2020-2021学年常德市澧县九年级上学期期末数学试卷(含答案解析)

2020-2021学年常德市澧县九年级上学期期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）

1.关于x的一元二次方程a/—2x+2=0有两个相等实数根，贝Ua的值为（）

A.1B.-3C.1D.—1

2.关于反比例函数y=：,下列说法中正确的是（）

A.它的图象分布在第一、四象限

B.它的图象过点（一1,一2）

C.当x<0时，y的值随x的增大而减小

D.它的图像是轴对称图形，有一条对称轴

3.抛物线丁=一/+2%—2经过平移得到抛物线丁=—/,平移方法是（）

A.向左平移1个单位，再向下平移1个单位

B.向左平移1个单位，再向上平移1个单位

C.向右平移1个单位，再向上平移1个单位

D.向右平移1个单位，再向下平移1个单位

4.若93—125）2+也+4|+回^=0，则9+匕+<）2。19的值是（）

A.0B.1C.-1D.2019

6.如图，已知，I〃，2〃，3,48=3,BC=5,DF=12,则DE的长为（）\/0

A.4B\/E

B9

-

2

3

C.5

DT

7.如图，在半径为5的。。中，弦4B=6,OH148于点H,贝=（

A.3

B.4

C.5

D.6

8.如果a:B=c:d，则下列等式成立的是（）

a+bc+da-cb-da+cb+da-cb-d

A.-------=--------B.-------=---------C.-------=--------D.

bbdd

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.如图，以4B为直径的。。与CE相切于点C,CE交AB的延长线于

点E,直径AB=18,44=30。，弦CDJ.4B,垂足为点F,连接

AC,0C,则下列结论正确的是.（写出所有正确结论的序号

）

(1)BC=BD;

②扇形0BC的面积为日兀；

③△OEC-,

④若点P为线段。4上一动点，则4P-OP有最大值20.25.

10.已知反比例函数的图象满足条件：在各自的象限内，y随x的增大而增大，请你写出一个符合条

件的函数表达式_.

11.已知线段4B=6cm,点C是4B的黄金分割点，且4C>BC,那么线段4c的长为.

12.如图所示，在平面直角坐标系中，AOAB是等边三角形，点4在反比丫:。

例函数y=—±,点B在反比例函数y=-±,则点B的坐标为______./'

,IT

13,已知关于x的方程*2-4x-2k=o有两个实数根，那么k的取值范围是______.

上的任意一点，当乙4PB=45。时，BP的长是.

16.抛物线y=a/++c(a,b,c为常数，a>0)经过(0,0),(4,0)两点.则下列四个结论正确的有

(填写序号).

①4a+b=0；

②5a+3b+2c>0；

③若该抛物线y=ax2+bx+c与直线y=-3有交点，则a的取值范围是a>—

④对于a的每一个确定值，如果一元二次方程联2+故+(:-1=0(1为常数，1式0)的根为整数，则

t的值只有3个.

三、计算题(本大题共3小题，共17.0分)

17.用指定的方法解下列方程：

(l)4(x-I)2-36=0(直接开平方法)

(2)2x2-5x+1=0(配方法)

(3)(x+l)(x-2)=4(公式法)

(4)2(%+1)-x(x+1)=0(因式分解法)

k

18.(本小题满分10分)如图，一次函数y=—x+4的图象与反比例y=-(K为常数，且太工°

)的图象交于B两点.

(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；

(2)在义轴上找一点F，使产工+23的值最小，求满足条件的点F的坐标及",45的面积.

19.如图13,某市为方便相距2km的4、B两处居民区的交往，修筑

一条笔直的公路(即图中的线段4B),经测量，在4处的北偏东60。

方向、8处北偏西45。方向的C处有一半径为0.7的圆形公园，

间计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什

国13

么？

四、解答题(本大题共7小题，共55.0分)

20.计算：|V3-2|+2020°++3tan30°

21.随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭，成为

居民消费新的增长点.据某市交通部门统计，2008年底全市汽车拥有量为150万辆，而截止到

2010年底，全市的汽车拥有量已达216万辆.

(1)求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率；

(2)为保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2012年底全市汽车

拥有量不超过231.96万辆；另据估计，从2011年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底

汽车拥有量的10%.假定每年新增汽车数量相同，请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超

过多少万辆.

22.随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷.某校数学兴趣小组设计了“你

最喜欢的沟通方式”调查问卷(每人必选且只选一种)，在全校范围内随机调查了部分学生，将

统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题.

(1)在扇形统计图中，表示“QQ”的扇形圆心角的大小为

(2)将条形统计图补充完整;

(3)该校共有2600名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有多少名？

23.图1、图2分别是10x8的网格，网格中每个小正方形的边长均为1,4、B两点在小正方形的顶

点上，请在图1、图2中各取一点C(点C必须在小正方形的顶点上)，使以4、B、C、为顶点的三

角形分别满足以下要求：

(1)在图1中画一个44BC,使44BC为以4B为斜边的直角三角形且面积是5；

(2)在图2中画一个△4BC,使AZBC为钝角等腰三角形，并且使4c=4b.

24.如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+b(k片0)与双曲线丫=

三(771。0)交于点8,与x轴和y轴分别交于点C,D,已知点4(几6),

C(-2,0),0(0,4).

(1)求一次函数和反比例函数的解析式；

(2)连接CM,0B,求△AOB的面积;

(3)直接写出反比例函数大于一次函数的自变量x的取值范围.

25.如图，在△4BC中，点。、E、尸分别在BC、AB、4c上，EF//BC,

交4。于点G.

(1)图中有几对相似三角形？是哪几对？

⑵案与隔日等吗？为什么?

DUCDB

,0C

26.如图，在平面直角坐标系xOy中，。为坐标原点,抛物线y=a(x+3)(x-l)(a>0)与久轴交于A,

B两点(点力在点8的左侧).

(1)求点4与点B的坐标；

(2)若a=3点M是抛物线上一动点，若满足NM4。不大于45。，求点M的横坐标m的取值范围.

(3)经过点B的直线I：y=kx+b与y轴正半轴交于点C.与抛物线的另一个交点为点。，且CD=4BC.若

点P在抛物线对称轴上，点Q在抛物线上，以点B,D,P,Q为顶点的四边形能否成为矩形？若

能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由.

参考答案及解析

1.答案：A

解析：解：•••关于x的一元二次方程a/-2x+2=0有两个相等实数根，

'ar0

"[A=(-2)2-4xax2=0'

1

：•Q=-,

2

故选：A.

根据一元二次方程的定义及根的判别式△=0,即可得出关于a的一元一次不等式及一元一次方程，

解之即可得出a的值.

本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当/=0时，方程有两个相等的实数根”是

解题的关键.

2.答案：C

解析：解：4、・反比例函数y=：中k=1>0,,

.••该函数的图象在第一、三象限，故本选项不符合题意；

8.把(-1,-2)代入y=得：左边=一2,右边=一1,左边K右边，

所以点(-1,-2)不在该函数的图象上，故本选项不符合题意；

C」.,反比例函数y=中比例系数k=1>0,

二函数的图象在每个象限内，y随x的增大而减小，故本选项符合题意；

D反比例函数y=?的图象是轴对称图形，有两条对称轴，故本选项不符合题意；

故选：C.

根据反比例函数的解析式得出函数的图象在第一三象限，函数的图象在每个象限内，y随x的增大而

减小，再逐个判断即可.

本题考查了反比例函数的图象和性质，能熟记反比例函数的性质是解此题的关键.

3.答案:B

解析：解：：y=-/+2x-2=-(x-一1得到顶点坐标为(1,一1),

平移后抛物线y=-/的顶点坐标为(0,0),

・•.平移方法为：向左平移1个单位，再向上平移1个单位.

故选艮

由抛物线y=-M+2x-2=-(x-l)2-1得到顶点坐标为(1,一1),而平移后抛物线y=-/的顶

点坐标为(0,0),根据顶点坐标的变化寻找平移方法.

本题考查了抛物线的平移规律.关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律.

4.答案：C

解析：解：根据题意得，a3—125=0,b+4=0,c3+8=0,

解得a=5,b=-4,c=-2,

所以，(a+b+c)2019=(5-4-2)2°i9=(-1)2019=

故选：C.

根据非负数的性质列式求出a、b,c的值，然后代入代数式进行计算即可得解.

本题考查了绝对值非负数，偶次方非负数的性质，考查立方根的计算，根据几个非负数的和等于0,

则每一个算式都等于0列式是解题的关键.

5.答案：A

解析：解：如图点P为位似中心，

即旦-=三，

PA2PB+32

解得，PB=3,

•••点P的坐标为(一3,2),

故选：A.

根据位似变换的概念找出位似中心，根据相似三角形的性质列

出比例式，计算即可.

本题考查的是位似变换的概念和性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于

一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.

6.答案：B

解析：解：•••AB=3,BC=5,

AC—AB+BC=8,

・D•E・一=AB一,

DFAC

・D•E・一=3

128

9

・・.DE=

2

故选：B.

由k〃W〃3,推出"=笫可得结论.

本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题

型.

7.答案：B

解析：解：连接04

vAB=6,OH1AB,0H过。，

•••AH=BH=3,Z.0HA=90°,

在RtAO/M中，由勾股定理得：OH="0A2一4H2=上一32=4,

故选：B.

连接04根据垂径定理求出4H,根据勾股定理求出。”即可.

本题考查了勾股定理和垂径定理，能求出AH的长度是解此题的关键.

8.答案：C

解析：解：4、由合比性质，£=:(b+dHO)可得-=誓，故本选项错误；

a-cb-cl

B、由等比性质，W=?(b+d#O)可得-------二---------，故本选项错误;

cd

C、由£="得，—,故本选项正确；

cd

a-ccl-b

D、由?=%导，-------=--------，故本选项错误.

ad

故选c.

9.答案：①③④

解析：

本题考查了相似三角形的判定，也考查了垂径定理、圆周角定理和切线的性质.

利用垂径定理对①进行判断：利用圆周角定理得到NBOC=2乙4=60°,则利用扇形的面积公式可

计算出扇形OBC的面积，于是可对②进行判断；利用切线的性质得到OCLCE,然后根据相似三角

形的判定方法对③进行判断；由于AP-OP=-(OP-4.5)2+20.25,则可利用二次函数的性质对④

进行判断.

解：•••弦CD14B,

；.俄=阶,所以①正确；

:.Z-BOC—24/=60°,

.••扇形OBC的面积=等等=弓兀，所以②错误；

--O。与CE相切于点C,

AOC1CE,

：.4OCE=90°,

,:4COF=AEOC,Z.OFC=/.OCE,

OCF-AOEC；所以③正确;

2P•OP=(9-OP)・OP=-(OP-4.5)2+20.25,

当OP=4.5时，4P・OP的最大值为20.25,所以④正确.

故答案为①③④.

10.答案：y=-:

解析：解：答案不唯一，只要比例系数k<0即可，如：y=-i.

故答案是y=一%

在各自的象限内，y随x的增大而增大，则比例系数k<0,符合条件即可.

本题考查了反比例函数的性质，反比例函数y=：,当k>0,双曲线的两支分别位于第一、第三象

限，在每一象限内y随x的增大而减小，当％<0,双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象

限内y随x的增大而增大.

11.答案：(3百—3)cm

解析：解：,••线段AB=6cm,点C是线段48的黄金分割点，AC>BC,

AC———AB———x6=(3>/5—

故答案为：(3V5—3)cm.

根据黄金分割的概念得到AC=垦1/B，把AB=6cm代入计算即可.

2

本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整

个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；较长

线段是整个线段的由二倍.

2

12.答案：（1一百,一1一百）

V

解析：解：作0C04交AB的延长线于C,作轴于D,E八。0-

CE11轴于E,丁

•・,点/在反比例函数y=m上，：

・••设4（居一》（X>0）,'

,〜4

・•・OD=%,AD=

X

在RtZkAOC中，ACA0=60°,

：•—=tan60°=V3,

OA

•・・^ADD+乙COE=90°,Z.A0D+/.OAD=90°,

・•・乙COE=乙OAD,

vz_OEC=Z-ADO=90°,

・•.△COEfODA,

OE_CE_PC

AD~0D~OA

.♦・OE=二一，CE—V3x,

X

_岳）,

在Rt^AOC中，“40=60°,

A.ACO=30°,

■■AC=20A=2AB,

•••B是AC的中点,

•・•点B在反比例函数y--±,

x-^——=2'

解得x=2,

B(1—y/3,—1—V3)>

故答案为(1-V3,-1-V3).

作0C104,交AB的延长线于C,作4DJ.X轴于D,。5，》轴于后，先证得8是ZC的中点，然后设

4。,一》。>0),则OD=x,AD=\通过证得△COEsA0D4表示长C的坐标，即可表示出B的

坐标，代入y=：求得比的值，从而求得B的坐标.

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，解直角三角形以及三角形相似的

判定和性质，表示出B的坐标是解题的关键.

13.答案：k>—2

解析：解：•.•关于》的方程--4%-2々=0有两个实数根，

.・・△=b2-4ac>0,

即：16+8/cNO,

解得：k>—2,

・・・土的取值范围为人之一2.

故答案为：k>—2.

根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式，解得即司二

本题考查了一元二次方程a/++，=0(aH0)的根的判别式△=b2-4ac：当4>0,方程有两个

不相等的实数根；当△=(),方程有两个相等的实数根；当△<(),方程没有实数根.

14.答案：-1VxV0或%>1

解析：解:把点P(Lm)代入y=3%得：

m=3,

即点P的坐标为(1,3),

把P(l,3)代入y=,得:

n=3,

即反比例函数的解析式沏y=：,

ly=3x

解得:检：4

即反比例函数与正比例函数的交点为：(1,3),(-1,-3),

通过观察图象可知：

正比例函数大于反比例函数的X的取值范围为-1<x<0或x>1,

故答案为一l<x<0或x>L

把点P(l,7n)代入y=3x,求出血的值，进而求出n的值，将直线和双曲线的解析式联立，形成二元一

次方程组，求解即可得到两个公共点的坐标，观察图象，找出当工相同，正比例函数大于反比例函数

的x的取值范围，即可得到答案.

本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，根据题意并观察图形，正确找出公共点是解决本题的

关键.

15.答案：5或5夜或警

解析：解：(1)当点D,P重合时，AAPB为等腰直角三角形，BP=y/AB2+AD2=V52+52=5V2;

(2)过点B作BP1CD,连接4P,此时AaBP为等腰直角三角形,

(3)当点P在B。上时，乙4PB=45。，作于点M,

•••4。=75。,AB//CD,

・・・AABC=105°,

・・・乙BAP=180°-105°-45°=30°,

.：BM=AB■sin^=\AB=\,

・7/45。=翳

BM5V2

:.BDPn=----=——，

sin45°2

综上所述，BP的长为5或5企或”.

故答案为：5或5&或警.

分三种情况，利用直角三角形的性质解答即可.

此题考查直角梯形，关键是分三种情况利用直角三角形的性质解答.

16.答案：①③④

解析：解：将将(0,0)，(4,0)代入抛物线表达式得｛：^；4匕+°=0'

得忆力

••・抛物线解析式为y=ax2—4ax.

①b=—4Q,b+4a=0,正确，

②5a+3b+2c=5。-12a=-7a，a>0,-7a<0,错误.

③当有交点时，ax2-4ax=-3,即一元二次方程a/一4。％+3=。有实数根，

4=16a2-12a=a(16a—12)>0,

va>0,

16a-12>0,解得a2正确.

4

④一元二次方程可化为aM-4ax-t=0,即抛物线y=ax2-4ax与直线y=为常数，t<0)的

故答案为①③④.

将(0,0),(4,0)代入抛物线表达式，求出其解析式，得到系数之间的关系，再分别讨论每个问题.

本题主要考查抛物线与坐标轴的交点、各项系数之间的关系、用根的判别式求取值范围，借助数形

结合思想解题是关键.

17.答案：解:(1)方程变形得：。一1)2=9,

开方得：x—1=3或x—1=-3,

解得：=4,x2=-2；

(2)方程变形得：x2-1x=-1,

配方得：/一'+葛建，

即d)2.

开方得「一合土手

(3)方程整理得：X2-X-6=0,

这里a=l,b=—1,c=-6,

•••/=1+24=25,

1±5

•••X1，x2=—.

则=3,x2=-2；

(4)分解因式得：(x+l)(2-x)=0,

解得：%!——1,x2-2.

解析：(1)方程变形后，利用平方根的定义开方即可求出解；

(2)方程常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方

即可求出解；

(3)方程整理为一般形式，找出a,b,c的值，当根的判别式大于等于0时，代入求根公式即可求出解；

(4)方程左边提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0转化为两

个一元一次方程来求解.

此题考查了解一元二次方程-因式分解法，配方法，公式法，以及直接开平方法，熟练掌握各自解

法是解本题的关键.

18.答案：(1)由已知可得，s=-l-t-4=3,=1*3=3,

二

・・・反比例函数的表达式为¥=三,

x

仪=f+4fz=lfx=3、

联立＜；3解得＜：或＜：所以543二)。

尸二＞y=3；＞'=1

、.x

(2)如答图所示，把B点关于x轴对称，得到,

连接MB'交》轴于点P,连接产R,则有，

P,2+PR=P上”B'NAS',当P点和产’点重合时取

到等号。易得直线月$y=-2x+S,令］：=0,

5/5■＞15%

得尤二三，二产：三月；，即满足条件的P的坐标为；大刀?

设y=-x+4交工轴于点c,则,

;

：,心=5y其•一凡段--xPCxiy4-j5),

1I5、3

即SY*E=QX：［-弓4＜3-1)=3

解析：本题主要考查反比例函数图象的性质.

(1)根据一次函数的解析式可求得4点坐标，将坐标代入反比例函数解析式即可求得反比例函数的表

达式.

（2）作出B点关于x轴对称点，得到歹⑹一）,连接.43'交x轴于点产，连接产月。

易得直线*8',它与x轴的交点就是点P.

求出各交点坐标，即可求得三角形的面积.

解：过C点作CD1AB于D,

由题可知：ZCAD=30°,

、CD

设CD=xkm,tanZCAD=—―,

XAD

所以AD=m=j3x,

T

由CD1AB,由到NCDB=90°,又/CBD=45°,

.答案:

19所以ACDB为等腰直角三角形,

则BD=CD=x,

.'AB=2,

.,.0x-x=2,

22（斤1）

中心＞。.7.

用「q3+i）（m）

...计划修筑的这条公路不会穿过公园.

解析：本题要求的实际上是C到48的距离，过C点作CD_L4B,CD就是所求的线段，由于CD是条公

共直角边，可用CD表示出AD,BD,然后根据AB的长，来求出CC的长.

20.答案：解：原式=2-通+1-3+3x号

=2-V3+l-3+V3

=0.

解析：直接利用负整数指数幕的性质以及绝对值的性质、零指数新的性质、特殊角的三角函数值分

别化简得出答案.

此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键.

21.答案：解：（1）设该市汽车拥有量的年平均增长率为支

根据题意，得150（1+x）2=216

解得*1=0.2=20%,%2=-2.2（不合题意,舍去）.

答：该市汽车拥有量的年平均增长率为20%；

(2)设全市每年新增汽车数量为y万辆，则2011年底全市的汽车拥有量为216x90%+y万辆，2012年

底全市的汽车拥有量为(216x90%+y)x90%+y万辆.

根据题意得(216x90%+y)x90%+y<231.96,

解得y<30；

答：该市每年新增汽车数量最多不能超过30万辆.

解析：(1)设该市汽车拥有量的年平均增长率为X,根据2008年底全市汽车拥有量为150万辆，而截

止到2010年底，全市的汽车拥有量已达216万辆可列方程求解.

(2)设全市每年新增汽车数量为y万辆，则2011年底全市的汽车拥有量为216x90%+y万辆，2012年

底全市的汽车拥有量为(216x90%+y)x90%+y万辆根据要求到2012年底全市汽车拥有量不超

过231.96万辆可列不等式求解.

22.答案：解：(1)108。；

(2)短信的人数为100x5%=5,

则微信的人数为100一(20+5+30+5)=40,

补全图形如下：

(3)估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有2600X孤=1040名.

解析：

本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信

息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总

体的百分比大小.

(1)先根据电话的人数及其所占百分比求得总人数，再用360。乘以“QQ”人数所占比例可得；

(2)被调查的总人数乘以“短信”占的比例求得短信人数，再根据各方式的人数和等于总人数求得微

信的人数，即可补全图形；

(3)总人数乘以样本中“微信”人数所占比例可得.

解：(1)••・被调查的总人数为20+20%=100人,

二表示“QQ”的扇形圆心角的大小为360。*需=108。,

故答案为：108。；

(2)见答案;

(3)见答案.

23.答案:解:

解析：⑴根据题意可知48=5,要使△4BC面积为5,则只需要两条直角边分别为遥和2遍即可;

(2)由题意AB=BC=5,先作出满足条件的点C,再结合条件4C=4而，即可解决问题;

本题考查了勾股定理的应用及三角形面积的知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题,

属于中考常考题型.

24.答案：解：(1)把C(-2,0),。(0,4)分别代入y=kx+b(kr0)得=°°

解瞰：j,

・•・一次函数的解析式为y=2x4-4,

把点A(n,6)代入y=2%+4得，6=2n4-4,

・•・n=1,

・・・4(1,6),

把4(1,6)代入y=£(m片0)得m=1x6=6,

・••反比例函数的解析式为y=1

(2)解仁二4啜工能二，

・・・8(_3,_2),

=

**,^AAOB=^AAOD+S〉BOD-X4X14--X4X3=8；

(3)观察图象，反比例函数大于一次函数的自变量x的取值范围x<一3或0<x<1.

解析：(1)先利用待定系数法求直线4B的解析式，进而求得4的坐标，代入、=;(血片0)即可求得加

的值；

(2)先求得B的坐标，然后根据SAAOB=SAAOD+SABOD求得即可；

(3)根据图象即可求得.

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数

关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点.也考查了待

定系数法求函数解析式.

25.答案：解：(1)•••EF//BC,

:AEFs&ABC,△AEG^^ABDi△AGF^t^ADC,

•••图中有三对相彳以三角形，分别为：AAEFfABC,&AEGFABD,^AGF^-^ADC.

Q溜奇,理由如下：

•・,△4EG7ABD,

EGAG

:.—=—.

BDAD

,.e△AGF~AADC,

.••丝=丝,

CDAD

EG_FG

,•丽-CD*

解析：(1)由EF//