2019年湖北省宜昌市中考数学试卷（解析版）

2019年湖北省宜昌市中考数学试卷

一.选择题（下列各小题中，只有一个选项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位置填

涂符合要求的选项前的字母代号，每题3分，计45分）

1.（3分）（2019•宜昌）-66的相反数是（）

A.-66B.66C.工D.

6666

【考点】14：相反数.

【专题】511：实数.

【分析】直接利用相反数的定义得出答案.

【解答】解：-66的相反数是66.

故选：B.

【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键.

2.（3分）（2019•宜昌）如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是（）

智B.慧'▼

日

【考点】P3：轴对称图形.

【专题】558：平移、旋转与对称.

【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

【解答】解：4不是轴对称图形，故本选项错误；

8、不是轴对称图形，故本选项错误；

C、不是轴对称图形，故本选项错误；

。、是轴对称图形，故本选项正确.

故选：D.

【点评】本题考查了轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分

折叠后可重合.

3.（3分）（2019•宜昌）如图，A,B,C,。是数轴上的四个点，其中最适合表示无理数n

的点是（）

4।।号।if।P।>

-2-101234

A.点AB.点8C.点CD.点£）

【考点】26：无理数；29：实数与数轴.

【专题】511：实数.

【分析】能够估算无理数TT的范围，结合数轴找到点即可.

【解答】解：因为无理数TT大于3,在数轴上表示大于3的点为点D；

故选：D.

【点评】本题考查无理数和数轴的关系；能够准确估算无理数TT的范围是解题的关键.

4.（3分）（2019•宜昌）如图所示的几何体的主视图是（）

【考点】U2：简单组合体的三视图.

【专题】55F：投影与视图.

【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案.

【解答】解：从正面看易得左边比右边高出一个台阶，故选项。符合题意.

故选：D.

【点评】本题考查了简单组合体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图.

5.（3分）（2019•宜昌）在纳木错开展的第二次青藏高原综合科学考查研究中，我国自主研

发的系留浮空器于5月23日凌晨达到海拔7003米的高度.这一高度也是已知的同类型

同量级浮空器驻空高度的世界纪录.数据7003用科学记数法表示为（）

A.0.7X104B.70.03X102C.7.003X103D.7.003X104

【考点】II:科学记数法一表示较大的数.

【专题】511：实数.

【分析】科学记数法的表示形式为aXIO"的形式，其中lW|a|<10,n为整数.确定n

的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值>10时，〃是正数；当原数的绝对值<1时，"是负数.

【解答】解：将7003用科学记数法表示为：7.003X103.

故选：C.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为aX10"的形式，其

中lW|a|<10,”为整数，表示时•关键要正确确定a的值以及〃的值.

6.（3分）（2019•宜昌）如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的

两条平行对边上，若/a=135°,则等于（）

A.45°B.60°C.75°D.85°

【考点】JA：平行线的性质.

【专题】551：线段、角、相交线与平行线.

【分析】直接利用平行线的性质以及三角形的性质进而得出答案.

【解答】解：由题意可得：..•/a=135°,

；./1=45°，

.1.Zp=180°-45°-60°=75°.

故选：C.

【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确得出N1的度数是解题关键.

7.（3分）（2019•宜昌）下列计算正确的是（）

A.3ab-2ab=1B.（3a2）2—9（/C.o64-a2=a3D.3a2,2a—6a2

【考点】35：合并同类项；47：暴的乘方与积的乘方；48：同底数癌的除法；49：单项

式乘单项式.

【专题】512：整式.

【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幕的乘除运算法则分别化简得出答案.

【解答】解：A、3ab-2ab—ab,故此选项错误；

B、（3a2）2—9a4,正确；

C、a6-v-cr—a4,故此选项错误；

D、3a2,2a—6a3,故此选项错误.

故选：B.

【点评】此题主要考查了合并同类项以及同底数幕的乘除运算，正确掌握相关运算法则

是解题关键.

8.（3分）（2019•宜昌）李大伯前年在驻村扶贫工作队的帮助下种了一片果林，今年收货一

批成熟的果子.他选取了5棵果树，采摘后分别称重.每棵果树果子总质量（单位：kg）

分别为：90,100,120,110,80.这五个数据的中位数是（）

A.120B.110C.100D.90

【考点】W4：中位数.

【专题】541：数据的收集与整理.

【分析】直接利用中位数的求法进而得出答案.

【解答】解：90,100,120,110,80,从小到大排列为：80,90,100,110,120,

则这五个数据的中位数是：100.

故选：C.

【点评】此题主要考查了中位数，正确把握中位数的定义是解题关键.

9.（3分）（2019•宜昌）化简（x-3）2-x（x-6）的结果为（）

A.6x-9B.-12%+9C.9D.3x+9

【考点】4A：单项式乘多项式；4C：完全平方公式.

【专题】512：整式.

【分析】直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式运算法则化简得出答案.

【解答】解：原式=7-6x+9-JT+6X

=9.

故选：C.

【点评】此题主要考查了完全平方公式以及单项式乘以多项式运算，正确掌握相关运算

法则是解题关键.

10.（3分）（2019•宜昌）通过如下尺规作图，能确定点。是8C边中点的是（）

【考点】N3：作图一复杂作图.

【专题】13：作图题.

【分析】作线段的垂直平分线可得线段的中点.

【解答】解：作线段BC的垂直平分线可得线段8c的中点.

由此可知：选项A符合条件，

故选：A.

【点评】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常

考题型.

11.（3分）（2019•宜昌）如图，在5X4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1,△

4BC的顶点都在这些小正方形的顶点上，贝I]sin/BAC的值为（）

A.AB.』C.金D..1

3455

【考点】T7：解直角三角形.

【专题】55E：解直角三角形及其应用.

【分析】过C作CDLA8于。，首先根据勾股定理求出AC,然后在Rt^AC。中即可求

出sinZBAC的值.

【解答】解：如图，过C作CZ）_LAB于。，则NAZ）C=90°,

-'-AC=7AD2+CD2=7S2+42=5-

sinZBAC=-^5-=A.

AC5

故选：D.

【点评】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键.

12.（3分）（2019•宜昌）如图，点A,B,C均在O。上，当/OBC=40°时，NA的度数

【考点】M5：圆周角定理.

【专题】559：圆的有关概念及性质.

【分析】先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出/BOC的度数，然后根据圆周

角定理可得到/A的度数.

【解答】解：：O8=OC,

；./OCB=NOBC=40°,

：.ZBOC=180°-40°-40°=100°,

2

故选：A.

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都

等于这条弧所对的圆心角的一半.

13.（3分）（2019•宜昌）在“践行生态文明，你我一起行动”主题有奖竞赛活动中，903

班共设置“生态知识、生态技能、生态习惯、生态文化”四个类别的竞赛内容，如果参

赛同学抽到每一类别的可能性相同，那么小宇参赛时抽到“生态知识”的概率是（）

A.LB.LC.工D.

24816

【考点】X4：概率公式.

【专题】543：概率及其应用.

【分析】直接利用概率公式计算得出答案.

【解答】解：•••共设置"生态知识、生态技能、生态习惯、生态文化”四个类别的竞赛

内容，参赛同学抽到每一类别的可能性相同，

，小宇参赛时抽到“生态知识”的概率是：1.

4

故选：B.

【点评】此题主要考查了概率公式，正确掌握概率求法是解题关键.

14.（3分）（2019•宜昌）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角

形的三边求面积的公式，称为海伦-秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a,b,

C,记梦，那么三角形的面积为S={D（D-a）（D-b）（D-c）・如图，在△ABC中，

ZA,ZB,/C所对的边分别记为a,b,c,若a=5,b=6,c=7,则△ABC的面积为

（）

A.6^6B.6J3C.18D.1^.

2

【考点】io：数学常识；7B：二次根式的应用.

【专题】514：二次根式.

【分析】利用阅读材料，先计算出p的值，然后根据海伦公式计算△ABC的面积;

【解答】解：b=5,c=6.

.5+6+7=9,

2

：.AABC的面积S=，9X（9-5）x（9-6）X（9-7：=6遥;

故选：A.

【点评】考查了二次根式的应用，解题的关键是代入后正确的运算，难度不大.

15.（3分）（2019•宜昌）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半

轴上，ZAOB=ZB=3Q°,OA=2,将△AO8绕点。逆时针旋转90°，点8的对应点

A.（-1,2+后B.（-3）C.（-73，2+后D.（-3,如）

【考点】R7：坐标与图形变化-旋转.

【专题】531：平面直角坐标系.

【分析】如图，作/轴于解直角三角形求出夕H,08即可.

/.ZAZB'//=30°,

：.AH'B'=1,B'H=M，

2

：.OH=3,

：.B'（-M，3）,

故选:B.

【点评】本题考查坐标与图形变化-旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添

加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.

二.解答题（本大题共有9个小题，共75分）

22

16.（6分）（2019•宜昌）已知：xWy,y=-x+8,求代数式工-+E—的值.

x-yy-x

【考点】6B：分式的加减法.

【专题】513：分式.

【分析】先根据分式加减运算法则化简原式，再将y=-x+8代入计算可得.

【解答】解：原式=±1+3上=/上=正式=@+6Gn）=x+y，

x-yy-xx-yx-yx-yx-y

当无Wy,y=-尤+8时,

原式=x+（-x+8）=8.

【点评】本题主要考查分式的化简求值，分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，

代入，求值.许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想（即转化）、整体思想等,

了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助.就本节内容而言，分式

求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入求值；转化所求问题后将

条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值.

17.（6分）（2019•宜昌）解不等式组«,并求此不等式组的整数解.

3（X-4）<X+1

【考点】CB：解一元一次不等式组；CC：一元一次不等式组的整数解.

【专题】524：一元一次不等式（组）及应用.

【分析】首先求出不等式组中每一个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式

组的解集即可.

【解答】解：,，

3（x-£）<x+l②

LO

由①得：x>L,

3

由②得：x<4,

不等式组的解集为：l<x<4.

3

则该不等式组的整数解为：1、2、3.

【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同

小取小；大小小大中间找；大大小小找不到.

18.（7分）（2019•宜昌）如图，在△ABC中，。是8c边上的一点，AB=DB,BE平分/

ABC,交AC边于点E,连接。E.

(1)求证：△ABE附△QBE；

(2)若NA=100°，NC=50°,求NAEB的度数.

【考点】KD：全等三角形的判定与性质.

【专题】552：三角形；553：图形的全等.

【分析】（1）由角平分线定义得出NA8E=NZ）8E,由SAS证明△ABEgZkOBE即可；

（2）由三角形内角和定理得出NA8C=30°,由角平分线定义得出

2

A3C=15°,在△ABE中，由三角形内角和定理即可得出答案.

【解答】（1）证明：平分/ABC,

/ABE=ZDBE,

'AB=DB

在AABE和△DBE中，，ZABE=ZDBE，

BE=BE

:.AABE冬ADBE（SAS）；

（2）解：VZA=100°,ZC=50°,

ZABC=30°,

平分NABC,

/.ZABE=ZDBE=LZABC=15°，

2

在△ABE中，ZAEB=180°-ZA-ZABE=180°-100°-15°=65°.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形内角和定理；

熟练掌握三角形内角和定理和角平分线定义，证明三角形全等是解题的关键.

19.（7分）（2019•宜昌）《人民日报》点赞湖北宜昌“智慧停车平台”.作为“全国智慧城

市”试点，我市通过“互联网”、“大数据”等新科技，打造“智慧停车平台”，着力化解

城市“停车难”问题.市内某智慧公共停车场的收费标准是：停车不超过30分钟，不收

费；超过30分钟，不超过60分钟，计1小时，收费3元；超过1小时后，超过1小时

的部分按每小时2元收费（不足1小时，按1小时计）.

（1）填空：若市民张先生某次在该停车场停车2小时10分钟，应交停车费7元.若

李先生也在该停车场停车，支付停车费11元，则停车场按5小时（填整数）计时收

费.

（2）当尤取整数且时，求该停车场停车费y（单位：元）关于停车计时x（单位：

小时）的函数解析式.

【考点】FH：一次函数的应用.

【专题】533：一次函数及其应用.

【分析】（1）根据题意可知，停车2小时10分钟，则超出设计以2小时计算；支付停车

费11元，则超出时间为（11-3）+2=4（小时），所以停车场按5小时计时收费；

（2）根据题意即可得出停车场停车费y（单位：元）关于停车计时x（单位：小时）的

函数解析式.

【解答】解：（1）若市民张先生某次在该停车场停车2小时10分钟，应交停车费为：3+2

X2=7（元）；

若李先生也在该停车场停车，支付停车费11元，则超出时间为（11-3）+2=4（小时）,

所以停车场按5小时计时收费.

故答案为:7；5；

（2）当x取整数且时，该停车场停车费y（单位：元）关于停车计时无（单位：小

时）的函数解析式为：y=3+（2（x-1）,

即y=2x+l.

【点评】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是理解公共停车场的收费标准分

为规定时间的费用+超过规定时间的费用.

20.（8分）（2019•宜昌）某校在参加了宜昌市教育质量综合评价学业素养测试后，随机抽

取八年级部分学生，针对发展水平四个维度“阅读素养、数学素养、科学素养、人文素

养”，开展了“你最需要提升的学业素养”问卷调查（每名学生必选且只能选择一项）.小

明、小颖和小雯在协助老师进行统计后，有这样一段对话：

小明：“选科学素养和人文素养的同学分别为16人，12人.”

小颖：“选数学素养的同学比选阅读素养的同学少4人.”

小雯：“选科学素养的同学占样本总数的20%.”

（1）这次抽样调查了多少名学生？

（2）样本总数中，选“阅读素养”、“数学素养”的学生各多少人？

（3）如图是调查结果整理后绘制成的扇形图.请直接在横线上补全相关百分比；

(4)该校八年级有学生400人，请根据调查结果估计全年级选择“阅读素养”的学生有

多少人？

【考点】V2：全面调查与抽样调查；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图.

【专题】542：统计的应用.

【分析】(1)用选科学素养的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；

(2)设样本中选数学素养的同学数为无人，则选阅读素养的同学数为(x+4)人，列方

程x+x+4+16+12=80,然后解方程即可；

(3)分别计算出选数学素养、选阅读素养和选人文素养的百分比，然后补全扇形统计图；

(4)用400乘以样本中选择“阅读素养”的学生所占的百分比即可.

【解答】解：(1)164-20%=80,

所以这次抽样调查了80名学生；

(2)设样本中选数学素养的同学数为无人，则选阅读素养的同学数为(x+4)人，

x+x+4+16+12=80,解得x=24,

则x+4=28,

所以本总数中，选“阅读素养”的学生数为28人，选“数学素养”的学生数为24人；

(3)选数学素养的学生数所占的百分比为2±X100%=30%；

80

选阅读素养的学生数所占的百分比为毁X100%=35%；

80

选人文素养的学生数所占的百分比为丝义100%=15%；

80

如图,

(4)400X35%=140,

所以估计全年级选择“阅读素养”的学生有140人.

【点评】本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少

画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来.从条形图可以很容易看出

数据的大小，便于比较.也考查了扇形统计图.

21.(8分)(2019•宜昌)如图，点。是线段A8上一点，AH=3,以点。为圆心，的长

为半径作。。，过点H作A”的垂线交。。于C,N两点，点B在线段CN的延长线上，

连接A8交。。于点以A8,BC为边作。ABCD.

(1)求证：是。。的切线；

(2)若。"=工4”,求四边形A//C。与。。重叠部分的面积；

3

(3)若BN==,连接MN,求0H和MN的长.

34

【考点】MR：圆的综合题.

【专题】15：综合题.

【分析】(1)根据平行四边形的性质可知AO〃BC,证明OALA。，又因为OA为半径，

即可证明结论；

(2)利用锐角三角函数先求出/OCH=30°,再求出扇形。1C的面积，最后求出△OXC

的面积，两部分面积相加即为重叠部分面积；

(3)设。。半径。A=r=OC,OH=3-r,在Rt^OHC中，利用勾股定理求出半径r=

反，推出OH=鱼再在和RtA4CH中利用勾股定理分别求出AB,AC的长，

33

最后证△BMNs/XBCA,利用相似三角形对应边的比相等即可求出的长.

【解答】解：(1)证明：•••四边形A8C。是平行四边形，

：.AD//BC,

VZAHC=90°,

：.ZHAD=90°,BPOA±AD,

又为半径,

是。。的切线;

(2)解：如右图，连接OC,

-：OH=1.OA,AH=3,

2

：.OH^1,0A=2,

;在RtZkO/fC中，ZOHC=9Q°,OH=^OC,

2

：.ZOCH=30°,

NAOC=ZOHC+ZOCH^120°,

...S扇形。4c=120X71X22=",

3603

■:CH=\122T2=如,

.』OHC=LX1XA/3=&

22_

四边形ABCD与O。重叠部分的面积=SsjgOAC+SAOHC=-l-L+2Zl.；

32

(3)设O。半径OA=r=OC,OH=3-r,

在Rtz\O//C中，OH2+HC2^OC2,

：.(3-r)2+12=?,

r——,则OH——,

33

在RtaAB8中，A8=3,BH=A+1=X则

444

在Rt/XAC”中，AH=3,CH=NH=l,AC=V10-

在△BMN和△3CA中，

NB=NB,ZBMN=ZBCA,

:.ABNlNsABCA,

.-.OH=£,

33

【点评】本题考查了切线的判定定理，解直角三角形，扇形的面积与三角形的面积，勾

股定理，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，解题关键是要熟练各部分的内容，

对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来.

22.（10分）（2019•宜昌）"W公司2018年使用自主研发生产的“QL”系列甲、乙、丙三

类芯片共2800万块，生产了2800万部手机，其中乙类芯片的产量是甲类芯片的2倍，

丙类芯片的产量比甲、乙两类芯片产量的和还多400万块.这些“QL”芯片解决了该公

司2018年生产的全部手机所需芯片的10%.

（1）求2018年甲类芯片的产量;

（2）HW公司计划2020年生产的手机全部使用自主研发的“QL”系列芯片.从2019年

起逐年扩大“QL”芯片的产量，2019年、2020年这两年，甲类芯片每年的产量都比前

一年增长一个相同的百分数能％,乙类芯片的产量平均每年增长的百分数比加％小1,丙

类芯片的产量每年按相同的数量递增.2018年到2020年,丙类芯片三年的总产量达到1.44

亿块.这样，2020年的HW公司的手机产量比2018年全年的手机产量多10%,求丙类

芯片2020年的产量及m的值.

【考点】AD：一元二次方程的应用.

【专题】521：一次方程（组）及应用；523：一元二次方程及应用.

【分析】（1）设2018年甲类芯片的产量为x万块，由题意列出方程，解方程即可；

（2）2018年万块丙类芯片的产量为3x+400=1600万块，设丙类芯片的产量每年增加的

熟练为y万块，则1600+1600+y+1600+2y=14400,解得：＞=3200,得出丙类芯片2020

年的产量为1600+2X3200=8000万块，2018年"W公司手机产量为2800・10%=28000

万部，由题意得出400（1+m%）2+2X400（1+m%-1）2+8000=28000X（1+10%）,设

m°/0=t,化简得：3?+2r-56=0,解得：t=4,或（舍去），即可得出答案.

3

【解答】解：（1）设2018年甲类芯片的产量为尤万块，

由题意得：x+2x+（x+2无）+400=2800,

解得：尤=400；

答：2018年甲类芯片的产量为400万块；

（2）2018年万块丙类芯片的产量为3.r+400=1600万块，

设丙类芯片的产量每年增加的数量为y万块，

则1600+1600+v+1600+2j=14400,

解得：y=3200,

...丙类芯片2020年的产量为1600+2X3200=8000万块，

2018年HW公司手机产量为28004-10%=28000万部，

400（1+//7%）2+2X400（1+m%-1）2+8000=28000X（1+10%）,

设m%—t,

化简得：3?+2r-56=0,

解得：f=4,或2（舍去），

3

/.Z=4,

m%=4,

.*.m=400；

答：丙类芯片2020年的产量为8000万块，加=400.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用以及一元二次方程和一

元一次方程的解法；弄清数量关系列出方程是解题的关键.

23.（11分）（2019•宜昌）已知：在矩形ABC。中，E,P分别是边AB,上的点，过点

厂作斯的垂线交。C于点以EF为直径作半圆O.

（1）填空：点）在（填“在”或“不在”）OO上；当窟=品时，tan/AE歹的值是;

（2）如图1,在△EFH中,当尸时，求证：AD=AE+DH；

（3）如图2,当的顶点厂是边AD的中点时，求证：EH=AE+DH；

（4）如图3,点M在线段M的延长线上，若FM=FE,连接EM交。C于点N,连接

FN,当时，FN=4,HN=3,求tanNAEE的值.

【考点】MR：圆的综合题.

【专题】55C：与圆有关的计算.

【分析】(1)连接A。，NEAF=90°,。为所中点，所以4。=皂/，因此点A在。。

2

上，当AE=AF时，45°,tanZAEF=tan45°=1；

(2)证明得到AP=OH,AE=DF,所以AZ)=AF+OE=AE+OH；

(3)延长所交加的延长线于点G,先证明所以△OGF(ASA),所以AE=OG,

EF=FG,因为EF_LFG,所以EH=GH,GH=DH+DG=DH+AE,即E”=AE+Z)H；

(4)过点M作MQLAD于点0.设AP=x,AE=a,所以为等腰直角三角形，

NFEM=/FMN=45°,因止匕△AEFg/sQFM(ASA),AE=EQ=a,AF=QM,AE=AD,

AF=DQ=QM由八FEN〜丛HMN,得至lj、N=HN=x=3,所以十和/R昨的=乂=3.

EN-FN-a_4AE-a-4

【解答】解：(1)连接AO,

VZ£AF=90°,。为£产中点,

:.AO=LEF,

2

.•.点A在O。上，

当窟=品时，/&所=45°,

tanZAEF=tan45°=1,

故答案为：在，1;

(2)'：EF±FH,

：.ZEFH=90°,

在矩形ABCD中，ZA=ZD=90°,

ZAEF+ZAFE^9Q°,

ZAFE+ZDFH=90°,

/AEF=ZDFH,

又FE=FH,

：.AAEF^ADFH(A4S),

：.AF=DHfAE=DF,

：.AD=AF+DF=AE+DH；

(3)延长所交的延长线于点G,

・・,方分别是边A0上的中点，

：.AF=DF,

VZA=ZFDG=90°,NAFE=NDFG,

：.AAEF^ADGF(ASA),

：.AE=DG,EF=FG,

•；EF_LFH,

:.EH=GH,

：.GH=DH+DG=DH+AE,

：・EH=AE+DH；

(4)过点M作MQLA。于点Q.

•：FM=FEEF上FH,

・・・AEFM为等腰直角三角形,

：.NFEM=/FMN=45°,

•：FM=FE,

ZA=ZMQF=90°,

ZAEF=NMFQ,

：.AAEF^AQFM(ASA),

.\AE=EQ=a,AF—QM,

9：AE=AD,

AF=DQ=QM=x,

'JDC//QM,

...DQ二州二x,

••而而丁，

9：DC//AB//QM,

・MNJD二x,

"ENRAD^

.MNHM_x

,:FE=FM,

-MNHM_x；

/FEM=/FMN=45°,

AFEN〜AHMN,

-MN_HN_x_3

•„二工，

tanX

AEa4

【点评】本题考查了圆的综合知识，熟练运用相似三角形的判定与性质是解题的关键.

24.(12分)(2019•宜昌)在平面直角坐标系中，正方形ABC。的四个顶点坐标分别为A(-

2,4),8(-2,-2),C(4,-2),D(4,4).

(1)填空：正方形的面积为36；当双曲线y=K■(4#0)与正方形ABC。有四个交

x

点时，上的取值范围是：0<%<4或-8<左<0；

(2)已知抛物线乙：y=a(x-m)2+n(a>0)顶点P在边BC上，与边A8,DC分别

相交于点E，F,过点B的双曲线>=虫*W0)与边DC交于点N.

①点。(7"，-初2-2"+3)是平面内一动点，在抛物线Z,的运动过程中，点0随机运

动，分别切运动过程中点。在最高位置和最低位置时的坐标；

②当点尸在点N下方，AE=NF,点P不与B,C两点重合时，求巫-空的值;

BPCP

③求证：抛物线工与直线尤=1的交点M始终位于无轴下方.

【考点】HF：二次函数综合题.

【专题】534：反比例函数及其应用；535：二次函数图象及其性质；556：矩形菱形正

方形.

【分析】(1)求出正方形边长，数形结合求出左的范围；

(2)①由题意可知，-yQ=-m2-2m+3=-(m+l)2+4,分加=-l,m>

-1和m<-1分别讨论。点符合条件的坐标；

②点8(-2,-2)代入双曲线，可求女=4,N(4,1),由顶点尸(m,n)在边5C上，

求〃=-2,进而求出E(-2,。(-2-机)2-2),F(4,a(4-m)2-2),由BE=a

22

22K|

(-2-m),CF—a(4-m),-—-虱4-mJ,可求〃(m-1)

BPCPirrt-2in-4

=1,所以巫旦=L；

4BPCP2

③由题意得，M(1,a(1-m)2-2),yM=a(m-l)2-2(-2WmW4),当m=l时，

y”最小=-2,当m=-2或4时，yw最大=9〃-2,当m=4时，y=a(x-4)2-2,求

出尸(4,-2),E(-2,36〃-2)进而确定OV〃wL,ywW-—；同理m=-2时，y

62

=y=a(x+2)2-2,E(-2,-2),F(4,36〃-2),解得OVQWL,.

62

【解答】解：(1)由点A(-2,4),B(-2,-2)可知正方形的边长为6,

・,・正方形面积为36；

有四个交点时0(左<4或-S<k<0；

故答案为36,0〈左V4或-8<%<0；

(2)①由题意可知，-yQ=-m2-2m+3=-(m+l)2+4,

当m=-l,yQ最大=4,在运动过程中点。在最高位置时的坐标为(-1,4),

当小V-1时，随机的增大而增大，当m=-2时，>0最小=3,

当机>-1时，也随机的增大而减小，当机=4时，y0最小=-21,

・・・3>-21,

・・・y0最小=-21,点。在最低位置时的坐标(4,-21),

・••在运动过程中点。在最高位置时的坐标为(-1,4),最低位置时的坐标为(4,-21)；

②当双曲线y=k经过点2(-2,-2)时，k=4,

x

：.N(4,1),

:顶点P(m,力)在边BC上，

・・及=-2,

BP=m+2,CP=4-m,

:抛物线(x-m)2-2Q>0)与边A3、OC分别交于点E、F,

：.E(-2,a(-2-2-2),F(4,a(4-ZM)2-2),

:.BE=a(-2-77?)2,CF=a(4-m)2,

...BECF=a(-2-m)2_a(4-m)2

BPCPirrl-2m-4

.\a(m+2)-a(4-m)=2am-2a=2a(m-1),

・・・AE=NR点/在点N下方，

.*.6-tz(-2-m)2=3-a(4-m)2,

••12。(机-1)=3,

•\a(m-1),

4

•.B•—EC,F=，1”,.

BPCP2

③由题意得，M(l,a(\-m)2-2),

••yM=a(1-m)2-2(-2WnzW4),

即yM—a(m-1)2-2(-2WmW4),

V«>0,

・•・对应每一个〃(〃>0)值，当机=1时，最小=-2,

当m=-2或4时，yM最大=9〃-2,

当机=4时，y=a(x-4)2-2,

：.F(4,-2),E(-2,36。-2),

:点E在边AB上，且此时不与2重合，

-2<36a-2W4,

6

-2<9a-2W-L

2

.v1

2

同理m=-2时，y=y=a(无+2)2-2,

：.E(-2,-2),F(4,36a-2),

:点尸在边CO上，且此时不与c重合，

...-2<36a-2W4,

解得0<aWL

6

-2<9a-2W-工，

2

2

综上所述，抛物线工与直线尤=1的交点M始终位于x轴下方；

【点评】本题考查二次函数的图象及性质，反比例函数的图象及性质，是综合性较强的

题；熟练掌握二次函数的图象及性质，反比例函数的图象及性质，数形结合，分类讨论

是解题的关键.

考点卡片

1.相反数

（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数.

（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互

为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等.

（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“-”号结果为负，有偶数个“-”

号，结果为正.

（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“-如。的相反

数是-a,的相反数是-（m+n）,这时机+〃是一个整体，在整体前面添负号时，要用

小括号.

2.科学记数法一表示较大的数

（1）科学记数法：把一个大于10的数记成。义10"的形式，其中。是整数数位只有一位的

数，〃是正整数，这种记数法叫做科学记数法.【科学记数法形式：oXIO",其中lWa<10,

〃为正整数

（2）规律方法总结：

①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数

位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数加

②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用

此法表示，只是前面多一个负号.

3.数学常识

数学常识

此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解.比如给出一个物体的高度

要会选择它合适的单位长度等等.

平时要注意多观察，留意身边的小知识.

4.无理数

（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数.

说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数.如圆周

率、2的平方根等.

（2）、无理数与有理数的区别：

①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，

比如4=4.0,13=0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2=1.414213562.

②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能.

（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小

数，③含有R的数，如分数瓶是无理数，因为n是无理数.

无理数常见的三种类型

（1）开不尽的方根，如、历，如,相等.

（2）特定结构的无限不循环小数，

如0.303003000300003…（两个3之间依次多一个0）.

（3）含有7T的绝大部分数，如27T.

注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果.如后是有理数，而不是

无理数.

5.实数与数轴

（1）实数与数轴上的点是一一对应关系.

任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数.数轴

上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数.

（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数。

的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离.

（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左

边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小.

6.合并同类项

（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项.

（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不

变.

（3）合并同类项时要注意以下三点：

①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同

系数的代数项；字母和字母指数；

②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数

会减少，达到化简多项式的目的；

③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字

母和字母的指数不变.

7.塞的乘方与积的乘方

（1）哥的乘方法则：底数不变，指数相乘.

S）n=amn〃是正整数）

注意：①累的乘方的底数指的是暴的底数；②性质中“指数相乘”指的是塞的指数与乘方

的指数相乘，这里注意与同底数塞的乘法中“指数相加”的区别.

（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的事相乘.

（ab）（"是正整数）

注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据

乘方的意义，计算出最后的结果.

8.同底数暴的除法

同底数塞的除法法则：底数不变，指数相减.

0m+a"=amF（a60,m,〃是正整数，加＞〃）

①底数aWO,因为0不能做除数；

②单独的一个字母，其指数是1,而不是0；

③应用同底数幕除法的法则时，底数。可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是

什么，指数是什么.

9.单项式乘单项式

运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式

里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.

注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运

算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成

立.

10.单项式乘多项式

（1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的

每一项，再把所得的积相加.

（2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：

①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每

一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号.

11.完全平方公式

(1)完全平方公式：(。±6)2=(r±2ab+b2.

可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”.

(2)完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，

其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算

符号相同.

(3)应用完全平方公式时，要注意：①公式中的m6可是单项式，也可以是多项式；②

对形如两数和(或差)的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两

项看做一项后，也可以用完全平方公式.

12.分式的加减法

(1)同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.

(2)异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，

经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减.

说明：

①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是

多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘.

②通分是和约分是相反的一种变换.约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为

较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分

式变成分母相同的较复杂的形式.约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的

分式来说的.

13.二次根式的应用

把二次根式的运算与现实生活相联系,体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性,

不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力.

二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方

法.

14.一元二次方程的应用

1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列

方程的解，检验和作答.

2、列一元二次方程解应用题中常见问题：

（1）数字问题：个位数为。，十位数是6,则这个两位数表示为10b+a.

（2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量X100%.如：若原数是°,每次增长的百分率

为x,则第一次增长后为a（1+无）；第二次增长后为。（1+x）2,即原数X（1+增长百分率）

2=后来数.

（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长.②利用三角形、

矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程.③利用

相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方

程.

（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会

构成直角三角形，可运用直角三角形的性