2024高考数学讲义：椭圆

2024高考数学讲义：椭圆

目录

i.教学大纲....................................................................1

2.教材回扣基础自测一自主学习•知识积淀..................................2

2.1.椭圆的概念...............................................................2

2.2.椭圆的标准方程与几何性质................................................3

2.3.直线与椭圆的位置关系....................................................3

3.课堂作业....................................................................4

4.考点例析对点微练一一互动课堂•考向探究..................................6

4.1.考点一椭圆的定义及应用................................................6

4.2.考点二椭圆的标准方程.................................................10

4.3.考点三椭圆的简单几何性质微专题....................................12

5.考点例析对点微练一一互动课堂•考向探究.................................21

5.1.考点一直线与椭圆的位置关系自主练习...............................21

5.2.考点二弦长问题......................................................22

5.3.考点三中点弦、弦中点问题...........................................25

5.4.考点四最值与范围问题................................................27

6.最值与范围问题的解题思路..................................................29

7.教师备用题................................................................30

8.深度探究素养达成........................................................33

8.1.课外阅读•增分培优.......................................................33

8.1.1.解析几何中的“设而不求”问题......................................33

8.1.2.【名师微点】.......................................................35

8.2.【变式训练】...........................................................35

9.关注社会热点，体现科技前沿.................................................37

1.教学大纲

内容要求考题举例考向规律

1.掌握椭圆的定义、2020•全国HI卷420（椭圆的方考情分析：椭圆的定义、标准

几何图形、标准方程程及直线与椭圆位置关系）方程、几何性质通常以小题形

及简单几何性质（范2020•天津高考・T18（椭圆的方式考查，直线与椭圆的位置关

围、对称性、顶点、程及直线与椭圆位置关系）系主要出现在解答题中。题型

离心率）2019•全国I卷010（椭圆方主要以选择、填空题为主，一

2.了解椭圆的简单程）般为中档题，椭圆方程的求解

第1页共39页

应用2019•全国HI卷415（椭圆的几经常出现在解答题的第一问

3.理解数形结合的何性质）核心素养：直观想象、逻辑推

思想理、数学运算

2.教材回扣基础自测——自主学习•知识积淀

2.1.椭圆的概念

在数学中，椭圆是围绕两个焦点的平面中的曲线，使得对于

曲线上的每个点，到两个焦点的距离之和是恒定的。因此，它是

圆的概括，其是具有两个焦点在相同位置处的特殊类型的椭圆。

椭圆的形状（如何“伸长”）由其偏心度表示，对于椭圆可以是

从0（圆的极限情况）到任意接近但小于1的任何数字。

椭圆是封闭式圆锥截面：由锥体与平面相交的平面曲线。椭

圆与其他两种形式的圆锥截面有很多相似之处:抛物线和双曲线,

两者都是开放的和无界的。圆柱体的横截面为椭圆形，除非该截

面垂直于圆柱体轴线。

椭圆也可以被定义为一组点，使得曲线上的每个点的距离与

给定点（称为焦点）的距离与曲线上的相同点的距离的比值给定

行（称为directrix）是一个常数。该比率称为椭圆的偏心率。

也可以这样定义椭圆，椭圆是点的集合，点其到两个焦点的

距离的和是固定数。

椭圆在物理，天文和工程方面很常见。

椭圆（Ellipse）是平面内到定点Fl、F2的距离之和等于常

数（大于|F1F2|）的动点P的轨迹，Fl、F2称为椭圆的两个焦点。

其数学表达式为:|PFl|+|PF2|=2a（2a>|FlF2|）。

椭圆是圆锥曲线的一种，即圆锥与平面的截线。

椭圆的周长等于特定的正弦曲线在一个周期内的长度。

（1）文字形式

在平面内到两定点Fi,F2的距离的和等于常数（大于IBB。

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的点的轨迹(或集合)叫随圆。这两定点叫做椭圆的焦点,两焦点

间的距离叫做焦距。

(2)代数式形式

集合P={M\\MFi|+IMF2I=2"},尸1尸2I=2c＜2a。

2a=|尸面|时,动点的轨迹是线段尸1尸2；2〃＜尸乐|时,动点的

轨迹不存在。

2.2.椭圆的标准方程与几何性质

x2y2

标准方程/+总=l(a>b>0)g+g=l[a>b>0)

范围|x|sa,|y|<b|x|<b,|y|5a

对称性关于x轴、y轴、原点对称

顶点(士砌,(0,±b)(±b,0),(0,±a)

C

离心率°<e=]l

1.椭圆方程的两种设法

f/

Ax2~\~By2=1或T+auKA＞。，B＞。，AW5)表示椭圆。

2.离心率表示椭圆的扁平程度。当e越接近于1时，c越

接近于m从而8=后工越小，因此椭圆越扁。

3.焦点三角形

椭圆上的点P(%0,刃)与两焦点构成的三角形尸B产2称做焦点

三角形(如图)。ZFxPFi=eo

(1)焦点三角形的周长为2(a+c)。

13

(2)SgF］尸2=2r,r2sin9=c|jo|=Z^tan］。

2.3.直线与椭圆的位置关系

第3页共39页

(1)直线与椭圆位置关系的判断

{y—kx-\-m,

《+且_[得(炉+屋公)/+2屋协优+屋机2—/〃二。,

该一元二次方程的判别式为/。

/>00有两个交点台相交;

4=00有一个交点台相切;

/<00无交点台相离。

(2)椭圆的弦长

AB为椭圆的一条弦，所在直线的斜率为k,A(xi,y),Bg

yi)，弦中点M(%(),y())°

①弦长/=M—%2ldl+弦=lyi——I^1+鲁o

②A卡一黑。

③直线AB的方程：y—yo=—筌，x—%o)。

ay。

2

④线段AB的垂直平分线方程：y—yo=^^x—xo')0

3.课堂作业

一、常规题

1.若B(—3,0),尸2(3,0),点尸到尸2距离之和为10,则

尸点的轨迹方程是()

A・差+方1

c9+卷=1X2

16=1

解析设点P的坐标为(%,y),因为|PB|十|PF2|=10>尸典

=6,所以点P的轨迹是以尸1,B为焦点的椭圆，其中”=5,c

第4页共39页

故点P的轨迹方程为25十16=lo故选Ao

答案A

?2

2.椭圆寻一+上方=1的焦距为4,则相等于()

10—mm~2

A.4B.8

C.4或8D.12

解析当焦点在％轴上时，10—m>m—2>0,10—m—(m—2)

=4,所以m=4。当焦点在y轴上时，m—2>10—m>0,m—2一

(10一帆)=4,所以机=8。所以机=4或8。故选C。

答案C

3.若椭圆了十台=l(a>/?>0)的离心率为与短轴长为4,则

椭圆的方程为。

2=4,

c[<2=4,

解析由题意得〈8=岑，解得所以椭圆

a乙[。=2,

<a2=Z?2+c2,

的方程为m+3=1。

Jo4

合案16十4一1

二'易错题

4.(忽视定义中2a平面内一点M到两定点B(—6,

0),E(6,0)的距离之和等于12,则点M的轨迹是o

解析由题意知|MB|+|MF2|=12,但IB尸2|=12,即|MFI|十

|MF2|=|FIF2|,所以点M的轨迹是线段BB。

答案线段

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5.（忽视焦点位置）已知椭圆彳+*=M根＞°）的离心率e~5~f

则m的值为o

\15—nt-\/1n

解析当椭圆焦点在工轴上时,0＜帆＜5,由e=事=5，

\lJTL—5\110

解得根=3;当椭圆焦点在y轴上时，加＞5,由e=，而=、,

2525

解得加=了。综上可得，根=3或根=不。

答案3或2专5

、f丫2

6.（忽视点P的限制条件）已知点P是椭圆歹十］=1上y轴

右侧的一点，且以点P及焦点6为顶点的三角形的面积等

于1,则点P的坐标为O

解析设尸（l,y）,由题意知（？=/一〃=5—4=1,所以c

=1,则B（—1,0）,F2（1,0）O由题意可得点尸到％轴的距离为

V2A/15

1,所以y=±l,把y=±l代入彳+1=1,得％=±&k，又％＞0,

所以％=所以尸点坐标为1或—1O

答案怨”或怨T

第1课时椭圆及其简单几何性质

4.考点例析对点微练——互动课堂•考向探究

4.1.考点一椭圆的定义及应用

【例1】（1）已知△ABC的顶点3,C在椭圆可+＞2=1上，

顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在边上，则

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△ABC的周长是（）

A.2小B.6

C.45D.12

解析如图，设椭圆w+y2=i的另一个焦点为F2,则F2在

BC上,即|BC|=|5F2|十|BC|,又因为S。都在椭圆1+y2=l

上，所以|B4|+|3F2|=|CA|+|Cb2|=2a=2小，于是，ZkABC的周

长为|B4|+|8C|+|C4|=|B4|+|8F2|+|尸2C|+|CA|=4小。

答案C

(2)已知尸2是椭圆C/1(。»>0)的两个焦点，P

为椭圆。上一点，且河1，斤2。若△PA厂2的面积为9,则匕=

____________O

解析解法一：由椭圆定义，得|PE|+|PB|=2a,所以|PB|2

2

+\PF^+2|PFi|•|PF2|=4ao因为用'i_L所2,所以|PBF+|PE2|2=

⑹尸2|2=4C、2,所以21PBl•|PB|=4〃-4C2=4〃，所以|PR|.|PE|=

2〃。因为s"F]F2=；|PAHPF2|=b2=9,所以力=3。

0兀

解法二：由结论SAPF]F—22]=房，得

29=Z>tan^4=Z?tanIb=

3o

答案3

(3)已知F是椭圆5f+9y2=45的左焦点，P是此椭圆上的

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动点，A(l,l)是一定点。求解|十|PF|的最大值和最小值。

解如图所示，设椭圆右焦点为尸1,则|PQ+|PB|=6。

所以|ai|+|P尸|=|B4|一|PB|+6。

利用一|AB|W|RM-|PB|W|AK|(当P,A,B共线时等号成

立)，

所以|%|+|Pf]W6+也，|%|+|PF|N6一啦。

故照|十|PF|的最大值为6+也，最小值为6一地。

1.椭圆定义的应用范围

(1)确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆。

(2)解决与焦点有关的距离问题。

2.焦点三角形的应用

椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦

点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求

IPMI，|PF2|;通过整体代入可求其面积等。

22

【变式训练】(1)已知两圆Ci：(x-4)+y=169,C2：(%

+4)2+户9,动圆+在圆G内部且和圆G相内切,和圆C2相

外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(

£

+X2-

6/44W8

1

xy2十

r-

J—48—^6―4=1D6448

解析设圆M的半径为r,则|MG|+|MC2|=(13—力+(3+

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r)=16>8=|C)C2|,所以M的轨迹是以G,C2为焦点的椭圆，且

2a=16,2c=8,故所求的轨迹方程为三'+总=1。故选D。

644y

答案D

(2)(2021・岳阳模拟)如图所示，椭圆，+；=l(a>0)的左、右

焦点分别为尸2,过B的直线交椭圆于M,N两点，交y轴

于点〃。若”是线段MN的三等分点，则△尸2MN的周长为

解析由尸1,”是线段MN的三等分点，得H是的中

%=c,

点,又尸2(c,0),所以点N的横坐标为to由得

Nc,二，所以“0,-,又B(—c,0),Fi为HM的中点、,所以

f_2\

(2、4r2a

M—2c,--。把点M的坐标代入椭圆方程，得不+七4=1,

化简得4c2+1=层，又，=〃2—4,所以次=5,a=小。由椭圆

的定义知|NE2|+|NB|=|MB|+|MB|=2a,则△BMN的周长为

W尸2|十|MF2|+=\NF2\+IMF2I+\NFy|+\MFi|=4a=4书。故

选D。

答案D

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(3)设点尸为椭圆C：，+?=l(a>2)上一点，Fi,B分别为

C的左、右焦点，且NBPF2=60。,则的面积为o

解析由题意知，c=7a2—4。又/尸1尸尸2=60。，/甲十|PB|

2

=2a,|FIF2|=2^-4,所以|B尸2『=(|尸四+|尸尸2|)2—2巧田仍尸2|

一2尸IPHPF21cos600=4/一3|BP|・|PF2|=4屋一16,所以|*P|・|P尸2|

=与，所以5APF1F2=||FiP|-|PF2|sin60°=1x^X^=^^o

答案¥

4.2.考点二椭圆的标准方程

27

【例2】⑴过点(小，一的，且与椭圆会+卷=1有相同

焦点的椭圆的标准方程为O

解析椭圆根+看=1的焦点为(0,—4),(0,4),即c=4。

由椭圆的定义知，2a=叱审―0)?+(—邛+4)2+

叱5―0)2+(一垂—4)2,解得”=24。由，="一〃可得房=

40所以所求椭圆的标准方程为言+4=1。

答案S+4=1

(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点

一京引，(小，书)，贝•)椭圆方程为。

解析设椭圆方程为mx2+wy2=1(/71,n>0,mWri)。由

(3)⑸

—O-m+72rt=l,11,y2

I2)⑵解得m=4,〃=m。所以椭圆方程为古+

3/%+5〃=1,

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答案W+6=1

（3）已知椭圆。的焦点为B（—1,0）,尸2（1,0）,过尸2的直线与

C交于A,B两点。若父B|=2|尸2阴,|AB|=|BFi|,则C的方程为

________________________________________________O

*y

解析由题意设椭圆的方程为了+k=1（。>。>0）,连接尸A

令尸2回=机，则1ABi=2小，|8尸1|=3加。由椭圆的定义知，|BB|+

\BF2\=2a,即4m=2"，得m=g,故尸2Al=a=|尸圜，则点A为

椭圆C的上顶点或下顶点。令NQA尸2=。（0为坐标原点），则sin

a

i211m

0=~在等腰三角形A3Fi中，cos2。=丁=3，所以3=1—2—

Qo3cl33

T

2,得。2=3。又。2=1,所以匕2=〃2—/=2,椭圆C的方程为不

+号=1。

答案轩号=1

利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a>|*B|；利用待定系

数法要先定形（焦点位置），再定量，也可把椭圆方程设为加？+

ny1=l（m>0,n>0,机力”）的形式。

【变式训练】（1）已知椭圆C$+/=13>8>0）的左、右

焦点分别为a,尸2,离心率为:，过F2的直线与椭圆C交于A,

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3两点，若的周长为8,则椭圆方程为()

C.y+y2=lD.5+5=1

解析如图，由椭圆的定义可知，△AA8的周长为4a,所

以4a=8,a=2,又离心率为所以c=l,b2=3,所以椭圆方

X2V2

程为疝+]=1。

答案A

fy2

(2)(多选)若方程六=1所表示的曲线为C,则下面

四个说法中正确的是()

A.若1<《3,则C为椭圆

B.若。为椭圆，且焦点在y轴上，则2<《3

C.曲线C可能是圆

D.若C为双曲线，则长1

解析当/=2时，曲线C表示圆，故A不正确，C正确;

对于B,当曲线。为焦点在y轴上的椭圆时，则，一1>3—》0,

解得2«<3,故B正确；对于D,当曲线C为双曲线时，则(3—

?)(?—1)<0,解得t<l或03,故D错误。

答案BC

4.3.考点三椭圆的简单几何性质微专题

微考向1：离心率的值或范围

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【例3】(1)(2021•福建龙岩质量检查)已知椭圆C：

=13>b>0)的左焦点为尸，上顶点为A,右顶点为3,若△ARB

是直角三角形，则椭圆。的离心率为()

A.坐BY

t.T小T

J2n2

解析如图所示，F(-c,0),A(0,b),B(a,0),因为aAB尸

是直角三角形，所以Ab_LAB,所以油•油=0,又因为"'=(一

c,~b),A^=(a,~b),所以一ac+Z?2=0,又因为Z?2="2—，，

所以4—qc—，=0,又因为e=(,所以/+e—1=0,所以e=

—1^\[s—1+、后

—黄一，又因为0<e<l,所以e=―尸一。故选D。

答案D

(2)过椭圆C：，+方=l(a>b>0)的右焦点作工轴的垂线，交

。于A,B两点,直线/过C的左焦点和上顶点。若以A3为直

径的圆与/存在公共点，则C的离心率的取值范围是()

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xv

解析由题设知，直线/:即"-cy+/?c=O,

以AB为直径的圆的圆心为（c,0）,根据题意，招代入椭圆C

序序

的方程，得丁=土"，即圆的半径厂=£。又圆与直线/有公共点，

c_

又所以故选。

ao0<e<l,0<eoA

答案A

求椭圆离心率的方法

1.定义法：根据条件求出。，C,直接利用公式e=：求解。

2.方程法：根据条件得到关于a,b,c的齐次等式（不等式），

结合82=〃—/转化为关于。的齐次等式（不等式），然后将该

齐次等式（不等式）两边同时除以a或〃转化为关于e或/的方

程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）。

微考向2：最值问题

【例4】⑴已知A,3是椭圆氏$+%=l（a>b>0）上的两

点，且A,3关于坐标原点对称，b是椭圆的一个焦点，若AABF

面积的最大值为2,则椭圆E的长轴长的最小值为（）

A.1B.2

C.3D.4

解析因为A,3关于坐标原点对称，所以可设A（%i,y）,

B（~Xi,~yi）,其中yi>0。不妨设F（c,0）,则Sz\ABF=1,ce+y）

=cyi,因为△ABE面积的最大值为2,yiG（0,b],所以当yi=

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万时443厂的面积取到最大值，且仍=2。故a2=b2+c222bc=

4,当且仅当b=c=加时”="成立，此时a=2,2a=4。故选D。

答案D

(2)已知点P是椭圆，+5=1上的动点，且与椭圆的四个顶

点不重合，FHB分别是椭圆的左、右焦点，0为坐标原点，若

点M是尸E的角平分线上一点，且尸iMLMP,则QM的取

值范围是o

解析不妨设点P在第二象限，延长EM,交直线于

No因为M是/月的角平分线上一点，且所以

\FiM\=\NM\,|PFi|=|P7V|,即M为尸iN的中点。又因为。为FR

的中点，由中位线定理可得|0M=；|尸2N|=；(|PB|-|PN|),又|PB|

=1(4-2|PFi|)=2-|PFi|o因

+\PF2\=2a=4,所以

为a—c<|PFi|<“，即所以0<|OM<1。

答案(0,1)

总结反思

与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法

1.利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质。

2.利用函数，尤其是二次函数。

3.利用不等式，尤其是基本不等式。

4.利用一元二次方程的判别式。特别注意的是，求解与椭

圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶

点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关

系。

【题组对点练】

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1.（微考向1）直线％—由y+S=O经过椭圆最+/=l（a>b>0）

的左焦点尸，交椭圆于A,3两点，交y轴于。点，若汽=26,

则该椭圆的离心率为（）

r-小一I

A.y/3—1B.2

C.2a一2D.也一1

解析记椭圆的右焦点为广，由题意得回（一小，0）,C（0,

1）,则尸（小，0）o由收=26,可得|［则|AF|=3。连

接A尸,则|A用=小,所以2a=|AF|+|A斤|=3+小，所以a=

3+『,又。=小，所以该椭圆的离心率0=\=5£1=小一1。

2

故选Ao

答案A

2.（微考向2）已知动点M在以B,仍为焦点的椭圆f+孑

=1上，动点N在以M为圆心，半径长为|MB|的圆上，则|NF2|

的最大值为（）

A.2B.4

C.8D.16

解析由^+；=1可知”=2,力=1,6=小，不妨令尸1（0,

事）,F2（0,一小），则|MF2|+|MN|2|NB|,而=所以

当N,M,尸2三点共线时（M在线段Nb2上），W尸2|取得最大值，

此时WB|=|NM+|M尸2|=|MR|+|MF2|=2a=4。故选B。

答案B

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3.（微考向1）已知椭圆滔+R=l（a＞比＞0）的右焦点为尸（c,0）,

上顶点为40,b）,直线X=1“2•上存在一点尸满足（亦+求）.#=

o,则椭圆的离心率的取值范围为（）

解析取AP的中点。，则殖=；（办+苗），所以匹十

成）•协=2户0•协=0,所以FQ.LAP,所以△AFP为等腰三角形，

即|E4|=|F尸且|必|=/廿+（?=。。因为点尸在直线％=不上，所

以|FP|＞（—c,即（一c,所以1,所以/+e—120,

解得e》'？1或eW-当一L又0＜e＜l,故故选

Co

答案c

92

4.（微考向2）若焦点在％轴上的椭圆，+1=1的离心率e=

g,F,A分别是椭圆的左焦点和右顶点，尸是椭圆上任意一点,

则府•庆的最大值为O

c1

解析由题意知4=2,因为e="=2，所以C=l,所以。2

92

=屋一。2=3,故椭圆的方程为]+]=1。设点尸的坐标为（%0,

州），所以一2W&W2,因为F（-l,0）,A（2,o）,所以所=（一1一%0,

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_y（））,国=（2—％（）,_y（））,所以可7•中=看一%（）_2+网=1%8_%（）+

1=；（%（）—2）2,则当％（）=—2时，府•戌取得最大值4。

答案4

教师备用题

22

【例1】（配合例1使用）设尸2为椭圆§+]=1的两个

焦点，点尸在椭圆上，若线段的中点在y轴上，则箫的值

为/

\|

5

5

A.一

C14

B.153

9-D.-

9

解析由题意知。=3,b=\]5o由椭圆定义知|PB|+|PF2|=

60在APFiFz中，因为PFi的中点在y轴上，。为FIF2的中点，

〃5

由三角形中位线性质可得PF2，％轴，所以|PF2|=7=Q,所以

13IPFl5

|PFi|=6-|m=y,所以扇2=石。故选B。

答案B

【例2】（配合例2使用）已知椭圆E：的

右焦点为尸（3,0）,过点尸的直线交石于A,B两点。若AB的中

点坐标为（1,-1）,则后的方程为（）

x2y2x2y2

A,45+36=1B,36+27=1

C止+亡=1D—+^=1

J27Tl8u.18十9—1

解析如图所示，设点A的坐标为®,〃），点3的坐标为（/；

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心A

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