四川省专升本(高等数学)模拟试卷10(题后含答案及解析)

四川省专升本（高等数学）模拟试卷10(题后含答案及解析)题型有：1.选择题2.填空题4.解答题5.综合题6.证明题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．设函数f(x)=在x=0处连续，则a的值为()A．一2B．2C．D．正确答案：A解析：∵f(x)在x=0处连续，∴=－a，又∵f(0)=2，∴－a=2，a=－2．故选A．2．等于()A．2B．1C．D．0正确答案：D解析：本题考查的知识点为无穷小量的性质．由于x→∞时，为无穷小量，而sin2x为有界变量．由无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量的性质可知3．设函数f(x)=，则()A．x=0，x=1都是f(x)的第一类间断点B．x=0，x=1都是f(x)的第二类间断点C．x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点D．x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点正确答案：D解析：显然x=0，x=1为间断点，其分类主要考虑左右极限．由于函数f(x)在x=0，x=1点处无定义，因此是间断点，且f(x)=∞，所以x=0为第二类间断点；f(x)=－1，所以x=1为第一类间断点，故应选D．应特别注意：4．已知导函数y=ktan2x的一个原函数为ln(cos2x)，则k=()A．B．C．D．正确答案：D解析：由题意tan2x，所以有ktan2x=tan2x，则k=．故选D．5．设函数f(x)=e2x，则不定积分∫f()dx=()A．2ex+CB．ex+CC．2e2x+CD．e2x+C正确答案：B解析：f(x)=e2x，令t=，则dx=2dt，∫f()dx=∫f(t).2dt=2∫e2tdt=∫e2td(2t)=e2t+C=ex+C．故选B．6．在空间直角坐标系中，表示圆柱面的方程是()A．x2+y2一z2=0B．x2+y2=4C．x=y2D．x2+y2+z2=1正确答案：B解析：方程F(x，y)=0表示母线平行于Oz轴的柱面，称之为柱面方程．方程x2+y2－a2=0表示母线平行Oz轴的圆柱面方程．同理，F(y，z)=0及F(x，z)=0都表示柱面，它们的母线分别平行于Ox轴及Oy轴．故选B．7．设vn是正项级数，且un＜vn(n=1，2，…)，则下列命题正确的是()A．若un收敛，则vn收敛B．若un发散，则vn发散C．若vn发散，则un发散D．若vn收敛，则un发散正确答案：B解析：由正项级数的比较判别法可以得到，若小的级数un发散，则大的级数vn必发散．故选B．8．设向量组α1，α2，…，αr是向量组α1，α2，…，αr，β的一个极大线性无关组，记n×r矩阵A=(α1α2…αr)，则非齐次线性方程组AX=β()A．必无解B．必有解，且解唯一C．必有解，且有无穷多组解D．不能确定，可能有解，可能无解正确答案：B解析：r(Anr)=r(α1α2…αr)=r，由条件知β必可由α1，α2，…，αr线性表示得r(α1α2…αr)=r(α1α2…αr，β)=r即AnrXr1=β有唯一解．9．微分方程y′+y=0的通解为()A．y=exB．y=e－xC．y=CexD．y=Ce－x正确答案：D解析：本题考查的知识点为一阶微分方程的求解．可以将方程认作可分离变量方程；也可以将方程认作一阶线性微分方程；还可以仿二阶线性常系数齐次微分方程，并作为特例求解．将方程认作可分离变量方程．分离变量=－dx，两端分别积分=－∫dx，lny=－x+C1，或y=Ce－x．10．A，B为n阶方阵，A可逆，则下面运算正确的是()A．｜—A－1｜=－｜A｜－1B．｜｜A｜B｜=｜A｜｜B｜C．(kA)*=kA*D．(A*)－1=(A－1)*正确答案：D解析：A，｜－A－1｜=(－1)n｜A－1｜=(－1)n=(－1)n｜A｜－1，故A错误；B，｜A｜B｜=｜A｜n｜B｜，故B错误；C，由A－1=A*(d=｜A｜)知(kA)*=｜kA｜(kA)－1=kn－1｜A｜A－1，kA*=k｜A｜A－1，故C错误；D，由于A*(A－1)*=(｜A｜A－1)(｜A－1｜(A－1)－1)=｜A｜｜A－1｜A－1A=E，故D正确．填空题11．设y=2x.x2+sin2，则y′=__________．正确答案：2xx2ln2+2x+1x解析：已知y=2x.x2+sin2，则y′=2xln2.x2+2x.2x=2xx2ln2+2x+1x．12．极限=__________．正确答案：1解析：13．过点(1，一1，0)且与直线平行的直线方程为__________．正确答案：解析：本题考查的知识点为直线的方程和直线与直线的关系．由于两条直线平行的充分必要条件为它们的方向向量平行，因此可取所求直线的方向向量为(2，1，一1)．由直线的点向式方程可知所求直线方程为14．定积分(｜x｜+x)e｜x｜dx=__________．正确答案：2e2+2解析：xexdx，又exdx=e2+1，所以(｜x｜+x)e｜x｜dx=2e2+2．15．已知行列式，则A11+A21+A31=___________．正确答案：0解析：∵A11=(－1)1+1=ac一bc，A21=(一1)2+1=0．A31=(一1)3+1=bc一ac，∴A11+A21+A31=0．解答题解答时应写出推理、演算步骤。16．若=5，求a与b．正确答案：若则当x→2时，x2+ax+b与x－2为同阶无穷小量，令x2+ax+b=(x－2)(x+k)，(※)则(x+k)=5，此时k=3，代入(※)式得x2+ax+b=(x一2)(x+3)，即x2+ax+b=x2+x一6，所以a=1，b=－6．解析：本题关键在于根据同阶无穷小量的定义，将x2+ax+b写成两个一次式的乘积，使得两个未知数a，b变为一个k，解答就简便了．17．已知平面π1：x+2y+z=1，π2：－2x+y+z=3．求过点M0(1，一1，1)且与平面π1，π2都垂直的平面的方程．正确答案：π1的法向量为n1={1，2，1}，π2的法向量n2={－2，1，1}，所求平面π与π1，π2都垂直，故π的法向量为n=n1×n2==i一3j+5k．又因为所求平面过点M0(1，一1，1)，故其方程为1.(x一1)一3(y+1)+5(z一1)=0，即x一3y+5z一9=0．解析：本题考查平面方程的求解，据题意可求出平面的法向量，进而求出平面的点法式方程．18．计算dx．正确答案：令x=tant，则dx=dt．当x=0时，t=0；当x=1时，t=注意到tan2t+1=，则有解析：本题考查的知识点是用换元法去根号计算定积分．三角代换x=asint和x=atant是大纲要求掌握的内容．19．设函数z=exey，求正确答案：=ey.exey=ey.ey.exey=e2y+xey=ey.exey+ey.exey.xey=ey+xeydx．正确答案：解析：本题主要考查不定积分的分母有理化问题．21．求(x+y)dxdy，其中D是由曲线y=x3，y=－x3及y=1所围成的区域．正确答案：如图，因区域关于y轴对称，而f(x)=x是奇函数，所以xdxdy=0，所以解析：计算二重积分的基本思想是将其化为累次积分．可以将二重积分转化为：先对y积分，后对x积分的累次积分．22．求y″+6y′+13y=0的通解．正确答案：特征方程为，r2+6r+13=0，故r=－3±2i为共轭复根，于是通解为y=e－3x(C1cos2x+C2sin2x)．解析：本题考查二阶常系数齐次线性微分方程的通解．23．设线性方程组①且已知(1，一1，1，一1)T是该方程的一个解，试求(1)①的全部解；(2)①满足x2=x3的全部解．正确答案：(1)将(1，一1，1，一1)T代入①得1一λ+μ一1=0，即λ=μ．将Aλ=μ代入①得对它的系数矩阵为A施行初等行变换：由此可知，当λ≠时，所以，此时①的通解为x=(x1，x2，x3，x4)T=C1(一1，，1)T+(1，一1，1，一1)T=(一C1+1，C1+1，C1一1)T(C1是任意常数)．当λ=时，所以，此时①的通解为x=(x1，x2，x3，x4)T=C2(1，一3，1，0)T+C3(，一1，0，1)T+(1，一1，1，一1)T=(C2－C3+1，一3C2一C3—1，C2+1，C3—1)T(C2，C3是任意常数)．(2)当λ≠时，由x2=x3得C1+1，即C1=2，所以，此时①的满足x2=x3的通解为x=(x1，x2，x3，x4)T=(一1，0，0，1)T．当λ=时，由x2=x3得一3C2—C3—1=C2+1，即C3=－4C2—2，所以，此时①的满足x2=x3的通解为x=(x1，x2，x3，x4)T=(3C2+2，C2+1，C2+1，一4C2—3)T(C2是任意常数)．解析：本题考查的知识点是利用初等变换求线性方程组的通解．综合题24．某房地产公司有50套公寓要出租，当月租金定为2000元时，公寓会全部租出去，当月租金每增加100元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花费200元的维修费，试问租金定为多少可获得最大收入?最大收入是多少?正确答案：设租金定为x元时对应的收入为y元，则y=(50一)(x一200)，即y=+72x一14000，x≥2000，令y′=+72=0，得唯一驻点x=3600，结合实际问题知，当租金定为3600元时，可获得最大收入，最大收入为115600元．解析：根据题意，写出收入函数y，然后用一元函数y=f(x)的求最值法，即可得解．25．设抛物线y=ax2+bx，当0≤x≤1时，y≥0．已知它与直线y=0，x=1所围成的图形的面积为，求a，b的值，使此图形绕z轴旋转一周而成的旋转体的体积最小．正确答案：S=(ax2+bx)dx=即2a+3b=2，则b=要使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积最小，则a=，把a=代入b=，所以b=，综上所述a=解析：一般情况下，如果有两条曲线y=f(z)，y=g(x)(假设f(x)≥g(x))与x=a，x=b(a≤b)所围成的平面绕x轴旋转一周后所成的旋转体的体积公式为：Vx=π[f2(x)一g2(x)]dx．证明题26．证明：1+xln(x+(一∞＜x＜+∞)．正确答案：令f(x)=1+x.ln(x+于是令f′(x)=0，得驻点：x=0；又＞0，x∈(－∞，+∞)；从而可知，f′(x)在(一∞，+∞)上为单调递增函数．因