专升本(高等数学一)模拟试卷117(题后含答案及解析)

专升本（高等数学一）模拟试卷117(题后含答案及解析)题型有：1.选择题2.填空题3.解答题选择题1．若∫f(x)dx=xln(x+1)+C，则等于【】A．2B．—2C．—1D．1正确答案：A解析：本题考查了一元函数的导数及其极限的知识点．因∫f(x)dx=xln(x+1)+C，所以f(x)=[xln(x+1)+C]′=ln(x+1)+。2．若f(x—1)=x2—1，则f′(x)等于【】A．2x+2B．x(x+1)C．x(x—1)D．2x—1正确答案：A解析：本题考查了一元函数的一阶导数的知识点．因f(x—1)=x2—1，故f(x)=(x+1)2—1=x2+2x，则f′(x)=2x+2．3．设函数f(x)满足f′(sin2x)=cos2x，且f(0)=0，则f(x)=【】A．cosx+cos2xB．sinx—sin2xC．sin2x—sin4xD．x—x2正确答案：D解析：本题考查了已知导函数求原函数的知识点．由f′(sin2x)=cos2x，知f′(sin2x)=1—sin2x．令u=sin2x，故f′(u)=1—u．所以f(u)=u—+C，由f(0)=0，得C=0．所以f(x)=x—．4．函数z=x2—xy+y2+9x—6y+20有【】A．极大值f(4，1)=63B．极大值f(0，0)=20C．极大值f(—4，1)=—1D．极小值f(—4，1)=—1正确答案：D解析：本题考查了函数的极值的知识点．因z=x2—xy+y2+9x—6y+20，．故对于点(—4，1)，A=2，B=—1，C=2，B2—AC=—3＜0，且A＞0，因此z=f(x，y)在点(—4，1)处取得极小值，且极小值为f(—4，1)=—1．5．当x→0时，与x等价的无穷小量是【】A．B．ln(1+x)C．D．x2(x+1)正确答案：B解析：本题考查了等价无穷小量的知识点．对于选项A，是在x→0时的比x低阶的无穷小；对于选项B，=1，故ln(1+x)是x→0时与x等价的无穷小；对于选项C，是x→0时与x同阶非等价的无穷小；对于选项D，=0，故x2(x+1)是x→0时的比x高阶的无穷小．6．使∫1+∞f(x)dx=1成立的f(x)为【】A．B．C．D．正确答案：A解析：本题考查了反常积分的敛散性的知识点．对于选项A，∫1+∞f(x)dx==1，故此积分收敛，且收敛于1；对于选项B，∫1+∞f(x)dx=不存在；对于选项C，∫1+∞f(x)dx=∫1+∞e—xdx=—e—x｜∫1+∞=e—1，故此积分收敛，但收敛于e—1；对于选项D，∫1+∞f(x)dx=，故此积分收敛，但收敛于，故选A．7．级数是【】A．绝对收敛B．条件收敛C．发散D．无法确定敛散性正确答案：A解析：本题考查了级数的绝对收敛的知识点．因=1，故原级数等价于，所以级数绝对收敛．8．方程z=x2+y2表示的曲面是【】A．椭球面B．旋转抛物面C．球面D．圆锥面正确答案：B解析：本题考查了二次曲面(旋转抛物面)的知识点．旋转抛物面的方程为z=x2+y2．9．已知f(xy，x—y)=x2+y2，则等于【】A．2B．2xC．2yD．2x+2y正确答案：A解析：本题考查了复合函数的偏导数的知识点．因f(xy，x—y)=x2+y2=(x—y)2+2xy，故f(x，y)=y2+2x，从而=2．10．微分方程y″—7y′+12y=0的通解为【】A．y=C1e3x+C2e—4xB．y=C1e—3x+C2e4xC．y=C1e3x+C2e4xD．y=C1e—3x+C2e—4x正确答案：C解析：本题考查了二阶线性齐次微分方程的通解的知识点．因方程y″—7y′+12y=0的特征方程为r2—7r+12=0，于是有特征根r1=3，r2=4，故微分方程的通解为y=C1e3x+C2e4x．填空题11．当x=1时，f(x)=x3+3px+q取到极值(其中q为任意常数)，则p=_______．正确答案：—1解析：本题考查了函数的极值的知识点．f′(x)=3x2+3p，f′(1)=3+3p=0，所以p=—1．12．设f(x)=∫0x｜t｜dt，则f’(x)=________．正确答案：｜x｜解析：本题考查了分段函数的一阶导数的知识点．当x＞0时，f′(x)=(∫0xtdt)′=x，当x＜0时，f′(x)=[∫0x(—t)dt]′=—x，当x=0时，同理f′—(0)=0，所以f′(0)=0，故f′(x)=｜x｜．13．设f′(x2)=，则f(x)=________．正确答案：解析：本题考查了由导函数求原函数的知识点．14．设f(x)是连续的奇函数，且∫01f(x)dx=1，则∫—10f(x)dx=________．正确答案：—1解析：本题考查了定积分的性质的知识点．f(x)是奇函数，则∫—11f(x)dx=0，因此∫10f(x)dx=—∫01f(x)dx=—1．15．设z=xy，则dz=________．正确答案：yxy—1dx+xylnxdy解析：本题考查了二元函数的全微分的知识点．z=xy，则=xylnx，所以dz=yxy—1dx+xylnxdy．16．设I=交换积分次序，则有I=________．正确答案：∫04dx∫x24xf(x，y)dy解析：本题考查了交换积分次序的知识点．I=的积分区域D={(x，y)｜0≤y≤16，}={(x，y)｜0≤x≤4，x2≤y≤4x}，所以I=∫04dx∫x24xf(x，y)dy17．当p________时，反常积分收敛．正确答案：＜0解析：本题考查了反常积分的敛散性(比较判别法)的知识点．若收敛，必有p＜0，因如果p≥0，则当x＞1时，18．判断级数收敛还是发散，你的结论是________．正确答案：发散解析：本题考查了级数的敛散性(比较判别法)的知识点．由发散，所以原级数发散．19．ylnxdx+xlnydy=0的通解是________．正确答案：(lnx)2+(lny)2=C解析：本题考查了分离变量微分方程的通解的知识点．分离变量得=0，积分得=C1，即(lnx)2+(lny)2=C．20．y″—2y′—3y=0的通解是________．正确答案：y=C1e—x+C2e3x解析：本题考查了二阶常系数微分方程的通解的知识点．由y″—2y′—3y=0的特征方程为r2—2r—3=0．得特征根为r1=3，r2=—1，所以方程的通解为y=C1e—x+C2e3x．解答题21．求函数y=的二阶导数y″．正确答案：22．求．正确答案：23．求∫ln(1+x2)dx．正确答案：∫ln(1+x2)dx=xln(1+x2)—=xln(1+x2)—=xln(1+x2)—2(x—arctanx)+C．24．求函数f(x，y)=e2x(x+y2+2y)的极值．正确答案：=2e2x(x+y2+2y)+e2x=e2x(1+2x+2y2+4y)，=e2x(2y+2)=2e2x(y+1)，而=2e2x(1+2x+4y+2y2)+2e2x=e2x(4+4x+8y+4y2)，=2e2x，=4e2x(y+1)，所以在点=2e．因此f(x，y)在点处△=—4e2＜0，且A＞0，故f(x，y)在点取得极小值，且极小值为．25．设z=．正确答案：26．设z=ex(x2+y2)，求dz．正确答案：由z=ex(x2+y2)，则=ex(x2+y2).[x.(x2+y2)]′=ex(x2+y2).(3x2+y2)，=ex(x2+y2).2xy，所以dz=ex(x2+y2)[(3x2+y2)dx+2xydy]．注：本题用一阶微分的形式不变性可解为dz=ex(x2+y2)d[x(x2+y2)]=ex(x2+y2)[(x2+y2)dx+x(2xdx+2ydy)]=ex(x2+y2)[(3x2+y2)dx+2xydy]．27．求(1—x2—y2)dxdy，其中D是由y=x，y=0，x2+y2=1在第一象限内所围的区域．正确答案：积分区域D如图所示，据被积函数特点(含x2+y2)，及积分区域的特点(扇形)，该积分易用极坐标计算．28．一艘轮船以20海里／小时的速度向东行驶，同一时间另一艘轮船在其正北82海里处以16海里／小时的速度向南