人教A版高中数学（选择性必修二）同步讲义第14讲 拓展一：利用导数研究不等式恒成立问题（原卷版）

第05讲拓展一：利用导数研究不等式恒成立问题一、知识点归纳1、分离参数法用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；步骤：①分类参数（注意分类参数时自变量SKIPIF1<0的取值范围是否影响不等式的方向）②转化：若SKIPIF1<0)对SKIPIF1<0恒成立，则只需SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立，则只需SKIPIF1<0．③求最值.2、分类讨论法如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0)求解．3、等价转化法当遇到SKIPIF1<0型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数SKIPIF1<0或者“右减左”的函数SKIPIF1<0，进而只需满足SKIPIF1<0，或者SKIPIF1<0，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.二、题型精讲方法一：分离变量法1．（2023上·北京通州·高三统考期中）已知函数SKIPIF1<0.(1)求曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程；(2)求SKIPIF1<0的极值；(3)若对于任意SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围.2．（2023下·山东淄博·高二校考阶段练习）（1）已知SKIPIF1<0对于SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围；（2）已知函数SKIPIF1<0，若不等式SKIPIF1<0在R上恒成立，试求a的取值范围.3．（2023下·重庆永川·高二重庆市永川北山中学校校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，k为常数，e是自然对数的底数．(1)当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的极值；(2)若SKIPIF1<0，且对于任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，试确定实数k的取值范围．4．（2023上·广东佛山·高三统考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0．(1)求函数SKIPIF1<0的单调区间；(2)当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围．5．（2023上·广东梅州·高三校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的奇函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得极值SKIPIF1<0．(1)求函数SKIPIF1<0的单调区间和极大值；(2)若对任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围；方法二：分类讨论法1．（2023·高二校考课时练习）已知不等式SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0恒成立，则实数SKIPIF1<0的最大值是.2．（2023·全国·高三专题练习）设函数SKIPIF1<0，若当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围．3．（2023·全国·高三专题练习）设函数SKIPIF1<0．(1)讨论SKIPIF1<0的单调性；(2)若SKIPIF1<0恒成立，求a的值．4．（2021上·广东深圳·高三深圳市福田区福田中学校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0．（1）讨论函数的单调性；（2）若对任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0成立，求SKIPIF1<0的取值范围．方法三：等价转化法1．（2023下·海南省直辖县级单位·高二嘉积中学校考期中）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0）．(1)若SKIPIF1<0，求函数SKIPIF1<0的单调区间；(2)若对于任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0成立，求SKIPIF1<0的取值范围．2．（2022下·福建泉州·高二福建省泉州市培元中学校考期中）已知函数SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的图象在SKIPIF1<0处的切线方程；(2)当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的取值范围.3．（2023上·北京丰台·高三统考期中）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)当SKIPIF1<0时，求函数SKIPIF1<0的最大值；(2)若关于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的值．4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，求实数a的取值范围；(2)当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，求实数a的取值范围．5．（2023·全国·高三专题