2022-2023学年上海某中学高一（上）期末数学试卷及答案解析

2022-2023学年上海某中学高一(上)期末数学试卷

一、单选题(本大题共4小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.下列进口车的车标经过旋转后可以看成函数图像的是()

2.设方程方•|1nx|=1的两根为%1，则()

A.Xj<0,x2>0B.0</V1,血>2

C.0<xrx2<1D./不>1

3.设函数/(%),g(%)的定义域分别为F、G,且FGG.若对任意的％EF,都有g(x)=f(x),

则称g(x)为f(x)在G上的一个“延拓函数”.已知函数/(%)=2x(x<0),若g(x)为/(%)在R上

一个延拓函数，且g。)是偶函数，则函数g。)的解析式是()

|x|

A.g(x)=2田B.g(x)=log2|x|C.g(x)=(|)

4./(x)是定义在区间［-c,c］上的奇函数，其图象如图所示：

令g(x)=a/(x)+b,则下列关于函数g(x)的叙述正确的是

()

A.若a<0,则函数g(x)的图象关于原点对称

B.若a=-1,-2<b<0,则方程g(x)=0有大于2的实根

C.若a。0,6=2,则方程g(x)=0有两个实根

D.若a21,b<2,则方程g(x)=0有三个实根

二、填空题(本大题共12小题，共36.0分)

5.函数/'(x)=1-x2(x>1)的反函数为.

6.函数丫=基(—1SxS1)的值域为.

7.方程Io%。？-4%-5)=log3(x+1)的解是％=.

8.若函数中)=胆f)-fix-2),z>°,则"2023)=

9.函数y=总(/-4芯+3)的单增区间为.

10.基函数y=(m2-5m+7口巾-3的图像与两条坐标轴均没有公共点，则实数机的取值集

合是.

H.不等式(2x+1)5<(x-3)号的解为.------

12.已知函数y=，(%),%GD,若存在常数C,对任意与6。，存在唯一的亚eD,使得

右(打)/(尤2)=C，则称常数C是函数/(x)在。上的“倍几何平均数”.已知函数=2-x,

xG[1,2],则〃x)在[1,2]上的“倍几何平均数”是.

13.定义在(0,+8)上的函数y=/(X)的反函数为y=/T(x),若g(x)=｛；(X)y°为奇

函数，则广i(x)=2的解为.

14.已知函数/'(x)=2023x+，og2023(x+mn)—2023T+2，若/'(5a-6)+/(a?)<

4,则实数a的取值范围是.

15.若函数/(*)=4m+(2闭一14)2因+/一i4|x|+33有零点，则其所有零点的集合为

.(用列举法表示).

16.已知定义在R上的奇函数/(x)满足：/(x+2)=-/(x),且当OWxWlH寸，/(x)=

log2(x+a),若对于任意xe[0,1],都有/■(-/+tx)>1-log23,则实数t的取值范围为

三、解答题(本大题共5小题，共58.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

(1)求函数y=的值域；

(2)求函数y=%+2,2—N的值域.

18.(本小题12.0分)

(1)判断函数y=甯篙的奇偶性并说明理由；

(2)证明：函数y=/+3x在(一8,+8)上严格增.

19.(本小题12.0分)

某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中

的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线.

(1)写出服药后y与t之间的函数关系式y=/(t)；

(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效.求服药一次治疗

疾病有效的时间？

j(*«)

O

20.(本小题12.0分)

(1)求证：关于x的方程4"+x-l=0(ne/V,n>2)在区间1)内存在唯一解.

(2)已知a£R,函数/(x)=log2(^+a).若关于x的方程f(x)-log2［(a—3)x+2a-4］=0的

解集中恰好有一个元素，求实数a的取值范围.

21.(本小题12.0分)

设S,T是R的两个非空子集，如果函数y=f(x)满足:①T=(/(x)|xeS｝；②对任意与,打eS,

当与<小时，恒有/(/)<f(x2),那么称函数y=/(x)为集合S到集合7的“保序同构函数”.

(1)写出集合力=R到集合B=｛x\xGR,且x>0｝的一个保序同构函数(不需要证明)；

(2)求证：不存在从整数集Z到有理数集Q的保序同构函数；

(3)已知存在正实数s和t使得函数f(x)=扁口是集合［0,s］到集合［0,t］的保序同构函数，求

实数m的取值范围和s的最大值(用他表示).

答案和解析

I.【答案】。

【解析】解：函数图像满足：自变量在它的允许范围内取定一个值时，在图像上都有唯一确定的

点与它对应.

选项。的进口车的车标经过旋转后可以看成函数图像，其它三个选项都不满足条件.

故选：D.

根据函数自变量与因变量一对一或多对一的特征判断.

本题主要考查了函数的概念，属于基础题.

2.【答案】C

【解析】解：由题意得,0<xt<x2>由e*•|2nx|=1得|Znx|-e-x=0,

令/(x)=\lnx\—e~x(x>0),

则/⑴=_eT<0,f(2)=.2—)>0,=1-1>1-

eee

对AB,由肥1)•/⑴<0,/(1)•/(2)<0得%1€11),右6(1,2),故AB错;

X1X2X2X1

对CO,由—e~=\lnx2\-e~=0得|伍次|-|伍x/=e~—e~,

X2X1

由e(；,1),x26(1,2)得m工2-(-/nxx)=lnxrx2=e~-e~<0,0<xxx2<1，故C对

D错.

故选：C.

对AB,令/'(x)=\lnx\-e~x(x>0),由零点存在定理判断；

对CD,由根的方程得|伍久2I-I伉/I=e-'z-e-必，结合根的范围可得In/Xz=e-，z-e-八及其

符号，即可得的范围.

本题主要考查了函数零点的应用，综合考查了函数的性质，属于中档题.

3.【答案】C

【解析】解：/(x)=2x(x<0),g(x)为f(x)在R上的一个延拓函数

则有久e(―8,0］有g(x)=f(x)=2X

g(x)是偶函数有x>0可得g(x)=g(-x)=2(一)

所以g(x)=2x(x<0)

g(x)=2(r)(x>0)

所以g(x)=(今闭

故选C

由题意函数fQ)=2x(xW0),g(x)为f(x)在R上一个延拓函数，求出g(x),然后利用偶函数推出

函数g(x)的解析式.

本题考查求指数函数解析式，奇函数的性质，考查计算能力，推理能力，是基础题.创新题型.

4.【答案】B

【解析】解：①若a=-l,b=l,则函数g(x)不是奇函数，其图象不可能关于原点对称，所以

选项A错误；

②当a=-l时，-f(x)仍是奇函数，2仍是它的一个零点，但单调性与/"(X)相反，若再加b,-2<

b<0,则图象又向下平移-b个单位长度，所以90)=-/(为+6=0有大于2的实根，所以选项

B正确;

③若a=今b=2,则g(x)=；f(x)+2,其图象由/(x)的图象向上平移2个单位长度，那么g(x)

只有1个零点，所以g(x)=0只有1个实根，所以选项C错误；

④若a=1,b=-3,则g(x)的图象由/(x)的图象向下平移3个单位长度，它只有1个零点，即g(x)=

。只有一个实根，所以选项。错误.

故选B.

奇函数的图象关于原点对称；当a*0时af(x)与/(x)有相同的奇偶性；/(x)+b的图象可由/(x)上

下平移得到.

充分利用以上知识点逐项分析即可解答.

本题考查奇函数的图象特征及函数a/(x)与“X)的奇偶性关系，同时考查由/(x)到f(x)+b的图象

变化.

5.［答案］/-1Q)=V1—%(%<0)

【解析】解：・.・》之1,

则f(%)=1—%2<0,

故％=J1一/(%)，故反函数为fT(x)=V1—%(%<0).

故答案为：/-1(x)=V1—x(x<0).

根据反函数的定义，即可求解.

本题主要考查反函数的定义，属于基础题.

6.【答案】[0,2]

【解析】解：由y=与二=U—1，

'2+x2+x

又一lWxWl,贝IJ1S2+XW3,则1式义43,所以04义一1W2,

2+x2+x

故函数y=^(-1<x<1)的值域为[0,2].

故答案为:[0,2].

利用常数分离的方法得到y=W=基-1'然后利用变量的取值范围进行求解即可•

本题主要考查了利用常数分离的方法求函数的值域，属于基础题.

7.【答案】6

2

【解析】解：log3(x-4x-5)=log3G+1),

—4x—5>0

则，x+1>0>解得X=6.

x2—4x-5=%+1

故答案为：6.

根据已知条件，结合真数大于0,即可求解.

本题主要考查对数的运算性质，属于基础题.

8.【答案】一1

【解析】解：当久>0时，

f(x)=/(x-1)-/。-2)①，

f(x+1)=/(x)-f(x-1)(2),

①+②得，/(%+1)=-/(X-2),

••.x>0时，的周期为6,

/(2023)=/'(337X6+1)=/(I)=/(0)-/(-I)=20-21=-1.

故答案为：—1.

由函数的定义得出在久>0时，函数具有的周期性，利用周期性求函数值.

本题主要考查了函数的周期性，属于基础题.

9.【答案】(3,+8)

【解析】解：由％2-4X+3>0,得x<1或x>3.

当x6(3,+8)时，内函数t=%2-4刀+3为增函数，而外函数y=/gt为增函数，

••・函数y=恒(/-轨+3)的单增区间为(3,+8).

故答案为：(3,+8).

由真数大于0求出原函数的定义域，然后求出内函数的增区间得答案.

本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法.对应复合函数的单调性，一要注意先确

定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的

依据是“同增异减”，是中档题.

10.【答案】{2,3}

【解析】解：因为幕函数y-(m2—5m+7)xm-3,所以TH?_5m+7=1=>m2—5m+6=0,

解得m=2或m=3,

基函数y=(nt?-5rn+7)xm-3的图像与两条坐标轴均没有公共点，所以m-3W0,即mS3,

所以m=2或6=3均符合题意，则实数小的取值集合是{2,3}.

故答案为：{2,3}.

根据某函数的定义及性质列方程与不等式求解即可得实数m的取值集合.

本题主要考查了基函数的定义和性质，属于基础题.

11.【答案】(一4,|)

【解析】解：嘉函数/(乂)=』=*的定义域为R，且函数在［0,+8)上单调递增，

又/(_乃==仍M=/(x)，则为偶函数，所以/(x)在(-8,0)上单调递减，

则由不等式(2刀+1)5<(x-3成可得如+1|<|x—3|,平方后整理得3/+10%-8<0,

即(3X-2)0+4)<0,解得一4<%<|,则不等式的解集为(一4,勺.

故答案为：(―4,1).

根据'幕函数的性质确定基函数f(x)=力的奇偶性与单调性即可解不等式.

本题主要考查了指数不等式的解法，考查了密函数的性质，属于基础题.

12.【答案】孝

4

【解析】解：由己知中倍几何平均数的定义可得C即为函数y=/(x),x€D最大值与最小值的几

何平均数，

又•.・函数/Q)=2-L在xG［1,2］为减函数，

故其最大值M

故C=yjM-m=x1=］.

y244

故答案为：乎.

4

由“倍几何平均数”的定义可知C即为函数y=/(x),XCD最大值与最小值的几何平均数，根据

函数f(x)=2-x在x€［1,2］上的单调性，即可求得/(x)在［1,2］上的“倍几何平均数”.

本题主要考查函数的新定义，考查运算求解能力，属于中档题.

13.【答案】当

16

【解析】解：若g(x)=｛；高:蓝。为奇函数，

可得当x>0时，-x<0,即有g(—x)=4-x-l,

由g(x)为奇函数，可得g(x)=-g(-x)，

则g(X)=/(x)=1-4-x,%>o,

由定义在(0,+8)上的函数y=/(%)的反函数为y=

且(%)=2,

可由〃2)=1-4-2=得

可得fTQ)=2的解为x=兽.

1O

故答案为：裳

10

由奇函数的定义，当x>0时，一工<0,代入已知解析式，即可得到所求x>0的解析式，再由互

为反函数的两函数的自变量和函数值相反，即可得到所求值.

本题主要考查反函数的应用，考查转化能力，属于中档题.

14.【答案】[一6,1]

x2-x2

【解析】解：因为/(x)=2023*+log2023(,+Vx+1)—2023+2,定义域满足x+>Jx+1>0,

解得xCR,

所以=2023r+iog2023(-x+-2023丫+2=-2023,+log2023(-^=)+

2023T+2

=-2023x-2092023(%+Vx2+1)+2023T+2.

故/(x)+f(-x)=4,所以/(a?)+f(-a2)=4,

则不等式f(5a-6)+/(a2)<4,转化为/(5a-6)+/(a2)</(a2)+f(-a2),

即f(5a-6)4](—a2),

又函数y=2023工在xGR上单调递增，y=2023r在xGR上单调递减，Vx2,x2GR,且设/<x2,

x

所以Qi+yjxl+1)-(x2+V2+i)=(Xi—x2)+(J*+1-yjxl+1)=(Xi—x2)+

(年+1)-(M+1)

=g)+-切(1+)=(XX-X)

J^+l+J^l+13J^+％l+J^+12J^+l+J^l+1

又Xi+J好+1>0,%2+收+1>O'因为匕<%2，所以与一刀2<0,

所以Xl+y/xl+1<X2+yjxl+1.由于函数丫=10g2()23X在久(0,+8)上单调递增，

所以，。92023(乂1+Jx：+1)<，。92023(%2+J据+1)，故函数、=?。92023。+7#+1)在XGR上

单调递增，

所以由函数单调性的性质可得/■(%)=2023X+/。92023(尤+7x2+1)-2023T+2在x€R上单调

递增，

故/'(5a-6)</(-a2),可得5a-6<-a2=»a2+5a-6<0=»(a+6)(a-1)<0,解得-6<

a<1,

所以实数a的取值范围是[-6,1].

故答案为：

首项确定函数的定义域为x6R,然后可得/(一切，观察可得/'(X)+/(—#)=4,故不等式f(5a-

6)+/(a2)<4可转换为/(5a-6)</(-a2)；再利用指数函数、对数函数、函数定义证明可判断

f(x)在xeR上的单调性，故不等式解f(5a—6)W/(-a2),BP5a-6<-a2,解不等式可得实数

a的取值范围.

本题综合考查了函数的单调性及奇偶性的应用，属于中档题.

15.【答案】｛一3,-1,1,3｝

【解析】解：/(%)=(2田+|x|-11)(2四+|x|-3),令f(x)=0,

得2团+\x\-11=0或2m+|x|-3=0.

令g(x)=21M+|x|-11,/i(x)=2团+|x|-3,

注意到g(x),h(x)均为偶函数，g(3)=八(1)=0,

又x>0时，

函数y=2*与函数y=x在(0,+8)上单调递增，

则g(x)=2团+\x\-11,h(x)=2田+|x|-3在(0,+°o)上单调递增，

故g(x),%(久)在(0,+8)上有唯一零点，得2四+因一ll=0=x=±3,2四+|划-3=00刀=

±1.则f(x)所有零点的集合为｛—3,

故答案为：｛—3,—1,1,3).

注意到fQ)=(2因+|x|-11)(2团+|x|-3),令/。)=0,结合x>0时，偶函数g(x)=2团+

|x|-11,h(x)=2㈤+\x］-3均在(0,+8)上单调递增可得答案.

本题主要考查集合的表示法，属于基础题.

16.【答案】原刍

【解析】解：定义在R上的奇函数/(x)满足/(0)=0,则log2a=0,则a=l,

又由f(x+2)=-/(久)可得,/(%)=-f(x+2)=f(x+4),

则函数f(x)的最小正周期为4,

由/(x+2)=-/(x)=/(-X),可得函数/(x)有对称轴久=1,

当时，单调递增，

OWxWl/(x)=log2(x+1).

由奇函数7"(%)图像关于原点对称可得，

当时，单调递增，

-lWxWOf(x)=—log2(-x+1),

则函数f(x)在［—1,1］单调递增，又函数f(x)有对称轴x=1，

则函数f(x)在口,3］单调递减,

又在%6[-1,0]内,由f(%)=1-log23,

即一1%(一%+1)=1-1唯3，可得％=-2，

又函数f(%)有对称轴％=1,则％=|时，/(%)=1-log23,

则在xE[-1,3]内，由/'(%)N1—logz3,可得一

2

令gQ)=~x+tx,xG[0,1],由任意％G[0,1],都有f(一/+tx)>1-log23,

又g(0)=0e则g(x)的值域是H，|]的子集，

①当t<0,即g<0时,g(©在[0,1]单调递减,g(x)e[t-1,0],

则住一1,0]a则｛；：：?」，不等式组无解，不符合题意；

②当OWtWl,即owgwg时，g(x)在x=1时取最小值，

在x=g时取最大值，则

t-1>-i

2

一1

则［t_1,5U则o<t<l,解之得tsi;

X

4-2

③当l<tW2,呜<扛1时,gQ)在x=0时取最小值，

在x=:时取最大值，贝以。)e[0,勺，

2(l<t<2

则[0,1]U[-3,刍，则化，解之得l<tW2；

M-2

④当t>2,即，>1时,g(x)在[0,1]单调递增，g(x)e[0,t-l]

则U[-gQ,则1解之得2<tS,

综上,可得拉1芸，即实数t的取值范围为[另].

故答案为：修,刍.

先由题给条件求得函数f。)的单调区间对称轴对称中心，进而将/(-/+垃)21-10g23转化为

关于实数t的不等式组，解之即可求得实数t的取值范围.

本题主要考查抽象函数及其应用，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题.

17.【答案】解：(l)y=-=%+：+LX。0，

当工>0时，y=x+l+i>2鼠1+1=3，当且仅当％=1时等号成立；

当x<0时，y=_(_—)+1W_2卜.(_：)+1=-1，当且仅当X=-1时等号成立.

故函数值域为(-8,-1]u[3,4-00)；

(2)函数定义域为xW2,令《=V2^,t>0,则y=2-t2+2t=-(t-I)2+3<3,故函数值

域为(-8,3].

【解析】(1)函数化成y=x+：+l,结合均值不等式分别判断x>0、x<0的最值，从而得出值

域.

(2)由换元法将函数转换成二次函数的值域问题.

本题主要考查了求函数的值域，属于基础题.

18.【答案】解：(1)函数y=牛4:".为奇函数,理由如下：

|x-3|-3

函数y=3孽空定义域满足，[2-%2>0—V2<x<V2

〔|%一3|-3。0,

%0且％H6

即函数定义域为[一企,0)U(0,V2].

所以y=/⑴=，。"二2)=/。％(2[1)=一处

'八'|x-3|-3-x+3-3x

则r(r)=_如铲1=吗"=一/(X),

故函数y=警#为奇函数；

|x-3|-3

G

(2)证明：任取%T，x2(-00,4-00),且工1<%2，

X

所以为一%=(1+3%1)-(%2+3%2)=(X1-%2)+3(%1-%2)=(%1-X2)(%1+%1%2+者+

3)

1a

=01-％2)[(%1+5犯)2+W慰+3]，

因为<%2»所以%I—%2<0，又(%1+g%2)2++3>0怛成立，

所以为一丫2<0，即为〈丫2，

故函数y=x3+3x在(-8,+8)上严格递增.

【解析】(1)根据函数解析式先确定函数定义域，定义域对称后化简解析式，按照奇偶性判断即可;

(2)按照函数单调性定义取值、作差、变形、定号、下结论等步骤证明即可.

本题主要考查了函数奇偶性及单调性的判断，属于中档题.

19.【答案】解：(1)由题意，当OWtWl时，函数图象是一个线段，由于过原点与点(1,4),故其

解析式为y=430<t<1；

当t21时，函数的解析式为y=G)-a,

此时M(l,4)在曲线上，将此点的坐标代入函数解析式得4=(；)-%解得。=3

故函数的解析式为y=6)"3,t?i.

所以尸(蜂i).

f4t>0.25

(2)由题意，令〃t)20.25,即伺>-32025'

解得卜-奈，

U<5

••・服药一次治疗疾病有效的时间为5-2=4装个小时.

1616

【解析】(1)由函数图象我们不难得到这是一个分段函数，第一段是正比例函数的一段，第二段是

指数型函数的一段，由于两段函数均过故我们可将M点代入函数的解析式，求出参数值

后，即可得到函数的解析式.

(2)由(1)的结论我们将函数值0.25代入函数解析式，构造不等式，可以求出每毫升血液中含药量

不少于0.25微克的起始时刻和结束时刻，他们之间的差值即为服药一次治疗疾病有效的时间.

已知函数图象求函数的解析式，是一种常见的题型，关键是要知道函数的类型，利用待定系数法

设出函数的解析式，然后将函数图象上的点的坐标代入求出参数的值，即可得到要求函数的解析

式.

20.【答案】解：(1)记s(x)=xn+x—1,(ne/V,n>2).

因为y=廿和y=x-1在(0,+8)均为增函数，所以0(x)在(0,+8)均为增函数.

因为"弓)=(1)n+1-l<i+1-l=0,(ne/V,n>2),"(1)=(l)n+1-1=1>0,

所以勿0)5(1)<0,

所以W(x)在0,1)有且只有一个零点，

即关于％的方程”^x-l=O(neNtn>2)在区间0,1)内存在唯一解.

(2)方程f(%)-log2[(a-3)x+2Q-4]=0即:+a=(a-3)%+2Q—4,亦即当(a-3)x+2Q-

4>。时,方程:=Q—3)x+Q—4①有一解.

①式化简为Q+l)[(a—3)x—1]=0(2).

当a=3时，方程②的解为％=-1,满足条件(a—3)x+2a—4>0,符合题意；

当a=2时，方程②的解为久=一1,满足条件(a—3)x+2a—4>0,符合题意；

当aH3且QW2时，方程②的解为％=-1或%=《了

若％=-1是方程①的根，则a—1>0,即a>1；

若工=为是方程①的根，则2a—3>0,即a>|；

所以要使方程①有且只有一解，只需l<as|.

综上所述：方程f(x)-log2[(a-3)x+2a-4]=0的解集中恰好有一个元素，实数a的取值范围

[a