2022-2023学年陕西省安康市汉滨区七校联考高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年陕西省安康市汉滨区七校联考高一（下）期末数

学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田.这n块地的亩产量（单位:kg）分另U为xi，

X2--马，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（）

不，…,%的标准差

A.X1,乂2、,,■，Xn的平均数B.xlfn

C.不，第2，…，的最大值D.Xx,工2，…，的中位数

2.下列命题中真命题是()

A.a,6=0=>a=0或b=0B.五〃3=为在B上的投影为|方|

C.a1K=>a-K=(a-b)2D.a-c=K-?=>a=K

3.已知复数z满足z+|z|=l+i,则z=()

A.—iB.iC.1—iD.1+i

4.若向量优瓶夹角为以且|五|=2,|&|=1，则日与五+2万的夹角为（）

A.IB.IC.vD.

0336

5.已知la表示直线，a,0表示两个不同的平面，则下列说法正确的是（）

A.若a〃a,a〃0,则。〃0B.若aua,a///?,则a〃£

C.若a_La,aLp,则a1口D.若aua,a10,则a1£

6.为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（

十分制）如图所示，假设得分的中位数为me，众数为巾0,平均值为3则（）

A.me<xB.m0>xC.me<m0D.me=m0

7.某区要从5名干部甲、乙、丙、丁、戊中随机选取2人，赴区属的某村进行驻村考察，则

甲或乙被选中的概率是（）

8.欧拉公式ei，=cosx+is讥为虚数单位）将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三

角函数和指数函数的关系.当％=兀时，'”+1=0,根据欧拉公式可知，e而对应的点在复平面

内位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.在某次高中学科知识竞赛中，对4000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频

率分布直方图，其中分组的区间为[40,50）,[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100],

60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，则下列说法中正确的是

（）

频率/组距

0.02()

0.015

0.010

'405060708090100成绩(分)

A.成绩在[70,80）的考生人数最多B.不及格的考生人数为1000

C.考生竞赛成绩的平均分约为70.5分D.考生竞赛成绩的中位数为75分

10.下列命题中不正确的是（）

A.四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面

B.用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台

C.以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成几何体叫圆锥

D.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱

11.甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛

结束）.根据前期比赛成绩可知在每一局比赛中，甲队获胜的概率为全乙队获胜的概率为最若

前两局中乙队以2：0领先，贝1（）

A.甲队获胜的概率为3B.乙队以3：0获胜的概率为处

C.乙队以3：1获胜的概率为/D.乙队以3：2获胜的概率为《

12.已知向量无+,=(1,1),卷一1=(一3,1)区=(1,1)，设的夹角为仇则()

A.|a|=|K|B.aleC.b//cD.0=135°

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.总体编号为01,02,...19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选

取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来

的第5个个体的编号为.

78166572080263140214431997140198

32049234493682003623486969387181

14.已知瓦(=(1,2),石=(—2,3),a=(-1,2),以瓦、石为基底将五分解为友可+(2的形

式为.

15.如图，40是AABC边BC上的高，若AD：DC：BD=1：2：3,则NB4C=

16.设4B,C为三个随机事件，若4与B互斥，8与C对立，且PQ4)=],P(C)=|,则P(4+

B)=.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知复数z=(m-l)(m+2)+(m-l)i»(m£R,i为虚数单位)。

(1)若z是纯虚数，求实数m的值；

(2)若zn=2,设芸=a+beR),试求a+6。

18.(本小题12.0分)

为了解某地中小学生的近视形成原因，教育部门委托医疗机构对该地所有中小学生的视力做

了一次普查.现该地中小学生人数和普查得到的近视情况分别如图1和图2所示.

(I)求该地中小学生的平均近视率(保留两位有效数字)；

(n)为调查中学生用眼卫生习惯，该地用分层随机抽样的方法从所有初中生和高中生中确定5

人进行问卷调查，再从这5人中随机选取2人继续访谈，则此2人全部来自高中年级的概率是

多少？

19.(本小题12.0分)

已知向量a=(2,1),b=(4,—3).

(I)若@-2方)_L(4五+3)，求;I的值：

(H)若不=(1,〃)，向量三与下的夹角为锐角，求四的取值范围.

20.(本小题12.0分)

某公司为了解用户对其产品的满意度，从4、B两地区分别随机调查了40名用户，根据用户对

产品的满意度评分(单位：分)，得到4地区的用户满意度评分的频率分布直方图(如图)和B地

区的用户满意度评分的频数分布表(如表1).

表1

满意度评分[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

频数2814106

表2

满意度评分低于70分[70,90)[90,100]

满意度等级不满意满意非常满意

(1)分别估计A、B两地区样本用户满意度评分低于70分的频率；

(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级(如表2),将频率看作概率，从4、B两

地区的用户中各随机抽查一名用户进行调查，求至少有一名用户评分满意度等级为“满意”

或“非常满意”的概率.

21.(本小题12.0分)

已知△4BC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,(a+b+c)(b+c-a)=3bc.

(1)求4的大小；

(2)若b+c=2a=2/3，试判断△力BC的形状.

22.(本小题12.0分)

如图，在直三棱柱48。-418也1中，&&=力也1，D,E分别是棱BC,CQ上的点(点。不同

于点C),且4。IDE,尸为BiG的中点.求证：

(1)平面ADE1平面BCGBi；

(2)直线4J〃平面ADE.

B

答案和解析

1.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的量的判断，解题时要认真审题，注意平均数、

标准差、最大值、中位数的定义和意义的合理运用，属于基础题.

利用平均数、标准差、最大值、中位数的定义和意义直接求解.

【解答】

解：在4中，平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标，故A

不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；

在B中，标准差能反映一个数据集的离散程度，故B可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；

在C中，最大值是一组数据最大的量，故C不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；

在。中，中位数将数据分成前半部分和后半部分，用来代表一组数据的“中等水平”，故。不可

以用来评估这种农作物亩产量稳定程度.

故选B.

2.【答案】C

【解析】解：依次分析可得，

A、若a-b=O，则&=0或b=0或a±b，故错误；

B、由力〃石=方在石方向上的投影为|五|或一I中，故错误；

CalK=>a.K=O=>a-b=(a-K)z，正确；

D、向量数量积的消去律不成立，即五1=3•工=行=方不成立，故错误；

故其中真命题为C.

故选：C.

根据向量、向量数量积的基本概念与性质，依次分析选项，可得其是否正确，即可得答案.

本题考查向量、数量积判断两个平面向量的垂直关系基本概念与性质，是一些常见的错误，平时

应注意这些细节的问题.

3.【答案】B

【解析】解：设复数z=%+yi,x,yER,

由z+|z|=1+i,

得(％+yi)+yjx2+y2=1+i，

...p=.

\x+J%2+y2=]，

解得％=0,y=1,

J.z=i.

故选：B.

设复数z=x+yi,x,yER,由z+|z|=1+i列方程求出x、y的值即可.

本题考查了复数的定义与应用问题，是基础题.

4.【答案】A

【解析】

【分析】

利用向量的数量积运算性质、向量的夹角公式即可得出.

本题考查了向量的数量积运算性质、向量的夹角公式，属于中档题.

【解答】

解：,响量落方的夹角为或且|初=2,|K|=1，

.-.a-b=\a\|K|COS^=2X1x1=1.

.­.a-(a+2K)=a2+2a-b=22+2xl=6>

\a+2b\=Ja2+4bZ+4a-b=V22+4xl+4xl=2c•

设五与2+23的夹角为。且取值范围是，9e[O.TT],

...cos0=«<£±a=...e=l

\a\\a+2b\2x2C26

即益与五+2猫夹角为去

故选：A.

5.【答案】D

【解析】解:4若。〃访a〃/?，则a〃/?不一定成立，可能相交,故A错误，

8.若aua,a///?,则a〃6或a与/?相交，故8错误，

<7.若41%a_L0,则0;〃6，故C错误，

。.若aua,aA.8,则al£,正确，故。正确，

故选：D.

根据空间直线和平面平行或垂直以及平面和平面平行或者垂直的性质和判定定理进行判断即可.

本题主要考查命题的真假判断，涉及空间直线和平面平行或垂直的位置关系，比较基础.

6.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查了频数分布直方图的应用问题，以及中位数、众数、平均数的求解问题，属于基础题.

根据频数分布直方图，分别求出中位数、众数、和平均数，即可求解.

【解答】

解：中位数为第15,16个数（分别为5,6）的平均数，即rne=5.5,

5出现的次数最多，故众数为m。=5,

TP-U-t—2x3+3x4+10x5+6x6+3x7+2x8+2x9+2x10

平均数为x=-------------------------------«5r.97.

•••m0<me<x<

故选：A.

7.【答案】D

【解析】解：从5名干部中随机选取2人，

共有（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（甲，戊），（乙，丙），

（乙.丁），（乙，戊），（丙，丁），（丙，戊），（T,戊）这10种等可能方案，

其中符合条件的有7种方案，则所求概率为看.

故选：D.

列举出所有可能的情况，并从中找出符合条件的情况，根据古典概型概率公式可求得结果.

本题考查古典概型，属于基础题.

8.【答案】C

【解析】解：因为/*=cosx+is出工,所以e,i=cos4+凶讥4,

3

Jr<4<-7r,所以cos4<0,sin4<0,

故e而对应的点在复平面中位于第三象限.

故选：C.

根据题意代入x=4,e4i=cos4+isin4,然后分析实部虚部的正负，判断所在象限即可.

本题主要考查复数的几何意义，属于基础题.

9.【答案】ABC

【解析】解：由频率分布直方图可得，成绩在［70,80）的频率最高，因此考生人数最多，故A正确；

成绩在［40,60）的频率为0.01x10+0.015x10=0.25,因此，不及格的人数为4000x0.25=

1000,故。正确;

考生竞赛成绩的平均分约为45x0.1+55x0.15+65x0.2+75x0.3+85x0.15+95x0.1=

70.5,故C正确；

因为成绩在［40,70）的频率为0.45,在［70,80）的频率为0.3,所以中位数为70+10x翳农71.67,

故。错误.

故选：ABC.

根据频率分布直方图的性质及特征数的求法，即可判断各选项.

本题考查频率分布直方图的性质，属基础题.

10.【答案】BCD

【解析】解：对于4四面体为三棱锥，每个面都是三角形，所以每个面可以作为底面，故A正

确；

对于氏用不平行于棱锥底面的平面去截棱雉，截面与底面的部分组成的几何体不叫棱台，故8

错误；

对于C,若以直角三角形的斜边为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成几何体不叫圆锥.故C

错误；

对于D,如图所示，是由两个相同形状的三棱柱叠放在一起形成的几何体，这个几何体就不是棱

柱.故。错误;

A-，G

B

B

故选：BCD.

根据棱柱、棱锥、棱台及圆锥的定义即可判断.

本题考查棱柱、棱锥、棱台及圆锥的定义，属于基础题.

11.【答案】AB

【解析】解：对于Z，在乙队以2：0领先的前提下，若甲队获胜则第三、四、五局均为甲队获胜，

所以甲队获胜的概率为(|)3=捺，故A正确；

对于B,乙队以3：0获胜，即第三局乙获胜，概率为全故B正确：

对于C,乙队以3：1获胜，即第三局甲获胜，第四局乙获胜，概率为|xg=[,故C错误；

对于D,若乙队以3：2获胜，则第五局为乙队获胜，第三、四局乙队输，所以乙队以3：2获胜的

概率为|x|xg=5，故。错误.

故选：AB.

由概率的乘法公式对选项逐一判断，

本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题.

12.【答案】BD

【解析】

【分析】

本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题.

根据题意，求出正3的坐标，据此分析选项，综合即可得答案.

【解答】

解：根据题意，a+b=(1,1).五一行=(一3,1)，则(一Ll)，B=(2,0).依次分析选项：

对于A,|砧=，'%|b|=2»则|五|=不成立，A错误；

对于B,a=(-1,1),c=(1,1),则五1=0,即乙/8正确;

对于C,b=(2,0)-c=(1,1)>3〃^不成立，C错误；

对于D,a—(—1,1).b=(2,0)>则方-6=—2,|a|=y/~2>|b|=2,Mcos0=则

Q=135°,。正确；

故选：BD.

13.【答案】01

【解析】

【分析】

本题主要考查简单随机抽样的应用，正确理解随机数法是解决本题的关键，比较基础.

根据随机数表，依次进行选择即可得到结论.

【解答】

解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次

为08,02,14,02,14,19,14,01,04.去掉重复数字，

可知对应的数值为08,02,14,19,01,

则第5个个体的编号为01.

故答案为01.

14.【答案】方=,可+［行

7174

【解析】解：由题意可得(—1,2)=(21—2入2,2入1+3A2),

(2-2A1+3A2h=i

所以弓=:可+5/，

故答案为：E国+5孩

根据向量线性运算的坐标表示即可列方程组求解.

本题考查平面向量的坐标运算和平面向量基本定理，属于基础题.

15•【答案】手

【解析】解：由于AC是△ABC边BC上的高，若AC：DC：BD=1：2：3,

设AD=x,DC=2x,BD=3x,

利用勾股定理：所以4B=V10x>AC=5x>

在△ABC中，利用余弦定理：cos/BAC=竽%三桨=一千，

2xv5xxvl0x2

由于484cE(0,兀)，

所以4BAC=4

故答案为：

直接利用余弦定理的应用求出结果.

本题考查的知识要点：三角形的解法，余弦定理，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属

于基础题.

16.【答案】5

【解析】

【分析】

本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运

算求解能力，是基础题.

利用对立事件概率计算公式求出P(B)=1-P(C)=%再由互斥事件概率加法公式,求出P(4+B).

【解答】

解：•••随机事件A,B,C中，4与B互斥，8与C对立，且PQ4)=],P(C)=|,

•­■P(B)=1-P(C)=I，

117

P(4+8)=P(A)+P(B)=泻=金

故答案为:,

17.【答案】解：(I)若2是纯虚数，则｛%+2)=0,

解得m=-2.

(11)若巾=2,则z=4+i.

...a+h/=±^i=±t2i=(4+20(3-0=71

4+1-13+i(3+t)(3-i)55*

7,1

"a=g-b=

a+b=|.

【解析】(I)由纯虚数的定义可得方程组，解出可得；

(H)m=2,z=4+i,对等式右边化简由复数相等的条件可求a,b从而得答案;

该题考查复数的有关概念、代数形式的运算及其几何意义，属基础题.

18.【答案】解：(I)该地中小学生的平均近视率为:

-_3200xl0%+3000x30%+2000x50%

X~3200+3000+2000=23.56%.

(口)该地用分层随机抽样的方法从所有初中生和高中生中确定5人进行问卷调查,

则从初中生中抽取：5x焉为=3人，

2000_.

从高中生中抽取:5X3000+2000=/人，

再从这5人中随机选取2人继续访谈,

基本事件总数n=鬣=10,

此2人全部来自高中年级包含的基本事件个数m=废=1,

则此2人全部来自高中年级的概率是p=?=

【解析】(I)利用扇形统计图和条形统计图能求出该地中小学生的平均近视率.

(U)根据分层随机抽样的方法可知从初中生中抽取3人，从高中生中抽取2人，再从这5人中随机选

取2人继续访谈，基本事件总数n=Cj=10,止匕2人全部来自高中年级包含的基本事件个数m=

Cl=1,由此能求出此2人全部来自高中年级的概率.

本题考查扇形统计图、条形统计图、分层随机抽样、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，

是基础题.

19.【答案】解：(I)a-2b=(2，1)-2(4,-3)=(-6,7),

Aa+b=(22+4,2-3)，

因为G一2石)1(Aa+b);

所以(五一2石)♦(4五+&)=-6(2/1+4)+7(A-3)=0.

解得;I=-9.

(口)向量五与芸的夹角为锐角，祝i>o且五与下不共线,

所以解得〃>一2且”

即〃的取值范围是(一2,白U©,+8).

【解析】本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的运

算，考查方程思想与运算求解能力，属于中档题.

(I)由向量的线性运算分别求出五-23，Xa+b>由(五一25)，。五+3)，可得仅一

6)=0,得到关于4的方程，解方程可得；I的值；

(II)由题意可得了•c>0且弓与工不共线，由此求得〃的取值范围.

20.【答案】解：(1)由频率分布直方图得：

(0.010+0.020+a+0.020+0.015+0.005)x10=1,

解得a=0.030.

力地区样本用户满意度评分低于70分的频率为(0.01+0.02+0.03)X10=0.6,

B地区样本用户满意度评分低于70分的频率为瑁=0.25.

(2)根据样本频率可以估计总体频率，

记事件M表示“从A地区随机抽取一名用户满意度评级为不满意”，则P(M)=0.6.

记事件N表示“从B地区随机抽取一名用户满意度评级为不满意”，则P(N)=0.25.

易知事件M和事件N相互独立，则事件M和事件N相互独立.

记事件C表示“至少有一名用户评分满意度等级为“满意”或“非常满意”，

则P(C)=1-P(C)=1-P(M)P(N)=1-0.6X0.25=0.85>

故至少有一名用户评分满意度等级为“满意”或“非常满意”的概率为0.85.

【解析】(1)由频率分布直方图列方程求出a,由此能求出4地区样本用户满意度评分低于70分的

频率和B地区样本用户满意度评分低于70分的频率.

(2)记事件M表示“从4地区随机抽取一名用户满意度评级为不满意”，记事件N表示“从8地区随

机抽取一名用户满意度评级为不满意”，进而得P(M)=0.6,P(N)=0.25,再根据独立事件，对

立事件概率公式求解即可.

本题考查频率分布直方图、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础

题.

21.【答案】解：(1)v(a+b+c)(b+c—a)=(b+c)—M一02+2bc=3bc,即庐+

c2—a2=be,

.h2+c2—a2