2020-2021学年天津市红桥区高一（下）期末数学试卷（解析版）

2020-2021学年天津市红桥区高一（下）期末数学试卷

一、选择题（共9小题）.

Li是虚数单位，计算学•的结果为（）

2+i

A.-iB.iC.-2iD.2i

2.已知平面向量.之=(1,2),(-2,m),且则m的值为（

A.1B.-1C.4D.-4

3.i是虚数单位,若复数z=2+i,则z的共辄复数W=（）

A.-2+iB.B-iC.2-iD.-2-

4.为了了解全校240名高一学生的身高情况，从中抽取40名学生进行测量，下列说法正确

的是（）

A.总体是240B.个体是每一个学生

C.样本是40名学生D.样本容量是40

5.已知向量:=（3,-1,2）,£=（无，y,-4）,且彳〃%则x+y=（）

A.8B.4C.-4D.-8

6.已知一组数据为20,30,40,50,50,60,70,80,其中平均数、中位数和众数的大小

关系是（）

A.平均数＞中位数＞众数B.平均数＜中位数＜众数

C.中位数〈众数〈平均数D.众数=中位数=平均数

7.已知向量7=（1,x）,三=（-1,x）,若2^-石与E垂直，则口=（）

A.&B.73C.2D.4

8.设/是直线，a、0是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）

A.若/〃a,/〃0,贝1|a〃0B.若/〃a,/±p,贝Ua_L0

C.若观_1,0,LLa,贝UZ±pD.若观,仇l//a,贝U/_L|3

9.长方体ABCD-AiBiCiDi的体积是120,若E为CG的中点，则三棱锥E-BCD的体积

为（）

A.10B.20C.30D.40

二、填空题：共6个小题，每小题4分，共24分.

10.某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家，为掌握各类超市的营业

情况.现按分层抽样方法抽取一个容最为200的样本，应抽取中型超市家.

ILi是虚数单位，若复数(1-2/)(a+i)是纯虚数，则实数。的值为.

12.已知|m=3,后1=2,若［工=-3,则；与石夹角的大小为.

13.在△A8C中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若足+c1-a=显噩,则角B的

大小为•

14.棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为.

15.已知菱形ABCD的边长为2,/BA£»=120°,点E,尸分别在边BC,DC上，BC=3BE,

DC=XDF,若标•正=1,则入的值为.

三、解答题：共4个小题，共40分.

..........................JT

16.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若6=6,a=2c,

(I)求a,c的值；

(II)求aABC的面积.

17.在锐角△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且2asin8=后.

(I)求角A的大小；

(II)若a=3,△ABC的面积为生巨，求△ABC的周长.

3

18.四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形，底面ABCD,DC=SD=2,点M是侧

棱SC的中点，AD=M.

(I)求异面直线CD与3M所成角的大小；

(II)求二面角S-AM-B的正弦值.

19.如图，四边形ABC£)是正方形，E4_L平面ABC。，EA//PD,AD=PD=2EA=2,F,G,

H分别为PB,EB,PC的中点.

(1)求证：FG〃平面PEQ；

(2)求平面PG8与平面P8C所成锐二面角的大小；

(3)在线段PC上是否存在一点使直线与直线P4所成的角为.？若存在，求

出线段的长；若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题：在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

是虚数单位，计算导工的结果为（

1.i)

2+i

A.-iB.iC.-2iD.2i

=(l-2i)(2-i)_-5i

解：2+i

(2+i)(2-i)"5--1'

故选：A.

2.已知平面向量W=（1，2）,E=（-2,m),且则机的值为（）

A.1B.-1C.4D.-4

解：：a〃b，lX："=2X(-2)：.m=-4

故选：D.

3.z•是虚数单位，若复数z=2+i,则z的共轨复数()

A.-2+iB.B-iC.2-zD.-2-i

解：因为z=2+i,

所以z的共甑复数1=2-i.

故选：C.

4.为了了解全校240名高一学生的身高情况，从中抽取40名学生进行测量，下列说法正确

的是（）

A.总体是240B.个体是每一个学生

C.样本是40名学生D.样本容量是40

解：本题考查的对象是240名高一学生的身高情况，故总体是240名高一学生的身高情

况；个体是每个学生的身高情况；样本是40名学生的身高情况，故样本容量是40.

故选：D.

5.已知向量2=（3,-1,2）,£=（无，y,-4）,且贝！Jx+y=（）

A.8B.4C.-4D.-8

解：,.响量之=（3,-1,2）,芯=（尤，»-4）,且"^〃石，

.x_y-4

,•京二7『，

解得尤=-6,y—2,

x+y=-6+2=-4.

故选：C.

6.已知一组数据为20,30,40,50,50,60,70,80,其中平均数、中位数和众数的大小

关系是()

A.平均数＞中位数＞众数B.平均数＜中位数〈众数

C.中位数＜众数＜平均数D.众数=中位数=平均数

解:一组数据为20,30,40,50,50,60,70,80,

它的平均数为工X(20+30+40+50+50+60+70+80)=50,

8

中位数为，■＞＜(50+50)=50,

众数为50；

它们的大小关系是平均数=中位数=众数.

故选：D.

7.已知向量之=(1,x),芯=(-1,x),若2:-^与E垂直，则口=()

A.yB.73C.2D.4

【解答】解•二=(1,x)，b=(-l,X)，

•1•2a-b=2(l,x)-(-1,x)=(3,x),由(2：-E)_L%=3X(-1)+N=o,解得了

=-M，或无=遮，

-迎)或7=(1,••.)=[F+d)2=2,或F+(“)2=2.

故选：C.

8.设/是直线，a、0是两个不同的平面，则下列结论正确的是()

A.若/〃a,/〃0,贝1|a〃0B.若/〃a,/±p,贝Ua_L0

C.若l±a,贝UZ±pD.若a，0,l//a,贝U

解：若/〃a,/〃0,则a〃廿或a,0相交，故A不正确；

根据线面平行的性质可得：若/〃a,经过/的直线与a的交线为机，则/〃加，V/±p,

.,.机_L0,根据平面与平面垂直的判定定理，可得a_L0,故8正确；

若/La,a±p,则/u0或/〃仇故C错误；

作出正方体ABC。-A'B'CD',设平面ABC。为a,ADD'A'为0,则a_L0,

观察正方体，得到：B'C//a,且8,C〃仇A，D'//a,且A'D'u0；A'B'

〃a,且A'B'与0相交.，面a、0及直线/满足：/〃a,则一定有/〃0或/u0

或/与B相交，故。不正确.

故选：B.

9.长方体ABCD-AiBiCd的体积是120,若片为CC的中点，则三棱锥石-BCD的体积

为()

A.10B.20C.30D.40

解：如图，不妨设AB=〃，BC—b,CC\=c,则次?c=120,

11S

贝WD=7ABCD・CE=4x|xabx|c=^-abc=^-x120=10.

故选：A.

、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.

10.某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家，为掌握各类超市的营业

情况.现按分层抽样方法抽取一个容最为200的样本，应抽取中型超市40家.

解：依题意，抽样比为2001

200+400+140010

而中型超市有400家,

故应抽取中型超市400XJ-=40家.

10

故填：40.

11.i是虚数单位，若复数(1-2z)(a+i)是纯虚数，则实数a的值为-2

解：由(1-2z)(a+i)=(〃+2)+(1-2a)i为纯虚数,

fa+2=0

,解得:a=-2.

Il-2a±0

故答案为：-2.

12.已知|』=3,后1=2,若-3,则；与口夹角的大小为一等一

O

解：设Z与E夹角的大小为①峭0,H],.E=[；|・|E|・cose=3・2・cose=-3,

故答案为：告.

O

13.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若cfi+c?-按=Rtc,则角2的

大小为口~.

—4―

解：cosB=-a2tS2-12.又Bw(0,n),所以

2ac2ac24

故答案为

4

14.棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为3n.

解：：棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上,

球的直径是正方体的对角线，.••球的半径是『=返，

2

二球的表面积是4义兀x得)‘3豆

故答案为：3TT.

15.已知菱形ABC。的边长为2,/区4。=120°,点E,尸分别在边BC,OC上，BC=3BE,

DC=XDF,若蕊•赤=1,则人的值为2.

解：,:BC=3BE,DC=XDF,

,—*1—*—*1—►

••BE=yBODF=—DC^

..—•—•]—•—•].•.••~|—•—•].

AE=AB+BE=AB+^BC=AB+百AD，AF=AD+DF=AD+^DC=AD+—AB-

:菱形ABC。的边长为2,ZBAD=nO°,

=22X120

•'•I凝1=1屈1=2,AB*ADXCOS°=-2,

7AE*AF=1>

•'­(AB+yAD)*(AD+^-AB:)=方标2+专版&+AB*AD=1>

BP—X4H--X4-2(1H—―)=1,

3入3人

整理得斗士，

3入3

解得人=2,

故答案为：2.

三、解答题：本大题共4个小题，共40分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.在△ABC中，内角A,B,。所对的边分别是。，b,c,若Z?=6,a=2c,B=^-.

(I)求。，c的值；

(II)求△ABC的面积.

解：(I)由余弦定理知，b2=a2+c2-2accosB,

所以36=4c2+c2-2*2c2*—,即c2=12,

2

所以c=2，§,〃=2c=4j§.

(II)AABC的面积5="|4皿8=/4遮・2立•孚=6b.

17.在锐角△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且2asinB=

(I)求角A的大小；

(II)若a=3,△ABC的面积为士叵，求△ABC的周长.

3

解：(/)•.•2asinB=J^b,

，由正弦定理，可得2sinAsinB=J^sinB,

■:Be(0,a),

sinBW0,sinA=--,

2

•••△ABC为锐角三角形，

(〃):△ABC的面积为生巨，

3

SaABc^bc-sinAu/bc"坐解得6c=竽,

在△ABC中，运用余弦定理，可得〃2=^2+/_2Z?C・COSA,

22

.•-9=b+c-2bc-f)即3。)2=25,

AABC的周长〃+b+c=3+5=8.

18.四棱锥S-ABC。中，底面ABC。为矩形，5。_L底面ABC。，DC=SD=2,点M是侧

棱sc的中点，AD=E

(I)求异面直线CQ与BM所成角的大小;

(II)求二面角S-AM-B的正弦值.

解：(I)以点。为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

则A(炎，0,0),B(V2-2,0),C(0,2,0),S(0,0,2,M(0,1,1),

所以前=(0,2,0),BM=(-V2，-1,1)，

则卜。《正，而〉日万焉

TT

因为异面直线所成的角为(0,—

所以异面直线C。与RW所成角的大小为:；

O

(II)由(I)可得，AB=(0,2,0),AS=(-V2>0,2),SC=(0,2,-2)，

设平面SAM的法向量为1n=(x,y,z)，

则但即产x+2z=0

m'SC=0l2y-2z=0

令z=l,则\=（6，1，1），

设平面AMB的法向量为n=(a,b,c)，

则巧艺飞即『吃

n'BH=0I-V2a-b+c=0

令。=1,则左(1,0,A/2)-

・—企加

所以|cos<\,n>l^|mn|+0~h/^—

ImIInI2X近3

19.如图，四边形ABC。是正方形，E4_L平面ABCD,EA//PD,AD=PD=2EA=2,F,G,

H分别为PB,EB,PC的中点.

(1)求证：FG〃平面PED；

(2)求平面FG8与平面P8C所成锐二面角的大小；

(3)在线段PC上是否存在一点使直线与直线PA所成的角为年？若存在，求

出线段PM的长；若不存在，请说明理由.

【解答】(1)证明：因为EG分别为尸2,BE的中点，所以FG〃尸E.

又FGC平面PEDPEu平面PED,所以尸G〃平面PED

(2)解：因为EA_L平面A3C。，所以PO_L平面4BCD,所以P£>_LA。，PD±CD.

又因为四边形ABC。是正方形，所以AOLCD

如图建立空间直角坐标系，

因为AO=PD=2EA,所以。(0,0,0),尸(0,0,2),A(2,0,0),

C(0,2,0),5(2,2,0),E(2,0,1).

因为RG,H分别为PB,EB,PC的中点，所以P(l,1,1),G(2,1,《)，H(0,

1,1).

所以正=(T,0,y).GH=(-2,0,y),

.