2017-2018学年北京市延庆县七年级（下）期末数学试卷

2017-2018学年北京市延庆县七年级（下）期末数学试卷

一、选择题：（共8个小题，每小题2分，共16分）下面各题均有四个选项，其中只有一

个是符合题意的.

1.（2分）2015年9月14日，意大利物理学家马尔科•德拉戈收到来自激光干涉引力波天文

台aiGO）的系统自动提示邮件，一股宇宙深处的引力波到达地球，在位于美国华盛顿

和烈文斯顿的两个〃GO探测器上产生了4X10-18米的空间畸变（如图中的引力波信号

图象所示），也被称作“时空中的涟漪”，人类第一次探测到了引力波的存在，“天空和以

前不同了…你也听得到了这次引力波的信号显著性极其大，探测结果只有三百五十万

分之一的误差.三百五十万分之一约为0.0000002857.将0.0000002857用科学记数法表

示应为（）

A.2.857X10-8B.2.857X10-7

C.2.857X1(/6D.0.2857X106

2.（2分）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）

A.2a2-2,a+1—2a(cz-1)+1

C.x2-6x+5=(x-5)(尤-1)

3.(2分)如图，/I和/2不是同位角的是(

C.D.

4.（2分）不等式x+122的解集在数轴上表示正确的是（）

------1----人•A【1J----

A.-1o12B.-1o12

」-----1----△LA•I1------->

C.-1012D.-1o12

5.（2分）下列运算正确的是（）

A.（2a2）3=6/B.a3'a2—a5

C.2a2+4a2—6a4D.(a+2b)2=«2+4Z>2

6.（2分）若a>b,则下列不等式正确的是()

A.3a<3bB.ma>mbC.-a-l>-b-1D.A+l>k+l

22

7.（2分）下列命题中，真命题的个数有（

①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.

②过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.

③两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补.

④内错角相等，两直线平行.

A.4B.3C.2D.1

8.（2分）如图的统计图反映了我国2013年到2017年国内生产总值情况.（以上数据摘自

国家统计局《中华人民共和国2017年国民经济和社会发展统计公报》）根据统计图提供

B.2013-2016年，我国国内生产总值的增长率逐年降低

C.2013-2017年，我国国内生产总值的平均增长率约为6.7%

D.2016-2017年比2014-2015年我国国内生产总值增长的多

二、填空题（共8小题，每小题2分，满分16分）

9.（2分）计算（-2m2）的结果为.

10.（2分）已知人〃/2,一个含有30°角的三角板按照如图所示位置摆放，则N1+N2的度

12.（2分）如图，请你添加一个条件，使这个条件是

AB

13.（2分）妫川宝塔位于延庆区夏都东湖公园，红墙碧瓦，飞檐翘拱，雕梁画栋，显现了

我国古代建筑风格超凡脱俗的光彩，异常雄奇壮观而绚丽华贵.塔内每一层都有壁画，

这些壁画具体生动的描绘了妫川大地从古至今动人的历史故事和神话传说，展示了妫川

儿女的勤劳与智慧.为了测量塔外墙底部的底角的度数，小明同学设计了如下测

量方案：作A。，BO的延长线OD,OC,量出/CQD的度数，从而得到/AOB的度数.这

个测量方案的依据是.

14.（2分）《九章算术》是中国古代数学专著，在数学上有其独到的成就，不仅最早提到了

分数问题，也首先记录了“盈不足”等问题.如有一道阐述“盈不足”的问题，原文如

下：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六.问人数、鸡价各几何？译文为:

现有若干人合伙出钱买鸡，如果每人出9文钱，就会多11文钱；如果每人出6文钱，又

会缺16文钱.问买鸡的人数、鸡的价格各是多少？设共有x人买鸡，鸡价为y文钱，可

列方程组为.

15.（2分）如图的框图表示解不等式3-5x>4-2x的流程，其中“系数化为1”这一步骤

16.（2分）己知NABC与其内部一点。，过。点作。^〃痴，炸DE//BC,则/即尸与/

B的数量关系是.

三、解答题

17.（4分）计算:（-1）2016-（3_K）0+2-1

3（x+2）》x+4

18.（4分）解不等式组丁1<],并求该不等式组的非负整数解.

~2~

…）一优工

20.（5分）先化简再求值：（x-1）2-(x+2)(尤-2)+(%-4)(x+5),其中/-X-5=0.

21.（6分）分解因式:

(1)cr'b-5crb2；(2)3a2-12a+12.

22.（5分）补全解答过程：

己知：如图，直线AB〃CD,直线EP与直线AS,CZ）分别交于点G,H-,GM平济/FGB,

Z3=60°.求N1的度数.

解：•：EF与CD交于点H,（已知）

；./3=/4.（）

VZ3=60°,（已知）

Z4=60°.（）

•：AB//CD,EF^AB,C£>交于点G,H,（已知）

/.Z4+ZFGB=180°.（）

NFGB=.

•.•3/平分/打衣，（已知）

.•.Nl=°.（角平分线的定义）

23.（6分）如图，己知△ABC.请你按下列步骤画图：（用圆规、三角板、量角器等工具画

图，不写画法，只保留画图痕迹）

①画ZBAC的平分线交线段BC于点D-,

②过点C画的平行线交射线AD于点E；

③延长线段AC到点R使CP=AC;

④连接EF；

（1）请你测量NAEF,则°；

（2）请你通过测量线段CE与线段CF的长度，写出它们的数量关系.CECP（填

或“=”）

24.（8分）阅读材料

2001年，康庄中心小学就提出了

“小足球，大教育”的校园足球理念，确立了以足球育人的思想.2017年6月，全国小

学校园足球联盟启动大会在康庄中心小学举行.联盟响应习近平总书记“足球进校园”

的号召，旨在以“康庄小学足球模式”为基础，加强校园足球的实践与研究，以此推动

校园足球健康发展.2017年9月，学校到商场购买A,B两种品牌的足球，购买A

种品牌的足球50个，2种品牌的足球25个，共花费4500元；已知购买一个B种品牌的

足球比购买一个A种品牌的足球多花30元.

（1）学校购买一个A种品牌、一个8种品牌的足球各需多少元.

（2）2018年3月，学校决定再次购进A,2两种品牌足球共50个，正好赶上商场对商

品价格进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高4元，B品牌足球按第一次购买时

售价的9折出售.如果学校此次购买A,B两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的

70%,且保证这次购买的B种品牌足球不少于23个.学校第二次购买足球有哪几种方案？

（3）请你直接写出学校在第二次购买活动中最多需要多少资金？

25.（4分）我们经常利用图形描述问题和分析问题.借助直观的几何图形，把问题变得简

明、形象，有助于探索解决问题的思路.

（1）小明为了解释某一公式，构造了几何图形，如图1所示，将边长为a的大正方形剪

去一个边长为6的小正方形，并沿图中的虚线剪开，拼接后得到图2,显然图1中的图形

与图2中的图形面积相等,从而验证了公式.则小明验证的公式是.

（2）计算：（无+a）（x+6）=；请画图说明这个等式.

26.（7分）我们知道：任何有理数的平方都是一个非负数，即对于任何有理数a,都有a2

20成立，所以，当。=0时，/有最小值o.

【应用】：（1）代数式（x-1）2有最小值时，尤=；

（2）代数式:/+3的最小值是；

【探究】：求代数式后+4计9的最小值，小明是这样做的：

772+477+9

="2+4〃+4+5

=（〃+2）2+5

/.当〃=-2时，代数式/+4”+9有最小值，最小值为5.

请你参照小明的方法，求代数式cr-6a-3的最小值，并求此时a的值.

【拓展】：（1）代数式扇+“2-&"+2"+17=0,求根+”的值.

（2）若y=-4p+12r+6,直接写出y的取值范围.

27.（8分）已知：如图1,DE//AB,DF//AC.

(1)求证：/A=/EDF.

(2)点G是线段AC上的一点，连接FG,DG.

①若点G是线段AE的中点，请你在图2中补全图形，判断/AFG,ZEDG,NDGF之

间的数量关系，并证明.

②若点G是线段EC上的一点，请你直接写出NAFG,ZEDG,NOGF之间的数量关系.

小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：

如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做

绝对值不等式，求绝对值不等式|尤|>3的解集.

小明同学的思路如下：

先根据绝对值的定义，求出因恰好是3时x的值，并在数轴上表示为点A,B,如图所示.观

察数轴发现，以点A,8为分界点把数轴分为三部分：

点A左边的点表示的数的绝对值大于3；

点A,B之间的点表示的数的绝对值小于3；

点B右边的点表示的数的绝对值大于3.

因此，小明得出结论绝对值不等式因>3的解集为：-3或x>3.

参照小明的思路，解决下列问题：

(1)请你直接写出下列绝对值不等式的解集.

①仅|>1的解集是.®|x|<2.5的解集是.

(2)求绝对值不等式2|x-3|+5>13的解集.

(3)直接写出不等式/>4的解集是.

AB

1午11」1午

-4-3-2-101234

2017-2018学年北京市延庆县七年级（下）期末数学试卷

一、选择题：（共8个小题，每小题2分，共16分）下面各题均有四个选项，其中只有一

个是符合题意的.

1.（2分）2015年9月14日，意大利物理学家马尔科•德拉戈收到来自激光干涉引力波天文

台（L/G。）的系统自动提示邮件，一股宇宙深处的引力波到达地球，在位于美国华盛顿

和烈文斯顿的两个UGO探测器上产生了4X1018米的空间畸变（如图中的引力波信号

图象所示），也被称作“时空中的涟漪”，人类第一次探测到了引力波的存在，“天空和以

前不同了…你也听得到了.”这次引力波的信号显著性极其大，探测结果只有三百五十万

分之一的误差.三百五十万分之一约为0.0000002857.将0.0000002857用科学记数法表

示应为（）

A.2.857X108B.2.857X107

C.2.857X10-6D.0.2857X106

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为aX10”,与较大

数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数累，指数由原数左边起第一个不为零的数

字前面的0的个数所决定.

【解答】解：0.0000002857=2.857X10-7.

故选：B.

【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为aXl（r%其中

n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

2.（2分）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）

A.2a~-2a+l—2a（tz-1）+1B.（尤+y）（x-y）—x1-y2

C.x2-6x+5=（x-5）（x-1）D.x2+y2=（x-y）2+2xy

【分析】根据因式分解是将一个多项式转化为几个整式的乘积的形式，根据定义，逐项

分析即可.

【解答】解：A、2a2-2a+l=2a(«-1)+1,等号的右边不是整式的积的形式，故此选

项不符合题意；B、(x+y)(x-y)=x2-y2,这是整式的乘法，故此选项不符合题意；C、

x2-6x+5=(x-5)(x-1),是因式分解，故此选项符合题意；D、x1+y2=(x-2+2xy,

等号的右边不是整式的积的形式，故此选项不符合题意；故选C.

【点评】本题主要考查因式分解的意义，解决此类问题的关键是看是否是由一个多项式

化为几个整式的乘积的形式.

3.(2分)如图，N1和N2不是同位角的是()

【分析】利用同位角的定义，直接分析得出即可.

【解答】解：A、N1和N2是同位角，故此选项不符合题意；

B、/I和/2是同位角，故此选项不符合题意；

C、N1和/2是同位角，故此选项不符合题意；

。、N1和/2不是同位角，故此选项符合题意；

故选：D.

【点评】此题主要考查了同位角的定义.解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截

线入手.对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确

理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义.

4.(2分)不等式x+l22的解集在数轴上表示正确的是()

=------1-------♦•A•11-->

A.-1o12B.-1o12

L，1-------b二A；11LA

c.-1o12D.-1o12

【分析】先求出原不等式的解集，再根据解集即可求出结论.

【解答】解：Vx+1^2,

故选：A.

【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是

关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变.

5.（2分）下列运算正确的是（）

A.（2a2）3=646B.

C.2a2+4a2—6aiD.（a+2b）2—cr+4b2

【分析】直接利用积的乘方运算法则以及同底数骞的乘法运算法则和完全平方公式分解

因式得出答案.

【解答】解：A、（2d）3=8小，故此选项错误；

B、ai,a2—a5,正确；

C、2a2+4a2=6a1,故此选项错误；

D、（4+2b）2=/+44+4庐，故此选项错误；

故选：B.

【点评】此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幕的乘法运算和完全平方公式，正确

应用运算法则是解题关键.

6.（2分）若a>b,则下列不等式正确的是（）

A.3a<3bB.ma>mbC.-a-l>-b-1D.A+I>k+1

22

【分析】根据不等式的性质逐一判断，判断出正确的不等式是哪个即可.

【解答】解：-：a>b,

：.3a>3b,

.•.选项A不正确；

■:d>b,

.•・根<0时，ma<mb；机=0时，ma=mb；机>0时，ma>mb,

工选项B不正确；

•：a>b,

-a<-b,

二・选项C不正确；

•：4b,

・A>_L

.工T

.,.A+i>k+i,

22

选项。正确.

故选：D.

【点评】此题主要考查了不等式的性质，要熟练掌握，特别要注意在不等式两边同乘以

（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0,而且必须先确定这个数是正数还是

负数，如果是负数，不等号的方向必须改变.

7.（2分）下列命题中，真命题的个数有（）

①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.

②过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.

③两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补.

④内错角相等，两直线平行.

A.4B.3C.2D.1

【分析】根据平行线的判定和性质判断即可.

【解答】解：①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行是真命

题.

②过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行是真命题.

③两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补是假命题.

④内错角相等，两直线平行是真命题.

故选：B.

【点评】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题,

熟练掌握等腰三角形的判定方法是解题的关键.

8.（2分）如图的统计图反映了我国2013年到2017年国内生产总值情况.（以上数据摘自

国家统计局《中华人民共和国2017年国民经济和社会发展统计公报》）根据统计图提供

的信息，下列推断不合理的是（）

B.2013-2016年，我国国内生产总值的增长率逐年降低

C.2013-2017年，我国国内生产总值的平均增长率约为6.7%

D.2016-2017年比2014-2015年我国国内生产总值增长的多

【分析】A、由6.9%>0,可得出与2016年相比，2017年我国国内生产总值有所增长，

结论A正确；

B、由7.8%>7.3%>6.9%>6.7%,可得出2013-2016年，我国国内生产总值的增长率逐

年降低，结论8正确；

C、根据五年的我国国内生产总值的增长率，求出其平均值，即可得出2013-2017年，

我国国内生产总值的平均增长率约为7.12%,结论C错误；

D、由2016年的国内生产总值比2014年的国内生产总值多，且两年的我国国内生产总值

的增长率相同，即可得出2016-2017年比2014-2015年我国国内生产总值增长的多，

结论。正确.此题得解.

【解答】解：A、：6.9%>0,

...与2016年相比，2017年我国国内生产总值有所增长，结论A正确；

B、V7.8%>7.3%>6.9%>6.7%,

...2013-2016年，我国国内生产总值的增长率逐年降低，结论8正确；

C.78%+7.3%+6.9%+6.7%+6.9%_:"％

、5'0，

...2013-2017年，我国国内生产总值的平均增长率约为7.12%,结论C错误；

。、：2016年的国内生产总值比2014年的国内生产总值多，且2016-2017年和2014-

2015年我国国内生产总值的增长率相同，

.,.2016-2017年比2014-2015年我国国内生产总值增长的多,结论D正确.

故选：c.

【点评】本题考查了折线统计图以及条形统计图，观察统计图逐一分析四个选项的正误

是解题的关键.

二、填空题（共8小题，每小题2分，满分16分）

9.（2分）计算6%5+（-2〃，）的结果为-3〃尸.

【分析】根据单项式除以单项式，把系数，同底数幕分别相除后，作为商的因式；对于

只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式进行计算即可.

【解答】解：6m54-（-2祖2）=-3m3,

故答案为：-3m3.

【点评】此题主要考查了整式的除法，关键是掌握除法法则，注意结果符号的判断.

10.（2分）已知人〃/2,一个含有30°角的三角板按照如图所示位置摆放，则/1+/2的度

【分析】先利用平行线的性质得出Nl=/3,Z2=Z4,最后利用直角三角形的性质即

可.

【解答】解：如图，过直角顶点作

V/1//Z2,

：.li//l2//h,

.\Z1=Z3,N2=N4,

；./1+/2=/3+/4=90°.

故答案为：90°.

【点评】此题主要考查了平行线的性质，三角板的特征，角度的计算，解本题的关键是

作出辅助线.

11.（2分）写出解为的一个二元一次方程：x+y=-1.此题答案不唯一.

ly=-2

【分析】二元一次方程满足的条件是：

（1）方程中只含有2个未知数；

（2）含未知数项的最高次数为一次；

（3）方程是整式方程.按照该条件写出即可.

【解答】解：按照二元一次方程满足的条件写出：x+y=-1等，此题答案不唯一.

故答案为：龙+y=-1.此题答案不唯一.

【点评】主要考查二元一次方程的概念以及解的意义，要求熟悉二元一次方程的形式及

其特点：

（1）是整式方程；

（2）含有2个未知数；

（3）最高次项的次数是1.

12.（2分）如图，请你添加一个条件，使AB〃C。，这个条件是/CDA=/DAB.

AB

【分析】根据平行线的判定，选择“内错角相等，两直线平行.”来证明平行，根据/CD4

与/D48为内错角，令其相等，即可得出结论.

【解答】解：若要证只需找出

故答案为：ZCDA=ZDAB

【点评】本题考查了平行线的判定，解题的关键是熟记两直线平行的各判定定理.本题

属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟记平行线的判定定理是关键.

13.（2分）妫川宝塔位于延庆区夏都东湖公园，红墙碧瓦，飞檐翘拱，雕梁画栋，显现了

我国古代建筑风格超凡脱俗的光彩，异常雄奇壮观而绚丽华贵.塔内每一层都有壁画，

这些壁画具体生动的描绘了妫川大地从古至今动人的历史故事和神话传说，展示了妫川

儿女的勤劳与智慧.为了测量塔外墙底部的底角的度数，小明同学设计了如下测

量方案：作AO,BO的延长线OD,OC,量出/C。。的度数，从而得到/AOB的度数.这

个测量方案的依据是对顶角相等.

【分析】在两直线相交的前提下，由对顶角相等即可得出结论.

【解答】解：这个测量方案的依据是：对顶角相等；

故答案为：对顶角相等.

【点评】本题考查的是对顶角相等的性质；根据题意正确作出图形、设计出测量方案是

解题的关键.

14.（2分）《九章算术》是中国古代数学专著，在数学上有其独到的成就，不仅最早提到了

分数问题，也首先记录了“盈不足”等问题.如有一道阐述“盈不足”的问题，原文如

下：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六.问人数、鸡价各几何？译文为:

现有若干人合伙出钱买鸡，如果每人出9文钱，就会多11文钱；如果每人出6文钱，又

会缺16文钱.问买鸡的人数、鸡的价格各是多少？设共有无人买鸡，鸡价为y文钱，可

列方程组为」尸"11_.

ly=6x+16

【分析】设合伙买鸡者有X人，鸡的价格为y文钱，根据“如果每人出9文钱，就会多

H文钱；如果每人出6文钱，又会缺16文钱”，即可得出关于尤、y的二元一次方程组，

解之即可得出结论.

【解答】解：设合伙买鸡者有x人，鸡的价格为y文钱，

根据题意得：七'"I,

（y=6x+16

故答案为：产"11，

ly=6x+16

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组

是解题的关键.

15.（2分）如图的框图表示解不等式3-5x>4-2x的流程，其中“系数化为1”这一步骤

的依据是不等式的两边同时乘以或除以一个负数，不等式方向改变

3-5x>4-2x

.移项

-5x+2x>4-3

合并同类项

11

-3x>l

系数化为1

【分析】先去分母，再去括号，移项，合并同类项，把X的系数化为1即可.

【解答】解：•.•“系数化为1”这一步时，-3为负数，

依据是不等式的两边同时乘以或除以一个负数，不等式方向改变（或不等式的基本性

质）.

故答案为：不等式的两边同时乘以或除以一个负数，不等式方向改变.

【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键.

16.（2分）已知NABC与其内部一点。，过。点作DE〃氏4,炸DF//BC,则/££/与/

B的数量关系是相等或互补.

【分析】分四种情况进行讨论，分别根据平行线的性质即可得出/即/与的数量关

系.

【解答】解：分四种情况：

①如图所示，NEDF=NB；

②如图所示，ZEDF+ZB=180°；

A

E

B

③如图所示，Z£DF+ZB=180°；

综上所述，/即/与/B的数量关系为相等或互补.

故答案为：相等或互补.

【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等；两直

线平行，同旁内角互补.

三、解答题

17.（4分）计算：（-1）2016-（3_K）o+2-i

【分析】直接利用负整数指数幕的性质以及零指数幕的性质化简进而得出答案.

【解答】解：原式=1-1+工

2

=1_

2"

【点评】此题主要考查了负整数指数塞的性质以及零指数幕的性质，正确化简各数是解

题关键.

3（x+2）》x+4

18.（4分）解不等式组|x-1，并求该不等式组的非负整数解.

■^<1

2

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中

间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.

【解答】解：解不等式3(x+2)2x+4,得：-1,

解不等式得：了<3,

2

原不等式解集为-lWx<3,

原不等式的非负整数解为0,1,2.

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知

“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

19.(4分)解方程组：e-的=11.

l2x+y=13

【分析】方程组利用加减消元法求出解即可.

【解答】解：华-叼=1^),

l2x+y=13②

①+②X3得：10x=50,

解得：冗=5,

把％=5代入②得：y=3,

则方程组的解为1x=5.

ly=3

【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元

法与加减消元法.

20.(5分)先化简再求值：(%-1)2-(x+2)(x-2)+(x-4)G+5),其中/一厂5=0.

【分析】根据整式的运算法则即可求出答案.

【解答】解：原式=W-2x+l-(x2-4)+(/+%-20)

=/-2x+l-+4+x^+x-20

=j?-x-15

Vx2-x-5=0,

••x^1~x~~5

・\原式=5-15=-10

【点评】本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于

基础题型.

21.(6分)分解因式：

(1)a%-5/2；

(2)3/-12〃+12.

【分析】（1）直接提取公因式。2儿进而分解因式即可；

（2）直接提取公因式3,再利用完全平方公式分解因式即可.

【解答】解：（1）a^b-5crb2

—crb（a-5b）；

（2）3a2-12ci+12

=3（a2-4a+4）

=3（a-2）2.

【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键.

22.（5分）补全解答过程：

已知：如图，直线AB〃CD直线EF与直线AB,CD分别交于点G,H；GM平分

Z3=60°.求N1的度数.

解：•.,斯与O）交于点H（已知）

/.Z3=Z4.（对顶角相等）

VZ3=60°,（已知）

.-.Z4=60°.（等量代换）

,SAB//CD,EF与AB,CD交于点G,H,（已知）

.-.Z4+ZFGB=180°.（两直线平行，同旁内角互补）

/.ZFGB=120°

,；GM平分/FGB,（已知）

.,.Zl=60°.（角平分线的定义）

r

【分析】依据对顶角相等以及平行线的性质，即可得到/4=60°,ZFGB=U0°,再

根据角平分线的定义，即可得出/1=60°.

【解答】解：：EP与交于点"，（已知）

.\N3=N4.（对顶角相等）

；N3=60°,（已知）

.,.Z4=60°.（等量代换）

'：AB//CD,EF与AB,CD交于点G,H,（已知）

.,.Z4+ZFGB=180°.（两直线平行，同旁内角互补）

120°.

平分/尸G8,（已知）

.,.Zl=60°.（角平分线的定义）

故答案为：对顶角相等，等量代换，两直线平行，同旁内角互补，120°,60.

【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补.

23.（6分）如图，己知△ABC.请你按下列步骤画图：（用圆规、三角板、量角器等工具画

图，不写画法，只保留画图痕迹）

①画ZBAC的平分线交线段BC于点D-,

②过点C画A3的平行线交射线AD于点E；

③延长线段AC到点R使CB=AC；

④连接EF-,

（1）请你测量NAEF,则/AEF=90°；

（2）请你通过测量线段CE与线段CF的长度，写出它们的数量关系.CE=CF（填

或“="）

【分析】（1）正确画出图形，利用测量法解决问题即可;

（2）利用测量法解决问题即可;

【解答】解：（1）如图所小，

BfD

通过测量，ZA£F=90°.

故答案为90.

（2）通过测量可知：CE=CF,

故答案为=.

【点评】本题考查作图-复杂作图，平行线的性质等知识，解题的关键是理解题意，学

会正确作图，属于中考常考题型.

24.（8分）阅读材料

2001年，康庄中心小学就提出了

“小足球，大教育”的校园足球理念，确立了以足球育人的思想.2017年6月，全国小

学校园足球联盟启动大会在康庄中心小学举行.联盟响应习近平总书记“足球进校园”

的号召，旨在以“康庄小学足球模式”为基础，加强校园足球的实践与研究，以此推

动校园足球健康发展.2017年9月，学校到商场购买A,3两种品牌的足球，购买A种品

牌的足球50个，8种品牌的足球25个，共花费4500元；已知购买一个B种品牌的足球

比购买一个A种品牌的足球多花30元.

（1）学校购买一个A种品牌、一个8种品牌的足球各需多少元.

（2）2018年3月，学校决定再次购进A,8两种品牌足球共50个，正好赶上商场对商

品价格进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高4元，B品牌足球按第一次购买时

售价的9折出售.如果学校此次购买A,B两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的

70%,且保证这次购买的B种品牌足球不少于23个.学校第二次购买足球有哪几种方案？

（3）请你直接写出学校在第二次购买活动中最多需要多少资金？

【分析】（1）设A种品牌足球的单价为x元，8种品牌足球的单价为y元，根据“总费

用=买A种足球费用+买B种足球费用，以及B种足球单价比A种足球贵30元”可得出

关于尤、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；

（2）设第二次购买A种足球加个，则购买B种足球（50个，根据“总费用=买4

种足球费用+买B种足球费用，以及B种足球不小于23个”可得出关于m的一元一次不

等式组，解不等式组可得出机的取值范围，由此即可得出结论；

（3）分析第二次购买时，A、B种足球的单价，即可得出哪种方案花钱最多，求出花费

最大值即可得出结论.

【解答】解：（1）设A种品牌足球的单价为x元，8种品牌足球的单价为y元，

依题意得：（50x+25y=4500,

（y=x+30

解得：卜=5°.

ly=80

答：购买一个A种品牌的足球需要50元，购买一个8种品牌的足球需要80元.

（2）设第二次购买A种足球机个，则购买8种足球（50-僧）个，

依题音得.［（50+4）m+80X0.9（50-m）<4500X70?；

6'l50-m>23

解得：25WmW27.

故这次学校购买足球有三种方案：

方案一：购买A种足球25个，8种足球25个；

方案二：购买A种足球26个，8种足球24个；

方案三：购买A种足球27个，8种足球23个.

（3）:第二次购买足球时，A种足球单价为50+4=54（元），B种足球单价为80X0.9

=72（元），

当购买方案中B种足球最多时，费用最高，即方案一花钱最多.

.•.25X54+25X72=3150（元）.

答：学校在第二次购买活动中最多需要3150元资金.

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，根据数量关

系列出方程（方程组、不等式或不等式组）是关键.

25.（4分）我们经常利用图形描述问题和分析问题.借助直观的几何图形，把问题变得简

明、形象，有助于探索解决问题的思路.

（1）小明为了解释某一公式，构造了几何图形，如图1所示，将边长为。的大正方形剪

去一个边长为6的小正方形，并沿图中的虚线剪开，拼接后得到图2,显然图1中的图形

与图2中的图形面积相等，从而验证了公式.则小明验证的公式是（a+6）（a-b）=

a2-b2.

(2)计算：(%+a)(x+Z?)=；请画图说明这个等式.

【分析】(1)依据图形面积=/-廿，图形面积=(〃+。)(〃-匕)，即可得到(〃+。)(〃

-b)=/-层；

(2)依据图形面积=(x+a)(x+b),图形面积=X2+QX+Z?X+Q。，即可得出(x+a)(x+b)

=jp+ax+bx+ab.

【解答】解：(1)由图1可得，图形面积=〃2-房，

由图2可得，图形面积=(a+b)(a-Z?),

(a+b)(a-/?)=a2-b2

故答案为：(a+b)(a-b)-序；

(2)(x+〃)(x+b)=/+狈+氏什血

证明：如图所示，图形面积=(%+。)(x+b),

图形面积=j?+ax+bx+ab,

(X+Q)(X+Z?)=f+ax+bx+ab,

故答案为：x^-\-ax+bx+ab.

【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，把阴影部分的面积用不同的方法表示是解

答此类题目的关键.

26.(7分)我们知道：任何有理数的平方都是一个非负数，即对于任何有理数a,都有/

NO成立，所以，当〃=0时，/有最小值o.

【应用】：(1)代数式(％-1)2有最小值时，％=1；

(2)代数式加2+3的最小值是3；

【探究工求代数式“2+4”+9的最小值，小明是这样做的：

/+4”+9

="2+4〃+4+5

=(力+2)2+5

当〃=-2时，代数式/+4〃+9有最小值，最小值为5.

请你参照小明的方法，求代数式/-6a-3的最小值，并求此时a的值.

【拓展】：(1)代数式川+后-8/"+2〃+17=0,求根+”的值.

(2)若y=-4於+12汁6,直接写出y的取值范围.

【分析】(1)由(x-1)22。可得》=1时，取得最小值0；

(2)由加2》0知后+3/3可得答案；

(3)将方程变形为(/-4)2+(w+1)2=0,由非负数性质求得相、"的值即可得；

(4)由y=-4尸+12什6=-4。-3)z+15知-4。-3)2+15<15,从而得出答案.

22

【解答】解：(1)代数式(X-1)2有最小值时，x=l,

故答案为：1；

(2)代数式机2+3的最小值是在777=0时，最小值为3,

故答案为：3.

(3)-8相+2〃+17=0,

(m-4)2+(«+1)2=0,

则机=4、n=-1,

徵+〃=3；

(4)y