2021-2022学年陕西省商洛市丹凤县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年陕西省商洛市丹凤县九年级第一学期期末数学试

卷

一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分。每小题只有一个选项是符合题意的）

1.方程/-4=0的解为（）

A.x=2B.x=-2C.xi=0,X2=2D.XI=2,XI=-2

2.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

3.下列事件中，属于不可能事件的是（）

A.投一次骰子，向上一面的点数是6

B.明天太阳从西边升起

C.射击运动员射击一次，命中靶心

D.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯

4.已知AABC和△£>£下的相似比为1：2,若BC=2,则BC的对应边

EF的长是（）

A.1B.2C.3D.4

5.已知反比例函数>=匚乜的图象位于第一、三象限，则”的取值范围是（）

X

A.n>2B.n>-2C.n<2D.n<.-2

6.若。。的内接正“边形的边长与。。的半径相等，则〃的值为（）

A.4B.5C.6D.7

7.如图，点。、E分别在AC、AB±,ZAED=ZC,JiBC=2DE,则S四边影BEOC：S&ABC

的值为（)

A

C.2：3D.1：2

8.已知二次函数y=or2+bx+c(a#0)的部分对应值如表:

X…-3-20135

・・・

y70-8-9-57

同学们讨论得出了下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x=2；③

当-2<x<4时,yVO；④x=3是方程ax2+bx+c+5=O的一个根.其中正确的结论有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题(共5小题，每小题3分，计15分)

9.将抛物线y=N向下平移3个单位长度，所得到的抛物线解析式为.

10.一个扇形的半径为4,圆心角为90°,则此扇形的弧长为.

11.如图，直线〃〃匕〃c,直线/k/2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点£>、E、F.若

AB：8c=1：2,DE=3,则OF的长为

12.如图，点A在反比例函数丫=区(k#0)的图象上，A8垂直x轴于点8,若△AO8的

x

13.如图，矩形中，AB=2,BC=3,分别以A、。为圆心，1为半径画圆，E、/分

别是OA、。。上的一动点，P是BC边上的一动点，则PE+PF的最小值是

AD

三、解答题（共13小题，计79分•解答应写出过程）

14.解方程：/+4无-2=0.

15.已知正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=K（攵声0）的图象有一个交点的纵坐标

x

是2.

（1）求反比例函数的解析式;

（2）试判断点8（-2,1）是否在反比例函数图象上，并说明理由.

16.如图，在aABC中，ZBAC=90°,请用尺规作图法作经过A、B、C三点的00.（不

写作法，保留作图痕迹）

（M?+3）x+3=0有两个相等的实数根.求相的值.

18.一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系为

y=-景，当水面的宽度A8为16米时，求水面离桥拱顶的高度OC的长.

19.已知：四边形ABC。的两条对角线相交于点P,ZADB^ZBCA.

求证：XABPs&DCP.

20.一个不透明的袋子中，装有2个红球，3个绿球，〃个白球，这些球除颜色外都相同.搅

匀后，从袋中随机摸出一个球，记录其颜色后放回；搅匀后，再从袋中随机摸出一个球,

记录其颜色后放回，…，经过大量重复该试验，发现摸到绿球的频率值稳定于0.2,求〃

的值.

21.如图，甲、乙两楼楼顶上的点A和点E与地面上的点C这三点在同一条直线上，点B、

。分别在点E、A的正下方且£＞、B、C三点在同一条直线上，B、C相距50米，D、C

相距80米，乙楼高8E为2。米，求甲楼高AD.

22.如图，为某公园“水上滑梯”的侧面图，建立如图的平面直角坐标系，其中BC段可看

成是反比例函数图象的一部分，矩形AOEB为向上攀爬的梯子，已知OA=5米，AB=2

米，出口C点距水面的距离C£＞为1米，求2、C之间的水平距离。E的长.

23.如图，在正方形网格中（每个小正方形的边长都是1个单位长度）建立平面直角坐标系,

△ABC的三个顶点的坐标分别为4(1,-2),B(4,-1),C(3,-3).

(1)以坐标原点。为旋转中心，将AABC逆时针旋转90°,得到△48C”作出△43G；

(2)以坐标原点。为位似中心，相似比为2,在第二象限内将△ABC放大，放大后得到

△A2B2C2作出△AB2c2,并写出点C的对应点Ci的坐标.

24.为了控制新冠肺炎在人群中的流行，提高人群的免疫力，人们积极参与新冠疫苗的接

种.某医院随机分配甲、乙两名医务工作者到A、8、C三个接种点支援新冠疫苗的接种

工作.

(1)将甲随机分配到A接种点的概率是；

(2)请用列表或者画树状图的方法，计算将甲、乙两人随机分配到同一个接种点的概率.

25.如图，AC是。。的直径，BC是。0的弦，点尸是。0外一点，连接PB、AB,NPBA

=ZC.

(1)求证：PB是的切线；

(2)连接OP,若。尸〃BC,且。P=8,。。的半径为2&,求BC的长.

26.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线丫=以2+法-8(aHO)与x轴交于A,B两点,

与y轴交于点C,直线/经过坐标原点0,与抛物线的一个交点为。，与抛物线的对称轴

交于点E,连接CE,已知点4,£＞的坐标分别为(-2,0),(6,-8).

(1)求抛物线的函数解析式；

(2)试探究抛物线上是否存在点尸，使AFOE注AFCE?若存在，请求出点尸的坐标;

若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分。每小题只有一个选项是符合题意的）

1.方程*2-4=0的解为（）

A.x=2B.x=-2C.xi=0,X2=2D.XI=2,X2=-2

【分析】利用直接开平方法求解即可.

解：Vx2-4=0,

.•.N=4,

♦♦Xi=2,X2~-2,

故选：D.

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方

法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的

方法是解题的关键.

2.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

解：4是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

C.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；

D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意.

故选：C.

【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称

轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图

重合.

3.下列事件中，属于不可能事件的是（）

A.投一次骰子，向上一面的点数是6

B.明天太阳从西边升起

C.射击运动员射击一次，命中靶心

D.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯

【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可.

解：4、投一次骰子，向上一面的点数是6,是随机事件，不符合题意；

8、明天太阳从西边升起，是不可能事件，符合题意；

C、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，不符合题意；

。、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意；

故选：B.

【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条

件下，一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事

件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.

4.已知凡△ABC和△DE尸的相似比为1：2,若BC=2,则BC的对应边

EF的长是（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】直接利用相似三角形的性质得出EF的长.

解：,：/\ABC^/\DEF,相似比为1：2,

.BC1

••,

EF2

,:BC=2,

：.EF=4.

故选：D.

【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出对应边的比值是解题关键.

5.己知反比例函数丫=二工的图象位于第一、三象限，则〃的取值范围是（）

X

A.n>2B.n>-2C.n<2D.-2

【分析】根据题意列出关于〃的不等式，求出〃的取值范围即可.

解：由题意得，n-2>0,解得">2.

故选：A.

【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数y=a（k#0）的图象是双曲

x

线，当k>0,双曲线的两支分别位于第一、第三象限是解题的关键.

6.若。。的内接正〃边形的边长与。0的半径相等，则〃的值为（）

A.4B.5C.6D.7

【分析】因为。。的半径与这个正"边形的边长相等，推出这个多边形的中心角=60。，

构建方程即可解决问题.

解：：OO的半径与这个正〃边形的边长相等，

这个多边形的中心角=60°,

.,.n=6,

故选：C.

【点评】本题考查正多边形与圆，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识

解决问题，属于中考常考题型.

7.如图，点。、E分别在AC、A8上，NAED=NC,且BC=2£>E,则S四边彩阻心SAABC

的值为（）

【分析】利用两角相等的两个三角形相似可得△AEOsaACB,然后利用相似三角形的

性质进行计算即可解答.

解：VZAED^ZC,=

二△AEDs/MCB,

•：BC=2DE,

2

.^AADE__（•2=（A）=—,

SAABCBC24

S四边彩BEDC：S&ABC—3：4,

故选：B.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解

题的关键.

8.已知二次函数yuo^+bx+c（aWO）的部分对应值如表：

x…-3-20135…

y…70-8-9-57…

同学们讨论得出了下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x=2；③

当-2<x<4时,y<0；④x=3是方程ox2+/>x+c+5=0的一个根.其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】①在对称轴的右侧，随x的增大而增大，即可求解；

②根据表格中数据的对称性即可求解；

③根据函数的对称性，则》=4时-，），=0,即可求解；

④根据表格中数据即可得出结论.

解：；x=-3时，y=7,x=5时，y=7,

函数的对称轴为直线x=g&=l,在对称轴的右侧，y随尤的增大而增大，故抛物线

的开口向上，

故①正确，符合题意；②错误，不合题意；

,当x=-2时，y=0,根据函数的对称性，贝!]x=4时，y=0,

故当-2<尤<4时，y<0,

故③正确，符合题意；

；由表格知，当x=3时，y=-5,即ac2+fer+c+5=0,

则x=3是方程ax2+bx+c+5=0的一个根，

故④正确，符合题意.

故选：C.

【点评】本题考查了二次函数的最值，抛物线与x轴的交点，仔细分析表格数据，熟练

掌握二次函数的性质是解题的关键.

二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）

9.将抛物线y=N向下平移3个单位长度，所得到的抛物线解析式为y=N-3.

【分析】根据图象的平移规律，可得答案.

解：将抛物线y=N向下平移3个单位长度，所得到的抛物线解析式为y=N-3.

故答案是：y=x2-3.

【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减.并

用规律求函数解析式.

10.一个扇形的半径为4,圆心角为90°,则此扇形的弧长为2n.

【分析】根据弧长的计算公式直接解答即可.

9

解：扇形弧长为：°：工”4=2加

180

故答案为：27r.

【点评】本题考查了弧长的计算，熟记弧长的计算公式即可.

11.如图，直线a〃6〃c,直线/1、/2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点。、E、F.若

A8：BC=1：2,DE=3,则OF的长为9.

［分析］根据平行线分线段成比例定理即可解决问题.

解：•直线a〃b〃c,

ABJDE>即4=9，

BCEF2EF

尸=6,

DF=EF+DE=6+3=9,

故答案为：9.

【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中

考常考题型.

12.如图，点A在反比例函数y=K(k#0)的图象上，AB垂直x轴于点B,若AAOB的

X

面积为点则k的值为-1.

【分析】由△AOB的面积为微，利用反比例函数系数4的几何意义可求出k=±l,再结

合反比例函数的图象在第二、四象限，即可确定k的值.

解：依题意得：/固=*，

±1.

又・・,反比例函数的图象在第二、四象限，

:.k=-1.

故答案为：-1.

【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义以及反比例函数的性质，牢记“在反

比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角

形的面积是•!伙I”是解题的关键.

13.如图，矩形A8C。中，AB=2,BC=3,分别以A、。为圆心，1为半径画圆，E、F分

别是。A、0。上的一动点，尸是BC边上的一动点，则PE+尸。的最小值是3.

【分析】以8c为轴作矩形A8C。的对称图形A'BCD'以及对称圆A',连接FE'并

延长到点A交2C于点尸，则E'F就是PE+PF最小值；根据勾股定理求得A'。的长，

即可求得PE+P尸最小值.

解：如图，以BC为轴作矩形ABC。的对称图形4'BCD'以及对称圆A',连接A'。

交8c于P,则FE'就是PE+尸尸的最小值；

•.•矩形ABC。中，AB=2,BC=3,圆A、。的半径为1,

D'=BC=3,DD'=2£>C=4,AE'=1,DF=\,

.♦.A'D=5,

：.FE'=5-1-1=3,

：.PE+PF=PE'+PF=FE'=3,

故答案为：3.

【点评】本题考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理的应用等，作出对称图形是解决

本题的关键.

三、解答题（共13小题，计79分.解答应写出过程）

14.解方程：x2+4x-2=0.

【分析】先移项，得X2+4X=2,再在两边同时加上22,再利用开平方法即可解出原方程.

解：移项，得x?+4x=2,

两边同加上22,得炉+4尤+22=2+22,

即（x+2）2=6,

利用开平方法，得x+2=&或x+2=-J^，

原方程的根是XI=-2+&,X2=-2-V6.

【点评】本题主要考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，

难度适中.

15.已知正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=K（%#0）的图象有一个交点的纵坐标

X

是2.

(1)求反比例函数的解析式；

(2)试判断点8(-2,1)是否在反比例函数图象上，并说明理由.

【分析】(1)由y=2x可求出交点横坐标，再由解得坐标的坐标可求出反比例函数的解

析式.

(2)把点B的坐标代入反比例函数解析式即可判断.

解：(1)由题意得：2=2%,

解得x=l,

将x=l代入y=区得：2=2

x

反比例函数解析式为y=2；

x

(2)点8(-2,1)不在反比例函数图象上，理由如下：

9

当x=-2时，y=F=-1，

...点3(-2,1)不在反比例函数图象上.

【点评】本题考查待定系数法求函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函

数图象上点的坐标特征，求得反比例函数的解析式是解题的关键.

16.如图，在△ABC中，/A4C=90°,请用尺规作图法作经过A、B、C三点的。。.(不

写作法，保留作图痕迹)

【分析】作BC的垂直平分线得到BC的中点0,然后以。点为圆心，0B为半径作圆即

可.

解：如图，。0为所作.

【点评】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,

结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了三角形的外

接圆.

17.已知关于x的一元二次方程"2X2-(机+3)x+3=0有两个相等的实数根.求相的值.

【分析】根据方程的系数，结合根的判别式△=按-4知=0,即可得出关于机的方程，

解之即可得出，〃的值.

解：•••关于x的一元二次方程的2一(m+3)x+3=0有两个相等的实数根，

△=h2-4ac—(m+3)2-l2m=0,

解得：，*I=，〃2=3,

I"的值为3.

【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当A=0时，方程有两个相等的实数根”是解题

的关键.

18.一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系为

y=-3N,当水面的宽度AB为16米时，求水面离桥拱顶的高度0C的长.

【分析】根据题意，把x=8直接代入解析式即可解答.

解：•.•水面的宽度AB为16米

的横坐标为8,

把x=8代入y=-亲N,

得y=-4,

：.B(8,-4),

/.0C=4m.

...水面离桥拱顶的高度0C为4/».

【点评】此题考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的待定系数法和联系实际是解

决问题的关键.

19.已知：四边形ABC。的两条对角线相交于点P,ZADB=ZBCA.

求证：AABPs^DCP.

D.

C

【分析】先根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△APOsaBPC,则空

CP

黑，根据比例性质得塔=黑，加上/OPC=ZAPB,于是可根据两组对应边的比相等

BPArBP

且夹角对应相等的两个三角形相似即可得到结论.

【解答】证明：VZADB=ZBCA,

：.4APDs丛BPC,

.DP=^

.DP=CP

"AP-BP'

•：ZDPC=ZAPB,

：./\ABP^/\DCP.

【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三

角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似.

20.一个不透明的袋子中，装有2个红球，3个绿球，〃个白球，这些球除颜色外都相同.搅

匀后，从袋中随机摸出一个球，记录其颜色后放回；搅匀后，再从袋中随机摸出一个球,

记录其颜色后放回，…，经过大量重复该试验，发现摸到绿球的频率值稳定于02求"

的值.

【分析】根据绿球的频率稳定在0.2附近得到绿球的概率约为0.2,根据绿球个数确定出

总个数，进而确定出白球个数.

解：根据题意得:3=0.2,

3+2+n

解得：77=10,

经检验"=10是原方程的解，

则n的值为10.

【点评】此题考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是了解绿球的频率稳定在0.2

附近即为概率约为0.2.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

21.如图，甲、乙两楼楼顶上的点A和点E与地面上的点C这三点在同一条直线上，点8、

。分别在点E、A的正下方且£＞、B、C三点在同一条直线上，B、C相距50米，D、C

相距80米，乙楼高BE为20米，求甲楼高4D

【分析】由题可知，A。和BE平行，得出△EBCs/vlOC,根据对应边成比例列式求解

即可.

解：-JBE//AD,

：./\EBC^/\ADC,

•坦=弛=毁="

••而一而一函一T

.\AD=—B£=—X20=32(米)：

55

答：甲楼高AQ为32米.

【点评】本题考查相似三角形性质的应用.解题时关键是找出相似的三角形，然后根据

对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题.

22.如图，为某公园''水上滑梯”的侧面图，建立如图的平面直角坐标系，其中8c段可看

成是反比例函数图象的一部分，矩形AOEB为向上攀爬的梯子，已知OA=5米，AB=2

米，出口C点距水面的距离为1米，求8、C之间的水平距离CE的长.

【分析】根据矩形的性质得到BE=O4=5,A8=2,求得B(2,5),设双曲线BC的解

析式为y=K,得到上=10,于是得到结论.

X

解：•・,四边形A0E8是矩形，

：.BE=OA=5,AB=2f

：.B(2,5),

设双曲线BC的解析式为y=区,

x

，k=10,

■:CD为1,

当y—1时，X—10,

...DE的长=10-2=8(/«),

答：B、C之间的水平距离。E的长8米.

【点评】本题考查了反比例函数的应用，矩形的性质，掌握的识别图形是解题的关键.

23.如图，在正方形网格中(每个小正方形的边长都是1个单位长度)建立平面直角坐标系,

△A8C的三个顶点的坐标分别为A(1,-2),8(4,-1),C(3,-3).

yA

(1)以坐标原点。为旋转中心，将△ABC逆时针旋转90°,得到△4BC”作出山iG；

(2)以坐标原点。为位似中心，相似比为2,在第二象限内将△4BC放大，放大后得到

△A2&C2作出AAzB2c2,并写出点C的对应点C2的坐标.

【分析】(1)直接利用旋转的性质得出对应点位置，进而得出答案；

(2)直接利用位似图形的性质得出对应点位置，进而得出答案.

解：(1)如图，即为所求；

（2）如图,282c2即为所求，

点C的对应点Ci的坐标为（-6,6）.

【点评】此题主要考查了位似变换以及旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键.

24.为了控制新冠肺炎在人群中的流行，提高人群的免疫力，人们积极参与新冠疫苗的接

种.某医院随机分配甲、乙两名医务工作者到A、&C三个接种点支援新冠疫苗的接种

工作.

（1）将甲随机分配到A接种点的概率是《；

（2）请用列表或者画树状图的方法，计算将甲、乙两人随机分配到同一个接种点的概率.

【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；

（2）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据

概率公式即可得出答案.

解：（1）由题意知，共有3种等可能的情况，所以将甲随机分配到A接种点的概率是5.

故答案为：2；

3

（2）根据题意画图如下:

开始

共有9种等可能的情况数，其中甲、乙两人随机分配到同一个接种点的有3种，

则甲、乙两人随机分配到同一个接种点的概率是

【点评】此题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出

所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用

到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

25.如图，AC是。。的直径，BC是。0的弦，点P是。。外一点，连接P&AB,NPBA

="

(1