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文档简介
第03讲5.3.1函数的单调性课程标准学习目标①理解导数与函数的单调性的关系。②掌握利用导数判断函数单调性的方法。③能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间。④会利用导数证明一些简单的不等式问题。⑤掌握利用导数研究含参数的单调性的基本方法。通过本节课要求能利用函数的导数判断函数的单调性,会求简单函数的单调区间,能证明简单的不等式,会利用导数解决单调性与含参数相关的问题.知识点01:函数的单调性与导数的关系(导函数看正负,原函数看增减)函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内可导,(1)若SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内是单调递增函数;(2)若SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内是单调递减函数;(3)若恒有SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内是常数函数.注意:讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式,求解时,要坚持“定义域优先”原则条件恒有结论函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上可导SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内单调递增SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内单调递减SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内是常数函数【即学即练1】(2023下·新疆巴音郭楞·高二校考期末)如图所示是函数SKIPIF1<0的导函数SKIPIF1<0的图象,则下列判断中正确的是(
)
A.函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是减函数B.函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是减函数C.函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是减函数D.函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是增函数【答案】A【详解】对于选项A:当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减,故A正确;对于选项B:当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0;当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0;则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增,在SKIPIF1<0上单调递减,故B错误;对于选项C:当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增,故C错误;对于选项D:当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减,故D错误;故选:A.知识点02:求已知函数(不含参)的单调区间①求SKIPIF1<0的定义域②求SKIPIF1<0③令SKIPIF1<0,解不等式,求单调增区间④令SKIPIF1<0,解不等式,求单调减区间注:求单调区间时,令SKIPIF1<0(或SKIPIF1<0)不跟等号.【即学即练2】(2023下·四川资阳·高二统考期末)函数SKIPIF1<0的单调递减区间为(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0,SKIPIF1<0【答案】A【详解】因为SKIPIF1<0,所以函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0有:SKIPIF1<0,所以函数SKIPIF1<0的单调递减区间为SKIPIF1<0,故B,C,D错误.故选:A.知识点03:由函数SKIPIF1<0的单调性求参数的取值范围的方法1、已知函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调①已知SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0恒成立.②已知SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0恒成立.注:已知单调性,等价条件中的不等式含等号.2、已知函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上存在单调区间①已知SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上存在单调增区间SKIPIF1<0SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0有解②已知SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上存在单调减区间SKIPIF1<0SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0有解3、已知函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上不单调SKIPIF1<0SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0有变号零点【即学即练3】(2023上·新疆·高三校联考期中)已知函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增,则SKIPIF1<0的取值范围为.【答案】SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增,所以当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0恒成立,即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0恒成立,又SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.故答案为:SKIPIF1<0.【即学即练4】(2023上·贵州贵阳·高三清华中学校考阶段练习)已知函数SKIPIF1<0存在单调递减区间,则实数SKIPIF1<0的取值范围是.【答案】SKIPIF1<0【详解】函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0,求导得SKIPIF1<0,依题意,不等式SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有解,等价于SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有解,而SKIPIF1<0,当且仅当SKIPIF1<0时取等号,则SKIPIF1<0,所以实数a的取值范围是SKIPIF1<0.故答案为:SKIPIF1<0.知识点04:含参问题讨论单调性第一步:求SKIPIF1<0的定义域第二步:求SKIPIF1<0(导函数中有分母通分)第三步:确定导函数有效部分,记为SKIPIF1<0对于SKIPIF1<0进行求导得到SKIPIF1<0,对SKIPIF1<0初步处理(如通分),提出SKIPIF1<0的恒正部分,将该部分省略,留下的部分则为SKIPIF1<0的有效部分(如:SKIPIF1<0,则记SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的有效部分).接下来就只需考虑导函数有效部分,只有该部分决定SKIPIF1<0的正负.第四步:确定导函数有效部分SKIPIF1<0的类型:①SKIPIF1<0为一次型(或可化为一次型)②SKIPIF1<0为二次型(或可化为二次型)第五步:通过分析导函数有效部分,讨论SKIPIF1<0的单调性题型01求函数的单调区间【典例1】(2022下·湖北·高二统考期末)函数SKIPIF1<0的单调递减区间为(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】B【详解】解:因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0的单调递减区间为SKIPIF1<0,故选:B【典例2】(2023下·河北沧州·高二校考阶段练习)函数SKIPIF1<0的单调递减区间是(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【详解】SKIPIF1<0,定义域为SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减.故选:D.【变式1】(多选)(2023下·吉林长春·高二长春外国语学校校考期中)函数SKIPIF1<0的一个单调递增区间是(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】ABD【详解】由题意SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,因此SKIPIF1<0的增区间是SKIPIF1<0,因此ABD正确,C错误.故选:ABD.题型02函数与导函数图象间的关系【典例1】(2023·高二课时练习)已知函数SKIPIF1<0的导函数SKIPIF1<0的图象如图,则下列结论正确的是(
)
A.函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增B.函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减C.函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增D.函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增【答案】C【详解】由导数的图象可知,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0,SKIPIF1<0上单调递增,故C正确;当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减,故A、B、D错误;故选:C.【典例2】(2022下·广东深圳·高二统考期末)设SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的导函数,SKIPIF1<0的图象如图所示,则SKIPIF1<0的图象最有可能的是(
)A. B.C. D.【答案】C【详解】由导函数的图象可得当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,函数SKIPIF1<0单调递增;当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,函数SKIPIF1<0单调递减;当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,函数SKIPIF1<0单调递增.只有C选项的图象符合.故选:C.【变式1】(2023下·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中)已知函数SKIPIF1<0的导函数SKIPIF1<0的图像如图所示,则函数SKIPIF1<0(
)A.在SKIPIF1<0上单调递增 B.在SKIPIF1<0上单调递减C.在SKIPIF1<0上单调递增 D.在SKIPIF1<0上单调递减【答案】D【详解】由图可知:当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0单调递减,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0单调递增,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0单调递增;故选:D.【变式2】(2022·湖南·校联考二模)设函数SKIPIF1<0在定义域内可导,SKIPIF1<0的图象如图所示,则其导函数SKIPIF1<0的图象可能是(
)
A. B.C. D.【答案】D【详解】由SKIPIF1<0的图象可知,SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为单调递减函数,故SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,故排除A,C;当SKIPIF1<0时,函数SKIPIF1<0的图象是先递增,再递减,最后再递增,所以SKIPIF1<0的值是先正,再负,最后是正,因此排除B,故选:D.题型03已知函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调,求参数【典例1】(2023上·广西·高三南宁三中校联考阶段练习)若函数SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的减函数,则实数SKIPIF1<0的最大值为.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【详解】由函数SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的减函数,则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立,即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立,设SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,函数SKIPIF1<0单调递减当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,函数SKIPIF1<0单调递增,可得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,即实数SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.故答案为:SKIPIF1<0.【典例2】(2023·海南·校联考模拟预测)设SKIPIF1<0且SKIPIF1<0,若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增,则a的取值范围是.【答案】SKIPIF1<0【详解】由题意知:SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减;当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,要使SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,整理得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0.故答案为:SKIPIF1<0【典例3】(2023上·辽宁大连·高三大连市金州高级中学校考期中)若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0具有单调性,则a的取值范围是(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C【详解】由SKIPIF1<0,当函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增时,SKIPIF1<0恒成立,得SKIPIF1<0,设SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0单调递增,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0单调递减,所以SKIPIF1<0,因此有SKIPIF1<0,当函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减时,SKIPIF1<0恒成立,得SKIPIF1<0,设SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0单调递增,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0单调递减,所以SKIPIF1<0,显然无论SKIPIF1<0取何实数,不等式SKIPIF1<0不能恒成立,综上所述,a的取值范围是SKIPIF1<0,故选:C【变式1】(2023上·江苏苏州·高三常熟中学校考阶段练习)已知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增,则实数a的取值范围是.【答案】SKIPIF1<0【详解】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,由于函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增,故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立,因此在SKIPIF1<0对任意的SKIPIF1<0恒成立,所以SKIPIF1<0,故答案为:SKIPIF1<0【变式2】(2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测)若函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增,则实数SKIPIF1<0的取值范围为.【答案】SKIPIF1<0【详解】由题设SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立.设SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立,又SKIPIF1<0,当且仅当SKIPIF1<0时等号成立,所以SKIPIF1<0,即实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.故答案为:SKIPIF1<0题型04已知函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上存在单调区间,求参数【典例1】(2023上·浙江宁波·高二镇海中学校考期中)若函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上有单调递增区间,则实数SKIPIF1<0的取值范围是.【答案】SKIPIF1<0【详解】SKIPIF1<0,由题意SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有解,即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有解,根据对勾函数的性质可知,SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增,所以在SKIPIF1<0时取最大值,故SKIPIF1<0,故实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.故答案为:SKIPIF1<0【典例2】(2023下·江西抚州·高二江西省临川第二中学校考阶段练习)函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上存在单调递增区间,则SKIPIF1<0的取值范围是.【答案】SKIPIF1<0【详解】函数SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∵函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上存在单调递增区间,SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0有解,令SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,∴当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0即可.故答案为:SKIPIF1<0【变式1】(2023下·广西·高二校联考期中)若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0存在单调递减区间,则a的取值范围为.【答案】SKIPIF1<0【详解】SKIPIF1<0,等价于SKIPIF1<0在SKIPIF1<0有解,即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0有解,即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0有解,所以SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函数,∴SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.故答案为:SKIPIF1<0.题型05已知函数SKIPIF1<0在的单调区间为(是)SKIPIF1<0,求参数【典例1】(2023下·高二课时练习)已知函数SKIPIF1<0的单调递减区间是SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【详解】SKIPIF1<0,因为函数SKIPIF1<0单调递减区间是SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,所以函数SKIPIF1<0单调递减区间是SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.故答案为:SKIPIF1<0.题型06已知函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上不单调,求参数【典例1】(2023下·湖北·高二校联考阶段练习)若函数SKIPIF1<0在其定义域的一个子区间SKIPIF1<0内不是单调函数,则实数SKIPIF1<0的取值范围是(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【详解】因为函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(舍去),因为SKIPIF1<0在定义域的一个子区间SKIPIF1<0内不是单调函数,所以SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,综上,SKIPIF1<0,故选:A【典例2】(2022上·河南·高三校联考阶段练习)已知函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上不是单调函数,则实数SKIPIF1<0的取值范围是(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【详解】因为SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上不是单调函数,所以SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上有解,即SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上有解.令SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0;当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减,在SKIPIF1<0上单调递增.又因为SKIPIF1<0,且当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增,所以SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0.故选:A【变式1】(2022·全国·高二专题练习)已知函数SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内不单调,则实数a的取值范围是.【答案】SKIPIF1<0【详解】由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内为减函数时,则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内恒成立,所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内恒成立,当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内为增函数时,则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内恒成立,所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内恒成立,令SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内单调递增,在SKIPIF1<0内单调递减,所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内的值域为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内单调时,a的取值范围是SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上不单调时,实数a的取值范围是SKIPIF1<0.故答案为:SKIPIF1<0.【变式2】(2022下·福建漳州·高二福建省漳州第一中学校考阶段练习)若函数SKIPIF1<0在区间(1,4)上不单调,则实数a的取值范围是.【答案】(4,5)【详解】解:SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,若函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上不单调,则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上存在变号零点,由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0在SKIPIF1<0递减,在SKIPIF1<0递增,而SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.故答案为:SKIPIF1<0.题型07含参问题讨论单调性(导函数有效部分是一次型)【典例1】(2023上·陕西咸阳·高三统考期中)已知函数SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0,求函数SKIPIF1<0的极值;(2)求函数SKIPIF1<0的单调区间.【答案】(1)函数SKIPIF1<0的极大值为SKIPIF1<0,无极小值(2)答案见解析【详解】(1)当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,其定义域为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0.SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0单调递增;当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0单调递减,SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0的极大值为SKIPIF1<0,无极小值.(2)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增;当SKIPIF1<0时,由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0单调递减,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0,单调递减区间为SKIPIF1<0,综上,当SKIPIF1<0时,函数SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0;当SKIPIF1<0时,函数SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0,单调递减区间为SKIPIF1<0.【典例2】(2023·全国·高三专题练习)已知函数SKIPIF1<0.求函数SKIPIF1<0的单调区间.【答案】增区间为SKIPIF1<0,减区间为SKIPIF1<0.【详解】SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0,单调递减区间为SKIPIF1<0.【变式1】(2023·全国·高三专题练习)已知函数SKIPIF1<0,讨论函数SKIPIF1<0的单调性.【答案】答案见解析【详解】由函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0;当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增,在SKIPIF1<0单调递减.若SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0;当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减,在SKIPIF1<0单调递增.若SKIPIF1<0,此时函数SKIPIF1<0为常数函数,无单调性.【变式2】(2023·全国·高三专题练习)已知函数SKIPIF1<0.讨论函数SKIPIF1<0的单调性.【答案】答案见解析【详解】由题意,得函数SKIPIF1<0的定义域为R,则SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0恒成立,∴函数SKIPIF1<0在R上单调递减;当SKIPIF1<0时,令SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,∴函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减,在SKIPIF1<0上单调递增.综上,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0在R上单调递减;当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减,在SKIPIF1<0上单调递增.题型08含参问题讨论单调性(导函数有效部分是二次型且可因式分解)【典例1】(2023上·江苏扬州·高三仪征市第二中学校考期中)已知函数SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的极值点,求a的值;(2)若SKIPIF1<0,讨论函数SKIPIF1<0的单调性.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)答案见解析【详解】(1)SKIPIF1<0SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的极值点,所以SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.即函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减,在SKIPIF1<0上单调递增,即SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的极值点.故SKIPIF1<0.(2)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,令SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0时,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减,在SKIPIF1<0上单调递增,在SKIPIF1<0上单调递减.当SKIPIF1<0时,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减,在SKIPIF1<0上单调递增,在SKIPIF1<0上单调递减.当SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减.综上,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递减,在SKIPIF1<0上递增,在SKIPIF1<0上递减;当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减;当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减,在SKIPIF1<0上单调递增,在SKIPIF1<0上单调递减.【典例2】(2024·全国·高三专题练习)已知函数SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0.求函数SKIPIF1<0的单调区间;【答案】答案见解析【详解】SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,则函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0,SKIPIF1<0上单调递增,在SKIPIF1<0上单调递减,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0,SKIPIF1<0上单调递增,在SKIPIF1<0上单调递减.综上所述,当SKIPIF1<0时,函数SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0,无单调递减区间;当SKIPIF1<0时,函数SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,单调递减区间为SKIPIF1<0;当SKIPIF1<0时,函数SKIPIF1<0的单调递增区间为在SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,单调递减区间为SKIPIF1<0.【典例3】(2023上·甘肃庆阳·高三校考阶段练习)已知函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0(1)若SKIPIF1<0,求曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程;(2)当SKIPIF1<0时,求函数SKIPIF1<0的单调递增区间.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)答案见解析【详解】(1)当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,所以切线的斜率SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0.(2)因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0恒成立,所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增.当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0;当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0;综上所述,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0;当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0;当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.【变式1】(2023上·河南南阳·高三校考阶段练习)已知函数SKIPIF1<0.(1)当SKIPIF1<0时,求曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程;(2)当SKIPIF1<0时,讨论函数SKIPIF1<0的单调性;【答案】(1)SKIPIF1<0(2)在区间SKIPIF1<0上单调递增,在区间SKIPIF1<0上单调递减【详解】(1)当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,所以,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,所以,由导数的几何意义知曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0.(2)因为SKIPIF1<0,易知,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增,在区间SKIPIF1<0上单调递减.【变式2】(2023上·北京顺义·高三杨镇第一中学校考阶段练习)已知函数SKIPIF1<0.(1)当SKIPIF1<0时,求函数SKIPIF1<0的最小值;(2)当SKIPIF1<0时,讨论SKIPIF1<0的单调性.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)答案见解析【详解】(1)当SKIPIF1<0时:SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0,又因为当SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,此时函数SKIPIF1<0单调递减;当SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,此时函数SKIPIF1<0单调递增.所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0SKIPIF1<0.(2)SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.①若SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增;②若SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0.故当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0或SKIPIF1<0;当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0,SKIPIF1<0上单调递增,在SKIPIF1<0上单调递减.③若SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0.故当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0或SKIPIF1<0;当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0,SKIPIF1<0上单调递增,在SKIPIF1<0上单调递减.综上所述,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增;当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0在SKIPIF1<0,SKIPIF1<0上单调递增,在SKIPIF1<0上单调递减.当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0在SKIPIF1<0,SKIPIF1<0上单调递增,在SKIPIF1<0上单调递减.【变式2】(2023·全国·高三专题练习)已知SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0的单调递减区间.【答案】答案见解析【详解】易得SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时,因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0的单调递减区间为SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时,①若SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0的单调递减区间为SKIPIF1<0;②若SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0恒成立,SKIPIF1<0没有单调递减区间;③若SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0的单调递减区间为SKIPIF1<0.综上所述,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0的单调递减区间为SKIPIF1<0;当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0的单调递减区间为SKIPIF1<0;当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0无单调递减区间;当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0的单调递减区间为SKIPIF1<0.题型09含参问题讨论单调性(导函数有效部分是二次型且不可因式分解)【典例1】(2023·全国·高三专题练习)设函数SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0为常数,讨论函数SKIPIF
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