2020-2021学年浙江省湖州市高一（下）期末数学试卷（解析版）

2020-2021学年浙江省湖州市高一（下）期末数学试卷

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.

1.设i是虚数单位，则复数?「在复平面内所对应的点位于（）

1+1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.“幸福感指数”是指某个人主观评价他对自己目前生活状态满意程度的指标，常用区间

[0,10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高.现随机抽取10位湖州市居

民，他们的幸福感指数为5,6,6,6,7,7,8,8,9,10.则这组数据的80%分位数

是（）

A.7.5B.8C.8.5D.9

3.在正方体ABCO-AiBiGDi中，异面直线AB与4A所成的角是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

4.已知赢=（2,3）,0B=（-3,y）,若赢，而，则|靛|等于（）

A.2B.26C.5-^2D.—.I，

5.在一个袋子中放2个白球，2个红球，摇匀后随机摸出2个球，与“摸出1个白球1个

红球”互斥而不对立的事件是（）

A.至少摸出1个白球

B.至少摸出1个红球

C.摸出2个白球

D.摸出2个白球或摸出2个红球

6.在△ABC中，M为边上任意一点，N为AM中点，同=入屈+|1正，则入+U的值

为（）

A.《B.C.士D.1

234

7.已知△A3C的三个内角A、B、C所对边分别为a、b、c,则“c=acosB”是“△ABC为

直角三角形”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8.已知球面被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆公共弦长为2«.若两个圆的半径

分别为2加和4,则该球的体积是（）

A.36TTB.旦立亘兀C.125nD.吗兀

33

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9.为庆祝中国共产党成立100周年，某校开展“唱红色歌曲，诵红色经典”歌咏比赛活动,

甲、乙两位选手经历了7场初赛后进入决赛，他们的7场初赛成绩如下：

甲选手：78848585868892

乙选手：72848687899394

则以下结论正确的是（）

A.甲成绩的极差比乙成绩的极差小

B.甲成绩的众数比乙成绩的中位数小

C.甲成绩的方差比乙成绩的方差小

D.甲成绩的平均数比乙成绩的平均数大

10.有一道数学难题，学生甲解出的概率为得，学生乙解出的概率为《■,学生丙解出的概率

为若甲，乙，丙三人独立去解答此题，则（）

4

A.恰有一人解出的概率为巨

24

B.没有人能解出的概率为与

24

C.至多一人解出的概率为a17

24

D.至少两个人解出的概率为2令3

24

11.记£,尸分别是正方形ABCQ边和的中点，现将AABE绕着边BE旋转，则在

旋转过程中（）

A.AE与B尸不可能垂直B.AB与O尸可能垂直

C.AC与AP不可能垂直D.AF与DE可能垂直

12.如图，△046,△A1A2&,4A2A3%是全等的等腰直角三角形（05=1,B,G=l,2,

1,A1S,

3）处为直角顶点），且。，Ai,A2,A3四点共线.若点尸2,P3分别是边4星,

A3B3,,

上的动点（包含端点），记/I=0B/0P3,Z2=0320?2,/3=0B30P1,则（）

AA八

A.Zi>3B.b2C./3W/2D.5W6W6

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知某圆锥的侧面展开图是面积为2TT的半圆，则该圆锥的母线长是.

14.如图，在正三棱柱ABC-AiBiCi中，已知43=1,。在棱上，且BD=1,若与

平面AAiCCi所成的角为a,则sintz=.

/；

15.如图，A,B两点在河的同侧，且A,8两点均不可到达，要测出A,8的距离，测量者

可以在河岸边选定两点C,D,若测得CZ）=4hw,ZADB=ZCDB=30°,ZACD=6Q°,

ZACB=45°,则A,B两点间的距离是km.

B

D

16.已知平面向量a,b的夹角为45°,|a|=1且c=-2a+九b（入则|C

的最小值是.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.已知直四棱柱ABC。-ABCiOi的所有棱长均为2,且/49。=60°.

（1）求证：GO〃平面A5C；

（II）求二面角By-AC-Di的余弦值.

18.为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参

赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮

比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为旨，4；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分

54

别为《2，42；甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.

（1）从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？

（2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.

19.某地统计局就本地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本数据的频率

分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在［1000,1500）.

（1）求居民月收入在［3000,3500）的频率；

（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；

（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中

用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在［2500,3000）的这段应抽多少人？

月收入（元）

20.请在①2bsin（A+：）=a+c;②（2c-a）cosB=bcosA；③△杷c

这三个条件中任意选择一个，补充在下面问题的横线上，并进行解答.

在△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若满足.

⑴若42且C'，求AMC的面积;

(II)若4a+b=3c,求cosC.

21.如图，在直角梯形0ABe中，OA//CB,OA1OC,OA=2BC=2OC.E为AB上靠近B

的三等分点，。尸交AC于£为线段BC上的一个动点(包含端点).

(1)若而=to?(t€R)，求实数t的值；

(II)设而=入族+乩m(九，|1ER)，求人中的取值范围.

22.如图，已知四棱锥尸-ABC，AZ)〃2C且ABLAD,AD=6&,AB=4,BC=4&,△

尸4。的面积等于12加，E是尸。是中点.

(I)求四棱锥尸-ABCD体积的最大值；

(II)若PB=4代，tanZPAD^.

(i)求证：AD±PC；

(ii)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.

B

参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.设，是虚数单位，则复数；J在复平面内所对应的点位于（）

1+1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数呆在复平面内所对应的点的坐

1+1

标得答案.

解：由a=（rg2-i）卷亭，

可得复数点■在复平面内所对应的点的坐标为（/，*1）,位于第一象限.

故选：A.

2.“幸福感指数”是指某个人主观评价他对自己目前生活状态满意程度的指标，常用区间

[0,10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高.现随机抽取10位湖州市居

民，他们的幸福感指数为5,6,6,6,7,7,8,8,9,10.则这组数据的80%分位数

是（）

A.7.5B.8C.8.5D.9

【分析】根据已知条件，运用分位数的定义，即可求解.

解：V10X80%=8,

数据5,6,6,6,7,7,8,8,9,10的80%的分位数是（8+9）=8.5.

故选：C.

3.在正方体山Cid中，异面直线A山与ADi所成的角是（）

A.30°B.45°C,60°D.90°

【分析】由ADi/ZBCr,得到ZAiBCi是异面直线与ADi所成的角（或所成角的补角），

再由AiB=BCi=AiCi,能求出异面直线AiB与ADi所成的角.

【解答】解

.♦./A13C1是异面直线A山与ADi所成的角（或所成角的补角），

•.•AiB=BCi=4Ci,

ZAiBCi=60°,

.•.异面直线4B与ADi所成的角是60°.

故选：C.

4.已知水=(2,3),QB=(-3,y),若赢,而，则I屈I等于()

A.2B.弋26C.5-\/2D.—‘I，

【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，求出y的值，可得靛的坐标，从而求得向量获

的模.

解：..,已知0A=(2，3),0B~(-3,y),若0A，0B，

A0A*0B=-6+3y=0,y=2,♦・.瓦=(-5,y-3)=(-5,-1),

则I标l=J(_5)2+(一1)2=技,

故选：B.

5.在一个袋子中放2个白球，2个红球，摇匀后随机摸出2个球，与“摸出1个白球1个

红球”互斥而不对立的事件是()

A.至少摸出1个白球

B.至少摸出1个红球

C.摸出2个白球

D.摸出2个白球或摸出2个红球

【分析】先得到实验的必然事件，再根据互斥事件，对立事件的定义判断即可.

解：必然事件为：都是白球，1个白球，1个红球，都是红球，

A：至少有1个白球包含1个白球，1个红球和都是白球，故A不对，

B：至少有1个红球包含1个白球，1个红球和都是红球，故B不对，

C：摸出1个白球1个红球发生时，摸出2个白球不会发生，且在一次实验中不可能必有

一个发生，故C对，

D：摸出1个白球1个红球和摸出2个白球或摸出2个红球，是对立事件，故£>不对，

故选：C.

6.在△ABC中，M为边上任意一点，N为AM中点，AN=XAB+HAC-则入+U的值

为（）

A.《B.C.-yD.1

234

【分析】设丽=t正，将向量方用向量筋、正表示出来，即可找到人和|1的关系，最

终得到答案.

解：设而气标

则AN得靠=4（AB+BM）=^AB弓而

卷XtBC=yAB-^-（AC-AB）

=4干正育正

•、t..

••A——~~,IX—

222

X+|1

故选：A.

7.已知△A3C的三个内角A、B、C所对边分别为。、b、c,贝!J“c=〃cos3”是“△A3C为

直角三角形”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【分析】由已知结合正弦定理可得sinC=sinAcosB,利用三角形的内角和及和角的正弦

公式化简可得A为直角，几何充分条件及必要条件进行判断即可.

解：因为c=acosB

由正弦定理可得，sinC—sinAcosB即sin（A+B）=sinAcosB

所以sinAcosB+sinBcosA=sinAcosB

所以sinBcosA=0

因为OVAVir,0<B<n所以sinBWO,cosA=0

则A=：,△ABC为直角三角形

但AABC为直角三角形时不一定是A=

所以c=acosB是AABC为直角三角形充分不必要条件

故选：A.

8.已知球面被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆公共弦长为2«.若两个圆的半径

分别为2加和4,则该球的体积是（）

A.36TtB.於匡兀C.125TTD.区阴-

33

【分析】先根据题意画出图形，由公共弦长为2旧分别求出两个圆的圆心到公共弦的距

离NP、MP,可知球心、两个圆的圆心、公共弦的中点构成一个矩形，由勾股定理可求

出球的半径，根据公式求出球的体积.

解：如图，由题可知，和ON是球O被互相垂直的两个平面所截得到的图形，QM

和ON半径分别为2会和4,

•••两个圆的公共弦为AB，取中点为尸，连接NP,MP,ON,OM,

...由圆的性质可知NPLAB,MP_LAB,由球的性质可知ONLNP,OM±MP,

所以OMPN为矩形，

•.•公共弦长42=2愿，

•■-NP=源-（⑨入后,MP=7（2V3）2-（V3）2=3

.*.0M=NP=V13-ON=MP=3,

在RdOMC中，球的半径满足：R2=（2V3）2+（V13）2;解得R=5，（或者在Rd

Q4N中,7?2=42+32,解得R=5),

.•.球的体积V=4•冗•R3专打，515吗兀,

故选：D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9.为庆祝中国共产党成立100周年，某校开展“唱红色歌曲，诵红色经典”歌咏比赛活动,

甲、乙两位选手经历了7场初赛后进入决赛，他们的7场初赛成绩如下：

甲选手：78848585868892

乙选手：72848687899394

则以下结论正确的是（）

A.甲成绩的极差比乙成绩的极差小

B.甲成绩的众数比乙成绩的中位数小

C.甲成绩的方差比乙成绩的方差小

D.甲成绩的平均数比乙成绩的平均数大

【分析】根据已知条件，分别求出极差，中位数，众数，平均值，即可依次求解.

解：由题中的数据，可得甲的极差为92-78=14,乙的极差为94-72=22,

，甲成绩的极差比乙成绩的极差小，故A选项正确，

•••甲成绩的众数为85分，乙成绩的中位数为87分，

.♦•甲成绩的众数比乙成绩的中位数小，故8选项正确，

观察甲、乙数据，可得甲成绩的数据更集中，乙成绩的数据更离散，

甲成绩的方差比乙成绩的方差小，故C选项正确，

可卡任，新%—78+84+85+85+86+88+92.

甲成绩1的V平l均数为x1=--------------------------------------85.4，

-71任Vaz%此%72+84+86+87+89+93+94

乙成绩1的l平均数为x=-------------------------------------=86.4，

Z9<

.♦•甲成绩的平均数比乙成绩的平均数小，故D选项错误.

故选：ABC.

10.有一道数学难题，学生甲解出的概率为，学生乙解出的概率为小学生丙解出的概率

为若甲，乙，丙三人独立去解答此题，则（）

4

A.恰有一人解出的概率为巨

24

B.没有人能解出的概率为工

24

C.至多一人解出的概率为1老7

24

22

D.至少两个人解出的概率为令

【分析】利用相互独立事件概率的乘法公式求出概率，判断利用互斥事件的加法公

式求出概率，判断C,利用对立事件公式求出概率，判断D

解：A：VP（恰有一■人解出试题）=J"X（1-X（1-；）+（1--）x1~X（1-

4）

+（1=）*）=杀，'A正确，

乙OTC

B：•./（没有人解出试题）=（1-4）X（1-《）义（1-4）=4"，错误，

2344

C：'：?（至多一人解出试题）=P（恰有一人解出试题）+P（没有人解出试题）=4+二

244

=息17，・・・。正确，

24

D：VP（至少两个人解出试题）=1-尸（至多一人解出试题）=1-#17=7/，错

2424

'口

厌.

故选：AC.

11.记耳厂分别是正方形ABC。边和BC的中点，现将△ABE绕着边BE旋转，则在

旋转过程中（）

A.A£与3尸不可能垂直B.与。P可能垂直

C.AC与AP不可能垂直D.AP与DE可能垂直

【分析】将AABE绕着边BE旋转，A落在四边形EBCD中时，记A为4,在旋转过程，

A的轨迹是以AAi为直径的圆，并且A在面ABCD上的投影都在线段AAi上.

A,利用AE在平面ABC。的投影可以与8尸垂直，即可判断；

B,利用在平面ABCD的投影不可能与。下垂直，即可判断；

C,利用AC在平面ABCO的投影不可能与AF垂直，即可判断；

D,利用4尸在平面ABCD的投影可以与DE垂直，即可判断；

解：如图，将AABE绕着边BE旋转,A落在四边形EBC。中时，记A为4,在旋转过

程，A的轨迹是以AAi为直径的圆，并且A在面ABCO上的投影都在线段441上.

对于A,TAE在平面4BCZ）的投影可以与8尸垂直，故AE与8尸可能垂直，故A错；

对于8,因为AB在平面ABC。的投影不可能与Db垂直，；.48与。尸不可能垂直，故8

错；

对于C,因为AC在平面4BCD的投影不可能与AF垂直，；.AC与4尸不可能垂直，故C

正确；

对于D,因为AP在平面ABC。的投影可以与DE垂直，故AF与DE可能垂直，故。正

确；

故选：CD.

12.如图，△04B1,△A2A3B3是全等的等腰直角三角形(。81=1,Bi(i=l,2,

3)处为直角顶点)，且。，Ai,4,A3四点共线.若点尸1,Pi,P3分别是边45,

A场上的动点(包含端点)，记/I=0B],0P3,/2=0B2,0P2，/3=0B3・0PI，贝h)

A./1>3B./32/iC./3W/2D.5W/2W6

【分析】建系，写坐标，设B,2,P3的坐标，结合平面向量的数量积的坐标表示可求

得答案.

解：如图所示，以。为原点建立平面直角坐标系，则

0(0,0),Aj(V2,0),A2(2后,0),A3(3^2,。),'®2®3

直线All的方程为y=J^-X,所以设P[(X[，V2-X।)>X[E十，A/21,

直线人2&的方程为y=2亚-X,所以设「2(乂2，姐-X2)，X，2€明卜

直线45的方程为y=W^-x,所以设P3G3，3V2-X3)>X，3€372]-

=<

所以11=OBi,0口3=(^^,3y/2-x3)=^~(x3+2->f2-x3)2^3,故

A错误;

2+

V2-X2)=V2X226[5,6],故。正确；

&-XI)=2后x[+1UE3,5],所以h<h.

/3>，2,故正确;

13.已知某圆锥的侧面展开图是面积为27r的半圆，则该圆锥的母线长是2

【分析】利用圆锥的母线即为侧面展开图对应扇形的半径，列式求解即可.

解：设圆锥的母线长为/,

则母线长/为侧面展开图的半圆的半径，

又圆锥的侧面展开图是面积为27t的半圆,

1o

所以高・兀・1'=2兀，

则1=2,

所以圆锥的母线长为2.

故答案为：2.

14.如图，在正三棱柱ABC-ASG中，已知AB=1,。在棱上，且BD=1,若与

平面AAiCCi所成的角为a,则sine=.

【分析】根据题意画出图形，过8作BFLAC,过囱作BiELACi,连接ER过D作

DGLEF,连接AG,证明DG，面A41C1C,ZDAG=a,解直角三角形ADG即可.

解：如图所示，过8作BFLAC,过Bi作BiELAiG,连接ER过。作。GLER连接

AG,

在正三棱柱中，有21石_1面441clC,即」面441。1。,

故。G_L面441C1C,

：.ZDAG=a,可求得DG=B尸=",

2

AD=VAB2+BD2=V2-

..DGV6

+故sina=——二—

AD4

15.如图，A,B两点在河的同侧，且A,8两点均不可到达，要测出A,B的距离，测量者

可以在河岸边选定两点C,。，若测得CD=4b",ZADB=ZCDB=3Q°,ZACD=60°,

ZACB=45°,则A,8两点间的距离是—km.

【分析】在△AOC中求得AC的值，ABCD中利用正弦定理求得BC的值，△A2C中利

用由余弦定理求得AB的值.

解：ZADC=ZADB+ZCDB=60°,

ZACD=60°,

.♦.△ADC是等边三角形，：.AD=CD=AC=4.

在△BCD中，/BCD=60°+45°=105°,ZBDC=30°,/CBD=45

sinZBDC-sinZCBD'sin300-sin450

_^xl

••BC=[2.2=2^/2，

在△ABC中，由余弦定理得

2加考=8,

AB2=AC1+BC1-2AC«BC«cos45°=16+8-2X4X

'.AB—2衣,

即A、B两点间的距离为2%初1.

故答案为：272.

16.已知平面向量a,b的夹角为45。，|a|=1且c=-2a+人b（入ER））则|cI+1c-a|

的最小值是_/豆_.

【分析】设Z=5L-2a=0A',A7*C=Xb,则C点在一条直线上运动，

|c|+|c-7|=|0C1+lACI-于是问题转化为将军饮马问题，把。点关于直线/对称过

去，设为O',则最小值即为40'的长.

解：如图所示，设之=赢，-2a=0Ay，则A'，O,A三点共线，且。V=20A,

设工^=入E，入CR，因为平面向量；与E的夹角为45。,

所以C点在一条直线上运动，且这条直线与0A'的夹角为45°,设这条直线为/,

所以c=-2a+入b=0A'+A'C=0C»c-a=OC-OA=AC>

于是IcI+1c-aI=IOC|+1ACI，

设。点关于直线/的对称点为。'，连接。。'交直线/于点M,连接AO,交直线/与

点N,

所以OC+AC=O'C+AOA0',当C点与N点重合时，不等式取等号.

在△A00'中，OA=1,00'=20M=2>/2，ZMOA=-^-,

由余弦定理可得A0'2=AO2+OO'2-2AOQO'-CO^-=13，即AO'=V13.

故|3|+|3二|的最小值为JTi

故答案为：V13-

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.已知直四棱柱ABC。-A由Cid的所有棱长均为2,且/4由41=60°.

（I）求证：Ci。〃平面ABC；

（II）求二面角Bi-AC-Di的余弦值.

【分析】（I）先证明四边形ABiCi。为平行四边形，可得由线面平行的判

定定理证明即可；

（H）利用等腰三角形的性质证明。BiLAC,ODxLAC,得到，NSOA即为二面角3

-AC-A的平面角，在三角形中，由余弦定理求解即可.

【解答】（I）证明：ABC。-AiBiCQi为直四棱柱，

所以AO//B1G,且AO=BiG,

所以四边形ASG。为平行四边形，

贝又CiDC面ABCAB,c®ABiC,

所以GD〃面ABC；

（II）解：取AC中点。，连接OB,ODx,

因为直四棱柱ABCD-AIBICIDJ的所有棱长均为2,

则ABx=B\C=D\C=ADx=2近，

贝iJOBi_L4C,ODxLAC,

由二面角定义，NBQDI即为二面角Bt-AC-Di的平面角，

在等腰△age中，0BI=，BIC2-C^AC）2=VF]=V7，

同理，OD[=Q,

099

一一0B1+0D,-BiD,7+7-121

在△30。中，Cos/SOD1=—i--------J--------LJ—=r-r--,

20B,-0D,2乂木义由7

故二面角Bi-AC-Di的余弦值为4.

18.为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参

赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮

比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为旨，4；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分

54

别为《，4；甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.

OD

(1)从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？

(2)若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.

【分析】(1)设事件4表示“甲在第一轮比赛中胜出”，事件A2表示“甲在第二轮比

赛中胜出”，事件用表示“乙在第一轮比赛中胜出”，事件&表示“乙在第二轮比赛中

胜出”，则44表示“甲赢得比赛”，表示“乙赢得比赛“，利用相互独立事件概

率乘法公式分别求出甲赢得比赛的概率和乙赢得比赛的概率，由此得到派甲参赛赢得比

赛的概率更大.

(2)设C表示“甲赢得比赛”，。表示“乙赢得比赛”，CU。表示“两人中至少有一

个赢得比赛”，P(CUD)=1-P(CD)=1-P(C)P(D)-由此能求出两人中至少

有一人赢得比赛的概率.

解：(1)设事件Ai表示“甲在第一轮比赛中胜出”，事件4表示“甲在第二轮比赛中

胜出”，

事件5表示“乙在第一轮比赛中胜出”，事件&表示“乙在第二轮比赛中胜出”，

322

则4血表示“甲赢得比赛”，P(AIA2)=P(AI)P(A2)=号义5=1，

bo5

99Q

B1B2表示“乙赢得比赛“，P(B1B2)=P(Bi)P(%)=vX4=^

4510

,•哈＞2，派甲参赛赢得比赛的概率更大.

b1U

(2)设C表示“甲赢得比赛”，。表示“乙赢得比赛”，

—o3

由（1）知尸（C）=1-尸（AIA）=1-言=言，

255

—27

P（D）=1-P（B1B2）=1-*=金，

...CUD表示“两人中至少有一个赢得比赛”，

————27

：.P（CUD）=1-P（CD）=1-P（C）P（D）=1-高X3=3.

51050

19.某地统计局就本地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本数据的频率

分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在［1000,1500）.

（1）求居民月收入在［3000,3500）的频率；

（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；

（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中

用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在［2500,3000）的这段应抽多少人？

月收入（元）

【分析】（1）利用频率分布直方图，小矩形的面积即为频率，从而可得答案；

（2）根据频率直方图，先确定中位数的位置，再由公式计算出中位数；

（3）利用频率分布直方图和分层抽样的方法即可确定抽取的人数.

解：（1）由频率分布直方图可知，居民月收入在［3000,3500）内的频率为0.0003X500

=0.15；

（2）由频率分布直方图可知，

0.0002X（1500-1000）=0.1,0.0004X（2000-1500）=0.2,0.0005X（2500-2000）

=0.25

V0.1+0.2+0.25=0.55>0.5

样本数据的中位数2000+0・2）=2400；

U.UUlJb

(3)居民月收入在［2500,3000］的频率为0.0005X(3000-2500)=0.25,

...10000人中月收入在［2500,3000］的人数为0.25X10000=2500(人)，

再从10000人用分层抽样方法抽出100人，

...月收入在［2500,3000］的这段应抽取100X^=25人.

20.请在①2bsin(A+：)=a+c;②(2c-a)cosB=6cosA；③a2+J-b2ng

这三个条件中任意选择一个，补充在下面问题的横线上，并进行解答.

在△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若满足.

(I)若6=2且cT，求△ABC的面积；

4

(II)若4a+b=3c,求cosC.

【分析】(I)若选择条件①：展开后由正弦定理可得出

sinBcosA-h/3sinBsinA-sinA-sinC=C,再根据sinC=sinAcosB+cosAsinB可得出

V3sinB-cosB=l,然后即可求出B4；若选择条件②：根据正弦定理可得出cosB=^-,

JT

从而得出B一厂；若选择条件③：根据余弦定理及三角形的面积公式可得出tanB=«,

从而求出2=:；然后根据正弦定理可求出然后根据三角形的面积公式即可

求出△ABC的面积；

(II)根据正弦定理可得出4sinA+sinB=3sinC,再根据可得出

O

sinC=2&sC考，然后即可得出52cMe+24c—从而解出cosC即可.

解：若选①，由2bsin(A+^)=a+c展开得bcosA+我bsinA-a-c=0,

0

又由正弦定理可矢口sinBeosA+^sinBsinA-sinA-sinCX,

且sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,

所以V^sinBsinA-sinA-sinAcosBY,

兀

又Ae(0,IT),贝!JsinA>0,所以旧sinB-cosB=L所以2sin(B-7-)=L可得

o

/兀、1

sin(B-—)^7，

0N

又BE(0,n),所以B-€(一二，T"»所以—T所以尸

666663

若选②，因为(2c-〃)cosB=Z?cosA,

又由正弦定理可知：(2sinC-sinA)cosB=sinBcosA,

所以2sinCcosB=sinBcosA+sinAcosB=sin(A+B)=sinC,

1兀

又CE(0,TI),则sinOO,所以COSB=6，又加(0,n),所以B二&;

乙o

J22J=L,22

若选③，a+c-b=—^SAABC由余弦定理得/+c-b=2accosB,

o

SCIU2J3

所以2accosB二一--acsinB^

o

又Be(0,n)且B#3，所以tanB=a，又Be(0,n),所以

/o

(I)由。=2,及正弦定理知c菖号，

又所以SAABC^bcsinA=—

11.乙乙o

(II)解法一：若4〃+Z?=3c,由正弦定理得4sinA+sinB=3sinC,

兀?7T

又B=^^，所以4sin(—^--C)+sinB=3sinC，

oo

可得4(^^cosC-H^-sinC)+^^=3sinC，

所以sinC=2V^cosC

又sin2C+cos2C=1,所以52cos2。+24cosc-1=0,

L/2

所以(2cosc+l)(26cosC-1)=0,又C€(0,—7T),

o

所以cosC€（-J，1），所以cosC^^"；

（没有舍去扣1分）

解法二：若4〃+Z?=3c,又

o

由余弦定理c^+c1-炉=2〃ccos3可知4/2+(?-b2=ac,

即层+廿_QC=〃2=(3C-4。)2=9c2+16a2-24ac,

o

整理得8c2-23〃C+15〃2=O,解得〃=c或a-Fc，

15

71_

若〃=c,B，-，贝ij〃=c=b,与4Q+Z?=3C矛盾;

o

若软=~^-c，则bH^c，

lblb

a2b2-c21

由余弦定理可得c0sC=+

2ab26

（没有舍去扣1分）

21.如图，在直角梯形04