电子电路三要素

电路与模拟电子技术

原理第四章一阶电路分析22:50:121第4章一阶电路分析4.1一阶电路方程4.2三要素分析法4.3线性动态电路叠加定理22:50:122n阶电路动态电路非齐次微分方程一阶电路（1个动态元件）一阶微分方程二阶电路（2个动态元件）二阶微分方程高阶电路高阶微分方程阶数越高，微分方程越难解。22:50:1234.1一阶电路方程针对只包含一个动态元件的电路列方程，将得到一阶微分方程22:50:1244.1一阶电路方程4.1.1一阶RC电路4.1.2一阶RL电路4.1.3一阶电路方程及其解的形式22:50:1254.1.1一阶RC电路对图4-1所示的电路应用KVL得uR＋uC＝uS

22:50:126一阶RC方程根据电容元件的电压-电流约束关系，可得到再根据电阻元件的电压-电流约束关系，有把上述等式带入KVL方程22:50:127一阶RC方程（续）电路方程是电压uC的一阶微分方程，所以该电路为一阶RC电路。根据数学知识，求得方程的解是（t＞0）22:50:1284.1一阶电路方程4.1.1一阶RC电路4.1.2一阶RL电路4.1.3一阶电路方程及其解的形式22:50:1294.1.2一阶RL电路列KVL方程uR＋uL＝uS

22:50:1210一阶RL方程代入电感元件的电压－电流约束关系则KVL方程演变成求解得（t＞0）22:50:12114.1一阶电路方程4.1.1一阶RC电路4.1.2一阶RL电路4.1.3一阶电路方程及其解的形式22:50:1212一阶电路方程及其解的形式一阶RC电路方程一阶RL电路方程一阶RC电路的响应一阶RL电路的响应22:50:1213第4章一阶电路分析4.1一阶电路方程4.2三要素分析法4.3线性动态电路叠加定理22:50:12144.2三要素分析法在开关动作后的一瞬间，动态电路中存在两类激励，一类是理想电源，另一类是“可以视为激励”的电容初始电压和电感初始电流，在开关动作后的一瞬间，动态电路中的电路变量的值，即所谓的初始值，应该是这两类激励同时作用的结果。22:50:12154.2三要素分析法4.2.1换路定则与初始值4.2.2直流激励的稳态值4.2.3过渡过程与时间常数4.2.4三要素法求解一阶电路

22:50:12164.2.1换路定则与初始值换路定则的目的是确定电容的初始电压和电感的初始电流，电容电压不能跃变，电感电流不能跃变。uC(0+)＝uC(0-)，iL(0+)＝iL(0-)22:50:1217换路定则与初始值（续）换路定则反映了能量不能跃变的事实电容电压代表电容储能电感电流代表电感储能在物理上，能量是不能跃变的电容电压不能跃变，实际上说明电容储能不能跃变；电感电流不能跃变，实际上说明电感容储能不能跃变。或者说，不能转移能量而不花费任何时间，能量的转移和变换都需要时间。22:50:1218换路定则与初始值（续）在换路瞬间不能跃变的只有电容电压和电感电流，而其他电路变量是可以跃变的，例如电阻电流（或电压）电容电流电感电压不要把“不能跃变”这一要求扩展到其他电路变量上去22:50:1219换路定则与初始值举例【例4-1】图4-3所示电路原处于稳定状态，t=0时开关闭合，求初始值uC(0+)、iC(0+)和u(0+)。

22:50:1220换路定则与初始值举例（续）【解】换路的一瞬间，电路中存在两类激励，一类是理想电源，另一类是“可以视为激励”的电容初始电压和电感初始电流，电路变量的初始值，是这两类激励共同作用的结果。因此，要计算换路后各电路变量的初始值，必须首先确定理想电源的输出值、电容初始电压、电感初始电流。22:50:1221换路定则与初始值举例（续）

本题中，理想电源的输出值已知，电容初始电压uC(0+)、电感初始电流iL(0+)未知。

确定电容电容初始电压uC(0+)和电感初始电流iL(0+)的根据，是换路定则

uC(0+)=uC(0-)，iL(0+)=iL(0-)

所以确定换路后的初始值uC(0+)和iL(0+)的问题，就转换成了如何确定换路前的瞬时值uC(0-)和iL(0-)的问题。

22:50:1222换路定则与初始值举例（续）（1）由换路前一瞬间（t=0-时）的等效电路，求出uC(0-)和iL(0-)

要计算uC(0-)和iL(0-)，必须首先确定换路前瞬间电路的工作状态，分析如下：换路前，电路中只有直流电源，题目中“电路原处于稳定状态”说明电路中的电流和电压已经稳定，而直流激励的动态电路到达稳定状态时，各处的电压和电流亦为直流，22:50:1223换路定则与初始值举例（续）此时电感L相当于短路、电容C相当于开路；又因为t=0-时开关尚未闭合，所以图4-3电路在换路前瞬间t=0-时的电路，等效于图4-4所示的电路，在图4-4中，电感用一段导线替代，电容被断开。开关支路被去掉22:50:122422:50:1225换路定则与初始值举例（续）根据图4-4计算t=0-时电感电流iL(0-)

t=0-时电阻R3上的电流i3(0-)等于t=0-时的电感电流iL(0-)

22:50:1226换路定则与初始值举例（续）（2）根据换路定则，得到uC(0+)和iL(0+)

因为电容电压不能跃变，电感电流不能跃变，所以22:50:1227换路定则与初始值举例（续）（3）画出换路后一瞬间（t=0+时）的等效电路

因为换路后一瞬间（t=0+时）电容初始电压uC(0+)和电感初始电流iL(0+)已知，可视为激励，从而得到t=0+时的等效电路如图4-5所示：

22:50:122822:50:1229换路定则与初始值举例（续）（4）根据换路后一瞬间（t=0+时）的等效电路，求出待求电路变量的初始值

根据t=0+时的等效电路图4-5可知现已得到uC(0+)、iC(0+)，还有一个待求变量u(0+)，这个变量可以使用节点电压法求出。

22:50:1230换路定则与初始值举例（续）对电阻R2上端的节点使用观察法列节点电压方程，得到22:50:1231总结：求动态电路初始值的步骤（1）由换路前一瞬间（t=0-时）的等效电路，求出uC(0-)和iL(0-)；

（2）根据换路定则，得到uC(0+)和iL(0+)；

（3）画出换路后一瞬间（t=0+时）的等效电路；

（4）根据换路后一瞬间（t=0+时）的等效电路，求出待求电路变量的初始值。

可以省略画换路前后等效电路图的的步骤，心中留意，直接计算即可。22:50:12324.2三要素分析法4.2.1换路定则与初始值4.2.2直流激励的稳态值4.2.3过渡过程与时间常数4.2.4三要素法求解一阶电路

22:50:1233直流激励的稳态值（续）一阶RC电路的响应（t＞0）一阶RL电路的响应（t＞0）当t=∞时的值称为稳态值，一阶直流电路中，电容电压的稳态值uC(∞)和电感电流的稳态值iL(∞)都是直流量。

22:50:1234直流激励的稳态值（续）进入稳定状态的动态电路，所有变量都是直流量，此时的动态电路已经相当于直流电路了，完全可以按照直流电路来分析。电容相当于开路（电容电流为零，电容电压恒定不变）；电感相当于短路（电感电压为零，电感电流恒定不变）。22:50:1235直流激励下动态电路稳态分析t=∞时，电路进入稳态，电路变量的直流稳态值是恒定不变的直流量；动态电路的直流稳态等效电路中，电容视为开路，电感视为短路。22:50:1236求动态电路的稳态值举例【例4-2】图4-6（a）所示电路，t=0时开关打开，求uL、iL、u的稳态值。

【解】因为t=0时开关打开，所以t＞0时的电路如图4-6(b)所示，此时电路中的电源Us和电阻R1所在支路被断开。

22:50:1237求动态电路的稳态值举例（续）22:50:1238求动态电路的稳态值举例（续）被断开的支路电流必定为零，无法对其他回路产生任何影响，所以在对图4-6（b）进行直流稳态分析时，可以去掉电源Us和电阻R1所在支路而不影响对右侧回路的分析。

动态电路的直流稳态等效电路中，电容视为开路，电感视为短路。对于图4-6(b)电路，去掉断开支路（电源Us和电阻R1所在支路）后如图4-7(a)所示，再应用“电容开路、电感短路”原则把电感短路后如图4-7(b)所示。22:50:1239求动态电路的稳态值举例（续）22:50:1240求动态电路的稳态值举例（续）最后得到电路在t=∞时的直流稳态等效电路如图4-7(b)所示，可见，在电路进入稳态是，没有任何激励源存在，这样的电路中，任何电压或电流都必然等于0，所以iL(∞)=0；uR

(∞)=0；uL

(∞)=0

22:50:1241求动态电路的稳态值举例（续）从能量的角度也可以分析出类似的结论：

t=∞时电感的初始储能已（在电阻R2和R3上）消耗完毕，电路在既没有电源提供能量，又已经把动态元件的初始储能消耗完毕的情况下，不可能存在任何响应，所以其稳态值必然为零。

22:50:1242总结求动态电路直流稳态值的步骤（1）画出换路后的电路；（2）按“电容开路、电感短路”处理换路后的电路，得到稳态电路的等效电路；（3）应用直流电路分析方法分析稳态电路的等效电路，求解动态电路的直流稳态值。熟练的读者可以省略画路图的的步骤，直接计算即可。22:50:12434.2三要素分析法4.2.1换路定则与初始值4.2.2直流激励的稳态值4.2.3过渡过程与时间常数4.2.4三要素法求解一阶电路

22:50:12441．过渡过程动态电路换路后一瞬间（t=0+时）的电路变量处于初始值，稳定后（t=∞时）电路变量处于稳态值。其间需要经过一个变化的过程，这个从初始值到稳态值的变化过程，就称为过渡过程。产生过渡过程的条件，是电路中发生了换路（发生结构或参数的突然改变）22:50:1245过渡过程（续）一阶RC电路的响应（t＞0）一阶RL电路的响应（t＞0）一阶电路中任何电路变量的过渡过程，都是从初始值开始，按照指数规律增长或衰减，最后到达稳态值。22:50:1246过渡过程（续）22:50:1247过渡过程（续）22:50:1248过渡过程（续）过渡过程也常常叫做暂态、瞬态，用来表示电路变量所处于的变化的、暂时的状态，相应地，求解电路变量的过渡过程，也常常称为暂态分析或者瞬态分析。22:50:12492．时间常数把各个指数响应曲线区别开来的三个元素：一是指数曲线的初始值；二是指数曲线的稳态值；三是指数曲线随时间的变化率。一阶电路的时间常数

指数曲线的变化率。22:50:1250时间常数（续）一阶电路响应曲线在t=0时的初始变化速率最大。经过3～5个时间常数的时间以后，过渡过程结束，电路进入稳态。时间常数表示了电路从一个状态变化到另一个状态所需要的时间，时间常数越大，电路状态变化所需要的时间就越长，或者说电路状态变化越慢。22:50:1251时间常数的计算一阶RC电路的时间常数τ＝RC电压源与R、C串联的电路电流源与R、C并联的电路一阶RL电路的时间常数τ＝L/R电压源与R、L串联的电路电流源与R、L并联的电路时间常数的单位是秒（s）。22:50:1252时间常数的计算（续）一阶RC电路的时间常数τ＝RC22:50:1253时间常数的计算（续）复杂电路，可通过电源变换或戴维南-诺顿定理，变为US、R、C串联电路或IS、R、C并联电路，使用τ＝RC或τ＝L/R计算。

22:50:1254时间常数的计算（续）使用戴维南-诺顿定理时要注意，我们所要求的是从电容（或电感）两端看进去的等效电源和等效电阻，而且在求解过程中，要注意电源的参考方向与动态元件端电压的连接。τ＝RC或τ＝L/R中的R是从电容（或电感）两端看进去的等效电阻！22:50:1255时间常数的计算例题【例4-3】求图4-13(a)所示动态电路的时间常数。22:50:1256时间常数的计算例题（续）【解】t=0时开关闭合，电流源接入电路，所以t＞0时的电路如图4-13(b)所示。（其中已将电容去掉，以强调“从电容两端看进去”，画图时不去掉亦可。）22:50:1257时间常数的计算例题（续）（1）根据4-13(b)可以求出开路电压uoc：

i1=2Auoc=i1R1+2i1=2×4+2×2=12(V)

22:50:1258时间常数的计算例题（续）（2）把4-13(b)中的电流源开路，得到图4-12(a)，利用外加电源法求出从电容两端看进去的等效内阻u=i1R1+2i1+i1R2

=4i1+2i1+4i1=10i1

22:50:1259时间常数的计算例题（续）（3）得到开路电压uoc和等效电阻Req后，即可得到戴维南等效变换后的电路如图4-14(b)所示。

22:50:1260时间常数的计算例题（续）（4）这是一个电压源、电阻、电容简单串联的电路，其时间常数为τ＝RC＝10×0.1＝1(s)实际上，如果单纯地为了求解时间常数，上面的步骤（1）求开路电压，以及步骤（3）求戴维南等效电路，都是不必要的。直接完成步骤（2）、（4）即可。22:50:12614.2三要素分析法4.2.1换路定则与初始值4.2.2直流激励的稳态值4.2.3过渡过程与时间常数4.2.4三要素法求解一阶电路

22:50:12624.2.4三要素法求解一阶电路对任何一阶电路，使用基尔霍夫定律和元件特性，可得一阶微分方程，该方程的解，是一个从初始值开始，按照指数规律变化，经过无限长的时间之后到稳态值结束的电压或电流变量。初始值表明它从哪里开始稳态值表明它到哪里结束时间常数则表明（连接初始值和稳态值的）指数曲线的形状。22:50:1263三要素法求解一阶电路对于一阶电路中的任何电压和电流变量，只要知道了初始值、稳态值和时间常数，就可以得到它随时间变化的表达式，这种方法叫做分析一阶电路的三要素法。这里的“三要素”，指的是初始值、稳态值和时间常数。22:50:1264三要素法求解一阶电路（续）在t=0时刻发生换路（t＞0）当换路动作发生在t=t0时刻（t＞0）注意，如果换路动作发生在t=t0时刻，则换路定则应该写作uC(t0＋)＝uC(t0－)，iL(t0＋)＝iL(t0－)

22:50:1265三要素法求解一阶电路步骤归纳：（1）求初始值：利用换路后瞬间的电路，列方程求解；注意不要滥用换路定则，因为换路定则只能用于换路前后的电容电压和电感电流，其他变量不适用。（2）求稳态值：当时间趋于无穷大时，直流激励的电路中电容相当于开路，电感相当于短路，据此即可求出变量的稳态值。（3）求电路的时间常数：先求出从动态元件两端看进去的戴维南等效电阻R，然后对于一阶RC电路，τ＝RC；对于一阶RL电路，τ＝L/R。（4）将初始值、稳态值、时间常数代入三要素公式，得到待求电流或电压换路后的表达式。22:50:1266三要素法求解一阶电路例1【例4-4】电路如图4-15(a)所示，已知开关动作前电路已经处于稳态，t=0时开关闭合，用三要素法求t＞0时的电流i(t)。22:50:1267三要素法求解一阶电路例1（续）【解】分别计算初始值、稳态值、时间常数，并代入三要素公式即可，步骤如下：（1）计算初始值开关闭合前，电路4-15(a)已经稳定，此时电容相当于开路，电流源全部流入电阻R1中，因电容C与电阻R1并联，所以电容电压与电阻电压相等uC(0-)＝2×4＝8(V)

依据换路定则，电容电压不能跃变，所以uC(0+)＝uC(0-)＝8V22:50:1268三要素法求解一阶电路例1（续）开关闭合后，电路如图4-15(b)所示。22:50:1269三要素法求解一阶电路例1（续）在换路后瞬间，电容电压相当于电压源，此时电阻R3左端电位等于uC(0+)即8V，右端电位等于10V，电流i在换路后瞬间的初始值为22:50:1270三要素法求解一阶电路例1（续）（2）计算稳态值图4-15(b)电路进入稳态之后，电容相当于开路，此时电流i是电压源和电流源共同作用的叠加，电压源作用的结果与电流i的方向相同，电流源作用的结果与电流i的方向相反，用叠加定理求电流i在换路后的稳态值22:50:1271三要素法求解一阶电路例1（续）（3）计算时间常数计算从电容两端看进去的戴维南等效电阻，把图4-15(b)中的电流源开路、电压源短路，容易发现，从电容两端看进去，电阻R1、R2、R3并联，所以按照一阶RC电路时间常数计算公式τ＝ReqC＝1×0.1＝0.1(s)

22:50:1272三要素法求解一阶电路例1（续）（4）将i(0+)=1A，i(∞)=1.5A，τ＝0.1s代入三要素公式得

22:50:1273三要素法求解一阶电路例2【例4-5】图4-16是一个产生高压放电的电路，这个电路可以用来实现电焊机。在该电路中A、B两点代表两个尖端，它们之间距离很小，每当A、B两点之间电压达到45kV时，就会产生电弧放电，已知受控电流源的系数β