2018届高考数学（理）一轮复习高频考点大突破学案：44 立体几何中的向量方法

专题44立体几何的向量方法

1.直线的方向向量与平面的法向量的确定

(1)直线的方向向量：/是空间一直线，A,B是直线/上任意两点，则称最为直线/的方向向量，与芯平行

的任意韭霎I包量也是直线1的方向向量.

(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a,6是平面a内两不共线向量，〃为平面a的法向量，则求法向

na—O,

量的方程组为

n-b=O.

2.用向量证明空间中的平行关系

(1)设直线/l和，2的方向向量分别为V|和V2，则/|〃/2(或/1与/2重合)=W〃也QU尸加2.

⑵设直线/的方向向量为〃与平面a共面的两个不共线向量的和P2,则/〃。或/ua=存在两个实数X,y,

使v=xv\+\V2-

(3)设直线/的方向向量为也平面。的法向量为〃，则/〃a或/ua=pL“<=>〃.u=O.

(4)设平面a和4的法向量分别为〃〃2，则a//Bn、"

3.用向量证明空间中的垂直关系

(1)设直线1\和，2的方向向量分别为V］和也，则l\±/2<=>V|±V2<=»VrV2—0.

(2)设直线/的方向向量为％平面Q的法向量为小则/_La<=>y〃〃0y=%.

(3)设平面a和4的法向量分别为i/i和"2，则a-1£0〃1，肛0〃「肛=0-

4.空间向量与空间角的关系

(1)设异面直线1A，12的方向向量分别为则/,与12所成的角0满足cos0=Icos〈皿，血〉|=意需.

(2)设直线/的方向向量和平面a的法向量分别为机，〃，则直线/与平面a所成角。满足sin。=皿3立

1一|向|"「

(3)求二面角的大小

(i)如图①，AB,8是二面角。一/一夕的两个面内与棱/垂直的直线，则二面角的大小6=〈茄，8)).

(ii)如图②③，"I，n2分别是二面角a-1-•4的两个半平面a,4的法向量，则二面角的大小。满足|cosa

=|cos〈〃”"2〉|,二面角的平面角大小是向量n\与M2的夹角(或其补角).

5.点面距的求法

->

如图，设A8为平面a的一条斜线段，”为平面a的法向量，则8到平面a的距离"=唔1.

高频考点一利用空间向量证明平行问题

【例1】如图所示，平面以。平面A8C£>,A8C£>为正方形，△用。是直角三角形，且以=A£>=2,E,

F,G分别是线段用，PD,CZ)的中点.求证：PB〃平面EFG

证明：平面以。，平面A8CD,且ABCO为正方形,

：.AB,AP,A。两两垂直.

以A为坐标原点，建立如右图所示的空间直角坐标系Am，z,则4(0,0,0),8(2,0,0),C(2,2,0),

£)(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(l,2,0).

法一：.EF^(0,1,0),EG=(1,2,-1),

设平面EFG的法向量为〃=(x,y,z),

n•赤=0,1y=0,

则彳即fn

If|x+2y-z=0,

Ln-cG—U,

令z=l,则〃=(1,0,1)为平面EFG的一个法向量,

・"3=(2,0,-2),

・・・而〃=0,：.nLPB,

*.•PBU面EFG,JPB〃平面EFG.

法二P5=(2,0,-2),FE=(0,-1,0),

FG=(b1,-1).

设法=s苴+f能

即(2,0,-2)=J(0,-1,0)+f(l,1,-1),

7=2,

.*.<t~s=0,解得s=r=2.，法=送+通，

-t=-2,

又•丹与两不共线，通，进与反共面.

,.,P5D平面EFG,：.PBH平面EFG.

规律方法(1)恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键.

(2)证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与

平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在

平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算.

【变式探究】如图，平面以C_L平面ABC,△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E,F,O分别为

PA,PB,AC的中点，AC=16,RA=PC=1O.

设G是OC的中点，证明：FG〃平面80E；

证明如图，连接OP,：B4=PC,。是AC的中点,

：.PO±AC,

又；面用C_L面ABC,，PO_L面ABC,

•.,△ABC是以4c为斜边的直角三角形，

所以点O为坐标原点，分别以03,OC,OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系0一型,

则0(0,0,0),A(0,-8,0),8(8,0,0),C(0,8,0),P(0,0,6),E(0,-4,3),F(4,0,3).

由题意，得G(0,4,0).

因为08=(8,0,0),OE=(0,-4,3),

设〃=(x,卜z)为面8OE的法向量，贝1|〃.。8=0,

―>fx=O,

〃OE=0,・•・

〔一4y+3z=0,

令z=4,得y=3.

所以平面30E的一个法向量〃=(0,3,4).

由FG=(-4,4,-3),得〃FG=O.

又直线FG不在平面BOE内，所以FG〃平面BOE.

高频考点二利用空间向量证明垂直问题

【例2】如图，在三棱锥尸一ABC中，AB=AC,。为3c的中点，尸。,平面ABC,垂足。落在线段AO

上.已知8C=8,PO=4,AO=3,OD=2.

(1)证明：APLBC-,

(2)若点M是线段AP上一点，且AM=3.试证明平面AMC_L平面BMC.

证明(1)如图所示，以。为坐标原点，以射线0P为z轴的正半轴建立空间直角坐标系。一xyz.

则0(0,0,0),A(0,-3,0),

8(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4).

于是港=(0,3,4),

BC=(-8,0,0),

：.APBC=(0,3,4>(-8,0,0)=0,

--►--►

所以4P_L8C,即APJ_8c.

⑵由(1)知|AP|=5,

又HM=3,且点M在线段AP匕

：.AM=^AP=(0,|,y),

又BA=(-4,-5,0),

：.BM=BA+AM=(^-4,-y,引，

则3,4)(—4,-y,竽)=0，

：.APLBM,HPAP±BM,

又根据(1)的结论知APLBC,

，AP_L平面BMC,于是AM_L平面BMC.

又AMu平面AMC,故平面AMC_L平面BCM.

【变式探究】如图，四棱柱4BCD-A山iCQ的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A。，平面4BC£>,

AB—AA\=y[2.

D.C,

AB

证明：A|CJ■平面BBQQ.

证明由题设易知OA,OB,0A两两垂直，以。为原点建立空间直角坐标系，如图.

°!______C,

；.A(1,0,0),8(0,1,0),C(-l,0,0),D(0,-1,0),A1(0,0.1).由A8i=AB,易得田(一1,1,

I).

—►-->--►

VAiC=(-l,0,-1),80=(0,-2,0),8Bi=(-1,0,1),

诟=0,址1.康=0,

：.AiC±BD,AiC±BBt,又BDCBB尸B,

平面BB\D\D.

高频考点三利用空间向量解决探索性问题

【例3】在四棱锥P—A8C。中，PO_L底面ABC。，底面A8CD为正方形，PD=DC,E,尸分别是AB,

P8的中点.

(1)求证：EFA.CD-,

(2)在平面用。内是否存在一点G,使GFJ_平面PCB.若存在，求出点G坐标；若不存在，试说明理由.

(1)证明如图，以D4,DC,。2所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设AO="，

则。(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),E(a,/0),P(0,0,a),2.

哈2'2)

。。=(0,a,0).

AEB

■:EF・DC=0,AEF1DC,即所_LCD

(2)解假设存在满足条件的点G,

设G(x,0,z),贝炉G=；.x-g,-5,z-1；,

若使G尸1平面PCB,则由

FGCB—\x-^,-5,z—y(a,0,0)=4一务=0,得x=g；

由江苏z一飘0,-a,a)

=与+6一|)=0,得?=0.

••・G点坐标为《，0,o\即存在满足条件的点G,且点G为3的中点.

【变式探究】如图所示，四棱锥P—A8C。的底面是边长为1的正方形，PAA.CD,PA=\,PD=@,E为

PD上一点,PE=2ED.

占

⑴求证：以_L平面ABCD；

(2)在侧棱PC上是否存在一点F,使得BF〃平面AEC?若存在,指出厂点的位置，并证明；若不存在,

说明理由.

(1)证明'：PA=AD=\,PD=y[2,

：.PA2+AD2=PD2,即抬J_AD

又附_LCZ>,ADDCD=D,.,.抬J_平面A8CD

(2)解以A为原点，AB,AD,AP所在直线为x轴，y轴，

z轴建立空间直角坐标系.

则A(O,0,0),5(1,0,0),

C(l,1,0),P(0,0,1),

电，£),AC=(1,1,0),

京=(。?I)

设平面AEC的法向量为"=(x,y,z),

--►

H,AC=()9x+y=0,

则一即2y+z=。，

[n-AE=0fJ

令y=l,则〃=(—1,1,—2).

假设侧棱尸C上存在一点F,且孑MlWxoqq),使得BF〃平面AEC,则d•〃=().

又：昴=病+孑=(0,1,O)+(-2,-A,2)=(一九1-2,2),

BFn=X+1—2—22=0,；.%=；,

存在点尸，使得8尸〃平面AEC,且尸为PC的中点.

高频考点四求异面直线所成的角

【例4】如图，在四棱锥2ABe。中，底面4BC。是矩形，以_L底面ABC。，E是PC的中点.已知AB

=2,4。=2吸，出=2.求：

图1

(□△PC£)的面积.

(2)异面直线8C与AE所成的角的大小.

解(1)因为以，底面ABCD,所以B4LCD

又4O_LC。，所以C。，平面以O,从而COJ_PD

因为PD=y/22+(2/)2=2小,CD=2,

所以△PCD的面积*x2x2，§=2小.

(2)法一如图I,取P8中点人连接EF,AF,则E广〃8C,从而NAEF(或其补角)是异面直线8c与4E

所成的角.

图1

在△AEF中，由于EF=S，AF="AE=^PC=2.

IT

则△4E尸是等腰直角三角形，所以

因此，异面直线BC与AE所成的角的大小是去

法二如图2,建立空间直角坐标系，则8(2,0,0),C(2,26，0),

图2

£(1,小,1),A£=(l,y[2,1),BC=(O,2VL0).

设AE与8c的夹角为仇则

AEBC_4_^2

cos0=,,所以6=；.

IAEIIBQ2x2j2

由此可知，异面直线8c与AE所成的角的大小是:.

规律方法本题可从两个不同角度求异面直线所成的角，一是几何法：作一证一算；二是向量法：把角的

求解转化为向量运算，应注意体会两种方法的特点，“转化”是求异面直线所成角的关键，一般地，异面直

线AC,8。的夹角夕的余弦值为cos夕=当怨.

\AQ\BD\

【变式探究】如右图所示正方体48cz已知点”在A&C7T的对角线股。上，ZHDA=60°.

求。”与CC所成的角的大小.

解如图所示，以。为原点，D4为单位长度建立空间直角坐标系。一dz,

则D4=(l,0,0),CC=(0,0,1).

设防=("?,m,l)(/n>0),

由已知，(而,DA)=60°

―►—>—>—>

cos<DH,DA),

可得2m=q2〃P+i,解得〃?=乎,

二防=惇坐，1)，

t,-^xO+^xO+lxl

cos(DH,CC')=----------S=---------

—►—>

<DH,CO=45°,

即DH与CC所成的角为45。.

高频考点五利用空间向量求直线与平面所成的角

【例5】(2014•北京卷)如图，正方形AMDE的边长为2,8,C分别为AM,MD的中点.在五棱锥P-ABCDE

中，尸为棱PE的中点，平面AB尸与棱尸£>,PC分别交于点G,H.

(1)求证：AB//FG-,

(2)若以_L底面ABCDE,且%=4E.求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长.

⑴证明在正方形AMDE中，因为8是AM的中点，所以

又因为ABC平面PDE,

所以AB〃平面PDE.

因为ABu平面ABF,且平面AB/TI平面PDE=FG,

所以A8〃尸G.

⑵解因为以，底面ABCDE,

所以以，AB,PALAE.

如图建立空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(l,0,0),C(2,1,0),P(0,0,2),F(0,1,1),BC

=(1,1,0).

设平面一疗尸的法向蚩为n=(x,y,z),则

「益=。，即片。，

-L__h+z=0.

、北4f^0,1

令z=l,贝h=T.所以”=(0,-1,1).

设直线BC与平面尸所成角为a,

贝Usina=cos<«,5C>—=l-

In|^CI〜

因此直线BC与平面X5尸所成角的大小为去

设点H的坐标为(“，v,w).

因为点，在棱PC上，所以可设品/=2尾(0<4<1),

即(〃，v»w-2)=2(2,1,―2),所以”=22,V—A>w—2—2九

因为n是平面A8尸的法向量，所以n-AH=O,

即(0,-1,1)-(22,A,2-22)=0.

解得7=|，所以点”的坐标为修|.

所以吁7削+伊+)¥=2.

【变式探究】(2014•福建卷)在平面四边形ABC£>中，AB=BD=CD=l,AB±BD,CD1BD,将△AB。

沿3。折起，使得平面ABD,平面88,如图.

(1)求证：AB±CD；

(2)若M为A。中点，求直线AO与平面M8C所成角的正弦值.

⑴证明:•平面48/)_1_平面8C。，平面A8OfT平面8CO=8O,A8u平面A8D,ABLBD,

.•.A8，平面BCD.

又COu平面8cO,：.ABLCD.

⑵解.过点B在平面8co内作BEJ_80,如图.

由(1)知A8_L平面BCD,

BEu平面BCD,8£)u平面8m

J.ABLBE,ABLBD.

->-►>

以8为坐标原点，分别以BE,BD,BA的方向为x轴，)，轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系.

依题意，得8(0,0,0),C(l,I,0),0(0,1,0),A(0,0,1),

M。，〈)，则眉=(1,1,0),BM=(0,I，AD=(0,1,-1).

设平面MBC的法向量为〃=(xo,州，zo),

n-BC=0,po+yo=O,

则《即彳11

〔〃说=0,松。+产=。，

取zo=l,得平面M8C的一个法向量为〃=(1,-b1).

设直线AO与平面MBC所成角为仇

则sin0=\cos〈〃,AD>|=®gL=半，

|n|-|AD|'

BP直线AD与平面MBC所成角的正弦值为坐

高频考点六利用空间向量求二面角

【例6】(2014.广东卷)如图，四边形ABC。为正方形，POJ_平面ABC。，Z£>PC=30°,AF_LPC于点F,

FE//CD,交PD于点、E.

(1)证明：CF_L平面AO尸；

(2)求二面角D-AF-E的余弦值.

⑴证明平面.53,/Du平面.18CD,

.".EDI皿

又.:四边形ABCD为正方形，因此XD1CD.

•:ED"D=D,

.•./D_L平面CDEF.

由于CFu平面CDEF,

S.ADLCF.

y.AFLCF,AF?^D=A.

故CF1平面ADF.

（2）解如图所示，建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设OC=1.

由于NOPC=30。，PD1.CD,所以尸C=2,PD=4.

由于CHI尸£),FE//CD,

所以"=芈,

DE=

4

从而。，A,C,F,E五点的坐标分别为

o（o,o,0）,40,o,1）,c（o,1,0）,《坐,0

《小,0,0）

计算得孑=（乎，-!，o），而=（一坐，J，1），

-►3

EF=（0,70）.

设平面AEF的法向量为"i=（xi,yi，zi）,

则〃iJ_EF,m±M,

yi=0,

因此＜

、一,XI-3yi+4zi=0,

取xi=4,则用=（4,0,小）为平面AE尸的一个法向量.

由于CF_L平面AQF,

故平面AOF的一个法向量“2=（小，-1.0）.

由图可见所求二面角。的余弦值为

同㈤______________逮_____________2病

c°s”1加网一眄9~（小）2+（—1）2—19-

规律方法求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的

法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.

【变式探究】(2014•辽宁卷)如图，Z\ABC和△BCZ)所在平面互相垂直，且AB=BC=BO=2,ZABC=

/£>BC=120。，E,尸分别为AC,0c的中点.

⑴求证：EFLBC；

(2)求二面角E-BF-C的正弦值.

(1)证明由题意，以B为坐标原点，在平面OBC内过B作垂直8c的直线为x轴，8c所在直线为y轴,

在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系.易得B(0,0,0),A(0,-1,

<3),D巾,-1,0),C(0,2,0).因而40,坐)，K坐，0).

所以珠=(坐，0,一却，»C=(0,2,0),

因此日•病=0.从而法J_病，所以EF_L8C.

(2)解平面8FC的一个法向量为〃|=(0,0,1).

设平面BEF的法向量〃2=(x，y，z),

o)，BE=[o,I，坐)

nyBF—Gl

由j—得其中一个"2=（1，-<3,1）.

M2-BE=0

设二面角E—BP—C大小为。，且由题意知。为锐角，则COS0=1COS<H|,712)|=|：；；；||=

因此sin8气=嚓

即所求二面角的正弦值为芈.

1.12016高考新课标2理数】如图，菱形A3CO的对角线AC与8。交于点0,A3=5,AC=6,点E,产

分别在AD,CD上，AE=CF=),EF交BD于点H.将kDEF沿EF折到AO'EF位置，0D'二屈.

4

(I)证明：D'H_L平面A5CD；

(II)求二面角8—O'A-C的正弦值.

D'

【答案】（I）详见解析；（H）

25

【解析】

（I）由已知得AD=CZ）,又由为£=中得二="，故从川EF.

.4DCD

因此EF_HZ）,从而石尸一。归\由JB=5,XC=6得。。=80=ylAB，-A0'=4.

CH4尸1

由友明XC得”=把=士.所以OH=1,D'H=DH=3.

DOAD

于是。'犷+。1=32+12=10=90?,

故D'HLOH.

又D'H工EF,而OHCEF=H,

所以。'Hd.平面A3CQ.

（II）如图，以H为坐标原点，”产的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系”-孙z,则“（0,0,0%

A(-3,-l,0),5(0,-5,0),C(3,-l,0),Dz(0,0,3),AB=(3,-4,0).AC=(6,0,0),AD*=(3,1,3).

/、m-AB={)13x,-4y.=0

设机=(%,y,zj是平面A3。的法向量，则《，即11，所以可取

m-AD'[3玉+y+3Z|=0

6x>=0

m=（4,3,-5）.设"=（X2，N2，Z2）是平面AC。'的法向量，则＜，即，■,所以

3z2=0

n-AD'~03X2+必+

mn-147>/5.2>/95..山一而后

可取〃=（0,—3,1）.T^cos<m,n>=sin<>=-----.因此一.血向

|/w||/i|VsOxVlO25'25

B-O'A—C的正弦值是拽5.

25

2.12016高考山东理数】在如图所示的圆台中，AC是下底面圆。的直径，E尸是上底面圆。，的直径，FB

是圆台的一条母线.

(I)已知G,4分别为EC,EB的中点，求证：GH〃平面4BC；

(II)已知AB=8C.求二面角F-8C-A的余弦值.

2，

【答案】(I)见解析；(II)—

【解析】

(I)证明：设FC的中点为/，连接GTM,

在△CEE因为G是CE的中点，所以G〃/E£

又EF//OB,所以G///OB,

在△(7打中，因为〃是用的中点，所以HZ=3C,

又印c仪=/:所以平面GHI：，平面,45C,

因为GHc平面GHI,所以GH：'平面ABC.

(II)解法一：

连接0。'，则。0」平面ABC,

又AB=BC,且AC是圆。的直径，所以6。，AC.

以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系。-型,

由题意得8(0,2g,0),C(-2V3,0,0),过点尸作EM垂直OB于点V,

所以汽M=dFB。-BM?=3,

可得尸(0,、万,3)

故BC=(-2百,一26,0),=(0,-73,3).

设加=(x,y,z)是平面BCF的一个法向量.

m-BC=Q

由《，

mBF=0

'-2Gx-2岛=0

可得1「，

-伤+3z=0

可得平面.BCF的•个法向量第=(—1,1,1),

因为平面ABC的一个法向量”=(0,(),1),

mn

所KU以2cos<m,n>=------=——近.

|m||Z?|7

所以二面角F-BC-A的余弦值为立.

解法二：

连接0。'，过点口作尸M1QB于点M,

则有FM//。。'，

又。。'_1平面A8C,

所以五例L平面A8C,

可得FM=ylFB2-BM2=3,

过点M作MN垂直BC于点N,连接尸N,

可得EVLBC.

从而NFNM为二面角尸―BC-A的平面角.

又AB=8C.AC是圆0的直径，

所以MN=BMsin45-=—,

2

从而FN=叵，可得cos/FNM=也.

27

万

所以二面角F-BC-A的余弦值为二一.

7

3.12016高考天津理数】(本小题满分13分)

如图，正方形ABC。的中心为O,四边形O8EB为矩形，平面OBEFL平面A8CE),点G为A8的中点,

AB=BE=2.

(I)求证：EG〃平面A/»；

(II)求二面角O-EF-C的正弦值；

2

(III)设“为线段AF上的点，且求直线和平面CEP所成角的正弦值.

3

【答案】(I)详见解析(II)—(III)—

321

【解析】依题意，。尸，平面48。。，如图，以O为点，分别以AD84,。f的方向为x轴，y轴、z轴

的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得。(0,0,0),

A(-l,1,0),B(-l,-1,0),C(l,-1,0),£>(1,1.0),E(-l,-1,2),F(0,0,2),G(-l,0,0).

勺・AO=0

(1)证明：依题意，AO=(2,0,0),Ab=(l,—1,2).设〃।=(x,y,z)为平面40尸的法向量，贝人

马・AF-0

2%=0/、/、

即

4xv+2z-0.不妨设z=L可得々=(0,2,1)，又EG=(0,1,-2),可得=0,又因为直线

£6a平面4。尸，所以EG//平面AOF.

(ID解：易证，。/=(TLO)为平面OE尸的一个法向量.依题意,E尸=(LLO),C-=(TL2).设

—,、％・EF-0,x+v=0

叼=(x.z)为平面CEF的法向量，贝叶二一，即一".门.不妨设x=l,可得

n,CF=0[-x+y+2z=0

n2=(L-1,1).

因此有cos<0A:n,>=j巴「；&=一二g,于是sin<0A;々>=£,所以，二面角。一EF-C的正弦值

272,224、

(III)解：由4”=一〃/，得A”=-4F.因为4尸=(1,一1,2),所以A”=—Ab=—,一一，进

35,，5(555)

而有“(一3」,3〕，从而8”=化,9』,因此cos<BH,小>=।J&立所以,直线8月和

I555J1555)-|喇•闻21

平面CEF所成角的正弦值为4-.

4.【2016年高考北京理数】(本小题14分)

如图，在四棱锥P—ABCO中，平面P4Z)_L平面ABC。，PA1PD,PA=PD,AB1AD,

AB=1,AO=2,AC=CD=6

(1)求证：「。，平面尸43；

(2)求直线P8与平面PC。所成角的正弦值；

(3)在棱PA上是否存在点M,使得3M//平面PCD?若存在，求4"的值；若不存在，说明理由.

AP

【答案】(1)见解析；(2)—；(3)存在，—

3AP4

【解析】(1)因为平面平面ABC。，ABLAD,

所以AB_L平面PAD,所以AS1PO,

又因为PA_LPQ，所以平面P48；

(2)取AD的中点O,连结PO,CO,

因为尸4=尸。，所以POLAO.

又因为POu平面PAD,平面PA。1平面ABCD,

所以POL平面A3CO.

因为COu平面A5CD,所以POJ.CO.

因为AC=CD,所以COLAO.

如图建立空间直角坐标系。-孙z,由题意得，

40,1,0),"(1,1,0),C(2,0,0),0(0-1,0),尸(0,0,1).

设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则

〃•尸。=0,』一y-z=0,

5——►即<

〃.尸C=0,[2x-z=0,

令z=2,则x=1,y=-2.

所以3=(1,-2,2).

—-——-n,PBAA

又P8=(l,l,—1),所以cos<〃,PB>=^^=-±

nPB3

回

所以直线P8与平面PCD所成角的正弦值为—.

3

（3）设M是棱PA上一点，则存在Xe[0,1]使得AM=/LAP.

因此点M（0,1-2,2）,5M=（-1,-2,2）.

因为BM＜z平面PCD，所以8M〃平面PCD当且仅当诙G=0,

即（一1,—九/1）・（1,一2,2）=0,解得4=—.

所以在棱PA上存在点M使得BM//平面PCD，此时出=’.

AP4

5.12016高考浙江理数】（本题满分15分）如图，在三棱台A6C-DEF中，平面8CFE_L平面

ABC,NACB=90-,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.

⑴求证：EF_L平面ACF£＞；

（II）求二面角8-A£＞孑的平面角的余弦值.

【解析】（I）延长AO，BE,CF相交于一点K,如图所示.

因为平面8CFE，平面A8C,且ACLBC,所以AC,平面3CK,因此8FLAC.

又因为EF〃BC,BE=EF=FC=\,BC=2,

所以△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则5F_LCK.

所以平面ACFD.

(II)方法一：过点F作尸Q_LAK于Q,连结BQ.

因为平面ACK,所以6FJ.AK,则AKJ_平面6QF,所以BQLAK.

所以N8Q尸是二面角3—AO-尸的平面角.

在RtZ\ACK中，AC=3,CK=2,得=

13

在RtZ\3Q/中，/Q=*3,BF=6,得COSNBQ/=^

所以二面角8-A0-尸的平面角的余弦值为走

4

方法二：如图，延长AO,BE,CF相交于一点K,则aBCK为等边三角形.

取BC的中点0,则K0L3C,又平面3CFE，平面A8C,所以，K0,平面ABC.

以点。为原点，分别以射线。8,0K的方向为x,z的正方向，建立空间直角坐标系。Q'Z・

吗,0,务F(—g,0，亭.

由题意得8(1,0,0),C(-l,0,0),K(0,0,6),A(-l,-3,0),

因此，AC=(0,3,0),AK=(1,3,G),AB=(2,3,0).

设平面ACK的法向量为6=(X,y,zj,平面ABK的法向量为n=(x2,j2,z2).

=0,3%=0

ACin,得4

由＜r，取JW=0,-1；

AKm=0X1+3y+J3Z]=0

ABn=0,2X2+3%=0

由V＞得＜r，取〃=

AKn=0%+3%+V3Z2=0

mn

工曰/\也

于是，cos(m,n)=-.—r-j—7=—.

网■同4

所以，：面角8-AO-尸的平面角的余弦值为

6【2016年高考四川理数】（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，AD〃BC,ZADC=ZPAB=90°,BC=CD=-AD,E为边AD的中点，异

2

面直线PA与CD所成的角为90°.

（I）在平面PAB内找一点M,使得直线CM〃平面PBE,并说明理由；

（II）若二面角P-CD-A的大小为45°,求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.

【解析】（I）在梯形A8CD中，A3与CZ）不平行.

延长AB,DC,相交于点M（Md平面以8）,点M即为所求的一个点.理由如下：

由己知，BC//ED,且8c=ED

所以四边形HCDE是平行四边形.，所以CD〃EB

从而CM//EB.

又E8u平面PBE,CM2平面PBE,

所以CM〃平面PBE.

（说明：延长AP至点M使得AP=PM则所找的点可以是直线MN上任意一点）

（II）方法一：

由已知，CD±PA,CD1AD,PACAD=A,

所以CD_1_平面PAD.

从而CD±PD.

所以/PDA是二面角P-CD-A的平面角.

所以/PDA=45°.

设BC=1,则在RtZ\PAD中，PA=AD=2.

过点A作AHLCE,交CE的延长线于点H,连接PH.

易知PA_L平面ABCD,

从而PA1CE.

于是CE_L平面PAH.

所以平面PCE_L平面PAH.

过A作AQ1PH于Q,则AQ_L平面PCE.

所以/APH是PA与平面PCE所成的角.

在RtZ\AEH中，/AEH=45°,AE=1,

V2

所以AH=-----.

2

在RtZ\PAH中，PH=yjp^+AH2=,

2

,,AH1

所cr以sin/APH=-------.

PH3

方法二：

由已知，CDJ.PA,CDXAD,PACAD=A,

所以CDL平面PAD.

于是CD_LPD.

从而/PDA是二面角P-CD-A的平面角.

所以/PDA=45°.

由PA1AB,可得PAJ_平面ABCD.

设BC=1,则在RtZ\PAD中，PA=AD=2.

作AyLAD,以A为原点，以AD.AP的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐

标系A-xyz,则A(0,0,0),P(0,0,2),C(2,l,0),E(1,0,0),

所以PE=(1,0,-2),EC=(1,1,0),AP=(0,0,2)

设平面PCE的法向量为n=(x,y,z),

n-PE-0,[x-2z-0,

由《得《设x=2,解得n=(2,-2,l).

n-EC=0,U+y=0,

.\n-AP\________2________

设直线PA与平面PCE所成角为a则Hllsina=--------------

\n\-\AP\2X722+(-2)2+123

所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为,.

3

1.【2015江苏高考，22](本小题满分10分)

如图，在四棱锥尸一A3CD中，已知PAJ•平面ABC。，且四边形ABC。为直角梯

7T

形，ZABC=ZBAD=-,PA=AD=2,AB=BC=\

2

(1)求平面与平面PCD所成二面角的余弦值；

(2)点。是线段8P上的动点，当直线CQ与。尸所成角最小时，求线段BQ的长

p

【答案】(1)且(2)拽

35

AB,AD,AP｝为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系人一孙z,

【解析】以

则各点的坐标为B(l,0,0),C(l,l,0),D(0,2,0),P(0,0,2),

(1)因为ADJ_平面PAB，所以AD是平面PAB的一个法向量，AD=(0,2,0).

因为PC=(1,1,-2),PD=(0,2,-2).

x+y-2z=0

设平面PCD的法向量为m=(x,y,z),则m.pc=0，根-PD=0，即，

2y-2z=0

令y=1,解得z=1,x=l.

所以加=(1,1,1)是平面PCD的一个法向量.

AD•mV3

从而(

cosAD,a)=所以平面PAB与平面PCD所成：血角的余弦值为.

AD词3'3

⑵因为BP=(T，°，2),设BQ=2BP=(T,0,22)(0<2<1).

▽CB=(0,-1,0)皿CQ=CB+BQ=(-九—1,2/1),DP=(0,-2,2)

乂'，火II♦乂

1+22

c°s(CQ，DP>=箴氤而"

从而

2)29

cos/CQ,DP=------=-7----<—

、/5/2-10/+92010

94---

设l+2%=r,"[1,3],则9

9/23V10

t—_九—_cos(CQ,DP)

当且仅当5,即5时,的最大值为10.

0,-

因为y=cosx在I2J上是减函数，此时直线CQ与DP所成角取得最小值.

/^―7反BQ=-BP=^

又因为BP=Jr+2-=5所以55

2.12015高考山东，理17］如图，在三棱台。EF-ABC中，AB=2£>E,G,”分别为AC,的中点.

（I）求证：BD//平面FGH；

（H）若平面ABC,AB工BC,CF=DE,N8AC=45-，求平面FG"与平面ACFO所成

的角（锐角）的大小.

【答案】（D详见解析；（H）60-

【解析】

⑴证法-：连接。G,C。，设COGF=O,连接。”，

在三棱台DEF—ABC中，

A5=2OE,G为AC的中点

可得DF//GC,DF=GC

所以四边形DFCG为平行四边形

则。为的中点

又“为BC的中点

所以OH//BD

又O”u平面EG”，8。《平面EG”，

所以8。//平面FG”.

证法二：

在三棱台。EF—ABC中，

由5c=2ERH为的中点

可得BH//EF,BH=EF,

所以四边形8m石为平行四边形

可得BEHHF

在A48C中，G为AC的中点，H为BC的中点,

所以GH//AB

又GHHF=H,所以平面FG"//平面ABED

因为BOu平面ABED

所以8。//平面尸G”

(II)解法一：

设AB=2,则CF=1

在三棱台OEF—ABC中，

G为AC的中点

由£>F」AC=GC,

2

可得四边形OGCT为平行四边形，

因此OG//CF

又平面ABC

所以。G1平面ABC

在A48c中，由AB，BC,NBAC=45_,G是AC中点,

所以AB=BC,GB_LGC

因此GB,GC,G。两两垂直，

以G为坐标原点，建立如图所示的空间宜角坐标系G-孙z

所以G（O,O,O）,B（/O,O）,C（O,0,O）,O（O,O,1）

可得"*,与0,F（0,V2,l）

fV2V2

故G”=,GF=（0,V2,l）

设〃=