第10章 分式（教师版）苏科版

2023-2024学年苏科版数学八年级下册章节知识讲练1.理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.2．了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则．3．掌握分式的四则运算．4．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想．知识点01：分式的有关概念及性质【高频考点精讲】1．分式一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.【易错点剖析】分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式才有意义.2.分式的基本性质

（M为不等于0的整式）.

3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简.知识点02：分式的运算【高频考点精讲】1．约分利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.2．通分利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．3．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.（2）乘法运算，其中是整式，.两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算，其中是整式，.两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.（4）乘方运算分式的乘方，把分子、分母分别乘方.

4.分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.知识点03：分式方程【高频考点精讲】1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根.【易错点剖析】因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解.知识点04：分式方程的应用

列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.检测时间：120分钟试题满分：100分难度系数：0.53一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023秋•汉阳区期末）已知分式（a，b为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（）x的取值2m﹣2分式的值03无解A．b＝﹣4 B．a＝2 C．m＝﹣10 D．a＝﹣2解：当x＝2时，＝0，∴4+b＝0，解得b＝﹣4，故A不符合题意；当x＝﹣2时，无解，∴﹣2﹣a＝0，解得a＝﹣2，故B符合题意；D不符合题意；∴分式为，当x＝m时，＝3，解得m＝﹣10，故C不符合题意；故选：B．2．（2分）（2023秋•如皋市期末）我们把形如（a，b不为零），且两个解分别为x1＝a，x2＝b的方程称为“十字分式方程”．如，为“十字分式方程”，其可转化为，则x1＝1，x2＝3．若k＞2时，关于x的“十字分式方程”的两个解分别为x1，x2，且x1＜x2，则的值为（）A． B． C．﹣2 D．2解：原方程变为x+1+＝（k+1）+（k﹣1），∴x1+1＝k﹣1，x2+1＝k+1，∴x1＝k﹣2，x2＝k，∴＝＝．故选：A．3．（2分）（2023秋•江汉区期末）绿化队原来用漫灌方式浇绿地，a天用水m吨，现改用喷灌方式，可使这些水多用3天，则现在比原来每天节约用水吨数是（）吨．A． B． C． D．解：由题意得，原来每天用水的吨数为（吨），现在每天用水的吨数为（吨），∴现在比原来每天节约用水吨数是（）吨．故选：A．4．（2分）（2023秋•大连期末）甲乙两地相距400千米，一辆汽车从甲地开往乙地，实际每小时比原计划多行驶12km，结果提前1小时到达．设这辆汽车原计划的速度为x千米/时，根据题意可列方程为（）A．＝+1 B．＝+1 C．+1＝ D．+1＝解：设原来的平均速度为x千米/时，由题意得，＝+1，故选：A．5．（2分）（2023秋•惠州期末）已知，则的值为（）A． B． C． D．解：∵，∴设a＝2k，b＝5k，∴＝＝＝＝．故选：A．6．（2分）（2023秋•商丘期末）下列各分式中，是最简分式的是（）A． B． C． D．解：A．是最简分式；B．＝＝x﹣y，不符合题意；C．＝＝，不符合题意；D．＝，不符合题意；故选：A．7．（2分）（2023秋•昌黎县期末）关于x的分式方程有增根，则m的值是（）A．﹣2 B．3 C．﹣3 D．2解：去分母，得x﹣3＝m，移项，得x＝m+3．∵关于x的分式方程有增根，∴m+3﹣1＝0，∴m＝﹣2．故选：A．8．（2分）（2023秋•纳溪区期末）已知关于x的分式方程＝1的解是非负数，则m的取值范围是（）A．m≥1 B．m≤1 C．m≥﹣1且m≠0 D．m≥﹣1解：分式方程去分母得：m＝x﹣1，即x＝m+1，由分式方程的解为非负数，得到m+1≥0，且m+1≠1，解得：m≥﹣1且m≠0，故选：C．9．（2分）（2023春•宣汉县校级期末）已知关于x的分式方程的解为正数，关于y的不等式组，恰好有三个整数解，则所有满足条件的整数a的和是（）A．1 B．3 C．4 D．6解：关于x的分式方程解为x＝2a﹣1，∵x解为正数，∴2a﹣1＞0，∴a＞，关于y的不等式组解为，∵y恰有三个整数解，∴0＜≤1，∴﹣1＜a≤3，分式方程中，x≠3，∴2a﹣1≠3，∴a≠2，综上所述：＜a≤3，∴满足条件的整数a为：1、3，则所有满足条件的整数a的和是4．故选：C．10．（2分）（2022秋•河间市校级期末）已知关于x的一元一次不等式组的解集为x＞2，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的所有整数a的和为（）A．2 B．5 C．6 D．9解：∵不等式组的解集为x＞2，∴a﹣2≤2．∴a≤4．关于y的分式方程＝1﹣的解为y＝．∵y＝3是原分式方程的增根，∴≠3．∴a≠3．∵关于y的分式方程＝1﹣的解为正整数，∴为正整数．∴a＝2，4，7．∵a≤4，∴a＝2，4．∴所有满足条件的所有整数a的和为：2+4＝6．故选：C．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023秋•崇川区期末）若关于x的方程+＝5的解为正数，则m的取值范围是m＜且m≠．解：+＝5，去分母，得x﹣m﹣2m＝5（x﹣1），∴x﹣3m＝5x﹣5，∴﹣4x＝﹣5+3m．∴x＝．∵方程的解为正数，且x≠1．∴＞0，且≠1．∴m＜且m≠．故答案为：m＜且m≠．12．（2分）（2023秋•海淀区校级期末）若关于x的方程＝8的解为x＝，则m＝4．解：分式方程去分母得：mx+1＝8x，根据题意将x＝代入方程得：m+1＝2，解得：m＝4．故答案为：413．（2分）（2023秋•柘城县期末）若三角形的三边为4、7、x且x是关于x的方程的解，则a的范围为4＜a＜36，且a≠24．．解：由题意得3＜x＜11，解方程，得x＝，∴3＜＜11，且≠8，解得4＜a＜36，且a≠24，故答案为：4＜a＜36，且a≠24．14．（2分）（2023秋•川汇区期末）分式与的最简公分母是2a2b2c．解：题中两分式的最简公分母即求两分式分母的最小公倍数，即为2a2b2c．故答案为2a2b2c．15．（2分）（2023秋•渝中区校级期末）若整数a使关于x的不等式组无解，且使关于y的分式方程有非负整数解，则满足条件的a的值之和为0．解：，解得：，由不等式组无解可知，﹣2+3a≤a+2，解得：a≤2，∵，∴ay+5＝﹣3y+15，∴（a+3）y＝10，∴当a+3≠0时，即a≠﹣3时，y＝，∵y≠5，∴y＝≠5，解得：a+3≠2，∵分式方程有非负整数解，即a+3＝1或a+3＝5或a+3＝10，解得：a＝﹣2或a＝2或a＝7，∵a≤2，∴a＝﹣2或a＝2，∴﹣2+2＝0．故答案为：0．16．（2分）（2023秋•长沙期末）已知关于x的分式方程，则该分式方程的解为x＝3．解：方程两边都乘以x（x﹣1）得：2x＝3（x﹣1），解得：x＝3，检验：∵当x＝3时，x（x﹣1）≠0，∴x＝3是原方程的解，故答案为：x＝3．17．（2分）（2023秋•旌阳区期末）若分式的值为零，则x的值为3．解：依题意得：3﹣|x|＝0且x+3≠0，解得x＝3．故答案为：3．18．（2分）（2023秋•綦江区期末）若整数m既能使关于x的不等式组有解，也能使关于y的分式方程有整数解，则整数m的值为﹣1．解：解关于x的不等式组得：，∵不等式组有解，∴m﹣3＜﹣1，解得：m＜2，解关于y的分式方程得：y＝，∵y≠3，m≠2，∴≠3，m≠2，∴m≠1且m≠2，∵为整数，且m为整数，∴m＝﹣1，∴整数m的值为﹣1．故答案为：﹣1．19．（2分）（2023秋•江汉区期末）若关于x的分式方程﹣＝1无解，则m的值为﹣2或1．解：去分母得：x2﹣mx﹣3x+3＝x2﹣x，解得：（2+m）x＝3，由分式方程无解，得到2+m＝0，即m＝﹣2或x＝＝1，即m＝1，综上，m的值为﹣2或1．故答案为：﹣2或120．（2分）（2022春•衡阳县期末）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥5，且关于y的分式方程+＝﹣1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为﹣2．解：，解不等式①得：x≥5，解不等式②得：x＞a+2，∵解集为x≥5，∴a+2＜5，∴a＜3；分式方程两边都乘以（y﹣2）得：y﹣a＝﹣（y﹣2），解得：y＝，∵分式方程有非负整数解，∴≥0，为整数，∴a≥﹣2，a为偶数，∵≠2，∴a≠2，综上所述，﹣2≤a＜3且a≠2且a为偶数，∴符合条件的所有整数a的数有：﹣2，0，和为﹣2+0＝﹣2．故答案为：﹣2．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2023秋•潮南区校级期末）计算：（1）因式分解：5x2﹣45；（2）解方程：．解：（1）5x2﹣45；＝5（x2﹣9）＝5（x+3）（x﹣3）；（2），去分母，得12﹣3（x+3）＝x﹣3．解这个方程，得x＝．检验：当x＝时，（x+3）（x﹣3）≠0，∴x＝是原方程的解．22．（6分）（2023秋•南昌期末）先化简，再求值：，其中x＝3．解：原式＝＝•＝，当x＝3时，原式＝．23．（8分）（2023秋•昆明期末）乡村振兴，交通先行．近年以来，某市高质量推进“四好”农村公路建设，着力打通农村交通基础设施．某村准备修一条5400米长的道路，在修建600米后，由于采用新的修建技术，这样每天修建长度是原来的2倍，结果共用15天完成了全部任务，求原来每天修建道路多少米．解：设原来每天修建道路x米，则采用新的修建技术后每天修建道路2x米，根据题意得：+＝15，解得：x＝200，经检验，x＝200是所列方程的解，且符合题意．答：原来每天修建道路200米．24．（8分）（2023秋•武都区期末）2023年第31届世界大学生夏季运动会将在成都举办，与吉祥物“蓉宝”有关的纪念品现已上市．某商店计划今年购进A，B两种“蓉宝”纪念品若干件，订购A种“蓉宝”纪念品花费6000元，订购B种“蓉宝”纪念品花费3200元，其中A种纪念品的订购单价比B种纪念品的订购单价多20元，并且订购A种纪念品的数量是B种纪念品数量的1.25倍．（1）求商店订购A种纪念品和B种纪念品分别是多少件？（2）若商店一次性购买A，B纪念品共60件，要使总费用不超过3000元，最少要购买多少件B种纪念品？解：（1）设商店订购B种纪念品x件，则订购A种纪念品1.25x件，根据题意，得，解得x＝80，经检验，x＝80是原方程的根，且符合题意，1.25×80＝100（件），答：商店订购A种纪念品100件，B种纪念品80件；（2）设购买m件B种纪念品，A种商品的单价为6000÷100＝60（元），B种商品的单价为60﹣20＝40（元），根据题意，得60（60﹣m）+40m≤3000，解得m≥30，答：最少购买30件B种纪念品．25．（8分）（2023秋•浏阳市期末）“春节”是我国最传统、最热闹的节日．计划由甲、乙两个工厂一起生产一批2024龙年春晚吉祥物形象“龙辰辰”．已知甲工厂每天生产的数量是乙工厂每天生产数量的1.5倍，两工厂各生产2400个该吉祥物时，甲工厂比乙工厂少用2天．（1）求甲乙两工厂每天各生产多少个吉祥物？（2）已知甲乙两工厂生产该吉祥物每天的费用分别是1800元和1000元，计划由两个工厂合作生产15000个这种吉祥物，由于时间的限制，甲乙两工厂同时开始生产，同时结束，那么一共需要支付多少资金？解：（1）设乙工厂每天生产x个吉祥物，则甲工厂每天生产1.5x个吉祥物，由题意得：﹣＝2，解得：x＝400，经检验，x＝400是原方程的解，且符合题意，∴1.5x＝1.5×400＝600，答：甲工厂每天生产600个吉祥物，乙工厂每天生产400个吉祥物；（2）甲乙两工厂同时生产，一天可生产吉祥物：400+600＝1000（个），甲乙两工厂同时生产的天数为：＝15（天），∴一共需要支付的资金为：（1800+1000）×15＝42000（元），答：一共需要支付42000元资金．26．（8分）（2023秋•滨海新区期末）小刚到离家1200米的电影院看电影，到电影院时发现钱包丢在家里，