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文档简介
2018-2019学年广东省深圳市福田区九年级(上)期末数学试卷
一、选择题(本题共12小题,每小题3分,共36分,每小题给出4个选项,其中只有一
个是正确的)
1.(3分)如图,墨水瓶的瓶盖和瓶身都是圆柱形,则它的俯视图是()
3.(3分)某时刻,测得身高1.8米的人在阳光下的影长是1.5米,同一时刻,测得某旗杆
的影长为12米,则该旗杆的高度是()
A.10米B.12米C.14.4米D.15米
4.(3分)已知尤=1是一元二次方程,+加・2=0的一个解,则机的值是()
A.1B.-1C.2D.-2
5.(3分)如果两个相似三角形的对应边上的高之比为1:3,则两三角形的面积比为()
A.2:3B.1:3C.1:9D.1:旧
6.(3分)甲袋里有红、白两球,乙袋里有红、红、白三球,两袋的球除颜色不同外都相同,
分别往两袋里任摸一球,则同时摸到红球的概率是()
A.1B.1C.1D.工
3456
7.(3分)如图,将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中,点A,B,C均在格点
8.(3分)如图,lA//h//lv直线a,6与11、b、七分别相交于A、B、C和点。、E、F,
A.9B.10C.2D.15
9.(3分)已知关于x的方程a?+2x-2=0有实数根,则实数。的取值范围是()
A.--B.-—C.a2-上且a#0D.a>-1且aWO
2222
10.(3分)某商品原价为100元,第一次涨价40%,第二次在第一次的基础上又涨价10%,
设平均每次增长的百分数为x,那么尤应满足的方程是()
Av-40%+10%
2
B.100(1+40%)(1+10%)=(1+x)2
C.(1+40%)(1+10%)=(l+.r)2
D.(100+40%)(100+10%)=100(1+x)2
11.(3分)如图是二次函数y="2+bx+c(aWO)的图象,根据图象信息,下列结论错误的
是()
A.abc<0B.2«+/?=0C.4a-2b+c>0D.9G+3Z?+C=0
k
12.(3分)如图,A、C是反比例函数y=--(x>0)图象上的两点,B、。是反比例函数
x
kn
(x>0)图象上的两点,已知A8〃C0〃y轴,直线A3、分别交了轴于E、F,
x
根据图中信息,下列结论正确的有()
①。尸=&②%-=-—;③型J-;④四q
3k24AB3EBDF
A.1个B.2个C.3个D.4个
二、填空题(本题共4小题,每小题3分,共12分)
13.(3分)二次函数y=/-4x+4的顶点坐标是.
14.(3分)如图,O是坐标原点,菱形0ABe的顶点A的坐标为(3,4),顶点C在x轴
的正半轴上,则NA0C的角平分线所在直线的函数关系式为.
15.(3分)如图,大楼底右侧有一障碍物,在障碍物的旁边有一栋小楼。E,在小楼的顶端
D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°,测得大楼顶端A的仰角为45°(点B,C,E
在同一水平直线上).已知A8=40m,DE=10m,则障碍物B,C两点间的距离为
m.(结果保留根号)
□
□
□
□
□
□
□
□
16.(3分)如图,点E是矩形A8CQ的一边的中点,BfUCE于F,连接AF;若A8
=4,AD=6,则sin/A户E=
AB
三、解答题(本题共7小题,其中第17题5分,第18题6分,第19题7分,第20题8
分,第21题8分,第22题9分,第23题9分,共52分)
17.(5分)计算:tan45°-tan%。。+sin30°-J5cos30°.
18.(6分)解方程:2(x-3)2=尤-3.
19.(7分)如图,四张正面分别写有1、2、3、4的不透明卡片,它们的背面完全相同,现
把它们洗匀,背面朝上放置后,开始游戏.游戏规则如下:
连摸三次,每次随机摸出一张卡片,并翻开记下卡片上的数字,每次摸出后不放回,如
果第三次摸出的卡片上的数字,正好介于第一、二次摸出的卡片上的数字之间,则游戏
胜出,否则,游戏失败.问:
(1)若已知小明第一次摸出的数字是4,第二次摸出的数字是2,在这种情况下,小明
继续游戏,可以获胜的概率为.
(2)若已知小明第一次摸出的数字是3,求在这种情况下,小明继续游戏,可以获胜的
概□率(要求列表□或用树状图□求)□
20.(8分)如图,E、歹是正方形ABC。对角线AC上的两点,且连接8£、
DE、BF、DF.
(1)求证:四边形8瓦不是菱形:
(2)求tan/AFZ)的值.
21.(8分)某商场购进一种每件价格为90元的新商品,在商场试销时发现:销售单价元
/件)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系.
(1)求出y与x之间的函数关系式;
(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式,并求出售价定为多少时,每
天获得的利润最大?最大利润是多少?
22.(9分)如图,点尸是反比例函数y=-生(尤<0)图象上的一动点,出,无轴于点A,
在直线上截取。2=小(点2在第一象限),点C的坐标为(-2,2«),连接
AC、BC、OC.
(1)填空:0C=,/BOC=;
(2)求证:△AOCs/iCOB;
(3)随着点P的运动,/ACB的大小是否会发生变化?若变化,请说明理由,若不变,
则求出它的大小.
23.(9分)如图,抛物线交无轴于A、8两点(点A在点B的左边),交y轴于点C,直线
y=-当+3经过点C与x轴交于点。,抛物线的顶点坐标为(2,4).
.4
(1)请你直接写出CD的长及抛物线的函数关系式;
(2)求点8到直线CD的距离;
(3)若点尸是抛物线位于第一象限部分上的一个动点,则当点P运动至何处时,恰好使
ZPDC=45°?请你求出此时的P点坐标.
2018-2019学年广东省深圳市福田区九年级(上)期末数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本题共12小题,每小题3分,共36分,每小题给出4个选项,其中只有一
个是正确的)
1.【考点】U2:简单组合体的三视图.
【专题】55F:投影与视图.
【分析】直接利用俯视图即从物体的上面往下看,进而得出视图.
◎
【解答】解:墨水瓶的瓶盖和瓶身都是圆柱形,则它的俯视图是:.
故选:A.
【点评】此题主要考查了简单组合体的三视图,注意观察角度是解题关键.
2.【考点】G6:反比例函数图象上点的坐标特征.
【专题】534:反比例函数及其应用.
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断.
【解答】解:V-2X4=-8,-4X2=-8,3X5=15,-IX(-8)=8,
...点(-1,-8)在反比例函数y=&的图象经上.
X
故选:B.
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征:反比例函数y=k(k为常数,k
x
#0)的图象是双曲线,图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值比即孙=人.
3.【考点】SA:相似三角形的应用;U5:平行投影.
【专题】55D:图形的相似.
【分析】在同一时刻,物体的实际高度和影长成比例,据此列方程即可解答.
【解答】解:•••同一时刻物高与影长成正比例.
1.8:1.5=旗杆的高度:12
旗杆的高度为14.4米
故选:C.
【点评】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中,利用相似三角形的相似比,列出
方程,通过解方程求出旗杆的高度,体现了方程的思想.
4.【考点】A3:一元二次方程的解.
【专题】523:一元二次方程及应用.
【分析】把x=l代入方程/+〃优-2=0得到关于m的一元一次方程,解之即可.
【解答】解:把x=l代入方程,+〃1r-2=0得:
1+m-2=0,
解得:机=1,
故选:A.
【点评】本题考查了一元二次方程的解,正确掌握代入法是解题的关键.
5.【考点】S7:相似三角形的性质.
【专题】55D:图形的相似.
【分析】根据对应高的比等于相似比,相似三角形的面积比等于相似比的平方解答.
【解答】解:•••相似三角形对应高的比等于相似比,
两三角形的相似比为1:3,
两三角形的面积比为1:9.
故选:C.
【点评】本题考查对相似三角形性质的理解,相似三角形对应高的比等于相似比.
6.【考点】X6:列表法与树状图法.
【专题】543:概率及其应用.
【分析】先求出任摸一球的组合情况总数,再求出同时摸到红球的数目,利用概率公式
计算即可.
【解答】解:分别往两袋里任摸一球的组合有6种:红红,红红,红白,白红,白红,
白白;其中红红的有2种,
所以同时摸到红球的概率是2=2.
63
故选:A.
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所
有可能的结果,适合于两步完成的事件;树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用
到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
7.【考点】T1:锐角三角函数的定义.
【专题】55E:解直角三角形及其应用.
【分析】在直角三角形AC。中,根据正切的意义可求解.
CD-3
故选:B.
【点评】本题考查锐角三角函数的定义.将角转化到直角三角形中是解答的关键.
8.【考点】S4:平行线分线段成比例.
【专题】55D:图形的相似.
【分析】根据平行线分线段成比例可得胆=些,代入计算即可解答.
ACDF
【解答】解:-:li//l2//l3>
-AB_DE即2=6
,•而—F~5~W
解得:DF=15,
:.EF=15-6=9.
故选:A.
【点评】本题主要考查平行线分线段成比例,掌握平行线分线段所得线段对应成比例是
解题的关键.
9.【考点】AA:根的判别式.
【专题】523:一元二次方程及应用.
【分析】当时,是一元二次方程,根据根的判别式的意义得△=22-4〃X(-2)
=4(1+2。)20,然后解不等式;当。=0时,是一元一次方程有实数根,由此得出答案
即可.
【解答】解:当aWO时,是一元二次方程,
•.•原方程有实数根,
.•.△=22-4AX(-2)=4(l+2a)
当。=0时,2x-2=0是一元一次方程,有实数根.
故选:A.
【点评】本题考查了一元二次方程"2+a+c=0(aWO,a,6,c为常数)的根的判别式
△=&2-4ac.当△>(),方程有两个不相等的实数根;当△=(),方程有两个相等的实数
根;当△<(),方程没有实数根.也考查了一元二次方程的定义.进行分类讨论是解题的
关键.
10.【考点】1G:有理数的混合运算;AC:由实际问题抽象出一元二次方程.
【专题】523:一元二次方程及应用.
【分析】设平均每次增长的百分数为无,根据“某商品原价为100元,第一次涨价40%,
第二次在第一次的基础上又涨价10%”,得到商品现在的价格,根据“某商品原价为100
元,经过两次涨价,平均每次增长的百分数为x”,得到商品现在关于x的价格,整理后
即可得到答案.
【解答】解:设平均每次增长的百分数为尤,
:某商品原价为100元,第一次涨价40%,第二次在第一次的基础上又涨价10%,
,商品现在的价格为:100(1+40%)(1+10%),
:某商品原价为100元,经过两次涨价,平均每次增长的百分数为尤,
商品现在的价格为:100(1+x)2,
:.100(1+40%)(1+10%)=100(1+无)2,
整理得:(1+40%)(1+10%)=(1+x)2,
故选:C.
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程和有理数的混合运算,正确找出等
量关系,列出一元二次方程是解题的关键.
11.【考点】H4:二次函数图象与系数的关系.
【专题】31:数形结合;535:二次函数图象及其性质.
【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案.
【解答】解:(A)由图象可知:a<0,c>0,
:.b>0,
Aabc<0,故A正确;
(B)由对称轴可知:—L=l,
2a
2a+b=0,故正确;
(C)当x=-2时,y<0,
:.4a-2b+c<0,故C错误;
CD)(-1,0)与(3,0)关于直线x=l对称,
:.9a+3b+c=0,故。正确;
故选:C.
【点评】本题考查二次函数,解题的关键熟练运用二次函数的图象与性质,本题属于中
等题型.
12.【考点】G6:反比例函数图象上点的坐标特征.
【专题】532:函数及其图像.
【分析】设E(a,0),F(b,0),由A、B、C纵横坐标积等于左可确定a,b的数量关
系,从而说明各个结论的正误.
【解答】解:设E(a,0),F(b,0),则3a=6=所,-4a=-近,
,故①②正确;
1+1
.・.-C-D--C-F-+-D-F--_-/-_-3-_--1,
AB-7-73
•••③正确;
..AE^3_CF_1„3
,而RDF
④正确,
故选:D.
【点评】本题考查反比例函数的图象和性质,理解运用上的几何意义是解答此题的关键.
二、填空题(本题共4小题,每小题3分,共12分)
13.【考点】H3:二次函数的性质.
【专题】535:二次函数图象及其性质.
【分析】先把一般式配成顶点式,然后利用二次函数的性质解决问题.
【解答】解:''y=x-4x+4=(尤-2)2,
,抛物线的顶点坐标为(2,0).
故答案为(2,0).
【点评】本题考查了二次函数的性质:熟练掌握二次函数的顶点坐标公式,对称轴方程
和二次函数的增减性.
14.【考点】FA:待定系数法求一次函数解析式;L8:菱形的性质.
【专题】556:矩形菱形正方形.
【分析】延长区4交y轴于则轴,依据点A的坐标为(3,4),即可得出B(8,
4),再根据NAOC的角平分线所在直线经过点3,即可得到函数关系式.
【解答】解:如图所示,延长8A交y轴于。,则轴,
:点A的坐标为(3,4),
:.AD=3,OD=4,
.•.AO=AB=5,
・・・5。=3+5=8,
:.B(8,4),
设/AOC的角平分线所在直线的函数关系式为y=kx,
•菱形。42c中,/AOC的角平分线所在直线经过点2,
;.4=8左,即%=工,
2
•••ZAOC的角平分线所在直线的函数关系式为y=L,
【点评】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及菱形的性质的运用,正确得
出B点坐标是解题关键.
15.【考点】TA:解直角三角形的应用-仰角俯角问题.
【专题】55E:解直角三角形及其应用.
【分析】过点。作DF±AB于点F,过点C作CH1DF于点H,则DE=BF=CH=10m,
根据直角三角形的性质得出DF的长,在RtZXCDE中,利用锐角三角函数的定义得出CE
的长,根据BC=BE-CE即可得出结论.
【解答】解:过点D作DF±AB于点F,过点C作CHLDF于点H.
口
口
口
口
口
口
口
口
则DE=BF=CH=10m,
在RtZvlOF中,AF=AB-BF=30m,NA。尸=45°,
:.DF^AF^30m.
在RtZ^CDE中,DE=10m,NDCE=30°,
/.CE=—四『=袈=1073(m),
tan30°返
3
:.BC=BE-CE=(30-lo/3)m.
答:障碍物8,C两点间的距离为(3O-1W5)m.
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题,根据题意作出辅助线,构
造出直角三角形是解答此题的关键.
16.【考点】LB:矩形的性质;T7:解直角三角形.
【专题】553:图形的全等;554:等腰三角形与直角三角形;556:矩形菱形正方形;
55E:解直角三角形及其应用.
【分析】延长CE交的延长线于点G,由题意可证AAGE丝△£)”,可得AG=CD=
4,根据直角三角形的性质可得由勾股定理可求CG=10,即可求sin/
APE的值.
【解答】解:延长CE交区4的延长线于点G,
・・•四边形ABC。是矩形,
J.AB//CD,AB=CD=4,AD=BC=6,
:・NG=NGCD,且AE=DEA,NAEG=/DEC
:.AAGE^ADCE(A4S)
:.AG=CD=4,
:.AG=AB,_&BFLGF,
:.AF=AG=AB=4
:.ZAFE=ZAGF,
•・・3G=AG+A8=8,BC=6
,'-GC=VBG2+BC2=1°
...sinZAFE=sinZAGF=^-=^~
GC5
故答案为:2
5
【点评】本题考查了矩形的性质,全等三角形的判定和性质,直角三角形的性质,锐角
三角函数等知识,灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键.
三、解答题(本题共7小题,其中第17题5分,第18题6分,第19题7分,第20题8
分,第21题8分,第22题9分,第23题9分,共52分)
17.【考点】2C:实数的运算;T5:特殊角的三角函数值.
【专题】11:计算题.
【分析】利用特殊角的三角函数值求解即可
【解答】解:原式=1-•亨
=1-3+---
22
=-3
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值,正确记忆相关数据是解题的关键.
18.【考点】A8:解一元二次方程-因式分解法.
【专题】11:计算题.
【分析】方程移项后,利用因式分解法求出解即可.
【解答】解:方程移项得:2(尤-3)2-(x-3)=0,
分解因式得:(x-3)(2x-7)=0,
可得尤-3=0或2x-7=0,
解得:xi—3,X2—3.5.
【点评】此题考查了解一元二次方程-因式分解法,熟练掌握因式分解的方法是解本题
的关键.
19.【考点】X3:概率的意义;X6:列表法与树状图法.
【专题】543:概率及其应用.
【分析】(1)依据第三次摸出的卡片上的数字可能是1或3,其中摸到3能获胜,即可得
到小明继续游戏可以获胜的概率;
(2)依据小明第一次摸出的数字是3,画出树状图,即可得到6种等可能的情况,其中
第三次摸到的数介于前两个数之间的只有一种情况,进而得出小明获胜的概率.
【解答】解:(1)小明第一次摸出的数字是4,第二次摸出的数字是2,在这种情况下,
小明继续游戏,第三次摸出的卡片上的数字可能是1或3,其中摸到3能获胜,
可以获胜的概率为上,
2
故答案为:—;
2
(2)画树状图如下:
第二次第三次所有可能出现的结果
(3,1,2)
(3,1,4)
(3,2,1)
(3,2,4)
(3,4,1)
(3,4,2)
共有6种等可能的情况,其中第三次摸到的数介于前两个数之间的只有一种情况:(3,1,
2),
则P(小明能获胜)=2.
6
【点评】此题主要考查了概率的意义以及树状图法与列表法的运用,当有两个元素时,
可用树形图列举,也可以列表列举.利用树状图或者列表法列举出所有可能是解题关键.
20.【考点】KD:全等三角形的判定与性质;LA:菱形的判定与性质;LE:正方形的性质;
T7:解直角三角形.
【专题】556:矩形菱形正方形;55E:解直角三角形及其应用.
【分析】(1)连接8。交AC于点。,根据正方形的性质得到OA=OC,OB=OD,AC
±BD,证明OE=OF,得到四边形B瓦不是平行四边形,根据菱形的判定定理证明;
(2)根据正方形的性质得到OD=3OF,根据正切的定义计算,得到答案.
【解答】(1)证明:连接8。交AC于点。
•..四边形ABC。是正方形,
J.OA^OC,OB=OD,S.AC±BD,
':AE^CF,
:.OA-AE=OC-CF,即OE=OF,
又:08=0。,
四边形8EQE是平行四边形,
又;ACLBD,
,平行四边形8瓦加是菱形;
(2)解:':EF=2OF,EF=CF,
CF=2OF,
;.OC=3OR又。。=OC,
:.OD=3OF,
在正方形ABCD中,AC±BD,
:.ZDOF=90°,
在RtZk。。/中,tan/AFD=亚=3.
OF
【点评】本题考查的是正方形的性质、菱形的判定、正切的定义,掌握正方形的四条边
相等、四个角相等是解题的关键.
21.【考点】HE:二次函数的应用.
【专题】536:二次函数的应用.
【分析】(1)先利用待定系数法求一次函数解析式;
(2)用每件的利润乘以销售量得到每天的利润W,即W=(x-90)(-尤+170),然后根
据二次函数的性质解决问题.
【解答】解:(1)设y与x之间的函数关系式为>=丘+6,
根据题意得(12°k+b=50,解得(k=-l,
ll40k+b=30lb=170
与尤之间的函数关系式为y=-x+170;
(2)W=(x-90)(-x+170)
=-X2+260X-1530,
:W=-?+260x-1530=-(x-130)2+1600,
而a--l<0,
,当x=130时,W有最大值1600.
答:售价定为130元时,每天获得的利润最大,最大利润是1600元.
【点评】本题考查了二次函数的应用:利用二次函数解决利润问题,先利用利润=没件
的利润乘以销售量构建二次函数关系式,然后根据二次函数的性质求二次函数的最值,
一定要注意自变量x的取值范围.
22.【考点】GB:反比例函数综合题.
【专题】537:函数的综合应用.
【分析】(1)过点C作轴于点E,过点B作无轴于点R由点C的坐标可得
出OE,CE的长度,进而可求出0C的长度及NAOC的度数,由直线0B的解析式可得
出/的度数,再利用/8OC=180°-/AOC-尸即可求出/BOC的度数;
(2)由(1)可知/A0C=N80C,由点尸是反比例函数y=-迈(x<0)图象上的一
x
动点,利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出出・。4=16,结合。及0C=4,
可得出空.=匹,结合NA0C=/80C即可证出△AOCS/\COB;
OCOB
(3)由△AOCs/iCOB利用相似三角形的性质可得出/CAO=/BC。,在△AOC中,
利用三角形内角和定理可求出NC4O+/OCA=120°,进而可得出N2C0+/0CA=
120°,即NAC2=120°.
【解答】(1)解:过点C作CE_Lx轴于点E,过点8作8尸1^轴于点孔如图所示.
:点C的坐标为(-2,2近),
:.OE=2,CE=2近,
AOC=VOE2+CE2=4-
tanZAOC—^-—,J3,
0E
ZAOC=60°.
•..直线OB的解析式为y=技,
/.ZBOF=60°,
.*.ZBOC=180°-ZAOC-ZBOF=60°.
故答案为:4;60°.
(2)证明:VZAOC=60°,ZBOC=60°,
/AOC=ZBOC.
.点尸是反比例函数y=-坦(x<0)图象上的一动点,
:.PA'OA=16.
":PA=OB,
:.OB-OA=16=0(^,
即处=匹,
0COB
...AAOC^ACOB.
(3)解:NACB的大小不会发生变化,理由如下:
△AOCsMOB,
J.ZCAO^ZBCO.
在△AOC中,ZAOC=6Q°,
:.ZCAO+ZOCA^12Q°,
:.ZBCO+ZOCA^12Q°,
BPZACB=120°.
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值、勾股定理、反比例函数图象上点的坐标特征、
相似三角形的判定与性质以及三角形内角和定理,解题的关键是:(1)利用勾股定理及
角的计算,找出0C的长及N80C的度数;(2)利用反比例函数图象上点的坐标特征、
OC=4及OB=PA,找出毁=匹;(3)利用相似三角形的性质及三角形内角和定理,
OC0B
找出/8CO+/OC4=120°.
23.【考点】HF:二次函数综合题.
【专题】16:压轴题.
【分析】(1)求出点C,。的坐标,再用勾股定理求得的长;设抛物线为y=a(x-
2)2+4,将点C坐标代入求得a,即可得出抛物线的函数表达式;
(2)过点B直线的垂线,垂足为X,在中,利用锐角三角函数即可求得
点B到直线CD的距离;
(3)把点C(0,3)向上平移4个单位,向右平移3个单位得到点E(3,7),可得△
OCDqAFEC,则为等腰直角三角形,且NEDC—45°,所以直线与抛物线
的交点即为所求的点P.
【解答】解:(1)•.•尸_^x+3,
:.C(0,3),D(4,0),
VZCOD=90°,
CD=-^32+42=5•
设抛物线为y=a(x-2)2+4,将点C(0,3)代入抛物线,
得3=4a+4,
.1
y
...抛物线的函数关系式为y=.(x-2)2+4;
(2)解:过点2作于
由-^-(x-2)2+4=0,
可得尤1=-2,X2=6,
...点8的坐标为(6,0),
:OC=3,OD=4,CO=5,
:.OB=6,从而BD=2,
在RtADHB中,
,:BH=BD,sinZBDH=孙sin/CZ)O=2义色上
55
.•.点8到直线。的距离为g.
5
(3)把点C(0,3)向上平移4个单位,向右平移3个单位得到点E,7),
;CF=OD=4,EF=OC=3,/CFE=/DOC=9U°,
:AOCD%AFEC,
:.ZFCE^ZODC,EC=DC,
.•.ZEC£>=180°-CZFCE+ZOCD)=180°-CZODC+ZOCD)180°-90°=
90°,
...△£>£(?为等腰直角三角形,且/即C—45
因而,与抛物线的交点即为所求的点尸.
由E(3,7),D(4,0),可得直线E£>的解析式为:y=-7尤+28,
y=-7x+28
由<19
厂方(x-2)气4
/x=16-2V39
(另一组解不合题意,已舍去.)
.尸14爽^-84
所以,此时P点坐标为(16-2/南,14V39-84).
【点评】本题考查学生将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题的能力
考点卡片
1.有理数的混合运算
(1)有理数混合运算顺序:先算乘方,再算乘除,最后算加减;同级运算,应按从左到右
的顺序进行计算;如果有括号,要先做括号内的运算.
(2)进行有理数的混合运算时,注意各个运算律的运用,使运算过程得到简化.
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1.转化法:一是将除法转化为乘法,二是将乘方转化为乘法,三是在乘除混合运算中,通
常将小数转化为分数进行约分计算.
2.凑整法:在加减混合运算中,通常将和为零的两个数,分母相同的两个数,和为整数的
两个数,乘积为整数的两个数分别结合为一组求解.
3.分拆法:先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式,然后进行计算.
4.巧用运算律:在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便.
2.实数的运算
(1)实数的运算和在有理数范围内一样,值得一提的是,实数既可以进行加、减、乘、除、
乘方运算,又可以进行开方运算,其中正实数可以开平方.
(2)在进行实数运算时,和有理数运算一样,要从高级到低级,即先算乘方、开方,再算
乘除,最后算加减,有括号的要先算括号里面的,同级运算要按照从左到有的顺序进行.
另外,有理数的运算律在实数范围内仍然适用.
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1.运算法则:乘方和开方运算、幕的运算、指数(特别是负整数指数,0指数)运算、根
式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等.
2.运算顺序:先乘方,再乘除,后加减,有括号的先算括号里面的,在同一级运算中要从
左到右依次运算,无论何种运算,都要注意先定符号后运算.
3.运算律的使用:使用运算律可以简化运算,提高运算速度和准确度.
3.一元二次方程的解
(1)一元二次方程的解(根)的意义:
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.又因为只含有一个未知
数的方程的解也叫做这个方程的根,所以,一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.
(2)一元二次方程一定有两个解,但不一定有两个实数解.这X1,X2是一元二次方程ax+bx+c
=0QW0)的两实数根,则下列两等式成立,并可利用这两个等式求解未知量.
22
axi+bxi+c=0(aWO),ax2~+bx2^~c=0(aWO).
4.解一元二次方程-因式分解法
(1)因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法,这种方法简便易用,是解一元二次方程
最常用的方法.
因式分解法就是先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形
式,那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解,这样也就把
原方程进行了降次,把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).
(2)因式分解法解一元二次方程的一般步骤:
①移项,使方程的右边化为零;②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积;③令每个因
式分别为零,得到两个一元一次方程;④解这两个一元一次方程,它们的解就都是原方程
的解.
5.根的判别式
利用一元二次方程根的判别式(△="-4℃)判断方程的根的情况.
一元二次方程4X2+6X+C=0(aWO)的根与-4ac有如下关系:
①当时,方程有两个不相等的两个实数根;
②当△=()时,方程有两个相等的两个实数根;
③当△<()时,方程无实数根.
上面的结论反过来也成立.
6.由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时,要全面、系统地申清问题的已知和未知,以及它们之间的数量关系,找
出并全面表示问题的相等关系,设出未知数,用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系,
即列出一元二次方程.
7.待定系数法求一次函数解析式
待定系数法求一次函数解析式一般步骤是:
(1)先设出函数的一般形式,如求一次函数的解析式时,先设y=fcv+6;
(2)将自变量尤的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式,得到关于待定系数的
方程或方程组;
(3)解方程或方程组,求出待定系数的值,进而写出函数解析式.
注意:求正比例函数,只要一对x,y的值就可以,因为它只有一个待定系数;而求一次函
数>=区+"则需要两组无,y的值.
8.反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数无(左为常数,左W0)的图象是双曲线,
①图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值%,即孙=%;
②双曲线是关于原点对称的,两个分支上的点也是关于原点对称;
③在尤图象中任取■点,过这一个点向x轴和y轴分别作垂线,与坐标轴围成的矩形
的面积是定值因.
9.反比例函数综合题
(1)应用类综合题
能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型,是解决实际问题的关键一步,培养了
学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力.在解决这些问题的时候我们还用到了
反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识.
(2)数形结合类综合题
利用图象解决问题,从图上获取有用的信息,是解题的关键所在.已知点在图象上,那么点
一定满足这个函数解析式,反过来如果这点满足函数的解析式,那么这个点也一定在函数图
象上.还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小.将数形结合在一起,是分析解决问
题的一种好方法.
10.二次函数的性质
二次函数(〃70)的顶点坐标是(--卜-,),对称轴直线兀=-上
2a4a2a
二次函数(〃#0)的图象具有如下性质:
①当〃>0时,抛物线y=Q,+bx+c(〃wo)的开口向上,上L时,y随%的增大而减小;
2a
2
尤〉--L时,y随X的增大而增大;x=-旦时,y取得最小值4或zb一,即顶点是抛物线
2a2a4a
的最低点.
②当a<0时,抛物线y=ax2+bx+cQW0)的开口向下,x<-'时,y随x的增大而增大;
2a
2
尤>-互时,y随X的增大而减小;x=-'时,y取得最大值细£二k_,即顶点是抛物线
2a2a4a
的最IWJ点.
③抛物线y=ax+bx+c(a#0)的图象可由抛物线y=ax的图象向右或向左平移|-二|个单
'2a
位,再向上或向下平移伊③©-b2।个单位得到的.
4a
11.二次函数图象与系数的关系
二次函数>=依2+笈+。(aWO)
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小.
当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;间还可以决定开口大小,\a\
越大开口就越小.
②一次项系数b和二次项系数。共同决定对称轴的位置.
当a与6同号时(即a6>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即a6<0),对称轴在y
轴右.(简称:左同右异)
③.常数项c决定抛物线与y轴交点.抛物线与y轴交于(0,c).
④抛物线与x轴交点个数.
△=/-4℃>0时,抛物线与x轴有2个交点;△=济-4改=0时,抛物线与尤轴有1个交
点;△=廿-4改<0时,抛物线与无轴没有交点.
12.二次函数的应用
(1)利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中,经常会遇到求最大利润,最大销量等问题.解此类题的关键是通过题意,
确定出二次函数的解析式,然后确定其最大值,实际问题中自变量尤的取值要使实际问题有
意义,因此在求二次函数的最值时,一定要注意自变量x的取值范围.
(2)几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有:几何图形中面积的最值,用料的最佳方案以及动态几
何中的最值的讨论.
(3)构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时,要恰当地把这些实际问题中
的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上,从而确定抛物线的解析式,通过解析式可解决
一些测量问题或其他问题.
13.二次函数综合题
(1)二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时,先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号,然后判断新的函数关系
式中系数的符号,再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征,则符合所有特征的图象即
为正确选项.
(2)二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起.这类试题一般难度较大.解这类问题关键
是善于将函数问题转化为方程问题,善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识,
并注意挖掘题目中的一些隐含条件.
(3)二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系,建立二次函数模型.关键在于观察、分析、创建,建立
直角坐标系下的二次函数图象,然后数形结合解决问题,需要我们注意的是自变量及函数的
取值范围要使实际问题有意义.
14.全等三角形的判定与性质
(1)全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三
角形全等时,关键是选择恰当的判定条件.
(2)在应用全等三角形的判定时,要注意三角形间的公共边和公共角,必要时添加适当辅
助线构造三角形.
15.菱形的性质
(1)菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
(2)菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质;
②菱形的四条边都相等;
③菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;
④菱形是轴对称图形,它有2条对称轴,分别是两条对角线所在直线.
(3)菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式.
②菱形面积=Lb.(。、6是两条对角线的长度)
2
16.菱形的判定与性质
(1)依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形.不管原四边形的形状怎样改
变,中点四边形的形状始终是平行四边形.
(2)菱形的中点四边形是矩形(对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形,对角线
相等的四边形的中点四边形定为菱形.)―(3)菱形是在平行四边形的前提下定义的,首
先它是平行四边形,但它是特殊的平行四边形,特殊之处就是“有一组邻边相等”,因而就
增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法.
(4)正方形是特殊的菱形,菱形不一定是正方形,所以,在同一平面上四边相等的图形不
只是正方形.
17.矩形的性质
(1)矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形.
(2)矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有;
②角:矩形的四个角都是直角;
③边:邻边垂直;
④对角线:矩形的对角线相等;
⑤矩形是轴对称图形,又是中心对称图形.它有2条对称轴,分别是每组对边中点连线所
在的直线;对称中心是两条对角线的交点.
(3)由矩形的性质,可以得到直角三角形的一个重要性质,直角三角形斜边上的中线等于
斜边的一半.
18.正方形的性质
(1)正方形的定义:有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
(2)正方形的性质
①正方形的四条边都相等,四个角都是直角;
②正方形的两条对角线相等,互相垂直平分,并且每条对角线平分一组对角;
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形,同时,正方形又是轴对称图形,
有四条对称轴.
19.平行线分线段成比例
(1)定理1:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例.
(2)定理2:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,
那么这条直线平行于三角形的第三边.
(3)定理3:平行于三角形的一边,并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线,所
截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.
20.相似三角形的性质
相似三角形的定义:如果两个三角形的对应边的比相等,对应角相等,那么这两个三角形相
似.
(1)相似三角形的对应角相等,对应边的比相等.
(2)相似三角形(多边形)的周长的比等于相似比;
相似三角形的对应线段(对应中线、对应角平分线、对应边上的高)的比也等于相似比.
(3)相似三角形的面积的比等于相似比的平方.
由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比
等于相似比的平方.
21.相似三角形的应用
(1)利用影长测量物体的高度.①测量原理:测量不能到达顶部的物体的高度,通常利用
相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的
原理解决.②测量方法:在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来,再计算出被测
量物的长度.
(2)利用相似测量河的宽度(测量距离).①测量原理:测量不能直接到达的两点间的距
离,常常构造“A”型或“X”型相似图,三点应在一条直线上.必须保证在一
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