概率论与数理统计自考题分类模拟10

概率论与数理统计自考题分类模拟10(总分：99.99，做题时间：90分钟)一、计算题(总题数：18，分数：32.00)1.盒中有5白3红共8个球，依次从中不放回的抽取，每次抽到一个，令X表示抽到红球前的抽取次数，求X的分布列、数学期望和方差．

（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________

正确答案：()解析：解：X的所有可能值为0，1，2，3，4，5，并且

所以X的分布列为

2.若ξ服从泊松分布且P(ξ=1)=P(ξ=2)，问：E(ξ)与D(ξ)各为多少?

（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________

正确答案：()解析：解：因为，k=0，1，2，…

由于P(ξ=1)=P(ξ=2)，故，所以λ=2，E(ξ)=D(ξ)=λ=2．3.设X的密度函数为求Y=X2的期望与方差．

（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________

正确答案：()解析：解：

D(Y)=E(Y2)-[E(Y)]2=0.026．设ξ的密度函数求：（分数：3.50）(1).常数C．（分数：1.75）__________________________________________________________________________________________

正确答案：()解析：解：因为故(2).E(ξ)．（分数：1.75）__________________________________________________________________________________________

正确答案：()解析：解：由第一小题

4.若有n把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能打开门上的锁，用它们去试门上的锁，设取到每只钥匙是等可能的．若每把钥匙试开一次后除去，试求试开次数X的数学期望．

（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________

正确答案：()解析：解：由题意知X的所有可能取值为：1，2，…n．且有

干暑X的分布律为：

因此5.设随机变量X服从柯西分布，其概率密度求E(X)．

（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________

正确答案：()解析：解：由于

所以E(X)不存在．6.设随机向量(ξ，η)联合概率密度求E(ξη)．

（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________

正确答案：()解析：解：7.已知连续型随机变量ξ的分布函数为

求E(ξ)和D(ξ)．

（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________

正确答案：()解析：解：要求E(ξ)和D(ξ)，由公式，，其中p(x)为ξ的密度函数，故只需求出P(x)即可．求D(ξ)可用公式D(ξ)=E(ξ2)-(E(ξ))2．

因为分布函数

所以

从而

故8.已知X在区间[0，2π]上服从均匀分布，试求Y=sin(X)的期望．

（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________

正确答案：()解析：解：由于X在[0，2π]上服从均匀分布，所以X的概率密度

从而有9.设随机变量X的概率密度．求E(X)，D(X)．

（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________

正确答案：()解析：解：由于f(x)为偶函数，xf(x)为奇函数，所以有

10.已知随机向量(X，Y)服从二维正态分布，E(X)=E(Y)=0，D(X)=16，D(Y)=25，Cov(X，Y)=12，求(X，Y)的概率密度．

（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________

正确答案：()解析：解：由于(X，Y)服从二维正态分布，则(X，Y)的概率密度．

关于X、Y的边缘概率密度分别为：

由服从正态分布的随机变量的期望、方差的值可得：

μ1=E(X)=0，

μ2=E(Y)=0，

又Cov(X，Y)=ρσ1σ2=20ρ=12．

所以有ρ=0.6．

从而二维随机变量(X，Y)的概率密度

即(X，Y)～N(0，0.42，52，0.6)．11.设随机变量ξ，η相互独立，其概率密度分别为-∞＜y＜+∞，其中σ＞0，记γ=2ξ-3η+1，求E(γ)，D(γ)．

（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________

正确答案：()解析：解：ξ服从指数分布∴

η服从正态分布∴E(η)=μ=0，D(η)=σ2．

12.设二维随机变量(X，Y)服从圆域G：x2+y2≤R2上的均匀分布，令，求E(Z)．

（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________

正确答案：()解析：解：由于(X，Y)服从圆域G：x2+y2≤R2上的均匀分布，所以(XY)的概率密度

从而有13.已知随机变量X与Y的相关系数ρ，求X1=aX+b与X2=cY+d的相关系数，其中a，b，c，d均为常数，且a≠，c≠0．

（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________

正确答案：()解析：解：Cov(X1，X2)=Cov(aX+b，cY+d)=acCov(X，Y)

D(X1)=D(aX+b)=a2D(X)

D(X2)=D(cY+d)=c2D(Y)

14.设X～N(μ，σ2)，Y～N(μ，σ2)，且设X，Y相互独立，试求Z1=aX+βY，Z2=αX-βY的相关系数(其中α，β是不为零的常数)．

（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________

正确答案：()解析：解：解法一：

因E(X)=E(Y)=μ，D(X)=D(Y)=σ2，且X，Y相互独立，所以

E(Z1)=E(αX+βY)=(α+β)μ，

E(Z2)=E(αX-βY)=(α-β)μ，

E(Z1Z2)=E(α2X2-β2Y2)=α2E(X2)-β2E(Y2)

=(α2-β2)(μ1+σ2)，

D(Z1)=D(αX+βY)=α2D(X)+β2D(Y)

=(α2+β2)σ2，

D(Z2)=D(αX-βY)=α2D(X)+β2D(Y)

=(α2+β2)σ2，

因此

Cov(Z1，Z2)=E(Z1Z2)-E(Z1)E(Z2)

=(α2+β2)σ2，

解法二：因为

Cov(Z1，Z2)=Cov(aX+βY，αX-βY)

=α2Cov(X，X)-αβCov(X，Y)+βαCov(Y，X)-β2Cov(Y，Y)

=α2D(X)-β2D(Y)

=(α2-β2)σ2，

又X，Y相互独立，所以

D(Z1)=D(αX+βY)=α2D(X)+β2D(Y)=(α2+β2)σ2，

D(Z2)=D(αX-βY)=α2D(X)+β2D(Y)=(α2+β2)σ2，

故设，其中X～N(1，32)，Y～N(0，42)且（分数：4.50）(1).求Z的数学期望E(Z)及方差D(Z)．（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________

正确答案：()解析：解：由数学期望与方差的性质有

(2).求X与Z的相关系数．（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________

正确答案：()解析：解：

故(3).X与Z是否相互独立?为什么?（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________

正确答案：()解析：解：因Z不一定服从正态分布，从而二维随机变量(X，Z)的分布更不一定为正态分布，故尽管X与Z不相关，X与Z仍不一定相互独立．15.已知随机向量X服从标准正态分布N(0，1)，令Y=X3，求X与Y的相关系数ρXY．

（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________

正确答案：()解析：解：E(XY)=E(X4)

D(X)=1，

D(Y)=E(Y2)-(E(Y))2=E(X6)-(E(X3))2．

而

则D(Y)=15，

16.(X，Y)的分布律为

X与Y是否线性相关?

（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________

正确答案：()解析：解：先求边缘分布

E(X)=0.5，E(Y)=1.05

E(XY)=(-1)×0.05+(-2)×0.35+2×0.1+4×0.1=-0.15

Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=-0.675≠0

ρXY≠0，X与Y线性相关．二、综合题(总题数：15，分数：44.00)二维连续型随机变量(X，Y)的概率密度为

求：（分数：4.50）(1).关于X的边缘密度fX(x)．（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________

正确答案：()解析：解：

当0＜x＜1时，

当x≤0或x＞1时，fX(x)=0

(2).X的期望E(X)．（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________

正确答案：()解析：解：(3).E(XY)．（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________

正确答案：()解析：解：17.设连续型随机变量X在区间[a，b]以外的任何区间上取值的概率为0，而在区间[a，b]内每一子区间内取值的概率与该子区间的长度成正比，证明：X的均值

（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________

正确答案：()解析：解：由已知条件，对于任意(α，β)∈[a，b]，

有P(α≤X≤β)=k·(β-α)，其中k为常数．

由于P(-∞＜X＜+∞)=1，

而P(-∞＜X＜+∞)=P(a≤X≤b)=k(b-a)=1，

所以，因此X的分布函数为

所以X的密度函数为

即X服从[a，b]上盼均匀分布，所以

18.设随机变量X1、X2的概率密度分别如下：

求

（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________

正确答案：()解析：解：E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)

设(X，Y)的概率密度

求：（分数：6.00）(1).关于X、Y的边缘概率密度fX(x)，fY(y)．（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________

正确答案：()解析：解：

(2).E(X)，E(y)．（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________

正确答案：()解析：解：(3).E(XY)．（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________

正确答案：()解析：解：(4).E(X2+Y2)．（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________

正确答案：()解析：解：设随机变量X的概率密度为

试求：（分数：4.50）(1).常数c．（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________

正确答案：()解析：解：由得，故(2).E(X)，D(X)．（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________

正确答案：()解析：解：

(3).P{|X-E(X)|＜D(X)}．（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________

正确答案：()解析：解：19.设随机变量X的概率密度求D(X)．

（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________

正确答案：()解析：解：D(X)=E(X2)-(E(x))2．

而

所以20.设随机变量ε服从参数为2的泊松(poisson)分布，随机变量η服从区间(0，6)上均匀分布，且它们的相关系数，记ζ=ε-2η，求E(ξ)和D(ξ)．

（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________

正确答案：()解析：解：由E(ξ)=D(ξ)=2，

故E(ζ)=E(ξ)-2E(η)=2-2×3=-4．

设二维随机变量(X，Y)的分布为

求：（分数：3.99）(1).E(X)，E(Y)．（分数：1.33）__________________________________________________________________________________________

正确答案：()解析：解：先求边缘公布

E(X)=0.6，E(Y)=0．(2).D(X)，D(Y)．（分数：1.33）__________________________________________________________________________________________

正确答案：()解析：解：D(X)=E(X2)-[E(X)]2

=0.6-0.62

=0.24

D(Y)=E(Y2)=0.6(3).ρXY．（分数：1.33）__________________________________________________________________________________________

正确答案：()解析：解：

E(XY)=0，E(XY)-E(X)E(Y)=0

Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0ρXY=0．21.证明：若随机变量X与Y相互独立，则D(X-Y)=D(X)+D(Y)．

（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________

正确答案：()解析：解：D(X-Y)=D[X+(-Y)]

=D(X)+D(-Y)+2Cov[X，(-Y)]

由于X与Y相互独立，故E(XY)=E(X)E(Y)，

所以Cov[X，(-Y)]=E[X(-y)]-E(X)E(-Y)

=-E(XY)+E(X)E(Y)=0．

因此D(X-Y)=D(X)+D(-Y)

=D(X)+(-1)2D(Y)+D(X)+D(Y)．22.设随机变量X，Y相互独立，它们的概率密度分别如下：

求D(X+Y)．

（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________

正确答案：()解析：解：由于X，Y相互独立，所以有

D(X+Y)=D(X)+D(Y)

=E(X2)-[E(X)]2+E(Y2)-[E(Y)]2

设随机变量X1、X2，…，Xn相互独立，且服从同一分布，期望为μ，方差为σ2，令，求：（分数：3.00）(1).（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________

正确答案：()解析：解：(2).（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________

正确答案：()解析：解：由于X1，X2，…，Xn相互独立，所以有

设二维随机变量(X，Y)的分布律为

求：（分数：2.50）(1).(X，Y)分别关于X，Y的边缘分布律．（分数：1.25）__________________________________________________________________________________________

正确答案：()解析：解：(X，Y)关于X，Y的边缘分布律分别为(2).D(X)，D(Y)，Cov(X，Y)．（分数：1.25）__________________________________________________________________________________________

正确答案：()解析：解：E(X)=E(Y)=0，D(X)=D(Y)=3.6，

E(XY)=0，Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0．23.设随机变量X和Y的联合概率分布为：

求协方差Cov(X2+3，Y2-5)．

（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________

正确答案：()解析：解：由联合分布律易得两个边缘分布律为：

所以E(X2)=02×0.4+12×0.6=0.6，

E(Y2)=(-1)2×0.15+02×0.5+12×0.35=0.5，

E(X2Y2)=1×(P{X=1，Y=1}+P{X=1，Y=-1})=0.08+0.20=0.28，

于是Cov(X2+3，Y2-5)=Cov(X2，Y2)

=E(X2Y2)-E(X2)E(Y2)

=0.28-0.6×0.5

=-0.02．设二维随机变量(X，Y)的概率密度

求：（分数：4.50）(1).E(X)，E(Y)．（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________

正确答案：()解析：解：

(2).D(X)，D(Y)．（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________

正确答案：()解析：解：(3).Cov(X，Y)．（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________

正确答案：()解析：解：

所以Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0．24.设ξ=aX+b，η=cY+d，其中a＞0，c＞0，证明：随机变量ξ与η的相关系数ρ(ξ，η)等于随机变量X与Y的相关系数ρ(X，Y)．

（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________

正确答案：()解析：解：Cov(ξ，η)=E(ξη)-E(ξ)·E(η)

=[(aX+b)(cY+d)]-E(aX+b)E(cY+d)

=a·c[E(XY)-E(X)·E(Y)]

=ac·Cov(X，Y)，

又D(ξ)=D(aX+b)=a2D(X)，

D(η)=D(cY+d)=c2D(Y)

所以三、应用题(总题数：8，分数：24.00)25.甲、乙两台自动机床，生产同一种标准件，生产1000只所出的次品数分别用X、Y来表示，经过一段时间的考察，X、Y的分布分别为：X0123P0.70.10.10.1Y0123P0.50.30.20问哪一台加工的产品质量好些?

（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________

正确答案：()解析：解：质量好坏可以用随机变量X和Y的期望(均值)来作比较，

E(X)=0×0.7+1×0.1+2×0.1+3×0.1=0.6，

E(Y)=0×0.5+1×0.3+2×0.2+3×0=0.7

由于E(X)＜E(Y)，即机床甲在1000件产品中次品平均数小于机床乙，因此可以认为机床甲的产品质量较好．26.游客乘电梯从底层到电视塔的顶层观光，电梯于每个整点的第5分钟，第25分钟和第55分钟，从底层起行，一游客在早八点的第X分钟到达底层候梯处，且X在[0，60]上服从均匀分布，求该游客等候时间Y的数学期望．

（分数：2.50）__________________________________________________________________________________________

正确答案：()解析：解：因为等候时间Y是X的函数，为求Y的数学期望，关键在于找出Y与X的函数关系．因X～U(0，60)，故其密度为：

由题设有

所以27.设国际市场上对某种出口商品每年的需求量X(单位：吨)是随机变量，它服从区间[2000，4000]上的均匀分布，每销售一吨商品，可为国家赚取外汇3万元；若销售不出，则每吨商品需贮存费1万元．问应组织多少货源，才能使国家收益最大．

（分数：2.50）__________________________________________________________________________________________

正确答案：()解析：解：设Y表示国家收益，假设组织货源t吨，显然应要求2000≤t≤4000，则

又由题设知X的概率密度函数为

于是Y的期望

由得t=3500．

由题意知应组织3500吨货源，才能使国家收益最大．28.某射手有3发子弹，射一次命中的概率为，如果命中了就停止射击，否则一直独立射到子弹用尽．求：

(1)耗用子弹数ξ的分布列；

(2)E(ξ)；

(3)D(ξ)．

（分数：7.50）__________________________________________________________________________________________

正确答案：()解析：解：

29.某车间生产的圆盘直径服从均匀分布U[a，b]，求圆盘的面积的期望．

（分数：2.50）___________________________________________________________________