2019-2020学年湖北省荆州市荆州区九年级（上）期末数学试卷（解析）

2019-2020学年湖北省荆州市荆州区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.（3分）一元二次方程/一4=0的解是（）

A.-2B.2C.±V2D.±2

2.（3分）将抛物线y=-3f先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的

抛物线的解析式是（）

A.y=-3(x—1了一2B.y=-3(x-l)2+2C.y=-3(x+l)2-2D.y=-3(x+l)2+2

£）、C是O上的点，ZBDC=130°.则/以七是（)

B.110°C.120°D.130°

4.（3分）一个不透明的布袋里装有5个只有颜色不同的球，其中2个红球，3个白球，从

布袋中随机摸出一个球，摸出红球的概率是（）

1223

A.-B.-C.-D.-

2355

5.（3分）在反比例函数y=的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则上的

X

取值范围是（）

A.k>1B.C.k..\D.k<1

6.（3分）已知圆心角为120。的扇形的弧长为6万，该扇形的面积为（）

A.187rB.27万C.36万D.54万

7.（3分）如图，正方形。48c的两边。4、OC分别在x轴、y轴上，点。（5,3）在边上,

以C为中心，把△CD?旋转90。，则旋转后点。的对应点。的坐标是（）

B.(-2,0)

C.(2/0)或(-2,0)D.(10,2)或(-2,0)

8.（3分）已知（T,y）,（2,%），（3,%）在二次函数y=-y+4x+c的图象上，则%,%,

力的大小关系正确的是（）

A.B.2VxCD.%<%<必

9.（3分）已知与，々是一元二次方程d+（2〃?+1»+/_1=。的两不相等的实数根，且

才+考+西々-17=0,则加的值是（）

A.°或-3B.-3C.-D.--

333

10.（3分）我们定义一种新函数：形如尸|加+法+°|3/0,/-4衣＞0）的函数叫做''鹊

桥”函数.小丽同学画出了“鹊桥”函数y=|x2-2x-3］的图象（如图所示），并写出下列

五个结论：其中正确结论的个数是（）

①图象与坐标轴的交点为（-1,0）,（3,0）和（0,3）；

②图象具有对称性，对称轴是直线x=l；

③当-啜!k1或x..3时，函数值y随x值的增大而增大；

④当x=—l或x=3时，函数的最小值是0;

⑤当x=l时，函数的最大值是4,

A.4B.3C.2D.1

二、填空题（每小题3分，共18分）

11.（3分）若关于x的一元二次方程（4+3）》2+2X+6-9=0有一个根为0,则a的值为.

12.（3分）如图，现分别旋转两个标准的转盘，则转盘所转到的两个数字之积为奇数的概

率是.

13.（3分）如图，矩形ABOC的顶点8、C分别在x轴、y轴上，顶点A在第一象限，点3

的坐标为（石，0）,将线段OC绕点。顺时针旋转60°至线段OD,若反比例函数y』（k#0）

X

的图象进过A、。两点，则々值为一.

14.（3分）如图，四边形ABCD是矩形，AB=4,AD=2y/2,以点A为圆心，A6长为半

径画弧，交CD于点、E,交4D的延长线于点F,则图中阴影部分的面积是.

15.（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形。45c的顶点O落在坐标原点，点A、点C分

别位于x轴，y轴的正半轴，G为线段Q4上一点，将AOCG沿CG翻折，O点恰好落在对

10

角线AC上的点P处，反比例函数y=—经过点B.二次函数y=+Z?X+C（QWO）的图象

x

经过C（0,3）、G、A三点，则该二次函数的解析式为.（填一般式）

16.（3分）如图，抛物线丫=1/一4与x轴交于A、8两点，P是以点C（0,3）为圆心，2

4

为半径的圆上的动点，Q是线段R4的中点，连结0Q.则线段OQ的最大值是—.

17.（6分）解方程：

（1）X2-3X+1=0；

（2）（x+1）（%+2）=2x+4.

18.（7分）为庆祝建国70周年，东营市某中学决定举办校园艺术节.学生从“书法”、“绘

画”、“声乐”、“器乐”、“舞蹈”五个类别中选择一类报名参加.为了了解报名情况，组委会

在全校随机抽取了若干名学生进行问卷调查，现将报名情况绘制成如图所示的不完整的统计

图.请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：

（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？

（2）补全条形统计图；

（3）在扇形统计图中，求“声乐”类对应扇形圆心角的度数；

（4）小东和小颖报名参加“器乐”类比赛，现从小提琴、单簧管、钢琴、电子琴四种乐器

中随机选择一种乐器，用列表法或画树状图法求出他们选中同一种乐器的概率.

19.(7分)如图所示，ZDBC=90°,ZC=45°,AC=2,A4BC绕点8逆时针旋转60。得

到AD8E,连接

(1)求证：AABC^AABE；

(2)连接45,求4)的长.

20.(8分)如图，反比例函数y=k—(x>0)与直线A8:y=1—x-2交于点C(2r-g+2,〃?)，

x2

点P是反比例函数图象上一点，过点P作x轴的垂线交直线至于点。，连接OP,OQ.

(1)求反比例函数的解析式；

(2)点P在反比例函数图象上运动，且点P在Q的上方，当APO。面积最大时，求尸点坐

21.(10分)如图，。与AA8C的AC边相切于点C,与8c边交于点E,O过回上一

点。，且DE//AO,CE是。的直径.

（1）求证：是O的切线；

（2）若BD=4,EC=6,求AC的长.

22.（10分）把函数G:y=ox?-2or-3a（aX0）的图象绕点尸（加,0）旋转180。，得到新函数C?

的图象，我们称C?是关于点P的相关函数.Cz的图象的对称轴与x轴交点坐标为。，0八

（1）填空：f的值为—（用含，"的代数式表示）

⑵若a=-l,当g烈f时，函数C］的最大值为y，最小值为丫2，且乂-必=1，求G的

解析式；

（3）当%=0时，G的图象与x轴相交于A，B两点（点A在点5的右侧）.与y轴相交于

点。.把线段4）原点。逆时针旋转90。，得到它的对应线段A。，若线AO与G的图象

有公共点，结合函数图象，求。的取值范围.

23.（12分）某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y

（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示.

（1）求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式；

（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售

该商品每天获得的利润卬（元）最大？最大利润是多少？

（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少

件？

24.(12分)如图，直线y=x—3与x轴、y轴分别交于点8、点C,经过3、C两点的抛

物线y=-丁+，依+鼠与x轴的另一个交点为A,顶点为P.

(1)求3帆+〃的值；

(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点。，使以C,P,。为顶点的三角形为等腰三角形？

若存在，求出所有符合条件的点。的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)将该抛物线在x轴上方的部分沿x轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的

图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M”形状的新图象，若直线y=x+A与该“M”

形状的图象部分恰好有三个公共点，求6的值.

2019-2020学年湖北省荆州市荆州区九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.（3分）一元二次方程/一4=0的解是（）

A.-2B.2C.±V2D.±2

【分析】这个式子先移项，变成/=4,从而把问题转化为求4的平方根.

【解答】解：移项得，/=4

开方得，x=±2,

故选：D.

【点评】（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：%2=«（«..0）；

ax2=b（a,/?同号且aHO）；（x+a）2-b（b..O）；a（x+b）2=c（a,c同号且

。工0）.法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1,再

开平方取正负，分开求得方程解”.

（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点.

2.（3分）将抛物线y=-3l先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的

抛物线的解析式是（）

A.y=-3（x-l）2-2B.j=-3（x-1）2+2C.y=-3（x+l）2-2D.y=-3（x+1）2+2

【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可.

【解答】解：将抛物线y=-3f向左平移1个单位所得直线解析式为：y=-3（x+l）2：

再向下平移2个单位为：y=-3（x+l>-2,即y=-3（x+iy-2.

故选：C.

【点评】此题主要考查了二次函数图象与儿何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，

上加下减.

3.（3分）如图，点8、D、C是。上的点，ZBDC=13O°,则40。是（）

B.110°C.120°D.130°

【分析】首先在优弧8c上取点石，连接座，CE,由点3、D、。是O上的点,

N8DC=130。，即可求得NE的度数，然后由圆周角定理，即可求得答案.

【解答】解：在优弧3C上取点E,连接BE,CE,如图所示：

ZBDC=130°,

•.ZE=180O-ZBZX?=50°,

..ZBOC=2NE=100。.

故选：A.

E

【点评】此题考查了圆周角定理以及圆的内接四边形的性质.此题难度不大，注意掌握辅助

线的作法，注意掌握数形结合思想的应用.

4.（3分）一个不透明的布袋里装有5个只有颜色不同的球，其中2个红球，3个白球，从

布袋中随机摸出一个球，摸出红球的概率是（）

12C23

A.2-B.3-5-D.5-

【分析】让红球的个数除以球的总数即为摸到红球的概率.

【解答】解：2个红球、3个白球，一共是5个，

从布袋中随机摸出一个球，摸出红球的概率是2.

5

故选：C.

【点评】此题考查了概率公式，如果一个事件有〃种可能，而且这些事件的可能性相同，其

中事件A出现“种结果，那么事件A的概率P（A）=-.

n

L―]

5.（3分）在反比例函数y=」的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则k的

x

取值范围是（）

A.k>iB.Z>0C.k.AD.k<\

【分析】根据反比例函数的性质，当反比例函数的系数大于。时，在每一支曲线上，y都随

x的增大而减小，可得欠-1>0,解可得&的取值范围.

【解答】解：根据题意，在反比例函数y=修图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减

X

小，

即可得左一1>0，

解得k>l.

故选：A.

【点评】本题考查了反比例函数的性质：①当左>0时，图象分别位于第一、三象限；当女<0

时，图象分别位于第二、四象限.②当人>0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小;

当&<0时，在同一个象限，y随x的增大而增大.

6.（3分）己知圆心角为120。的扇形的弧长为6万，该扇形的面积为（）

A.18》B.27乃C.36万D.54万

【分析】设扇形的半径为r.利用弧长公式构建方程求出，再利用扇形的面积公式计算即

可.

【解答】解：设扇形的半径为

由题意：型士=6万，

180

/.r=9,

故选：B.

【点评】本题考查扇形的弧长公式，面积公式等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题,

属于中考常考题型.

7.（3分）如图，正方形Q4BC的两边04、OC分别在x轴、y轴上，点0（5,3）在边至上,

以C为中心，把ACDB旋转90。，则旋转后点。的对应点。的坐标是（)

B.(-2,0)

C.(2/0)或(-2,0)D.(10,2)或(-2,0)

【分析】分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况讨论解答即可.

【解答】解：点0(5,3)在边上，

:.BC=5,8£>=5-3=2,

①若顺时针旋转，则点。在x轴上，OD=2,

所以，。(—2,0),

②若逆时针旋转，则点〃到x轴的距离为10,到y轴的距离为2,

所以,0(2,10),

综上所述，点的坐标为(2,10)或(-2,0).

故选：C.

【点评】本题考查了坐标与图形变化-旋转，正方形的性质，难点在于分情况讨论.

8.(3分)已知(T,y),(2,%)，(3,%)在二次函数y=，+4x+c的图象上,则％,j2,

丫3的大小关系正确的是()

A.乂<%<%B.丫3<%<乂C.%<必<丫2D.y,<<y2

【分析】首先根据二次函数解析式确定抛物线的对称轴为x=2,再根据抛物线的增减性以

及对称性可得X，为，％的大小关系.

【解答】解：二次函数y=+4x+c=-(x-2『+c+4,

对称轴为x=2,

a<09

•.x<2时，y随x增大而增大，当x>2时，y随x的增大而减小，

(-LyJ,(2,必)，(3,%)在二次函数丫=一/+4犬+。的图象上，且一1<2<3,

|-1-2|>|2-3|,

，y<%<%•

故选：D.

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，以及二次函数的性质，关键是掌握二次

函数图象上点的坐标满足其解析式.

9.(3分)已知占，迎是一元二次方程产+(2m+1)》+4-1=0的两不相等的实数根，且

X：+¥+X|X2-17=0,则加的值是()

A.2或-3B.-3C.-D.--

333

【分析】先利用判别式的意义得到〃?>-：,再根据根与系数的关系的士+%=-(2m+1),

2

X,X2=/M-1,贝IJ(3+々)2-X卢2-17=0，所以(2初+1)2-。/-1)-17=0,然后解关于m的

方程，最后确定满足条件的"7的值.

【解答】解：根据题意得△=(2%+1)2-4(机2-1)>0,

解得m>,

4

根据根与系数的关系的士+赴=-(2机+1),xtx2=nr-\,

x；+考+X1%2-17=0,

2

(x,+x2)-x}x2-17=0,

(2/n+l)2-(/w2-l)-17=0,

整理得3〃5+4机—15=0,解得町=*,凡=一3,

“3'

5

团〉—,

4

二.加的值为*.

3

故选：C.

【点评】本题考查了根与系数的关系：若玉,々是一元二次方程62+加+。=0(“^0)的两

根时，Xl+X2=-,不占=£.也考查了根的判别式.

10.(3分)我们定义一种新函数：形如y=|ar2+bx+c|(ax0,从-4ac>0)的函数叫做''鹊

桥”函数.小丽同学画出了“鹊桥”函数y=|x2-2x-3］的图象(如图所示)，并写出下列

五个结论：其中正确结论的个数是()

①图象与坐标轴的交点为(-1,0),(3,0)和(0,3)；

②图象具有对称性，对称轴是直线x=l；

③当-啜!|c1或x..3时，函数值y随x值的增大而增大；

④当x=-l或x=3时，函数的最小值是0；

⑤当x=l时，函数的最大值是4,

A.4B.3C.2D.1

【分析】由(-1,0),(3,0)和(0,3)坐标都满足函数y=|『-2x-3|知①是正确的；从图象可

以看出图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x=l,②也是正确的；根据函

数的图象和性质，发现当-啜*1或X..3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正

确的；函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y=0,求出相应的x的值为x=-l或

x=3,因此④也是正确的；从图象上看，当x<T或x>3,函数值要大于当x=l时的

y=|£-2x-3|=4,因此⑤时不正确的；逐个判断之后，可得出答案.

【解答】解：①(-1,0),(3,0)和(0,3)坐标都满足函数)，=|/一2丫-3|,.•.①是正确的；

②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x=l,因此②也是正确

的；

③根据函数的图象和性质，发现当-啜k1或x..3时，函数值y随x值的增大而增大，因此

③也是正确的；

④函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y=0,求出相应的x的值为x=-l或

x=3,因此④也是正确的；

⑤从图象上看，当x<-l或x>3,函数值要大于当x=l时的>=|丁-2》-3|=4,因此⑤是

不正确的;

【点评】考查了二次函数图象与X轴的交点问题，理解“鹊桥”函数），=|62+版+C|的意义,

掌握“鹊桥”函数与），=|以2+公+。|与二次函数yj£+fer+c之间的关系；两个函数性质

之间的联系和区别是解决问题的关键；二次函数y=ar2+6x+c•与x轴的交点、对称性、对

称轴及最值的求法以及增减性应熟练掌握.

二、填空题（每小题3分，共18分）

11.（3分）若关于x的一元二次方程（。+3）/+2、+/-9=0有一个根为0,则〃的值为

3.

【分析】将x=0代入原方程，结合一元二次方程的定义即可求得a的值.

【解答】解：根据题意，将x=0代入方程可得/-9=0,

解得：。=3或々=-3,

a+3w0,即aw—3,

♦，.a=3♦

故答案为：3.

【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，是一个基础题，解题时候注意

二次项系数不能为0,难度不大.

12.（3分）如图，现分别旋转两个标准的转盘，则转盘所转到的两个数字之积为奇数的概

【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与转盘所转到的两

个数字之积为奇数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案.

【解答】解：画树状图得：

12

/1\小

123123

枳123246

共有6种等可能的结果，转盘所转到的两个数字之积为奇数的有2种情况，

二转盘所转到的两个数字之积为奇数的概率是：-=

63

故答案为：—.

3

【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率.注意此题属于放回实验，用到的知识点为:

概率=所求情况数与总情况数之比.

13.（3分）如图，矩形ABOC的顶点3、C分别在x轴、y轴上，顶点A在第一象限，点、B

的坐标为（石，0）,将线段OC绕点O顺时针旋转60°至线段OD，若反比例函数y=-（k^0）

的图象进过A、O两点，则上值为_46

【分析】过点。作轴于，，设由直角三角形的性质和旋转的性质可求点

D(#)x,x),点A(g,2x),可得x=2,即可求解.

【解答】解：如图，过点。作ZW_Lx轴于”,

,\AB=CO,405=90。，

将线段OC绕点O顺时针旋转60°至线段OD,

:.OC=OD,ZCOD=60°,

.\ZDOH=30°,

:.OD=2DH,OH=6DH,

设=

.,.点D电x,工），点A（y/3,2x）,

反比例函数＞=4伙/0）的图象经过A、。两点，

X

\/3xxx=\/3x2x,

二.x=2,

.•.点DQyIi,2）,

k=2\/3x2=4＞/3,

故答案为：4\/3.

【点评】本题主要考查反比例函数图象上的点，解题的关键是表示出点£＞的坐标.

14.（3分）如图，四边形438是矩形，AB=4,AD=20,以点A为圆心，A3长为半

径画弧，交CD于点、E,交AQ的延长线于点F,则图中阴影部分的面积是8四-8

【分析】根据题意可以求得NE四和4ME的度数，然后根据图形可知阴影部分的面积就

是矩形的面积与矩形中间空白部分的面积之差再加上扇形E4F与AADE的面积之差的和，

本题得以解决.

【解答】解：连接他，

Z4DE=90。，AE=AB=4,AD=2啦,

..AD2丘V2

..sinNAED=----=------=—,

AE42

.・.ZA£D=45°,

:.ZEAD=45°fZ£AB=45°,

AD=DE=2V2,

阴影部分的面积是

45x万x4。2行x2正、45x^-x42巫述)=80-8,

(4x2^---------------)+(--------------

36023602

故答案为：8^2—8.

【点评】本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结

合的思想解答.

15.（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形Q4BC的顶点O落在坐标原点，点A、点C分

别位于x轴，y轴的正半轴，G为线段。4上一点，将AOCG沿CG翻折，O点恰好落在对

角线AC上的点P处，反比例函数y经过点B.二次函数、=加+法+以。*0）的图象

X

经过C（0,3）、G、A三点，则该二次函数的解析式为=-2x+3_.（填一般式）

【分析】点C(0,3),反比例函数>=丝经过点8,则点8(4,3),由勾股定理得:

X

(4-X)2=4+X2,故点G(3,0),将点C、G、A坐标代入二次函数表达式，即可求解.

2

【解答】解：点C(O,3),反比例函数>=经经过点8,则点8(4,3),

X

则OC=3,04=4,

AC=5，

设OG=PG=x,则G4=4-x,PA=AC-CP=AC-OC=5-3=2,

由勾股定理得：(4-X)2=4+J,

解得：x=|,故点G(g,0),

ra=­

c=32

93

将点C、G、A坐标代入二次函数表达式得：士b+c=0,解得：b=--

42

16。+4〃+。=0c=3

故答案为：｝>=—x2——x+3.

•24

【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到矩形基本性质、反比例函数基本性质与应

用，其中用勾股定理求OG的长度，是本题解题的关键.

16.(3分)如图，抛物线y=1/-4与x轴交于A、8两点，尸是以点C(0,3)为圆心，2

4

为半径的圆上的动点，。是线段R4的中点，连结OQ.则线段OO的最大值是3.5.

【分析】当B、C、P三点共线，且点C在之间时，P8最大，而。。是AABP的中位

线，即可求解.

【解答】解：令y=、2_4=0,则x=±4,

-4

故点3(4,0),

设圆的半径为r,则/•=2,

当8、C、P三点共线，且点C在PB之间时，PB最大,

而点。、。分别为AP、他的中点，故OQ是AABP的中位线，

则OE=，3P=」(5C+r)=」(j42+3?+2)=3.5,

222

故答案为3.5.

【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，本题的关键是根据圆的基本性质，确定3P的

最大值，进而求解.

三、解答题(共72分)

17.(6分)解方程：

(1)X2-3X+1=0；

(2)(x+l)(x+2)=2x+4.

【分析】(1)利用公式法解方程即可；

(2)利用因式分解法解方程即可.

【解答】解：(1)X2-3X+1=0,

—b±\/b2-4ac3±V5

x=-------------=------,

2a2

3+逐3-6

勺22

(2)(x+l)(x+2)=2x+4,

(x+l)(x+2)=2(x+2),

(x+l)(x+2)—2(x+2)=0,

(x+2)(x+l-2)=0,

x+2=0,x—1=0,

/.%)=-2,/=1.

【点评】本题考查了解一元二次方程，解决本题的关键是掌握解一元二次方程的方法.

18.。分)为庆祝建国70周年，东营市某中学决定举办校园艺术节.学生从“书法”、”绘

画”、“声乐”、“器乐”、“舞蹈”五个类别中选择一类报名参加.为了了解报名情况，组委会

在全校随机抽取了若干名学生进行问卷调查，现将报名情况绘制成如图所示的不完整的统计

图.请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：

(1)在这次调查中，一共抽取了多少名学生？

(2)补全条形统计图；

(3)在扇形统计图中，求“声乐”类对应扇形圆心角的度数；

(4)小东和小颖报名参加“器乐”类比赛，现从小提琴、单簧管、钢琴、电子琴四种乐器

中随机选择一种乐器，用列表法或画树状图法求出他们选中同一种乐器的概率.

【分析】(1)根据抽取的报名“书法”类的人数有20人，占整个被抽取到学生总数的10%,

得出算式即可得出结果；

(2)由抽取的人数乘以报名“绘画”类的人数所占的比例得出报名“绘画”类的人数；补

全条形统计图即可；

(3)用360。乘以“声乐”类的人数所占的比例即可；

(4)设小提琴、单簧管、钢琴、电子琴四种乐器分别为A、B、C、D,画出树状图，即

可得出答案.

【解答】解：（1）被抽到的学生中，报名“书法”类的人数有20人，

占整个被抽取到学生总数的10%,

.•.在这次调查中，一共抽取了学生为：20+10%=200（人）；

（2）被抽到的学生中，报名“绘画”类的人数为：200xl7.5%=35（人）,

报名“舞蹈”类的人数为：200x25%=50（人）；

补全条形统计图如下：

（3）被抽到的学生中，报名“声乐”类的人数为70人，

.•.扇形统计图中，“声乐”类对应扇形圆心角的度数为：—x360°=126°；

200

（4）设小提琴、单簧管、钢琴、电子琴四种乐器分别为A、B、C、D,

画树状图如图所示：

共有16个等可能的结果，小东和小颖选中同一种乐器的结果有4个，

,小东和小颖选中同一种乐器的概率为±=1.

164

腐（人）

【点评】此题主要考查了列表法与树状图法，以及扇形统计图、条形统计图的应用，要熟练

掌握.

19.（7分）如图所示，ZDBC=90°,ZC=45°,AC=2,AABC绕点5逆时针旋转60。得

至UAD8E,连接AE.

（1）求证：AABC=AABE；

（2）连接4）,求4）的长.

E

D

【分析】(1)根据旋转的性质得到NE>8E=NABC,Z£BC=60°,BE=BC,根据全等三

角形的判定定理即可得到结论；

(2)连接4),根据旋转的性质得到。石=AC,/BED=/C,DE=AC=2,根据全等三

角形的性质得到N3E4=NC,AE=AC=2,根据等腰三角形的性质即可得到结论.

【解答】(1)证明：AABC绕点8逆时针旋转60。得到AD8E,

：,ZDBE=ZABC,NEBC="。,BE=BC,

ZDBC=90°，

.\ZDBE=ZABC=30°f

.\ZABE=30°,

BC=BE

在AA8C与中，\ZABC=ZABE=3O0,

BA=BA

:.AABC=AABE(SAS)；

(2)解：连接AD,

AABC绕点B逆时针旋转60°得到\DBE,

:.DE=AC,ZBED=NC,DE=AC=2,

:.ZBEA=NC,AE=AC=2,

ZC=45°,

;.ZBED=ZBEA=NC=45。,

:.ZAED=90°,DE=AE,

/.AD=yf2AE=2y/2.

E

【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，

熟练掌握旋转的性质是解题的关键.

20.(8分)如图，反比例函数y=((x>0)与直线A3:y=」x-2交于点C(2g+2,/«),

x2

点尸是反比例函数图象上一点，过点P作x轴的垂线交直线A3于点Q,连接OP,OQ.

(1)求反比例函数的解析式；

(2)点P在反比例函数图象上运动，且点P在。的上方，当APOQ面积最大时，求P点坐

【分析】(1)用待定系数法即可求解；

(2)则AA9Qm=-PQxx=-{---rn+2)m=--nv+m+2,利用函数增减性即可求

2p2m24

解.

【解答】解：(1)将点C的坐标代入一次函数表达式得：加=!(26+2)-2=6-1,

2

故点C(2g+2,V3-1),

将点C的坐标代入反比例函数表达式得：=解得A=4,

2V3+2

故反比例函数表达式为y=△；

(2)设点尸则点。(九L%-2),

m2

则APOQ面积=,PQxxp=—(—-—/n4-2)m=—■-nr+m+2

22m24

--<0,故APOQ面积有最大值，此时机=----二一=2,

42T

故点尸(2,2).

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函

数，体现了方程思想，综合性较强.

21.(10分)如图，。与A4BC的AC边相切于点C,与BC边交于点E,。过4?上一

点。，且DE7/AO,CE是。的直径.

(1)求证：AB是。的切线；

(2)若BD=4,EC=6,求AC的长.

【分析】(1)连接8,根据平行线的性质得出NO£>E=Z4QD,ZDEO=ZAOC,根据等

腰三角形的性质得出NOEANO/,即可得出ZAOONA(,进而证得

MOD=AAOC(SAS),得到ZAD(9=NAC3=90。，即可证得结论；

(2)由切线的性质得到N8DO=90。，由勾股定理求得5E=2,可得8C=3E+EC=8,由

切线长定理得到AQ=AC,设⑷VC4,根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可.

【解答】(1)证明：连接8,

OD=OE,

：.NOED=NODE,

DE//OA,

ZODE=ZAOD,ZDEO=ZAOC,

:.ZAOD=ZAOC,

AC是切线，

...ZACS=90°,

在AAOD和AAOC中

OD=OC

<ZAOD=ZAOC,

OA=OA

：.AAOD=AAOC(SAS),

,.ZADO=ZACB=90°,

。。是半径，

.・.AB是O的切线；

(2)解：AB是。的切线，

/.ZBDO=90°,

:.BD2+OD2=OB2,

・,.42+32=(3+B£)S

1.BE=2,

BC=BE+EC=8,

AD,AC是O的切线，

/.AD=AC,

设AD=AC=Xf

在RtAABC中，AB2=AC2

(4+x)2=X2+82,

解得：x=6,

/.AC=6.

【点评】本题考查了切线的判定和性质，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，熟练学

握性质定理是解题的关键.

22.（10分）把函数G：y=-2"-3a（aX0）的图象绕点P（m,0）旋转180。，得至U新函数C?

的图象，我们称C?是G关于点P的相关函数.Cz的图象的对称轴与x轴交点坐标为（7,0）.

（1）填空：f的值为（用含m的代数式表示）

⑵若4=一1,当g瓢£时，函数C］的最大值为％,最小值为丫2，且乂-%=1，求G的

解析式；

（3）当机=0时，G的图象与X轴相交于A，B两点（点A在点B的右侧）.与y轴相交于

点、D.把线段AD原点。逆时针旋转90。，得到它的对应线段A77,若线A77与G的图象

有公共点，结合函数图象，求a的取值范围.

22

【分析】（1）Ct:y=ax-2ax-3a=a（x-i）-4a,顶点（l,Ta）围绕点P（/«,0）旋转180。的

对称点为（2机-1,4a）,即可求解；

IQa

（2）分二，/<1、啜上士、/>三三种情况，分别求解：

222

（3）分“>0、〃<0两种情况，分别求解.

22

【解答】解：（1）Ct:y=ax-2ax-3a=a（x-1）-4a,

顶点（l,Ta）围绕点P（，",0）旋转180°的对称点为（2〃?-1,4。），

2

C2:y=-a（x-2m+l）+4a,函数的对称轴为：x=2m-l,

t=2m-1,

故答案为：2加-1；

（2）。=-1时，

G:y=-（x—1）~+4,

①当L,，<i时，

2

x=—时，有最小值»

2-4

x=r时，有最大值％=-。—1y+4,

则y_%=_Q_I）2+4一掾=1,无解；

②啜I3时，

2

x=l时，有最大值y=4,

x=g时，有最小值%=?，

X-%=；工1(舍去)；

③当空3时，

2

x=l时，有最大值y=4,

x=f时，有最小值丫2=-"-1)2+4,

y-必=Q-if=1，

解得：f=0或2(舍去0),

22

teC2:y=(x-2)-4=x-4%；

(3)m=O,

C2:y=-a(x+1)?+4。，

点A、B、D、4、。的坐标分别为(1,0)、(-3,0)>(0,3。)、(0,1)>(-3a,0),

当a>0时，。越大，则OD越大，则点。越靠左，

当过点W时，>=-“(0+1)2+4“=1,解得：«=1,

当G过点。时，同理可得：。=1,

故：0<6,g或4..1；

当avO时，

当G过点。时，-3々=1,解得：〃=T，

1

故：%——；

3

综上，故：0<ci,,—或a..1或4,—.

33

【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的旋转等，其中(2)(3),

要注意分类求解，避免遗漏.

23.(12分)某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y

(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，其图象如图所示.

(1)求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式；

(2)若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售

该商品每天获得的利润卬(元)最大？最大利润是多少？