2022-2023学年广东省梅州市梅县区东山学校九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省梅州市梅县区东山学校九年级第一学期期

末数学试卷

一、单选题（共30分）

1.如图是某兴趣社制作的模型，则从左面看到的图形为（）

2.下列各式中，y是尤的二次函数的是（）

A.yN3xB.y=x2+(3-x)x

C.y=(x-1)2D.y—ax-+bx+c

3.下列方程中，①2x2-1=0,②办2+云+°=0,③(x+2)(x-3)=x2-3,@2x2-

■—■=0>⑤x?-^*=5,一■兀二次方程的有()

x2

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.若一元二次方程N-MV+3=0有两个不相等的实数根，则根的值可以是（）

A.1B.2C.3D.4

5.张华同学的身高为1.6米，某一时刻他在阳光下的影长为2米，同时与他邻近的一棵树

的影长为6米，则这棵树的高为（）

A.3.2米B.4.8米C.5.2米D.5.6米

6.下列四组线段中，不成比例的是（）

A.3,9,2,6B.1,如,近,娓C.1,2,3,9D.1,2,4,8

7.已知点C是线段A8的黄金分割点，MBOAC,若48=2,则8C的值为（）

A.3-75B.1+75C.V5-1D-V5-2

8.已知一次函数yi=kx+b与反比例函数丫2=上在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，

x

则当时，尤的取值范围是（)

A.x<-1或0<x<3B.-1<无<0或x>3

C.-1<尤<0D.x>3

9.正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）

A.四边相等B.对角线相等

C.对角相等D.对角线互相垂直

10.如图是一张矩形纸片A2CZ）,点E,G分别在边8C,A2上，把△£＞（7£沿直线。E折叠,

使点C落在对角线8。上的点尸处；把△ZMG沿直线DG折叠，使点A落在线段。尸上

的点反处，HF=1,BF=8,则矩形ABC。的面积为（）

A.420B.360C.420&D.360\f2

二、填空题（共28分）

11.抛物线y=-（尤+2）2-3的顶点坐标是.

12.已知两个相似多边形的周长比为1：2,它们的面积和为100,则较小多边形的面积

是

13.如图，AD//BE//CF,直线展/2与这三条直线分别交于点A、B、C和。、E、F,若

AB=6,8C=3,DF=12,则DE的长为

14.某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把坡角由37。减至30°,己知原楼梯长为5米,

Q

则调整后的楼梯会加长_______米.(参考数据：sin37。^4,cos37°-告A，tan37。-

55

15.若反比例函数)=上(kWO)的图象经过点(1,-3)，则一次函数>=丘-左(女W0)

x

的图象经过象限.

16.如图，点P在反比例函数y=K(x<0)的图象上，过点尸作轴于点PN±y

x

轴于点N,若矩形PMON的面积为3,则左的值为.

==

17.如图，已知A5=AiB,A\B\—A1A2,A2B2A2A3JA3&=A3A4,.......,-iBn-1An-iA^

66°

(〃22且〃为整数)，若NB=48°,则NA2022A202382022的度数为.(A./口21；

66°48°48°

BCD

-2202222022-22021)

18.计算题：&cos45°+|1-V3I-(-J)°-tan60°+(n-2022)°=.

iY+2

19.先化简，再求值：(1--二)一，其中x=2时，结果=

2

x+3X-9

20.将二次函数y=a(x-/z)2+4先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得

到二次函数y=-2(x+3)2+1的图象，贝1］。=,h=，k=.

21.王师傅开车带着儿子去参观我省举办的“喜迎二十大•奋进新征程一一乡村振兴成果展”,

他的车前有两辆车即将行驶到有信号灯的路口，该路口的信号灯分别为：直行、左转和

右转.王师傅给儿子提出下列两个问题，请你帮助王师傅的儿子解答:

(1)在我们车前面的第一辆车直行的概率是

A.—

2

a1

D.一

3

C.—

6

D.—

9

（2）在我们车前面的两辆车向同一个方向行驶的概率是

A.—

2

D〃.一1

3

C.—

6

D.—

9

4.■♦个?

22.由于新冠疫情的影响，口罩需求量急剧上升，经过连续两次价格的上调，口罩的价格由

每包10元涨到了每包16.9元.

（1）这两次价格上调的平均增长率是%;

（2）在有关部门大力调控下，口罩价格还是降到了每包10元，而且调查发现，定价为

每包10元时，一天可以卖出30包，每降价1元，可以多卖出5包.当销售额为315元

时，且让顾客获得更大的优惠，应该降价元.

23.如图，四边形中，AB=CD,AD=BC,对角线相交于点。，且OA=OD

（1）以上条件可证明四边形ABCD是形;

(2)若AO=5,60°,则

24.如图，在平面直角坐标系中,直线y=ax-3〃（〃W0）与x轴、y轴分别相交于A、B

两点，与双曲线y=K（%>0）的一个交点为C且3C=/AC.

x

(1)写出点A的坐标;

(2)当SAA(?C=3时，a=和k=

25.综合与探究

(1)如图1,在正方形A8C。中，点E,尸分别在边BC,C。上，且请直接

写出线段AE与8尸的数量关系.

【类比探究】

(2)如图2,在矩形A8CD中，A8=3,AO=5,点E,尸分别在边3C,上，且AE

，2尸，请写出线段AE与的数量关系AE：BF=；

【拓展延伸】

(3)如图3,在Rt^ABC中，ZABC=90°,。为BC中点，连接A。，过点8作BE,

A。于点F,交AC于点E,若AB=3,BC=4,则17丁石85=.

图1图2图3

参考答案

一、单选题(共30分)

1.如图是某兴趣社制作的模型，则从左面看到的图形为()

【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案.

解：图中所小模型的左视图如图：

故选：D.

【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图，注意中间看

不到的线用虚线表示.

2.下列各式中，)是1的二次函数的是()

A.y23xB.y=N+(3-x)x

C.y=(x-1)2D.y=QN+Zzx+c

【分析】根据二次函数的定义逐项分析即可，二次函数的定义：一般地，形如>=以2+法+。

(。、b、。是常数，的函数，叫做二次函数.

解：A.是不等式，故该选项不符合题意；

222

B.y=x+(3-x)x=x+3x-x=3xf是一次函数，故该选项不符合题意；

C.y=(x-1)2,是二次函数，故该选项正确，符合题意；

D,y=aN+/?x+c,当。=0时，不是二次函数，故该选项不符合题意.

故选：C.

【点评】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键.

3.下列方程中，①2N-1=0,②QN+^X+CUO,(3)(x+2)(x-3)=x2-3,④2/-

—=0>⑤x"-^"=5,一兀二次方程的有（）

x2

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】一元二次方程必须满足三个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系

数不为0；（3）整式方程.

解：①2N-1=0符合一元二次方程的定义，故符合题意；

②ar2+6x+c=0中，当。=0时，它不是一元二次方程，故不符合题意；

③由（x+2）（x-3）=N-3得到：-x-3=0,属于一元一次方程，故不符合题意；

2

@2x-A=0不是整式方程，故不符合题意；

x

⑤N-1=5符合一元二次方程的定义，故符合题意.

所以是一元二次方程的有2个.

故选：B.

【点评】本题利用了一元二次方程的概念.只有一个未知数且未知数最高次数为2的整

式方程叫做一元二次方程，一般形式是"2+云+'=0（0#0）.特别要注意。力0的条件.这

是在做题过程中容易忽视的知识点.

4.若一元二次方程N-3+3=0有两个不相等的实数根，则根的值可以是（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】根据方程的系数结合根的判别式A〉。，可得出关于相的不等式，解之即可得出

机的取值范围，在机的范围内选一个即可.

解：•.•一元二次方程尤2-3+3=0有两个不相等的实数根，

；.△=（-机）2-4XlX3>0,

解得：相>2我或m<-273

取机=4,

故选：D.

【点评】本题考查了根的判别式，熟记“当方程有两个不相等的实数根，则△>（）”是解

题的关键.

5.张华同学的身高为1.6米，某一时刻他在阳光下的影长为2米，同时与他邻近的一棵树

的影长为6米，则这棵树的高为（）

A.3.2米B.4.8米C.5.2米D.5.6米

【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个问题物体，影子，经过物

体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似.

解：据相同时刻的物高与影长成比例，

设这棵树的高度为X7”,

则可列比例为，共芸，

26

解得，x=4.8.

故选：B.

【点评】本题主要考查同一时刻物高和影长成正比，考查利用所学知识解决实际问题的

能力.

6.下列四组线段中，不成比例的是（）

A.3,9,2,6B.1,如,&C.1,2,3,9D.1,2,4,8

【分析】根据比例线段的性质即可判定.

解：A、3X6=9X2,故A不符合题意；

1X76=V3XV2，故8不符合题意；

C、1X9W2X3,故C符合题意；

。、1X8=2X4,故。不符合题意，

故选：C.

【点评】本题考查了比例线段的性质，熟练掌握比例线段的性质是解题的关键.

7.已知点C是线段A8的黄金分割点，MBOAC,若AB=2,则8C的值为（）

A.3-75B.1+75C.V5-1D.V5-2

【分析】利用黄金分割的定义，进行计算即可解答.

解：：点C是线段A8的黄金分割点，MBOAC,AB=2,

：.BC=-1AB=2/ZzlX2=-1,

22

故选：c.

【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键.

8.已知一次函数yi=kx+b与反比例函数丫2=上在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，

X

则当时，x的取值范围是（)

A.x<-l或0cx<3B.-l<x<0或x>3

C.-1<尤<0D.尤>3

【分析】根据图象知，两个函数的图象的交点是（-1,3）,（3,-1）.由图象可以

直接写出当”>>2时所对应的x的取值范围.

解：根据图象知，一次函数yi=^+b与反比例函数”=上的交点是（-1,3）,（3,-

x

1）,

，当”〉>2时，x<-l或0cx<3；

故选：A.

【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题.解答此题时，采用了“数

形结合”的数学思想.

9.正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）

A.四边相等B.对角线相等

C.对角相等D.对角线互相垂直

【分析】根据正方形的性质和菱形的性质，容易得出结论.

解：正方形的性质有：四条边相等；对角线互相垂直平分且相等；

菱形的性质有：四条边相等；对角线互相垂直平分；

因此正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等.

故选：B.

【点评】本题考查了正方形的性质、菱形的性质；熟练掌握正方形和菱形的性质是解决

问题的关键.

10.如图是一张矩形纸片ABCZ）,点E,G分别在边BC,AB±.,把△£>（7£沿直线。E折叠,

使点C落在对角线8。上的点尸处；把△D4G沿直线。G折叠，使点A落在线段。/上

的点X处，HF=1,BF=8,则矩形ABC。的面积为（

C.420V2D.360^2

【分析】由折叠的性质得FD=CD,设尤，则印）=x,得AB=C£）=x+l,

BD=x+9,再在RtZkABD中，由勾股定理得出方程，解方程，即可解决问题.

解：：四边形ABC。是矩形,

：.AB=CD,ZA=90°,

由折叠的性质得：HD=AD,FD=CD,

设AD=x,则HD=x,

：.AB=CD=FD=HD+HF=x+1,

:.BD=FD+BF=x+9,

在RtaAB。中，由勾股定理得：N+（x+1）2=（尤+9）2,

解得：尤=20或无=-4（舍去）,

：.AD^20,48=21,尤+9=29,

，矩形ABC。的面积=AZ>AB=20X21=420,

故选：A.

【点评】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握翻折

变换的性质和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键.

二、填空题（共28分）

11.抛物线y=-（x+2）2-3的顶点坐标是（-2,-3）.

【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标，从而得出

对称轴.

解：y=-（x+2）2-3是抛物线的顶点式，

根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（-2,-3）.

故答案为：（-2,-3）.

【点评】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y=a（x-〃）2+k,顶点

坐标是（〃，k）,对称轴是直线x=/z.

12.已知两个相似多边形的周长比为1：2,它们的面积和为100,则较小多边形的面积是

20.

【分析】根据相似多边形的性质可得，两个相似多边形的面积比为1：4,从而设设较小

多边形的面积为x,则较大多边形的面积为4x,然后根据它们的面积和为100,

列出关于x的方程，进行计算即可解答.

解：•••两个相似多边形的周长比为1：2,

两个相似多边形的面积比为1：4,

•••设较小多边形的面积为x,则较大多边形的面积为4x,

:它们的面积和为100,

.*.x+4x=100,

.,.x=20,

，较小多边形的面积是20,

故答案为：20.

【点评】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键.

13.如图，AD//BE//CF,直线从/2与这三条直线分别交于点A、B、C和。、E、F,若

AB=6,BC=3,DF=12,则DE的长为8

绘染，再求出DE的长即可.

ACDF

解：-：AD//BE//CF,

.AB=DE

"AC-DF，

,：AB=6,8C=3,DF=U,

6DE

:.DE=8,

故答案为：8.

【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例得出正确的比

例式是解题的关键.

14.某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把坡角由37。减至30°,己知原楼梯长为5米,

则调整后的楼梯会加长1米.（参考数据：sin370心称，cos37°弋金，tan37°仁9）

554

【分析】根据正弦的定义求出AC,再根据含30°角的直角三角形的性质求出AO,得到

答案.

解：在RtZ\A8C中，ZACB=90°,ZABC=37°,A8=5米，

t.r

VsinZABC=—,

AB

9

.\AC=AB«sinZABC««5X—=3（米），

5

在RtZXADC中，ZACB=90°,ZADC=30°,

则AO=2AC=6米，

...调整后的楼梯增加的长度为：6-5=1（米），

故答案为：1.

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义

是解题的关键.

15.若反比例函数y=K（ANO）的图象经过点（1,-3）,则一次函数y=fcr-左（左W0）

x

的图象经过一、二、四象限.

【分析】由题意知，k=ix（-3）=-3<o,所以一次函数解析式为y=-3尤+3,根据

k,b的值判断一次函数y=依-左的图象经过的象限.

解：•.•反比例函数>=上（20）的图象经过点（1,-3）,

x

：.k=lX（-3）=-3<0,

一次函数解析式为>=-3尤+3,根据公b的值得出图象经过一、二、四象限.

故答案为：一、二、四.

【点评】本题考查了一次函数的性质及利用待定系数法求反比例函数的解析式，其中利

用的知识点：（1）用待定系数法确定反比例函数的％的值；（2）对于一次函数

如果上<0,b>0,那么图象经过一、二、四象限.

IT

16.如图，点P在反比例函数>=主（尤<0）的图象上，过点P作PM_Lx轴于点M,PN±y

x

轴于点N,若矩形PMON的面积为3,则4的值为-3.

【分析】直接根据反比例函数上的几何意义即可求解.

解：•.•矩形PMON的面积为3,

川=3,

.•.仁±3.

:该反比例函数图象在第二象限，

：.k<Q,

:.k=-3.

故答案为：-3.

【点评】本题考查反比例函数左的几何意义.掌握反比例函数图象上的任意一点作无轴、

y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为人的绝对值是解题关键.

17.如图，已知AB=AiB,A\B\—A\A?,,A2B2—A2A3,A3B3—A3A4,.....,An-iBn-i—An-iAn

66°

（"22且〃为整数），若/B=48°,则NA2022A2023&022的度数为B.

66°48°48°

BCD

-,?2022-22022-O2021）

【分析】根据等腰三角形的性质可得NA4出的度数,根据三角形外角的性质可得ZAIA2BI

的度数，同理可得NAM3&的度数，找出等腰三角形底角的规律，即可求出NA2022A2023&022

的度数.

解：-：AB^AiB,ZB=48°,

/.ZAAiB=(180°-48°)4-2=66°,

VAIBI=AIA2,

ZA1AB1=——=33°，

22

66

同理可得NA2A3&=-9~'

22

.66°

..NA2022A2023&022=「20'?2，

故答案为：B.

【点评】本题考查了等腰三角形与规律的结合，三角形外角的性质等，熟练掌握等腰三

角形的性质是解题的关键.

三、解答题(共62分)

18.计算题：J^cos45°+|1--/3I-(-°-tan60°+(TT-2022)°—0.

【分析】利用特殊角的三角函数值，二次根式的性质，绝对值的意义和零指数塞的性质

化简运算即可.

解：原式=6x^-+V3-1-1-V3+I

=1+^3-1-1-愿+1

=0.

故答案为：0.

【点评】本题主要考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，二次根式的性质，绝对值

的意义和零指数哥的性质，正确利用上述法则与性质解答是解题的关键.

1x+2

19.先化简，再求值：(1+二一，其中尤=2时，结果=-1.

2

x+3X-9-----------

【分析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算

乘法，最后代入求出答案即可.

x+3-l一(x+3)(x-3)

x+3x+2

—x+2一(x+3)(x-3)

x+3x+2

=x-3,

当x=2时，原式=2-3=-1,

故答案为：-1.

【点评】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的

关键.

20.将二次函数y=a(x-h)2+左先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得

到二次函数y=-2(x+3)2+1的图象，则a=-2,h—-1,k=-2

【分析】根据“上加下减，左加右减”的平移规律写出平移后抛物线解析式，然后写出

对应的服〃、上的值.

解：将二次函数y=a(x-h)2+左先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度,

得到二次函数(x-/z+2)2+Z+3的图象，即(x-/z+2)2+fc+3=-2(%+3)2+l,

所以。=-2,-/?+2=3,k+3—1.

所以a=-2,h=-1,k=-2.

故答案是：-2；-1；-2.

【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右

减，上加下减.并用规律求函数解析式.

21.王师傅开车带着儿子去参观我省举办的“喜迎二十大•奋进新征程一一乡村振兴成果展”,

他的车前有两辆车即将行驶到有信号灯的路口，该路口的信号灯分别为：直行、左转和

右转.王师傅给儿子提出下列两个问题，请你帮助王师傅的儿子解答:

(1)在我们车前面的第一辆车直行的概率是B

A.—

2

a1

D.一

3

C.—

6

D.—

9

(2)在我们车前面的两辆车向同一个方向行驶的概率是B

A.—

2

D〃.一1

3

C.—

6

D.—

9

<•♦个》

【分析】（1）用1除以3即得；

（2）列表解答，第一辆车填表的竖列直、右、左，第二辆车填表的横行直、右、左，列

出向各个方向行驶的所有等可能结果，查出两辆车向同一方向行驶的所有可能结果，代

入概率公式计算.

解：⑴P（直行）《.

故选：B.

（2）根据题意，列表如下:

二直右左

直（直，直）（直，右）（直，左）

右（右，直）（右，右）（右，左）

左（左，直）（左，右）（左，左）

由表格可知，共有9种等可能的结果，其中，两辆车向同一方向行驶的结果有3种，分

别是（直，直），（右，右）和（左，左），

•D且」

••F（两车向同一方向行驶）节而，

故选：B.

【点评】本题主要考查了概率，解决问题的关键是熟练掌握概率是定义和计算公式.

22.由于新冠疫情的影响，口罩需求量急剧上升，经过连续两次价格的上调，口罩的价格由

每包10元涨到了每包16.9元.

（1）这两次价格上调的平均增长率是30%；

（2）在有关部门大力调控下，口罩价格还是降到了每包10元，而且调查发现，定价为

每包10元时，一天可以卖出30包，每降价1元，可以多卖出5包.当销售额为315元

时，且让顾客获得更大的优惠，应该降价3元.

【分析】（1）设这两次价格上调的平均增长率为无，利用经过两次上调价格后的价格=

原价X（1+这两次价格上调的平均增长率）2,即可得出关于x的一元二次方程，解之取

其正值即可得出结论；

（2）设每包应该降价m元，则每包的售价为（10-机）元，每天可售出（30+5机）包，

根据每天该口罩的销售额为315元，即可得出关于根的一元二次方程，解之即可得出相

的值，再结合要让顾客获得更大的优惠，即可得出每包应该降价3元.

解：（1）设这两次价格上调的平均增长率为羽

依题意得：10（1+无）2=16.9,

解得：尤1=0.3=30%,无2=-2.3（不符合题意，舍去）.

答：这两次价格上调的平均增长率为30%.

故答案为：30；

）设每包应该降价机元，则每包的售价为（10-m）元，每天可售出（30+5加）包，

依题意得：（10（30+5m）=315,

整理得：m2-4m+3=0,

解得：=1112=3.

又V要让顾客获得更大的优惠，

.•.他的值为3.

答：每包应该降价3元.

故答案为：3.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解

题的关键.

23.如图，四边形ABC。中，AB=CD,AD=BC,对角线相交于点O,且。4=OD

（1）以上条件可证明四边形A3。是矩形;

（2）若AO=5,ZAOD=60°,则B£>=10.

【分析】（1）先利用平行四边形的判定可证四边形ABC。是平行四边形，从而可得AC

=2AO,BD=2DO,进而可得然后利用矩形的判定即可解答；

（2）根据已知易得△AOD是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得。。=4。=5,

从而可得8。=2。。=10,即可解答.

解：（1）以上条件可证明四边形A8C。是矩形，

理由：'：AB=CD,AD=BC,

，四边形ABCD是平行四边形,

：.AC=2AO,BD=2DO,

-CAO^DO,

：.AC=DB,

，平行四边形ABC。是矩形，

故答案为：矩；

(2)-：OA^OD,NAO£)=60°,

.•.△49。是等边三角形，

：.DO=AD^5,

：.BD=2DO=10,

故答案为：10.

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握平行四边

形的判定与性质，以及矩形的判定与性质是解题的关键.

24.如图，在平面直角坐标系中，直线y=ax-3a(aWO)与x轴、y轴分别相交于A、B

两点，与双曲线y=K(尤＞0)的一个交点为C,且BC=%C.

x2

(1)写出点A的坐标；

(2)当SZ\A0C=3时，。=-1和％=2.

【分析】(1)令(〃W0)中y=0即可求出点A的坐标；

(2)过。点作y轴的垂线交y轴于M点，作％轴的垂线交x轴于N点，证明△BCAfs

△BAO,利用BC卷AC和。4=3进而求出CM的长，再由SAAOC=3求出CN的长，进而

求出点C坐标即可求解.

解：(1)由题意得：令(〃70)中y=0,

即〃x-3〃=0,解得x=3,

...点A的坐标为(3,0),

故答案为：(3,0).

(2)过C点作y轴的垂线交y轴于M点，作x轴的垂线交x轴于N点，如下图所示:

：.ZBCM=ZBAO,且

；ABCMs4BAO,

.BCCM0n1CM

BAAO33

：.CM=1,

又S/uoc比A・CN=3,

即：yX3XCN=3，

；.CN=2,