北师大版高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》检测题(含答案解析)

一、选择题1．()A． B． C． D．2．设，，则a，b，c的大小关系()A．a>b>c B．b>a>c C．a>c>b D．b>c>a3．如图所示的阴影部分是由轴，直线及曲线围成，现向矩形区域内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是（）A． B． C． D．4．若连续可导函数的导函数，则称为的一个原函数.现给出以下函数与其导函数：①，；②，，则以下说法不正确的是（）A．奇函数的导函数一定是偶函数B．偶函数的导函数一定是奇函数C．奇函数的原函数一定是偶函数D．偶函数的原函数一定是奇函数5．若正四棱锥（底面为正方形，且顶点在底面的射影为正方形的中心）的侧棱长为，侧面与底面所成的角是，则该正四棱锥的体积是（）A． B． C． D．A．B．C．1D．27．已知，执行下面的程序框图，如果输入的，那么输出的的值为（）A．3 B．4 C．5 D．68．若则a，b，c的大小关系是（）A． B． C． D．9．由直线y=x-4，曲线以及x轴所围成的图形面积为（）A．15 B．13 C． D．10．设，则等于（）A． B． C． D．11．计算的结果为（）A．0 B．1 C． D．12．下列积分值最大的是（）A． B．C． D．二、填空题13．已知曲线y=2x与直线14．______.15．曲线与直线及轴所围成的封闭图形的面积为____．16．定积分________.17．定积分__________．18．若定义在上的函数对任意两个不等的实数都有，则称函数为“函数”.给出下列四个定义在的函数：①；②；③；④，其中“函数”对应的序号为__________．19．定积分________．20．已知平面区域，直线和曲线有两个不同的交点，直线与曲线围成的平面区域为，向区域内随机投一点，点落在区域内的概率为，若，则实数的取值范围是___________.三、解答题21．已知函数为一次函数，若函数的图象过点，且.（1）求函数的表达式.（2）若函数，求函数与的图象围成图形的面积.22．为了降低能源消耗，某冷库内部要建造可供使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为4万元，又知该冷库每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：）满足关系，若不建隔热层，每年能源消耗为8万元.设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.（1）求的值及的表达式；（2）隔热层修建多厚时，总费用达到最小？并求最小值.23．计算下列定积分.（1）；（2）.24．已知曲线和直线及所围成图形的面积为.(1)求.(2)求所围成图形绕轴旋转所成旋转体的体积.25．求曲线和，y＝0围成图形的面积．26．已知，（1）若函数在上为单调函数，求实数的取值范围；（2）若当时，对任意恒成立，求实数的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】分别根据积分的运算法则和几何意义求得两个积分的值，进而得到结果.【详解】表示下图所示的阴影部分的面积，故选：【点睛】本题考查积分的求解问题，涉及到积分的运算法则和几何意义的应用.2．A解析：A【解析】借助定积分的计算公式可算得，，，所以，应选答案A。3．D解析：D【解析】试题分析：由几何概型可知，所求概率为.考点：几何概型、定积分．4．D解析：D【解析】由①,B,C正确;由②,A正确,D项,偶函数的原函数不一定是奇函数,比如,此时F(x)为非奇非偶函数,所以D错误,故选D.5．B解析：B【解析】设底面边长为，依据题设可得棱锥的高，底面中心到顶点的距离，由勾股定理可得，解之得，所以正四棱锥的体积，故应选答案B．6．A解析：A【解析】试题分析：由考点：函数在某点处的切线7．B解析：B【解析】由题意得．所以输入的．执行如图所示的程序，可得：①，不满足条件，继续运行；②，不满足条件，继续运行；③，满足条件，停止运行，输出4．选B．8．D解析：D【解析】∵，，，则，，的大小关系是，故选D.9．D解析：D【详解】根据题意，画出如图所示：由直线，，曲线以及轴所围成的面积为：.故选D.10．C解析：C【解析】【分析】利用计算出定积分的值.【详解】依题意得，故选C.【点睛】本小题主要考查定积分的计算，考查运算求解能力，属于基础题.11．C解析：C【分析】求出被积函数的原函数，然后分别代入积分上限和积分下限后作差得答案.【详解】，故选C.【点睛】该题考查的是有关定积分的运算求解问题，属于简单题目.12．A解析：A【分析】对各个选项计算出被积函数的原函数，再将上下限代入即可得到结果，进行比较即可得到结果.【详解】A：，函数y=为奇函数，故，，B:，C:表示以原点为圆心，以2为半径的圆的面积的，故，D:，通过比较可知选项A的积分值最大，故选A【点睛】计算定积分的步骤：①先将被积函数变形为基本初等函数的和、差等形式；②根据定积分的基本性质，变形；③分别利用求导公式的逆运算，找到相应的的原函数；④利用微积分基本定理分别求出各个定积分的值，然后求代数和(差)．二、填空题13．32-2ln2【分析】先确定交点坐标得到积分区间确定被积函数求出原函数即可求得结论【详解】解：由题意曲线y=2x与直线x+y=3的交点坐标为1221∴曲线y=2x与直线x+y=3所围成的封闭图形的面解析：3【分析】先确定交点坐标，得到积分区间，确定被积函数，求出原函数，即可求得结论．【详解】解：由题意，曲线y=2x与直线x+y=3的交点坐标为1,2∴曲线y=2x与直线x+y=3=故答案为：32【点睛】本题考查定积分知识的运用，确定交点坐标，得到积分区间，确定被积函数，是解题的关键，属于中档题．14．【分析】由定积分性质可知而可利用几何意义求解【详解】令即由几何意义可知：表示在第一象限部分的一半与直角边长为2的等腰三角形的面积和所以因此故答案为：【点睛】本题主要考查了定积分的性质计算特别是定积分解析：【分析】由定积分性质可知，而可利用几何意义求解.【详解】令，即，由几何意义可知：表示在第一象限部分的一半与直角边长为2的等腰三角形的面积和，所以，因此，故答案为：【点睛】本题主要考查了定积分的性质，计算，特别是定积分的几何意义是解题关键，属于中档题.15．【分析】根据定积分的几何意义先联立直线与曲线方程求出积分的上下限将面积转化为定积分从而可求出所围成的图形的面积【详解】由曲线与直线构成方程组解得由直线与构成方程组解得；曲线与直线及x轴所围成的封闭图解析：【分析】根据定积分的几何意义，先联立直线与曲线方程，求出积分的上下限，将面积转化为定积分，从而可求出所围成的图形的面积.【详解】由曲线与直线构成方程组，解得，由直线与构成方程组，解得；曲线与直线及x轴所围成的封闭图形的面积为：．故答案为．【点睛】本题主要考查定积分的几何意义，属于中档题.一般情况下，定积分的几何意义是介于轴、曲线以及直线之间的曲边梯形面积的代数和，其中在轴上方的面积等于该区间上的积分值，在轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数,所以在用定积分求曲边形面积时，一定要分清面积与定积分是相等还是互为相反数；两条曲线之间的面积可以用两曲线差的定积分来求解.16．【解析】分析：由定积分的几何意义画出图形由面积可得定积分由奇函数在对称区间的积分知为0可得解详解：∵表示圆与x轴围成的图形CDAB∴又为奇函数所以∴故答案为：点睛：定积分的计算一般有三个方法：（1）解析：.【解析】分析：由定积分的几何意义画出图形由面积可得定积分，由奇函数在对称区间的积分知为0，可得解.详解：，∵表示圆与x轴围成的图形CDAB，.∴，又为奇函数，所以，∴，故答案为：.点睛：定积分的计算一般有三个方法：（1）利用微积分基本定理求原函数；（2）利用定积分的几何意义，利用面积求定积分；（3）利用奇偶性对称求定积分，奇函数在对称区间的定积分值为0.17．e【解析】点睛：1求曲边图形面积的方法与步骤(1)画图并将图形分割为若干个曲边梯形；(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围从而确定积分的上下限；(3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积和即各积分解析：e【解析】.点睛：1.求曲边图形面积的方法与步骤(1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；(3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和．2．利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．18．②④【解析】函数在上单调递增①②③为单调递减④单调递增;单调递增;且所以为单调递增选②④解析：②④【解析】函数在上单调递增.①,②,③为单调递减,④单调递增;单调递增;且,所以为单调递增,选②④19．【解析】试题分析：因为所以考点：定积分的计算【方法点睛】本题主要考察利用换元法求定积分计算定积分首先要熟悉常见函数的导函数因题中恰好为的导函数所以可以考虑用换元法来求定积分；本题也可利用三角恒等变换解析：【解析】试题分析：因为，所以.考点：定积分的计算.【方法点睛】本题主要考察利用换元法求定积分，计算定积分，首先要熟悉常见函数的导函数，因题中恰好为的导函数，所以可以考虑用换元法来求定积分；本题也可利用三角恒等变换来求，因为，所以有.20．【分析】试题分析：平面区域Ω=的面积为当时结合图形可知直线斜率当时由可知令一交点为由定积分可知面积所以考点：数形结合法定积分几何概型概率等点评：本题涉及到的知识点较多题目有一定的难度在求解过程中多次解析：【分析】试题分析：平面区域Ω=的面积为，，当时，结合图形可知直线斜率，当时由，可知令一交点为，由定积分可知面积，所以考点：数形结合法，定积分，几何概型概率等点评：本题涉及到的知识点较多，题目有一定的难度，在求解过程中多次用到了数形结合法，这种方法在求解函数题，几何题时应用广泛，需加以重视【详解】请在此输入详解！三、解答题21．（1）；（2）.【分析】（1）设一次函数的解析式，由．及微积分定理可得，解得的值，进而求出函数的解析式；（2）由面积和微积分的关系求出与的图象围成图形的面积的表达式，进而求出其面积．【详解】解：（1）∵为一次函数且过点，可设∴，解得,∴.（2）由得：，，∴与围成的图形面积即【点睛】本题考查微积分定理的应用，及曲线围成的面积的运算方法，属于中档题．22．（1）；（2）当隔热层修建7.5cm厚时，总费用最小，最小费用70万元.【解析】试题分析：（I）根据c（0）=8计算k，从而得出f（x）的解析式；（II）利用基本不等式得出f（x）的最小值及等号成立的条件．试题（1）当时，，∴.由题意知，，即.（2）∵∴，令，即，∴.当时，，当时，，当时，取得最小值..所以，当隔热层修建7.5cm厚时，总费用最小，最小费用70万元.23．（1）1；（2）【分析】（1）直接根据微积分基本定理，即可得到本题答案；（2）由题，得，再根据微积分基本定理，即可得到本题答案.【详解】（1）；（2）.【点睛】本题主要考查利用微积分基本定理求定积分.24．(1)2,；（2）.【分析】（1）根据题意可知曲线和直线及所围成图形的面积为，解之即可；（2）所围成图形绕轴旋转所成旋转体的体积为，根据定积分的定义解之即可．【详解】（1）；（2）.【点睛】本题主要考查定积分的几何意义，意在考查灵活利用所学知识解答问题的能力，属于中档题.25．.【分析】首先由定积分的几何意义用定积分表示曲线围成图形的面积，然后计算定积分即可得结果.【详解】如图，作出直线，曲线，则所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组得，则直线与曲线交点的坐标为(2,4)，又直线与x轴的交点坐标为(6,0)，因此，所求图形的面积.【点睛】该题考查的是有关求曲线围成的图形的面积的问题，涉及到的知识点有定积分的几何意义，注意在不同的积分区间上的被积函数是不同的，属于简单题目.26．（1）；（2）.【解析】试题分析：(1)求导，利用导数对t的范围进行分类讨论求最值.(2)本小题实质是在上恒成立，进一步转化为在上恒成立,然后构造函数利用导数研究h(x)的最小值即可.注意不要忽略x>0的条件,导致求导数的方程时产生增根.试题（1）定义域为，，因为在上为单