 D．6．（3分）将抛物线y＝x2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得抛物线的表达式为（）A．y＝（x+3）2+4 B．y＝（x﹣3）2﹣4 C．y＝（x﹣3）2+4 D．y＝（x+3）2﹣47．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，AC＝1，则tanB的值为（）A． B．2 C． D．8．（3分）在一次炮弹发射演习中，记录到一门迫击炮发射的炮弹的飞行高度y米与飞行时间x秒的关系式为，当炮弹落到地面时，经过的时间为（）A．40秒 B．45秒 C．50秒 D．55秒9．（3分）已知反比例函数y＝（k≠0）在第一象限内的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象如图所示，则函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象可能为（）A． B． C． D．10．（3分）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，连接BE．设∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1：n，tanα＝tan2β，则n＝（）A．5 B．4 C．3 二、填空题（每小题4分，共24分）．在答题卡上相应题目的答题区域内作答．11．（4分）已知＝，那么的值为．12．（4分）已知某斜坡AB的坡度i＝1：1，则斜坡AB的坡角α的大小为°．13．（4分）如图，CD是△ABC的中线，E，F分别是AC，DC的中点，EF＝3，则BD的长为．14．（4分）如图，在△ABC中，P为边AB上一点，且∠APC＝∠ACB，若AP＝4，AC＝6，则AB的长为．15．（4分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，⊙O的直径为5，，AC＝3，过点A作AD⊥BC，垂足为D．则CD的长为．16．（4分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与正比例函数y＝kx的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为﹣3，点B的横坐标为2，二次函数图象的对称轴是直线x＝﹣1．下列结论：①abc＜0；②3b+2c＞0；③关于x的方程ax2+bx+c＝kx的两根为x1＝﹣3，x2＝2；④k＝a．其中正确的是.（只填写序号）三、解答题（共86分）．在答题卡上相应题目的答题区域内作答．17．（8分）计算：．18．（8分）如图，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠D．求证：△ABC∽△ADE．19．（18分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（3，1），B（1，2），C（4，3）以原点O为位似中心，在第一象限内画出△ABC的位似图形△A1B1C1，使它与△ABC20．（8分）已知关于x的二次函数y＝x2﹣（m﹣2）x﹣3，该函数图象经过点A（2，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式及顶点B的坐标；（2）若这个二次函数图象与y轴的交点为C，请直接写出△ABC的面积．21．（9分）2023年5月30日9点31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是8km，仰角为30°；10s后飞船到达B处，此时测得仰角为45°（1）求点A离地面的高度AO；（2）求飞船从A处到B处的平均速度．（结果精确到0.1km/s，参考数据：≈1.73）22．（9分）如图，OA＝OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F．（1）求证：AC＝BD．（2）若OF＝2EF，CD＝8，求⊙O直径的长．23．（10分）某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产成本为10万元/件．设第x个生产周期设备的售价为z万元/件，售价z与x之间的函数解析式是，其中x是正整数．当x＝16时，z＝14；当x＝20时，z＝13．（1）求m，n的值；（2）设第x个生产周期生产并销售完设备的数量为y件，且y与x满足关系式y＝5x+20．当12＜x≤20时，工厂第几个生产周期获得的利润最大？最大的利润是多少万元？24．（12分）在平行四边形ABCD中（顶点A，B，C，D按逆时针方向排列），AB＝24，AD＝20，∠B为锐角，且．（1）如图1，求AB边上的高CH的长；（2）P是边AB上的一动点，C，D点，同时绕点P按逆时针方向旋转90°得点C′，D′，①如图2，当C′落在射线CA上时，求BP的长；②当△AC′D′是直角三角形时，请直接写出BP的长．25．（14分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数，c＞1）的顶点为P，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，抛物线上的点M的横坐标为m，且，过点M作MN⊥AC，垂足为N．（1）若b＝﹣2，c＝3．①点P坐标为；点A的坐标为；②点G为抛物线y＝﹣x2+bx+c对称轴上的一点，则GB+GC的最小值为；③当时，求m的值；（2）若点A的坐标为（﹣c，0），且MP∥AC，当时，求点M的坐标．

2023-2024学年福建省泉州五中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（单项选择，每小题3分，共40分）．在答题卡上相应题目的答题区域内作答．1．【解答】解：sin30°＝，故选：B．2．【解答】解：由圆心角的定义得到：A、C、D图形的角不是圆心角，故A、C、D不符合题意；B图形中的角是圆心角，故B符合题意．故选：B．3．【解答】解：∵两个相似三角形周长的比为1：4，∴这两个三角形对应边的比为1：4，故选：B．4．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠C+∠A＝180°，∵∠C＝130°，∴∠A＝50°，故选：C．5．【解答】解：∵直线l1∥l2∥l3，∴＝，∵AB＝5，BC＝6，EF＝4，∴＝，∴DE＝，故选：D．6．【解答】解：根据题意可得，抛物线平移后的解析式为：y＝（x+3）2﹣4，故选：D．7．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，，AC＝1，∴BC＝＝＝2，∴tanB＝＝，故选：A．8．【解答】解：在y＝﹣x2+10x中，令y＝0得：0＝﹣x2+10x，解得x＝0（舍去）或x＝50，∴当炮弹落到地面时，经过的时间为50秒；故选：C．9．【解答】解：∵一次函数y＝﹣x+b的图象经过第一、二、四象限，且与y轴交于正半轴，则b＞0，反比例函数y＝的图象经过第一、三象限，则k＞0，∴函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象开口向上，对称轴为直线x＝＞0，由图象可知，反比例函数y＝与一次函数y＝﹣x+b的图象有两个交点（1，k）和（k，1），∴﹣1+b＝k，∴k﹣b＝﹣1，∴b＝k+1，∴对于函数y＝x2﹣bx+k﹣1，当x＝1时，y＝1﹣b+k﹣1＝﹣1，∴函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象过点（1，﹣1），∵反比例函数y＝与一次函数y＝﹣x+b的图象有两个交点，∴方程＝﹣x+b有两个不相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4k＝（k+1）2﹣4k＝（k﹣1）2＞0，∴k﹣1≠0，∴当x＝0时，y＝k﹣1≠0，∴函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象不过原点，∴符合以上条件的只有A选项．故选：A．10．【解答】解：设AE＝a，DE＝b，则BF＝a，AF＝b，∵tanα＝，tanβ＝，tanα＝tan2β，∴，∴（b﹣a）2＝ab，∴a2+b2＝3ab，∵a2+b2＝AD2＝S正方形ABCD，（b﹣a）2＝S正方形EFGH，∴S正方形EFGH：S正方形ABCD＝ab：3ab＝1：3，∵S正方形EFGH：S正方形ABCD＝1：n，∴n＝3．故选：C．二、填空题（每小题4分，共24分）．在答题卡上相应题目的答题区域内作答．11．【解答】解：∵＝，∴＝+1＝+1＝，故答案为：．12．【解答】解：∵斜坡AB的坡度i＝1：1，坡角为α，∴tanα＝1，∴α＝45°，故答案为：45．13．【解答】解：∵点E，F分别是AC、DC的中点，∴EF是△ACD的中位线，∴AD＝2EF＝6，∵CD是△ABC的中线，∴BD＝AD＝6；故答案为：6．14．【解答】解：∵∠A＝∠A，∠APC＝∠ACB，∴△ACP∽△ABC，∴＝，∵AP＝4，AC＝6，∴62＝4AB，∴AB＝9，故答案为：9．15．【解答】解：作直径AE，连接BE，如图，∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，在Rt△ABE中，BE＝＝＝，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠ABE＝∠ADC，∵∠C＝∠E，∴△ACD∽△AEB，∴＝，即＝解得CD＝．故答案为：．16．【解答】解：由图象可得，a＞0，c＜0，又﹣＝﹣1，∴b＞0．∴abc＜0．∴①正确．由题意，令ax2+bx+c＝kx，∴ax2+（b﹣k）x+c＝0．又二次函数y＝ax2+bx+c的图象与正比例函数y＝kx的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为﹣3，点B的横坐标为2，∴ax2+（b﹣k）x+c＝0的两根之和为﹣3+2＝﹣1，两根之积为﹣3×2＝﹣6．∴﹣＝﹣1，＝﹣6．∴6a+c又b＝2a∴3b+c＝0．∴3b+2c＝c∴②错误，③正确．∵﹣＝﹣1，b＝2a，∴k＝a．∴④错误．故答案为：①③．三、解答题（共86分）．在答题卡上相应题目的答题区域内作答．17．【解答】解：＝1+﹣×＝1+﹣1＝．18．【解答】证明：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAC＝∠DAE，∵∠D＝∠B，∴△ABC∽△ADE．19．【解答】解：如图所示，△A1B1C120．【解答】解：（1）∵该二次函数图象经过点A（2，﹣3），∴﹣3＝22﹣（m﹣2）×2﹣3，解得：m＝4．∴二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3，∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴二次函数顶点B点坐标为（1，﹣4）；（2）由抛物线的表达式知，点C（0，﹣3），则AC∥x轴，如下图；则△ABC的面积＝AC×（yA﹣yB）＝2×（﹣3+4）＝1．21．【解答】解：（1）在Rt△AOC中，∵∠AOC＝90°，∠ACO＝30°，AC＝8km∴AO＝AC＝（km），（2）在Rt△AOC中，∵∠AOC＝90°，∠ACO＝30°，AC＝8km∴OC＝AC＝4（km），在Rt△BOC中，∵∠BOC＝90°，∠BCO＝45°，∴∠BCO＝∠OBC＝45°，∴OB＝OC＝4（km），∴AB＝OB﹣OA＝（4）km，∴飞船从A处到B处的平均速度＝≈0.3（km/s）．22．【解答】（1）证明：∵OE⊥AB，且OE过圆心O∴CF＝DF，∵OA＝OB，OE⊥AB，∴AF＝BF，∴AF﹣CF＝BF﹣DF，∴AC＝BD（2）解：连接OC，设⊙O的半径是r，∵OF＝2EF，OF+EF＝OE＝r，∴，∵CD＝8，∴，∴，∴或（舍去），∴⊙O的直径是．23．【解答】解：（1）根据题意，把x＝16时，z＝14；x＝20时，z＝13代入y＝mx+n得：，解得m＝﹣，n＝18；（2）设第x个生产周期创造的利润为w万元，当12＜x≤20时，z＝﹣x+18，∴w＝（﹣x+18﹣10）（5x+20）＝﹣x2+35x+160＝﹣（x﹣14）2+405，∵﹣＜0，12＜x≤20，∴当x＝14时，w取得最大值，最大值为405，∴工厂第14个生产周期获得的利润最大，最大的利润是405万元．24．【解答】解：（1）在▱ABCD中，BC＝AD＝20，在Rt△BCH中，sinB＝＝，∴CH＝BC•sinB＝16；（2）①如图2，作CH⊥BA于点H，由（1）得，BH＝＝＝12，作C'Q⊥BA交BA延长线于点Q，则∠CHP＝∠PQC'＝90°，∴∠C'PQ+∠PC'Q＝90°，∵∠C'PQ+∠CPH＝90°，∴∠PC'Q＝∠CPH，由旋转知，PC'＝PC，∴△PQC′≌△CHP（AAS），∴PQ＝CH＝16，设BP＝x，C′Q＝PH＝12﹣x，QA＝PQ﹣PA＝x﹣8，∵C′Q⊥AB，CH⊥AB，∴C′Q∥CH，∴△AQC′∽△AHC，∴＝，∴＝，∴x＝，∴BP＝；②∵点C、D同时绕点P按逆时针方向旋转90°得点C、D'，∴△PCD≌△PC′D′，CD＝C'D'，CD⊥CD'，∵AB∥CD，∴C'D'⊥AB，情况一：当以C′为直角顶点时，如图．∵C'D'⊥AB，∴C′落在线段BA延长线上，∵PC⊥PC'，∴PC⊥AB，由（1）知，PC＝16，BP＝12．情况二：当以A为直角顶点时，如图，设C'D'与射线BA的交点为T，作CH⊥AB于点H．∵PC⊥PC'，∴∠CPH+∠TPC'＝90°，∵点C，D同时绕点P按逆时针方向旋转90°得点C'，D'，∴∠CPD＝∠C'PD'＝90°，PC＝PD，PC'＝PD'，∴∠CPD＝∠C'PD'，∴△PCD≌△PC'D'（SAS），∴∠PCD＝∠PC'D'，∵AB∥CD，∴∠BPC＝∠PCD＝∠PC'D'，∵∠C'PT+∠CPB＝90°，∴∠C'PT+∠PC'T＝90°，∴∠PTC'＝90°＝∠CHP，∴△CPH≌△PC′T（AAS），∴C′T＝PH，PT＝CH＝16，设C′T＝PH＝t，则AP＝12﹣t，∴AT＝PT﹣PA＝4+t，∵∠C'AD'＝90°，C'D'⊥AB，∴△ATD′∽△C′TA，∴＝，∴AT2＝C'T•TD'，∴（4+t）2＝t（24﹣t），化简得t2﹣8t+8＝0，解得，t＝4±2，∴BP＝BH+HP＝12±2，情况三：当以D'为直角顶点时，点P落在BA的延长线上，不符合题意．综上所述，BP＝12或16±2．25．【解答】解：（1）①∵b＝﹣2，c＝3，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴P（﹣1，4），当y＝0时，﹣x2﹣2x+3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，∵点A在点B的左侧，∴A（﹣3，0）．故答案为：（﹣1，4），（﹣3，0）；②如图，连接AC交于点G，则此时GB+GC最小，∵顶点P（﹣1，4），∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∵A、B关于对称轴对称，∴AG＝BG，∴AG+CG＝BG+CG≥AC，∴当A、C、G三点共线时，GB+GC最小，∵抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，与y轴相交于点C，∴C（0，3），∴GB