2022-2023学年福建省莆田市高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省莆田市高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.己知复数z=—（i是虚数单位），则复数z等于（）

A.1—2,1B.1+2iC.-1—2iD.-1+21

2.2知向量（l,k）,B=（2,3）兄=（一2,2），且一分贝/=（）

A.4B.—4C.2D.—2

3.某区政府为了加强民兵预备役建设，每年都按期开展民兵预备役军事训练，训练后期对

每位民兵进行射击考核.民兵甲在考核中射击了8发，所得环数分别为6,8,a,8,7,9,10,8

若民兵甲的平均得环数为8,则这组数据的第75百分位数为（）

A.8B.8.5C.9D,9.5

4.已知复数z满足z-z+4z=8i（i是虚数单位），则复数z=（）

A.-2-2iB.-2+2iC.2-2iD.2+2i

5.己知n是两条不同的直线，a,£是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（）

A.若n//a,则m〃aB,若m1n,n1a,则zn〃a

C.若7nla,m1/3,贝!|a〃£D,若m〃a,a_L0,则m_L£

6.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶4的仰角A

是45。,在。点测得塔顶4的仰角是30。，并测得水平面上的NBCD=120°,\\

CD=40小，则电视塔的高度为（）

A.lOV^mB.20mC.201加1D.40m

7.在△ABC中，NB4C=?花=2砺,P为CD上一点，且满足Q=4而+/荏.若|前|=

2,\AB\=3-贝1J|Q|的值为（）

A.1B.C.V-3D.2

8.几何中常用周表示L的测度，当L为曲线、平面图形和空间几何体时，囚分别表示其长度、

面积和体积.△ABC是边长为4的正三角形，尸为AABC内部的动点（含边界），在空间中，到点P

的距离为1的点的轨迹为3则臼等于（）

A.8V-3B.-1—+A/-3C.6TT+8V-3D.-1—+8V3

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.己知i为虚数单位，则下列结论正确的是（）

A.i+产+产+#=0B,若z=z,则z6R

C.若复数Z为纯虚数，贝U|z|2=Z2D.若（1—i）z=1+i,则|z|=1

10.某景区为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2017年1月至

2019年12月期间月接待游客量（单位：千人次）的数据，绘制了如图所示的折线图.根据该折线

图，则下列结论正确的是（）

,J月接待游客展千人冽

45

40

百

3。

.5

0123456789101112123456789101112123456789101112年月

2017年2018年2019年

A.月接待游客量逐月增加

B.年接待游客量逐年增加

C.每年月接待游客的增长量最多是8月

D.每年1月至6月的月接待游客量相对同年7月至12月的月接待游客量，波动性更小

11.如图，AB,AC,力。两两互相垂直，三棱锥E-BCD是正四面体，则

下列结论正确的是（）

A.二面角D-BC-A的大小为2

B.BC1DE

C.若ABC。的中心为。，贝以，0,E三点共线

D.三棱锥E-BCD的外接球过点4

12.已知AABC的三个角2,8,C的对边分别为a,b,c,b=6,c=8,且bcosC+ccosB=10,

P是4B边上的动点，则西・（丽+配）的值可能为（）

A.—64B.—12C,—8D.0

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.某校为了提升学生的中华文化素养，开设书法、对联、灯谜三个校本课程班，每位学生

只报一个校本课程班，学校对高一、高二年级报名的学生人数进行统计，结果如下表.已知张

华对上述三个校本课程班，采用样本量比例分配的分层随机抽样的方法，抽取一个总样本量

为30的样本，其中对联班的学生抽取10名，则刀=.

课程

书法对联灯谜

年级

高一15X30

高二453010

14.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面4BCD是矩形，侧面PAD是正三角

形，平面PAD_L平面4BCD,AB=1,AD=2,则二面角P-BC-D的大

小是.

BC

15.在等边△4BC中，D为边BC上的点且满足而=2而，DE14B且交4B于点E,DF//AB

且交4C于点F,若而=2砺+〃丽，贝1|4+〃的值是

16.如图，在正四棱柱28CD-4/iGDi中，四边形ABCD是边长

为2的正方形，A4i=4,M,N分别是棱8C,AD的中点，E,F分

别是棱4/1，上动点.当直线NE与底面4B1GA所成角最小时

线段NE的长度是,四面体MNEF的体积是.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知向量五=G，C),b=(-1,0).

(1)求向量五与至的夹角的余弦值；

(2)若向量3=(-1,，可)，求向量不在向量五-3上的投影向量(用坐标表示).

18.(本小题12.0分)

已知向量记=(2cosx,l),n=(cosx,-\f-3sin2x),函数/'(x)=m-n.

(1)若f(a)=2,ae求a的值；

(2)已知A4BC的三个角A,8,C的对边分别为a,b,c,/(X)=2,6=1,△ABC的面积为殍,

求sm.AA+s+in彳B-}：-si.nC「的值•

19.(本小题12.0分)

在四棱锥P—ABCD中，PD_L平面ABCD,BC//AD,BC=2AD,AD1CD,分另lj为PB,BC,

PD的中点.

(1)求证：BC_L平面4EF；

(2)过点4E,M的平面交PC于点N,求薪的值.

20.(本小题12.0分)

某校共有高中生3000人，其中男女生比例约为3：2,学校要对该校全体高中生的身高信息进

行统计.

(1)采用简单随机抽样的方法，从该校全体高中生中抽取一个容量为n的样本，得到频数分布

表和频率分布直方图.

身高(单位：cm)频数

[145,155)a

[155,165)b

[165,175)c

[175,185)36

[185,195]24

根据图表信息，求ri,a,b,c的值，并把频率分布直方图补充完整.

(2)按男生、女生在全体学生中所占的比例，采用分层随机抽样的方法，共抽取总样本量为200

的样本，并知道男生样本数据的平均数为172,方差为16,女生样本数据的平均数为160,方

差为20,估计该校高中生身高的总体平均数及方差.

21.(本小题12.0分)

已知AABC的三个角4,B,C的对边分别为a,b,c,sin2X+sin2C=sin25+sinAsinC.

(1)求8；

(2)若b=2,而•刀=4,求△ABC的面积.

22.(本小题12.0分)

已知三棱锥P=PB=PC=3,BC=2C/BAC=120。，点。是△4BC的外心.

(1)若NOBA=60°,求证：P41BC；

⑵求点a到平面PBC距离的最大值.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：z=?=与且=-1-2i.

II

故选：C.

根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解.

本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.

2.【答案】A

【解析】解：•.•五=(l,k)花=(2,3)，N—9=(-l,k-3)，

又m=(-2,2),且人/Q—1)，

—2=—2(fc—3),即k=4.

故选：A.

由己知可得运-石的坐标，再由向量共线的坐标运算求解.

本题考查平面向量的坐标运算，是基础题.

3.【答案】B

【解析】解：民兵甲的平均环数为6+8+。+8?+9+10+8=g,解得a=8,

则民兵甲所得环数从小到大排列为：6,7,8,8,8,8,9,10,

因为75%x8=6,所以第75%百分位数为竽=8.5.

故选：B.

利用平均数的定义求出a的值，再把数据从小到大排列，然后根据百分位数的求解公式化简即可求

解.

本题考查了平均数以及百分位数的求解，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】解：设2=a+6i(a,beR),

则z=a-bi>

•・•z•z+4z=83

(a+bi)(a-bi)+4(a+bi)=&,即氏；［+钛=。，解得｛:工2,

z=-2+2i.

故选：B.

根据已知条件，结合共辗复数的定义，以及复数的四则运算，即可求解.

本题主要考查共轨复数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题.

5.【答案】C

【解析】解：对4选项，若?n//a,n//a,则m〃?i或ni与n相交或n?与n异面，故A错误；

对B选项，若m1a,mln,则zi〃a或nua,故8错误；

对C选项，若mla,mlp,由直线与平面垂直的性质可得。〃£,故C正确；

对D选项，若mJ[a,aLp,则ni与£可成任意角度，故£＞错误.

故选：C.

由平行于同一平面的两直线的位置关系判定4由平行于同一直线的两平面的位置关系判定8；由

直线与直线垂直、直线与平面垂直分析线面关系判定C；由直线与平面垂直的性质判断。.

本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思

维能力，是基础题.

6.【答案】D

【解析】

【分析】

本题主要考查了解三角形的实际应用.考查了运用数学知识，建立数学模

型解决实际问题的能力.

设出力B=x,进而根据题意可表示出BD,DC,进而在△DBC中利用余弦定

理建立方程求得万.

【解答】

解：由题可设4B=x,贝喈。=久，BC=x,

在ADBC中，ZBCD=120°,CD=40,

由余弦定理得BZ)2=BC2+CD2-2BC-CD-coszDCB,

即：(V-3x)2=(40)2+%2-2x40•x-cosl20°,

整理得：x2-20x-800=0,

解得久=40或%=一20(舍)，

所以所求塔高为40米.

故选D

7.【答案】C

【解析】解：:C,P,。三点共线且而=2丽，

：.AP=nAD+(^.-^AC=^AB+(1-〃)AC,

■：AP=zZc+|AB,

之一1

33,・•.a=3,

.A=1_[1乙

：.AP=^AC+^AB,

•••|布|=IdAC+lABy=I^AC2+^AC-AB+^AB2=IJx4+1x2x3x11x9=

故答案为：c.

由平面向量的线性运算和平面向量线性运算求得九再由求平面向量的模的公式计算即可.

本题考查平面向量的线性运算和模，属于中档题.

8.【答案】D

【解析】解：到动点P距离为1的点的轨迹所构成的空间

几何体在垂直于平面4BC的视角下看，如图所示，

0

其中BCMN,ACJK,ABYQ区域内的几何体为半圆柱，

CM],BYN,K2Q区域内的几何体为被平面截得的部分球体，球心分别为4B,C,

力BC区域内的几何体为棱柱，其高为2,

由BCMN,ACJK,力BYQ为矩形，所以NMCB=90°,/.AC]=90°,

△ABC是正三角形，^.ACB=60°,贝!|有NMCJ=360°—NMCB—Z71C7—N4CB=120°,

同理NNBY=120°,4KAQ=120°,则NK2Q+4NBY+Z.MCT=360°,

所以CM/,BYN,KAQ这三个区域的几何体合成一个完整的半径为1的球，体积为与xY=:；

-11

BCMN,ACJK,ABYQ这三个区域内的半圆柱体积为弓兀X12)x4x3=67,(其中々兀xM,表

示半圆底面)；

4BC区域内的棱柱体积为：x4x4xs讥60。x2=8「；

所以几何体L的体积等于等+8c.

故选：D.

首先确定到动点P距离为1的点的轨迹所构成的空间体的形状，然后由空间几何体的体积公式求解

即可.

本题考查了空间中动点轨迹的求解，空间几何体的体积公式，解题的关键是确定动点的轨迹是何

种空间几何体，考查了空间想象能力与逻辑推理能力，属中档题.

9.【答案】ABD

【解析】解：对于4i+/+/+产=i-1一i+1=0,故A正确；

对于8,设2=。+6，

则z=a—bi,

•・•z=z,

a+bi=a—bi,解得b=0,

故工=aeR,故B正确；

对于C,设z=i,=z2=-1,故C错误；

对于D,(1—i)z=1+i,

则z=缶=Ug而=i”|=L故。正确.

故选：ABD.

根据已知条件，结合复数的四则运算，共轨复数的定义，复数模公式，即可求解.

本题主要考查复数的四则运算，共轨复数的定义，复数模公式，属于基础题.

10.【答案】BD

【解析】解：对于4图中月接待量有增有减，故A错误；

对于B,从图可得2017-2019年游客接待量逐年增加，故2正确；

对于C,由图可知，每年月接待游客的增长量最多是7月，故C错误；

对于D,由图可知，每年1月至6月的月接待游客量波动较小，而7月至12月的月接待游客量波动较

大，故。正确.

故选：BD.

根据统计图结合统计知识可逐一判断.

本题考查统计相关知识，属于基础题.

11.【答案】BCD

【解析】解：对于4：由已知可得AB?=BC2,AB2+AD2=BD2,AD2+AC2=CD2,

而Be?=BD2=CD2,

所以ABAC=AD,

取BC中点F,连接2F,DF,

所以4F1BC,DF1BC,

所以乙4FD为二面角D—BC—A的平面角，

设力B=AD=2a,则BC=2<7a,AF=<7a，DF=Ca，

在AADF中，由余弦定理可得：

cos乙4FD=-+加-加=学驾点=包，故A错误；

2AF-DF2-Qx，^a212

E

对于B：由4可知，连接EF,

因为EB=EC,

所以£T1BC,

因为£TnDF=F,EF,OFu面EFD,

所以BC1面EFD,

又DEu面£7孙

所以BC1DE,故B正确；

对于C：由2可知三棱锥a-BCD是正三棱锥，且2。_L面BCD,

三棱锥E-BCD也是正三棱锥，

EOl^BCD,

则a,o,E三点共线，故c正确；

对于D：由4可知三棱锥E-BCD棱长为24克a的正四面体，

三棱锥力-BCD的侧棱长为2a,底面边长为2，7a的正三棱锥，

所以四面体4-BCD与棱长为2a的正分方体48NC-DHEG有相同的外接球，故。正确,

C

B

HE

故选：BCD.

对于4：由已知可得力8=AC=AD,取BC中点F,连接AF,DF,贝!1BC,DF1BC,推出NAFD

为二面角。一BC—4的平面角，设48=4D=2a,求出力F,DF,在△力DF中，由余弦定理，即

可判断4是否正确；

对于B：连接EF,由线面垂直的判定定理和性质定理，即可判断B是否正确；

对于C：根据题意三棱锥4-BCD是正三棱锥，可得2。1面BCD,三棱锥E-BCD也是正三棱锥,

可得E01面BCD,即可判断C是否正确；

对于D：根据题意可得四面体4-BCD与棱长为2a的正方体4BNC-DHEG有相同的外接球，即可

判断。是否正确.

本题考查直线与平面的位置关系，解题关键是掌握正三棱锥得特征，属于中档题.

12.【答案】CD

c

【解析】解:bcosC+ccosB=10可得b.Q±Q上+c.c2+a2-fc2=a=10，Z

b=6,c=8,可得炉+c2=。2,即有AABC为直角三角形，如图所示.

设PA=t(0WtW8),PB=8-t,\

则同■(PB+PC)=~PA-PB+~PA-PC=-t(8-t)+t2=2t2-8t=

2(t-2产一8，41----------?'

当t=2e[0,8],可得Pl.(而+配)取得最小值-8,当t=8时，刀.(而+配)取得最大值64.

故选：CD.

由余弦定理推得a=10,AaBC为直角三角形，由向量的数量积的性质，结合二次函数的最值可

得所求结论.

本题考查三角形的余弦定理和向量数量积的定义和性质，考查转化思想和运算能力，属于中档题.

13.【答案】20

【解析】解：根据题意，书法，对联，灯谜的总人数分别为：60,30+x,40,总人数为130+%,

现样本容量为30,则抽样比为：击，

130+x

又其中对联班的学生抽取10名，则(30+x)y^=10,

则x=20.

故答案为：20.

根据题中所给信息可分别求出书法，对联，灯谜的总人数，再计算抽样比，结合对联班的学生抽

取10名学生即可解.

本题考查分层抽样相关知识，属于基础题.

14.【答案】I

【解析】解：取力。，8c的中点E,F,连接PE,EF,PF,

因为侧面PHD是正三角形，

所以PE_L4D,

因为平面24。1平面48CD,PEu平面24。，

所以PE1面4BCD,

又BCu面4BCD,

所以PE1BC,

因为底面2BCD是矩形，

所以E尸1BC,

又PECEF=E,

所以BC1平面PEF,

又PFu面PEF,

所以BC1BF,

所以二面角P-BC-。的平面角为NPFE,

因为48=1,AD=2,

所以EF=1,PE=722-12=6,

在RtAPEF中，tanNPFE=£=V-3>

EF1

所以NPFE=M

故答案为：》

取4D,BC的中点E,F,连接PE,EF,PF,由线面垂直的判定定理可得PE1面48CD,进而可

得PE1BC,由底面4BCD是矩形，推出EF1BC,进而可得BC1平面PEF,则8C1BF,二面角

P-BC-D的平面角为乙PFE,进而可得答案.

本题考查二面角的大小，解题关键是根据二面角的定义找到二面角的平面角，属于中档题.

15.【答案】一]

【解析】解：画出图形，如图所示，

1

设等边A/IBC的边长为3,则BD=1,DC=2,BEDF=2,

-->-->-->1-->1-->--»2-->

DE=DB+BE=--BC+BA,DF=-BA,

3763

------»------>------>------>1------>1------>------»

AD=AB+BD=-BA+-BC=-BC-BA,

AD=ADE+[iDF，

・••萍-BA=4（-次+源）+〃（|两，

一匕=1，=-|

-3'

〃=彳

9

■■■A+u=4-

故答案为：-

选取瓦?，阮作为一组基底，根据题目中的线段关系表示出砺，DF,AD，列出关于九〃的方程

组，解出入〃的值，进而求出结果.

本题主要考查了平面向量基本定理，属于中档题.

16.【答案】

【解析】解：因为N到平面4的距离为定值，当直线NE与底面所成角最小时，点

E与名重合，

线段NE的长度是3/+22+42=，工；

DiG〃平面MNE,二尸到面EMN的距离等于G到面MNE的距离，△MNE的面积等于△MN/的

面积，

故四面体MNEF的体积是，=VF-MNE=^C1-MNB1=^N-MB^=百义］*2*4*2=§.

故答案为：V21；

可得当直线NE与底面4当。1必所成角最小时，点E与当重合，即可求NE；利/_MNE=VC1-MNB1=

九-MB1cl即可求四面体MNEF的体积.

本题考查了空间线面位置关系、几何体体积求解，属于中档题.

1<T3

17.【答案】解：(l"-cos<a，b>=方百~13，

l+3xf

.•.向量五与3的夹角的余弦值为—

(2)•.•五一至二(1,<3)，又3=(—l,q)，

・•.7在向量方—方上的投影向量为-b)=弓)•=(1,-^).

【解析】(1)根据向量夹角公式即可求解；

(2)根据投影向量的定义，向量数量积的坐标运算即可求解.

本题考查向量夹角公式，投影向量的定义，向量数量积的坐标运算，属基础题.

18.【答案】解(1)依题意得/(%)=m-n=2cos2%+3sin2x

=cos2x+1+y/~^sin2x

=2sin(2x+9+1,

因为/(a)=2sin(2a+3)+1=2,ae(0,TT),

所以sin(2a+.)=\,2a+"G等)•

oZooo

所以2a+2当即a=?

o6J

⑵因为/⑷=2,AG(0,n),由⑴得4*.

因为SAABC=|bcsinA=号，

所以gxlxcx殍=容，即c=2.

在44BC中,由余弦定理得a?=h2+c2—2bccosA

=1+4-2xlx2x，=3,即a=y/~3.

b_c_a_—

由sinBsinCsinA匚1'

2

得b=2sinB,c=2sinCfa=2sinA,

所以a+b+c_2sinA+2sinB+2sinC_?

sinA+sinB+sinCsinA-^-sinB+sinC*

【解析】(1)由向量的数量积的坐标表示和三角函数的恒等变换，计算可得所求角；

(2)运用三角形的面积公式和三角形的正弦定理、余弦定理，计算可得所求值.

本题主要考查平面向量的应用、正弦定理、余弦定理及三角恒等变换等基础知识，考查推理论证

能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，考查数学运算、逻辑推理等

核心素养，体现基础性、综合性.

19.【答案】解：(1)证明：由题意知力0〃尸C，所以四边形4DCF是平行四边形,

所以4F〃CD,

XAD1DC,BC//AD,

所以BC1DC,

因为4F〃CD,所以BO1F,

因为PD垂直于平面力BCD,BCu平面4BCD,

所以BC1PD,

又PDnDC=£>,

所以BC_L平面CDP,

因为CPu平面CDP,所以BC1CP,

因为EF//CP,所以BCLEF,

5LEFCtAE=F,所以BC，平面人石尸；

(2)如图所示，G为PC的中点，N为PG的中点，

由题意知EG〃BC〃a。,

1

又EG=^BC=AD,

所以四边形4DEG是平行四边形，

所以4E〃DG,

又M,N分别为DP,PG的中点，所以MNUDGMAE,

由于MNn平面4EM=M,所以MNu平面4EM,

所以N为过点4E,M的平面与PC的交点，

所以”=工

所以NC3,

【解析】(1)通过证明BC1AF,BC15T来证明BC1平面4EF；

⑵作MN〃2E即可.

本题主要考查立体几何相关知识，属中档题.

20.【答案】解：(1)易知身高在区间［185,195］上的频率为0.008X10=0.08,身高在区间［185,195］

上的频数24,

所以几=磊=300,

则a=0.008x10x300=24,6=0.04x10x300=120,c=300-24-120-36-24=96.

此时身高在区间［165,175)和［175,185)上的频率分别为券=0.32,券=0.12,

(2)因为男女生比例约为3：2,

不妨将男生样本记为%2>久120，平均数为X，方差为或,

将女生样本记为乃，九，…，了80，平均数为亍，方差为中,

将样本数据的平均数记为3,方差记为S2,

tri||AZ.xy,去.YT7j-At120—80—120x172+80x160.__

则总样本平均数2=而领X+时而y=-----荻------=167.2,n

2

总样本方差S2=焉[£胤（々—5）2+温（乃-Z）]=击[£/;（阳—£+1—」）2+S80i（y._

y+y-z）2],

因为E胤（％i—％）=xi~120%=0,

所以E凰2（%j—%）（%—z）=2（%—z）£凰（/一%）=0,

同理得£涔2（万一9）6-3）=0,

此时总样本方差s2=击[£置(%—32+£置G-W)2+£涔(%—y)2+2涔6_Z)2]

1--

=200^120^+(X—z)2]+80[s_y

1

=2QQ{120[16+(172-167,2)2]+80[20+(160-167.2)2]}

12(16+23.04)+8(20+51,84)〜“

=--------------------=52-16，

所以估计该校高中生身高的总体平均数为167.2,方差为52.16.

【解析】(1)由题意，求出身高在区间[185,195]上的频率和频数，列出等式即可求出n的值，进而

可得a,b,c的值，得到身高在区间[165,175)和[175,185)上的频率，进而可补全频率分布直方图；

(2)将男生样本记为疑,久2，…，久120,平均数为3方差为或，将女生样本记为%，％，…，了80,

平均数为亍，方差为欧，将样本数据的平均数记为3,方差记为s2,根据平均数和方差公式进行求

解即可.

本小题主要考查频率分布直方图的应用、平均数、方差等，考查了逻辑推理和运算能力.

21.【答案】解：(1)由正弦定理和siM%+siMc=siMB+siziAs讥C,KTWa2+c2=b2+ac,

即为a2+c2—12=ac,

由余弦定理可得cosB=包±Q=丝=L

2ac2ac2

1.B6(O,TT),所以B=*.

(2)由平面向量数量积的定义可得荏-AC=cbcosA=4,

所以儿.止*=处巴贮=4

2bc2

所以—a2=4①，

因为8==2,力2=—2accosB,

所以小+c2—ac=4②，

①一②得2a2_四=0,贝k=2a,