考研数学数学二模拟试卷442-真题(含答案与解析)-交互

考研数学（数学二）模拟试卷442(总分56,做题时间90分钟)1.选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1.

设f(x)在x=0的某邻域内连续，且当x→0时，f(x)与xm为同阶无穷小．又设当x→0时，F(x)=∫0xnf(t)dt与xk为同阶无穷小，其中m与n为正整数．则k=()A

mn+n．B

n+m．C

m+n．D

mn+n－1．

分值:2答案:A解析：当x→0时，f(x)与xm为同阶无穷小，从而知存在常数A≠0，当x→0时，f(x)～Axm，从而，f(xn)～Axm．于是由题意可知，上式为不等于零的常数，故k=mn+n．2.

设φ(x)在x=a的某邻域内有定义，f(x)=|x－a|φ(x)．则“φ(x)在x=a处连续”是“f(x)在x=a处可导”的()A

必要条件而非充分条件．B

充分条件而非必要条件．C

充分必要条件．D

既非充分又非必要条件．

分值:2答案:D解析：下面举两个例子说明应选D．①设φ(x)在x=0处连续，但f(x)=|x|φ(x)在x=0处不可导的例子如下：取φ(x)≡1，但f(x)=|x|在x=0处不可导．②设φ(x)在x=0的某邻域内有定义，但在x=0处不连续，而f(x)=|x|φ(x)在x=0处却可导的例子如下：设φ(x)在x=0处不连续，但=－∞＜x＜+∞．所以f(x)在x=0处可导，fˊ(0)=1．3.

sin(x2+y2)dy=()A

(cos2－1)．B

(－cos2+1)．C

(cos2+1)．D

(－cos2－1)．

分值:2答案:B解析：积分区域D的边界曲线为y=|x|与，其交点为(1，1)与(－1，1)．化为极坐标：4.

设f(x)在x=0处存在二阶导数，且f(0)=0，fˊ(0)=0，f″(0)≠0．则()A

B

C

D

分值:2答案:C解析：先作积分变量代换，令x－t=u，则由二阶导数定义，5.

设下述命题成立的是()A

f(x)在[－1，1]上存在原函数．B

gˊ(0)存在．C

g(x)在[－1，1]上存在原函数．D

F(x)=∫－1xf(t)dt在x=0处可导．

分值:2答案:C解析：A不正确．f(x)在点x=0处具有跳跃间断点．函数在某点具有跳跃间断点．那么往包含此点的区间上．该函数必不存在原函数．B不正确．按定义容易知道gˊ(0)不存存．C正确．g(x)为[－1，1]上的连续函数，故存在原函数．D不正确．可以具体计算出F(x)，容易看Fˊ－(0)=0．Fˊ+(0)=0．故Fˊ(0)不存在．6.

设F(u，v)具有一阶连续偏导数，且z=z(x，y)由方程所确定．又设题中出现的分母不为零，则()A

0．B

z．C

D

1．

分值:2答案:B解析：由题意，得7.

设ξ1(1，－2，3，2)T，ξ2(2，0，5，－2)T是齐次线性方程组Ax=0的基础解系，则下列向量中是齐次线性方程组Ax=0的解向量的是()A

α1=(1，－3，3，3)T．B

α2=(0，0，5，－2)T．C

α3=(－1，－6，－1，10)T．D

α4=(1，6，1，0)T．

分值:2答案:C解析：已知Ax=0的基础解系为ξ1，ξ2，则αi，i=1，2，3，4是Ax=0的解向量〈=〉αi可由ξ1，ξ2线性表出〈=〉非齐次线性方程组ξ1y1+ξ2y2=αi有解．逐个判别αi较麻烦，合在一起作初等行变换进行判别较方便．显然因r(ξ1，ξ2)=r(ξ1，ξ2|α3)=2，ξ1y1+ξ2y2=α3有解，故α1，α2，α3是Ax=0的解向量．8.

设α=(1，2，3)T，β1=(0，1，1)T，β2=(－3，2，0)T，β3=(－2，1，1)T，β4=(－3，0，1)T，记Ai=αβiT，i=1，2，3，4．则下列矩阵中不能相似于对角矩阵的是()A

A1．B

A2．C

A3．D

A4．

分值:2答案:D解析：因Ai=αβiT≠O，r(Ai)=r(αβiT)≤r(α)=1，i=1，2，3，4．故λ=0至少是3阶方阵Ai(i=1，2，3，4)的二重特征值．则Ai(i=1，2，3，4)的第3个特征值分别是故知A4的特征值λ1=λ2=λ3=0，是三重特征值，但A4≠O，故A4不能相似于对角矩阵．应选D．2.填空题1.

=______．

分值:2答案:正确答案：解析：2.

椭圆绕x轴旋转一周生成的旋转曲面s的面积=______．

分值:2答案:正确答案：解析：3.

曲线r=a(1+cosθ)(常数a>0)在点处的曲率k=______．

分值:2答案:正确答案：解析：将极坐标方程r=a(1+cosθ)化成参数式：于是有代入由参数式表示的曲率公式：并经较复杂但初等的运算，得4.

在区间[0，1]上函数f(x)=nx(1－x)n(n为正整数)的最大值记为M(n)，则=______．

分值:2答案:正确答案：e－1解析：f(x)=nx(1－x)n，fˊ(x)=n(1－x)n－n2x(1－x)n－1=n(1－x)n－1(1－x－nx)．令fˊ(x)=0，得由于f(0)=f(1)=0，f(x)>0(x∈(0，1))．在区间(0，1)内求得唯一驻点所以f(x1)为最大值．所以5.

设函数f与g可微，z=f[xy，g(xy)+1nx]，则______．

分值:2答案:正确答案：fˊ2解析：由6.

设二次型f(x1，x2，x3，x4)=x12+2x1x2－x22+4x2x3－x32－2ax3x4+(a－1)2x42的规范形为y12+y22－y32；则参数a=______．

分值:2答案:正确答案：解析：f是四元二次型，由规范形知，其正惯性指数为2，负惯性指数为1，且有一项为零．故知其有特征值λ=0，故该二次型的对应矩阵A有|A|=0．因故应有a=．3.解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1.

(1)设0＜x＜+∞，证明存在η，0＜η＜1，使(2)求出(1)中η关于x的具体函数表达式η=η(x)，并求出当0＜x＜+∞时，函数η(x)的值域．

分值:2答案:

正确答案：(1)令由拉格朗日中值定理有f(z+1)－f(x)=fˊ(ξ)(x+1－x)，即其中x＜ξ＜x+1，ξ=x+η，0＜η＜1．(2)由上所以η(x)在区间(0，+∞)上严格单调增加．又所以η(x)的值域为．2.

设函数y(x)在区间[1，+∞)上具有一阶连续导数，且满足y(1)=及x2yˊ(x)+∫1x(2t+4)yˊ(t)dt+2∫1xy(t)dt=，求y(x)．

分值:2答案:

正确答案：由分部积分∫1x(2t+4)yˊ(t)dt=(2t+4)y(t)|1x－2∫1xy(t)dt=(2x+4)y(x)－6y(1)－2∫1xy(t)dt=(2x+4)y(x)+1－2∫1xy(t)dt．则原方程化简为由一阶线性微分方程通解公式，得通解再由初始条件故所求的特解为3.

设f(x，y)=max{IMG}}，1)，D={(x，y||x|≤y≤1}．求f(x，y)dσ．

分值:2答案:

正确答案：如图所不，将D分成三块．中间一块为D3，左右两块分别记为D1与D2，则设n为正整数，f(x)=xn+x－1．4.

证明对于给定的n，f(x)在区间(0，+∞)内存在唯一的零点xn；

分值:2答案:

正确答案：当x∈(0，+∞)时，fˊ(x)=nxn－1+1>0，所以在区间(o，+∞)内f(x)至多只有一个零点，又f(0)=－10，所以f(x)在(0，+∞)上存在唯一零点，记为xn，且xn∈(0，1)，此时f(xn)=0．5.

对于(I)中的xn，证明存在并求此极限．

分值:2答案:

正确答案：下面证数列{xn}单调增加．由xn+1n+1+xn+1－1=0与xnn+xn－1=0两式相减，得xn+1n+1－xnn+(xn－1－xn)=0．但因0＜xn－1＜1，所以xn+1n＞xn+1n·xn+1=xn－1n－1，于是有0=xn+1n+1－xnn+(xn+1－xn)n+1n－xnn+(xn+1－xn)=(xn+1－xn)(xn+1n－1+xn+2n－2xn+…+xnn－1)+(xn+1－xn)=(xn+1－xn)(xn+1n－1+xn+2n－2xn+…+xnn－1+1)．上式第2个括号内为正，所以xn+1－xn＞0，即数列{xn}严格单调增加且有上界1，所以用反证法，如果0＜a＜1，将1－xn=xn＜an两边令x→∞取极限，得1－a≤0，解得a≥1，与反证法的假设矛盾，所以a=1．证毕．6.

设f(u)具有连续的一阶导数，且当x>0，y>0时，，求z的表达式．

分值:2答案:

正确答案：记于是上式成为常微分方程其中C为任意常数．设当x∈[－1，1]时，f(x)连续，F(x)=∫－11|x－t|f(t)dt，x∈[－1，1]．7.

若f(x)为偶函数，证明F(x)也是偶函数；

分值:2答案:

正确答案：因在区间[－1，1]上f(x)为连续的偶函数．则所以F(x)也是偶函数．8.

若f(x)>0(－1≤x≤1)，证明曲线y=F(x)在区间[－1，1]上是凹的．

分值:2答案:

正确答案：F(x)=∫－1x(x－t)f(t)dt+∫x1(t－x)f(t)dt=x∫－1xf(t)dt－∫－1xtf(t)dt+∫x1tf(t)dt－x∫x1f(t)dtFˊ(x)=∫－1xf(t)dt+xf(x)－xf(x)－xf(x)－∫x1f(t)dt+xf(x)=∫－1xf(t)dt－∫x1f(t)dt，F″(x)=f(x)+f(x)=2f(x)>0．所以曲线y=F(x)在区间[－1，1]上是凹的．9.

(1)计算∫0nπ|sint|dt，其中n为正整数；(2)求∫0nπ|sint|dt．

分值:2答案:

正确答案：(1)(2)设n≤x＜n+1，有nπ≤xπ＜(n+1)π．于是当x→∞时，n→∞，由夹逼定理得设A3×3=(α1，α2，α3)，方程组Ax=β有通解kξ+η=k(1，2，－3)T+(2，－1，1)T，其中k是任意常数．证明：10.

方程组(α1，α2)x=β有唯一解，并求该解；

分值:2答案:

正确答案：由题设条件(α1，α2，α3)x=β有通解k(1，2，－3)T+(2，－1，1)T，知r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，β)=2，(*)α1+2α2－3α3=0．(**)β=(k+2)α1+(2k－1)α2+(－3k+1)α3．(***)由(**)式得α3=(α1+2α2)，知α1，α2线性无关(若α1，α2线性相关，又α3=(α1+2α2)，得r(α1，α2，α3)=1．这和(*)式矛盾)．由(*)式知α1，α2是向量组α1，α2，α3及α1，α2，α3，β的极大线性无关组，从而有r(α1，α2)=r(α1，α2，β)=2，方程组(α1，α2)x=β有唯一解．由(***)式取α3的系数－3k+1=0，即取，即(α1，α2)x=β的唯一解为．11.

方程组(α1+α2+α3+β，α1，α2，α3)x=β有无穷多解，并求其通解．

分值:2答案:

正确答案：因r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，β)=2，故方程组(α1+α2+α3+β，α1，α2，α3)x=β有无穷多解，且其通解形式为k1ξ1+k2ξ2+η*，其中ξ1，ξ2为对应的齐次方程组的基础解系η*为方程组的特解，k1，k2为任意常数．由(**)式在(***)式中取k=0，有故方程组(α1+α2+α3+β，α1，α2，α3)x=β的通解为k1ξ1+k2ξ2+η*=k1ξ1+k2(η1－η2)+η1=k1