【新人教版高中数学选择性必修第一册课时作业】空间向量与垂直关系

空间向量与垂直关系

（45分钟100分）

一、选择题（每小题6分，共30分）

1.已知平面a的一个法向量为a=（x,1,-2）,直线/的一个方向向量为n=（；y,-l）,

2

若"a,则（）

A.x+2y=-4B.x+y=3

C.x+2y=-D.x+y=-

7

2.已知平面a与B的一个法向量分别是a=（x,2,2）,b=（l,3,y）,若a，B,且

a|二2«6,则y=（）

A.-5B.-1C.4或-4D.-5或T

3.（2013•青岛高二检测）在长方体ABCD-AiBiCD中,AB=AAi=l,BC=4,点E是DA

的中点，设F在BC上,若DEXBF,则BF=（）

A.4B.2C.1D.-

2

4.如图，四边形ABCD为正方形，PDL平面ABCD,PD〃C

QA,QA=AB=iPD,则平面PQC与平面DCQ的位置关系为

2

A.平行B.垂直

C.相交但不垂直D.位置关系不确定

5.（2013•聊城高二检测）在直三棱柱ABC-ABCI中,AB=AC=AAi,ABJ_AC,E是BC的

中点,则AiE与平面ABC的位置关系是（）

A.相交但不垂直B.AiE〃平面ABiCi

C.AFJ_平面ABCD.AiEu平面ABC

二、填空题（每小题8分，共24分）

6.平面a与平面B的法向量分别是m,n,直线I的方向向量是a,给出下列论断：

①皿〃nAa〃B；

②mJ_n>aJ_B;

③a_Lm=>/〃a；

@a//m今/_La.

其中正确的论断为（把你认为正确论断的序号填在横线上）.

7.（2013•四平高二检测）已知平面a内有一个点A（2,-l,2）,a的一个法向量为

n=（3,1,2）,则下列各点中，在平面a内的是（把正确的序号都填上）.

①B（l,1）;②C（1,3,-）;③口。,-3,三）3,-2）.

222

8.如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕,把4ABD与4ACD折成互相

垂直的两个平面后,有以下四个结论：

①BD•ACW0;

②NBAC=60°;

③三棱锥D-ABC是正三棱锥；

④平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直.

其中正确结论的序号是（请把正确结论的序号都填上）.

三、解答题（9题,10题14分,11题18分）

9.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形,PD，底面ABCD,AD=PD=1,

AB=2a(a>0),E,F分别为CD,PB的中点.求证:EF,平面PAB.

10.如图所示,在正方体ABCD-ABCD中,E,F分别是BB1,CD的中点,求证:

(1)AD±D1F.

(2)平面AEDL平面AFD1.

11.(能力挑战题)直三棱柱ABC-ABCi中，底面是以NABC为

直角的等腰直角三角形,AC=2a,BBk3a,D是AC的中点，在

线段AAi上是否存在点F,使CFL平面BiDF,若存在,求出AF

的长,若不存在，说明理由.

答案解析

1.【解析】选D.•:/_La,即a二入n,

(x,1,-2)=入(-,y,-1)

2

.x=N,0'=2'.3

]=\y解得，x=1,x+y--.

、-2=-％(7=，2

2.【解析】选D.由|a|=2旄,得X2+4+4=24,解得x=±4,

Va±3,Aa±b,Z.a•b=x+6+2y=0,

当x=4时，得y=-5;当x=-4时，得y=-1.

【误区警示】在求解本题的过程中，根据等量关系列出关系式后，切记一定不要

漏解.

3.【解析】选D.建立如图所示的空间直角坐标系

Axyz,则D(0,4,0),E(0,2,1),B(1,0,0),设点

F(1,a,1),则EE=(0,-2,1),BF=(0,a,1),

VDE±BF,ADE±BF,

ADE•BF=-2a+1=0,解得a=-,

即BF=±

2

4.【解析】选B.如图，以D为坐标原点，线段DA的

长为单位长度，射线DA为x轴的正半轴建立空间直

角坐标系Dxyz,

则D(0,0,0),Q(1,1,0),

0(0,0,1),P(0,2,0),

则DQ二(1,1,0),DO(0,0,1),PQ=(1,7,0).

因为n・DQ=0,PQ•DC=0,

所以PQJ_DQ,PQ±DC,又DQADC=D,

所以PQJ_平面DCQ.

又PQu平面PQC,

所以平面PQC_L平面DCQ.

5.［解析］选A.如图所示，建立直角坐标系Axyz,设AB=1,

则A(O,O,O),BM1,O,1),G(0,1,1),

AMO,0,1),E(%二,0),

0,1),A2LQ1,1),7),设平面

ABiCi的法向量为n=(x,y,z),

/ABi•〃=JT+N=0,

贝”一

(ACj•〃=N+N=0,

令Z=-1,则x=y=1，故n=(1,1,T),

，A】E・nHO,故AE与平面ABC不平行，又:A】E与n不共线，故AE与平面

ABG不垂直，即NE与平面ABG相交但不垂直.

6•【解析】①错误，因为a与！3可能重合，③错误，因为/与a除/〃a夕卜，还可能

有/uQ.显然，②④正确.

答案:②④

7.【解析】AB=(-1,0,-1),AC=(-1,4,,AD=(-1,-2,-i),AE=(-3,4,,

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VAC•n=0,

AC_Ln,故C£a.

答案:②

8.【解析】①平面ABDJ_平面ACD,BD_LAD,

，BD_L平面ACD,.*.BD±AC,ABD•AC=O,故①不正确.

②AD;BD=CD,且ZADB=ZADC=ZBDC,

AABD,AACD,ABCD是全等三角形,

.,.AB=AC=BC,ZBAC=60°，故②正确.

③由②可知AB=AC=BC,DA=DB=DC,

三棱锥D-ABC是正三棱锥，故③正确.

④建立空间直角坐标系，如图所示，设DA=DB=DC=1,

则A(0,0,1),B(1,0,0),

C(0,1,0),可求出平面ADC的法向量是nF(1,0,0),

平面ABC的法向量是n2=(1,1,1),.*.ni•n2=1+0+0=1

H0,故④不正确.

答案：②③

9.【证明】建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,

AD=1,PD=1,AB=2a(a>0),则E(a,0,0),A(0,1,0),

B(2a,1,0),

P(0,0,1),F(a二二)，得(0「「)，

PB=(2a,1,-1),AB=(2a,0,0).

由印•晶二(0」」)•(2a,0,0)=0,

得诈_LAB,即EF±AB,

同理EF_LPB,又ABAPB二B,

所以，EF_L平面PAB.

10.【证明】建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,设正

方体的棱长为1,则A(0,0,0),D(0,1,0),

E(1,0「)，F(3I,0),»(0,1,1).

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(1)因为AD=(0,1,0),D1产(g0,-1),所以AD・DiF=O,所以AD_LD〔F,即AD±D,F.

⑵因为*=(1,0「)，所以AE・DTF=--—0,所以AEJ_D；F,所以AE±DE由(1)知

AD±D1F,又ADAAE二A,所以DF，平面AED.

又DFu平面AFDi,所以平面AED_L平面AF».

11.【解题指南】假设存在点F,利用CF_L平面BQF列出方程求AF.

【解析】以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz,则

C(0,V2a,0),B,(0,0,3a),D(―,—a,3a).

假设存在F点，使CF_L平面BQF.不妨设AF=b,

则F(V2a,0,b),CF=