2020-2021学年吉安市高二年级上册期末数学试卷(文科)(含解析)

2020-2021学年吉安市高二上学期期末数学试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.下列有关命题的说法正确的是（）

A.*7（0）=0"是"函数是奇函数”的充要条件

2

B.若p：3x0ER,XQ-x0—1>0.则~~p：VxG7?,x—x—1<0

C.若pAq为假命题，则p,q均为假命题

D.“若a=p则cosa='的否命题是“若akp^cosa*.

2.己知正方体ABC。一4当。1。1的棱长为2,E是棱。也1的中点，点尸在正方体内部或正方体的表

面上，且EF〃平面ABC1，则动点尸的轨迹所形成的区域面积是（）

A.-B.2V3C.3V3D.4迎

3.过点（2,1）,斜率k=-2的直线方程为（）

A.x-1=-2（y—2）B.2x+y-1=0

C.y-2=-2（x-1）D.2%+y-5=0

4.如图，P是正四面体U-ABC的面UBC上一点，点P到平面ABC距离与到点V的距离相等，则动点

P的轨迹是（）

B

A.直线B.抛物线

C.离心率为出的椭圆D.离心率为3的双曲线

①若两直线平行，则其斜率相等;

②若两直线垂直，则其斜率之积为-1；

③垂直于％轴的直线平行于y轴.

其中正确命题的个数为（

A.0B.1C.2D.3

6.已知直线丫=kx+1与曲线y=7+mx+71相切于点p(i,3),则n=()

A.-1B.1C.3D.4

7.等差数列舸速的首项为畅，公差为疲，前糜项和为晶.则“蜡耳喇”是“，冤的最小值为标

且,均无最大值”的

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要

8.已知点4(1,0),B(-1,O),若圆C：/+V一6》一8y+m=。上有且仅有一点P,使得成•丽=0,

则实数m的值为()

A.-11B.9C.-9或11D.9或一11

9,已知一个圆锥的母线I与底半径r满足产+1=5,则当圆锥表面积最大时，它的母线与底面所成

的角的余弦值为()

A.；B.JC.叵D.在

4444

10.某地球仪的北纬60度圈的周长为67rcm,则地球仪的表面积为()

A.24ncm2B.48ncm2C.144ncm2D.288ncm2

11.设F为抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，过尸且倾斜角为30。的直线交C于4B两点，若|48|=12,

贝！Jp=()

A.1B.3C.\D.\

12.已知双曲线E的左，右顶点为4,B,点C在E上，AB=BC,且NBC4=30。，贝的离心率为()

A.V5B.2C.V2D.V3

二、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.函数f(x)=xex—久在％=0处的切线方程为.

14.已知圆柱的侧面积为3万，底面周长为2兀，则它的体积为.

15.某公司的组织结构图如图所示，则信息部被___直接领导.

16.已知力（xi，y。是抛物线y2=4x上的一个动点，8（小”2）是椭圆?+?=1上的一个动点，N（l,0）

是一定点，若AB〃x轴，且与<刀2，且AM4B的周长的取值范围是.

三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

17.已知条件P：函数/（x）=log（2a-i）（ax-3）（a>：,且aK1）在其定义域上是减函数；条件q：函

数g（x）=Jx+|x-a|-2的定义域为R.如果“p或q”为真，试求a的取值范围.

18.2019年底，湖北省武汉市等多个地区陆续出现感染新型冠状病毒肺炎的患者，为及时有效地对

疫情数据进行流行病学统计分析，某地研究机构针对该地实际情况，根据该地患者是否有武汉

旅行史与是否有确诊病例接触史，将新冠肺炎患者分为四类：有武汉旅行史（无接触史），无武

汉旅行史（无接触史），有武汉旅行史（有接触史）和无武汉旅行史（有接触史）统计得到如下相关数

据.

（1）请将列联表填写完整，并求有武汉旅行史与有确诊病例接触史的概率.

有接触史无接触史总计

有武汉旅行史824

无武汉旅行史16

总计48

（2）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为有武汉旅行史与有确诊病例接触史有关

系？

n(ad-bc)2

附表及公式:n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

P(K2>fc0)0.150.100.0050.0250.010

ko2.0722.7063.8415.0246.635

19.如图，48CD是边长为2的正方形，EO_L平面4BC0,ED=1,EF//BDS.EF=\BD.

（1）求证：BF〃平面4CE；

（2）求证：平面E/4C1平面BDEF

⑶求几何体4BCDEF的体积.

20.如图，圆超*：短!-©,扑:礴冢#/1-:耶(小碱=龈

(I)若圆四与寓轴相切，求圆密的方程；

(口)已知油打，圆C与富轴相交于两点幽谶(点缠在点翻的左侧).过点麻任作一条直线与圆瀚:

•/年/=4相交于两点留图.问：是否存在实数谢，使得必赢理二出爨然1?若存在，求出实

数湖的值，若不存在，请说明理由.

21.已知函数f(x)=x+^+2b,函数y=x/(x)在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数，且/(2)=p

(1)求a,b的值；

(2)若不等式/(29一k.2,20在x6[—1,1]上恒成立，求实数k的取值范围；

(3)若/(|2丫-1|)+上高-3k=0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围.

I1-*-1

22.已知椭圆C：?+?=l(a>b>0)左焦点为Fi(-LO)，经过点F1的直线I与圆F?：(x-I)2+y2=

8相交于P,Q两点，M是线段PF2与。的公共点，且=

(1)求椭圆C的方程.

(2)1与C的交点为4,B,且4恰为线段PQ的中点，求AABF2的面积.

参考答案及解析

I.答案：D

解析：

本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，特称命题的否定形式，复合命题的判断，以及

否命题的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

4/(0)=0推不出函数“X)是奇函数，举例判断即可：

B.利用特称命题的否定是全称命题判断即可；

C.若pAq为假命题，则p,q至少一个为假命题，即可判断出真假；

。.利用否命题的定义即可判断出真假.

解：A./(0)=0推不出函数/(x)是奇函数，例如/Q)=%2；函数/'(%)是奇函数，例如/(x)=则/'(0)

无意义，

因此.“/(0)=0”是“函数"X)是奇函数”的既不充分也不必要条件，不正确；

B.若p：mx()6R,诏—X。-1>0,则-VxeR，x2—x-1<0,因此不正确；

C.若p/\q为假命题，则p,q至少一个为假命题，因此不正确；

D.“若a=%则cosa=钉的否命题是"若a*p则cosa*尹，正确.

故选：D.

2.答案：C

解析：

如图所示：分别取CG、BC、AB.441、4劣的中点G、H、M、夕】2cl

N、K,并连同点E顺次链接，%"二

根据EG为△GCD1的中位线，可得EG〃CD「而CD""/,二当仔F/'JG

网…%\

・••u平面力EGC平面&BG，;EG〃平面&BCi.-----\'ll/

同理可证，GH、HM、MN、NK、KE都平行于平面4BG，

由题意可得，点尸的轨迹为正六边形EGHMNK,该该正六边形AMB

EGHMNK的边长为VL

故该正六边形EGHMNK的面积为6••V2-V2-s讥60。)=3色,

故选：c.

分别取CC1、BC、AB,4%、&D1的中点G、H、M、N、K,并连同点E顺次链接，根据题意可得点

产的轨迹为正六边形EGHMNK,该该正六边形EGHMNK的边长为鱼，由此求得该正六边形EGHMNK

的面积.

本题主要考查棱柱的结构特征，直线和平面平行的判定定理的应用，属于中档题.

3.答案:D

解析：解：根据直线方程的点斜式可得，y-l=-2(x-2)gp2x+y-5=0.

故选：D.

根据直线方程的点斜式即可求解.

本题主要考查了直线方程的点斜式，属于基础试题.

4.答案:C

解析：

本题考查二面角、椭圆的定义、轨迹方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化

归与转化思想，属于难题.

由题设条件将点P到平面48C距离与到点V的距离相等转化成在面UBC中点P到V的距离与到定直线

BC的距离比是一个常数，依据圆锥曲线的第二定义判断出其轨迹的形状.

解：,••正四面体U—HBC

••・面UBC不垂直面4BC,过P作PD1面4BC于D,过。作D”_LBC于H,连接PH,

B

可得BC1面。PH,PHu面DPH,所以BC1PH,

故NPHO为二面角U-BC-4的平面角，令其为。

则RtAPOH中，\PD\：|PH|=s讥。(。为V-BC-4的二面角的大小).

又点P到平面ZBC距离与到点V的距离相等，即|PU|=\PD\

A\PV\,\PH\=sin0<lt即在平面UBC中，点P到定点P的距离与到定直线BC的距离之比是一个常

数si®

又在正四面体V-ABC,P-BC-4的二面角的大小。满足：Sin6=—<1,

3

由椭圆定义知P点轨迹为椭圆在面UBC内的一部分.

故选：C.

5.答案：A

解析：解：对于①：若两直线平行，则其斜率相等：也可能斜率不存在，故①错误；

②若两直线垂直，则其斜率之积为-1,当其中一条直线和x轴平行，另一条与y轴平行时，故②错

误；

③垂直于x轴的直线平行于y轴也可能为y轴，故③错误.

故选：A.

直接利用直线与直线的位置关系，直线垂直的充耍条件，直线平行的充要条件判断①②③的结论.

本题考查的知识要点：直线与直线的位置关系，直线垂直的充要条件，直线平行的充要条件，主要

考查学生对基础知识的理解，属于基础题.

6.答案：C

解析：解：TynxS+mx+n,

:.y'=3x2+m,

丫直线y=fcx+1与曲线y=/+mx+7i相切于点p(i,3),

/(l)=k=3+m,3=k+l=l+m+n,

解得？n=-1,n=3,

故选C.

求函数的导数，根据导数的几何意义，建立方程关系即可得到结论.

本题主要考查导数的几何意义，根据导数的切线斜率定义函数的导数，建立条件关系是解决本题的

关键.

7.答案：A

解析：试题分析：由就可纯|可知花激雅，数列是递增数列，所以.鼠的最小值为其，且.鼠无最大值；

反之当数列为常数列且各项均为正数时.鼠的最小值为其，且.鼠无最大值，但就可现|不成立，所以

前者是后者的充分不必要条件

考点：充分条件与必要条件

点评：若屏=＞舞则,锻是您的充分条件，曲是卸的必要条件

8.答案：D

解析：解：点4(1,0),8(-1,0),；.4B两点在%轴上，

由圆C：x2+y2-6x-8y+m=0,可知圆心(3,4),半径r—'25-

根据题意，圆C：/+,2-6%-8y+m=0上有且仅有一点P,向量得可•而=0，

可得，32+42=V25-771±1，

解得实数爪=9或一11,

故选：D.

由题意：A,B两点在x轴上，圆心(3,4),求出半径，利用圆C：£2+y2-6x-8y+m=0上有且仅

有一点P,使得可•丽=0，建立关系，求解沉即可.

本题考查了直线与圆的关系，动点的问题，向量的数量积的应用，考查转化思想以及计算能力，属

于中档题.

9.答案：A

解析：解：一个圆锥的母线［与底半径r满足"+，=5,

圆锥表面积为：S=7r(r2+1x2rx/)=—zr(r3—r2—5),

S'=-3nr2+2nr+5兀，令S'=0可得r=—1或r=|,

re(0,|),函数是增函数，r＞割寸，函数是减函数，

r=3时，函数取得最大值，此时彳=占7=*

5(3)

所以与底面所成的角的余弦值为：7.

4

故选：A.

利用已知条件求出圆锥的表面积，通过函数的导数求解函数的最大值，得到r,然后求解母线与底面

所成的角的余弦值.

本题考查直线与平面所成角的求法，函数的最值的求法，函数的导数的应用，考查转化思想以及计

算能力，是中档题.

10.答案:C

解析：解：由题意，北纬60度圈的周长为67TC7n,可知圆的半径为3,

半径与球的半径R夹角为60。，

圆心与球心连接垂直，可得地球仪的半径R==6,

cos60°

则地球仪的表面积S=4兀/?2=14471

故选：C.

由题意，北纬60度圈的周长为67rcm,可知圆的半径为3,半径与球的半径R夹角为60。，即可求解地

球仪的半径R,可得表面积.

本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养.

II.答案：A

解析：解：由题意可知过焦点的倾斜角为30。直线方程为y=

代入y2=2Px可得：x2—7px+y=0，

.rp2

Xi+%2=7p,xxx2=j

%=J(7p)2-4X?=4岛，

-\AB\-Jl+^|%i一肛|=竽X475P=12,

解得：P=|，

故选:A.

抛物线的方程可求得焦点坐标，进而根据斜率表示出直线的方程，与抛物线的方程联立消去y,进而

根据韦达定理表示出与+小和与不，进而利用配方法求得出-次1，利用弦长公式表示出4B的长求

得p.

本题主要考查了抛物线的简单性质.涉及直线与抛物线的关系时，往往是利用韦达定理设而不求.

12.答案：C

解析：解：设双曲线的方程为［—1=l(a,b>0),

a2b2v'

由题意知，AB=2a,

又中，BC=AB=2a,ABCA=30°,

可得4CBA=120°,

由题意可设C(2a,V5a)，

代入双曲线的方程可得与一当=1,

a2b2

即有Q=b,c=y/a24-b2=立a,

贝ije=-=V2.

a

故选：c.

设双曲线的方程为■-、=l(a,b>0),由题意知，AB=2a,运用等腰三角形的定义可得4CBA=

120°,运用三角函数的定义可设C(2a,旧a)，代入双曲线的方程，可得a=b,由a,b,c的关系和

离心率公式，计算即可得到所求值.

本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用等腰三角形的定义和三角函数的定义，运用点满足双曲

线的方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题.

13.答案：y=0

解析：解：函数/(x)=xe*-x的导数为/'(%)=(x+l)e*-1,

可得/(x)在x=0处的切线斜率为k=e。-1=0,

切点为(0,0),

所以函数/'(x)=xex一%在刀=。处的切线方程为y=0.

故答案为：y=0.

求得/(x)的导数，由导数的几何意义将x=0代入可得切线的斜率，求得切点，即可得到所求切线的

方程.

本题考查导数的运用：求切线的方程，以及直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础

题.

14.答案：|兀

解析：解:由圆柱的侧面积为3兀，底面周长为2兀，

故圆柱的高九=|,

圆柱的底面半径r=l,

故圆柱的体积U=nr2h=|兀；

故答案为：|兀.

由已知中圆柱的侧面积为3兀，底面周长为2兀，求出圆柱的底面半径和高，代入圆柱体积公式，可得

答案.

本题考查的知识点是旋转体，圆柱的体积与面积公式，难度不大，属于基础题.

15.答案：总工程师

解析：解：由已知中某公司的组织结构图知，信息部被总工程师直接领导.

故答案为：总工程师.

根据己知中某公司的组织结构图，即可得到答案.

本题考查了结构图的应用问题，根据结构图，分析出父子节点之间的从属关系是解答的关键.

16.答案：（拳4）

解析：解：如图A,B分别在如图所示的实线运动，

由，y2_］得，抛物线f=4%与椭圆94-^=1

在第一象限的交点横坐标为|,

设4（石,%）,B（x2,y2）>

则0cxi<|,|<%2<2,

由可得，三角形4BN的周长I=|AN|+|AB|+|BN|

=+^+x2—x1+a—ex2

pl1

=-+a+-x2=3+-x2,

•­,-<x<2,

3/2

一<3H—Xy<4,

32z

故答案为：(果4).

可考虑用抛物线的焦半径公式和椭圆的焦半径公式来做，先通过联立抛物线与椭圆方程，求出4B

点的横坐标范围，再利用焦半径公式转换为以B点的横坐标为参数的式子，再根据前面求出的B点横

坐标范围计算即可.

本题考查了抛物线与椭圆焦半径公式的应用，做题时要善于把未知转化为己知.

17.答案：解：若p为真，由a>：,且。力1,

y=ax-3在定义域内是单调递增的，

而/Q)是减函数，则0<2a-l<l,即：<a<l；

若q为真，则x+|x-可-220恒成立.

记h(x)=x+|x—可一2,则/i(x)=~a

所以九(x)的最小值为a—2,故a22；

于是"p或q"为真时，之<a<1或a>2.

解析：对于命题：利用复合函数、一次函数、对数函数的单调性即可得出Q的范围；对于q为真，则

%+—a|-220恒成立.记九(x)=x+—2,则九(%)=『二°2,x‘°,即可得出.

本题考查了对数函数单调性、分段函数求最值、命题的真假，考查了推理能力与计算能力，属于中

档题.

18.答案：解：(1)填写列联表如图.

有接触史无接触史总计

有武汉旅行史81624

无武汉旅行史16824

总计242448

有武汉旅行史与有确诊病例接触史的概率P=2g

486

(2)由(1)表格中的数据可得K2的观测值k=48X(8X8-16X16)^16。5333>5924.

24x24x24x243

・•・能在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为有武汉旅行史与有确诊病例接触史有关系.

解析：(1)由表格中的已知数据求解未知数据并填写列联表，再由古典概型概率公式求有武汉旅行史

与有确诊病例接触史的概率.

(2)求出K2的观测值k,与临界值表比较得结论.

本题考查独立性检验，考查古典概率及其概率的求法，考查计算能力，是基础题.

19.答案：(1)证明：记AC与BD的交点为。，则。。=8。=?8£»,

接E。，

•••EF//BDAEF=海,

EF//BOS.EF=BO,则四边形EFB。是平行四边形，

ABF//EO,

又「EOu面ACE,BFC面4CE,

•••BF〃平面4CE；

(2)证明：vED，平面ABC。，ACu平面4BC0,二ED1AC.

•••ABCD为正方形，［BD1AC,

又£7)nBD=D,,••4C1平面BDEF,

又4cu平面E4C,二平面E4c_L平面BOEF；

⑶解：•••EO1平面48C0,EDLBD,

又：EF//BDHEF=\BD,：.BDEF是直角梯形，

又2BCD是边长为2的正方形，BD=2V2,EF=V2.

•••梯形BDEF的面积为也等区=当,

由（1）知4c_L平面BDEF,

二几何体的体积匕BCDEF=25-BDEF=2X-SBDEF-AO=2x-x-j-xV2=2.

解析：⑴记4c与BD的交点为。，则。。=8。=”。，连接E0,则可证出四边形EFB。是平行四边

形，从而BF〃EO,最后结合线面平行的判定定理，可得8/7/平面4CE；

（2）利用面面垂直的判定定理证明平面E4C，平面BDEF；

（3）利用条件公式求几何体的条件.

本题以一个特殊多面体为例，考查了线面平行的判定定理、面面垂直的判定理、空间几何体的体积，

要求熟练掌握相应的判定定理，属于中档题.

20.答案：（1）6-雪潟也产一般普』=孰（U）存在物，=如使得幽辎瞬二出崩酎.

解析：试题分析：（I）由圆好与富轴相切，可知圆心的纵坐标的绝对值与半径相等.故先将圆掇的方

程化成标准方程为：i鼠:-----।"1®--1i=--------।带一一硼，由i一।=5--------।篝——嫡求

\%S>4E%,鬟/4

得物，=11.即可得到所求圆◎的方程为：■短一既*--,岁g=1如（D）先解出翻谶两点的坐标，要

使得盘毓幽爆黯修，则可以得到：酮2s勰的"■，=《：》,无居翻掰，若设副国j,礴,躅。搂■，那

么有：，避！一=二如，结合直线与圆的方程去探讨可得存在和=巾，使得陷您就=也攀检.

缴一时僦一；猫

试题解析：（I）圆鸳：3F-磔#礴冢#9*-：^^TT僦=胡化成标准方程为:

、&>\邕/\公/

若圆四与溪轴相切，那么有:

f-f=5-解得知=11，故所求圆修•的方程为：•姆一事K小龄?一般普为=或.

k翳/4

（口）令朋=帆得/51—0带城虹:寻薪二财，

即K宴:一骐需_礴=®

所以.撇鲍谈昭峰

假设存在实数幽，

当直线4B与寓轴不垂直时，设直线力B的方程为展=凝审-事,

代入/**./=4得，低^财产-篮％:需汰?一q=购，

.^-4

设感片4爆频频"“蜷*从而畅出为=

期g-冢码一礴开就7翻!一嘲

窜时一：硬温―：磁

痴-癌

W?

因为总统窗一£鳞例，所以朴上一=1®,即望二厚=蒯，得地

同一胡一斓'：lttV

当直线AB与富轴垂直时，也成立.

故存在油，=率，使得应MW=4骤雨.

考点：直线与圆的位置关系.

21.答案：解：(1)丫y=xf(x)=/+。+2bx在(0,1)上减函数,

在(1,2)上是增函数，故对称轴x=-b=1,.••b=-1,

又/⑵=$二2+'+2b=5：.a=1；

(2)由己知可得/(x)=尤+：—2,

所以“2力一k•2*20可化为乎+支一22k,2L

2

化为1+(/)-2-^>fc，

令t=±,则1W仲-2t+1,

因xG[—1,1],故tG[5,2],记/i(t)=t2—2t+1,

因为故/l(t)min=O，

所以上的取值范围是(—8,0]；

(3)由题意xKO,原方程可化为

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