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文档简介
辽宁省葫芦岛市2024年高三六校第一次联考数学试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.某工厂利用随机数表示对生产的600个零件进行抽样测试,先将600个零件进行编号,编号分别为001,002,……,599,600.从中抽取60个样本,下图提供随机数表的第4行到第6行:若从表中第6行第6列开始向右读取数据,则得到的第6个样本编号是()A.324 B.522 C.535 D.5782.已知集合,集合,若,则()A. B. C. D.3.函数在的图象大致为()A. B.C. D.4.已知集合,,,则()A. B. C. D.5.已知函数是上的偶函数,且当时,函数是单调递减函数,则,,的大小关系是()A. B.C. D.6.设,为非零向量,则“存在正数,使得”是“”的()A.既不充分也不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.充分不必要条件7.函数(且)的图象可能为()A. B. C. D.8.若2m>2n>1,则()A. B.πm﹣n>1C.ln(m﹣n)>0 D.9.由曲线y=x2与曲线y2=x所围成的平面图形的面积为()A.1 B. C. D.10.已知命题:,,则为()A., B.,C., D.,11.设双曲线(a>0,b>0)的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点,过B,C分别作AC,AB的垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是()A.B.C.D.12.若函数,在区间上任取三个实数,,均存在以,,为边长的三角形,则实数的取值范围是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若正三棱柱的所有棱长均为2,点为侧棱上任意一点,则四棱锥的体积为__________.14.若变量,满足约束条件则的最大值是______.15.古代“五行”学认为:“物质分金、木、土、水、火五种属性,金克木,木克土,土克水,水克火,火克金.”将五种不同属性的物质任意排成一列,但排列中属性相克的两种物质不相邻,则这样的排列方法有_________种.(用数字作答)16.直线是圆:与圆:的公切线,并且分别与轴正半轴,轴正半轴相交于,两点,则的面积为_________三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数(1)解不等式;(2)若均为正实数,且满足,为的最小值,求证:.18.(12分)已知函数,.(1)当x≥0时,f(x)≤h(x)恒成立,求a的取值范围;(2)当x<0时,研究函数F(x)=h(x)﹣g(x)的零点个数;(3)求证:(参考数据:ln1.1≈0.0953).19.(12分)在平面直角坐标系中,将曲线(为参数)通过伸缩变换,得到曲线,设直线(为参数)与曲线相交于不同两点,.(1)若,求线段的中点的坐标;(2)设点,若,求直线的斜率.20.(12分)已知椭圆,点,点满足(其中为坐标原点),点在椭圆上.(1)求椭圆的标准方程;(2)设椭圆的右焦点为,若不经过点的直线与椭圆交于两点.且与圆相切.的周长是否为定值?若是,求出定值;若不是,请说明理由.21.(12分)数列满足,,其前n项和为,数列的前n项积为.(1)求和数列的通项公式;(2)设,求的前n项和,并证明:对任意的正整数m、k,均有.22.(10分)如图,已知椭圆C:x24+y2=1,F为其右焦点,直线l:y=kx+m(km<0)与椭圆交于P(x1(I)试用x1表示|PF|(II)证明:原点O到直线l的距离为定值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
因为要对600个零件进行编号,所以编号必须是三位数,因此按要求从第6行第6列开始向右读取数据,大于600的,重复出现的舍去,直至得到第六个编号.【详解】从第6行第6列开始向右读取数据,编号内的数据依次为:,因为535重复出现,所以符合要求的数据依次为,故第6个数据为578.选D.【点睛】本题考查了随机数表表的应用,正确掌握随机数表法的使用方法是解题的关键.2、A【解析】
根据或,验证交集后求得的值.【详解】因为,所以或.当时,,不符合题意,当时,.故选A.【点睛】本小题主要考查集合的交集概念及运算,属于基础题.3、C【解析】
先根据函数奇偶性排除B,再根据函数极值排除A;结合特殊值即可排除D,即可得解.【详解】函数,则,所以为奇函数,排除B选项;当时,,所以排除A选项;当时,,排除D选项;综上可知,C为正确选项,故选:C.【点睛】本题考查根据函数解析式判断函数图像,注意奇偶性、单调性、极值与特殊值的使用,属于基础题.4、A【解析】
求得集合中函数的值域,由此求得,进而求得.【详解】由,得,所以,所以.故选:A【点睛】本小题主要考查函数值域的求法,考查集合补集、交集的概念和运算,属于基础题.5、D【解析】
利用对数函数的单调性可得,再根据的单调性和奇偶性可得正确的选项.【详解】因为,,故.又,故.因为当时,函数是单调递减函数,所以.因为为偶函数,故,所以.故选:D.【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性、单调性以及对数函数的单调性在大小比较中的应用,比较大小时注意选择合适的中间数来传递不等关系,本题属于中档题.6、D【解析】
充分性中,由向量数乘的几何意义得,再由数量积运算即可说明成立;必要性中,由数量积运算可得,不一定有正数,使得,所以不成立,即可得答案.【详解】充分性:若存在正数,使得,则,,得证;必要性:若,则,不一定有正数,使得,故不成立;所以是充分不必要条件故选:D【点睛】本题考查平面向量数量积的运算,向量数乘的几何意义,还考查了充分必要条件的判定,属于简单题.7、D【解析】因为,故函数是奇函数,所以排除A,B;取,则,故选D.考点:1.函数的基本性质;2.函数的图象.8、B【解析】
根据指数函数的单调性,结合特殊值进行辨析.【详解】若2m>2n>1=20,∴m>n>0,∴πm﹣n>π0=1,故B正确;而当m,n时,检验可得,A、C、D都不正确,故选:B.【点睛】此题考查根据指数幂的大小关系判断参数的大小,根据参数的大小判定指数幂或对数的大小关系,需要熟练掌握指数函数和对数函数的性质,结合特值法得出选项.9、B【解析】
首先求得两曲线的交点坐标,据此可确定积分区间,然后利用定积分的几何意义求解面积值即可.【详解】联立方程:可得:,,结合定积分的几何意义可知曲线y=x2与曲线y2=x所围成的平面图形的面积为:.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查定积分的概念与计算,属于中等题.10、C【解析】
根据全称量词命题的否定是存在量词命题,即得答案.【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题,且命题:,,.故选:.【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定,属于基础题.11、A【解析】
由题意,根据双曲线的对称性知在轴上,设,则由得:,因为到直线的距离小于,所以,即,所以双曲线渐近线斜率,故选A.12、D【解析】
利用导数求得在区间上的最大值和最小,根据三角形两边的和大于第三边列不等式,由此求得的取值范围.【详解】的定义域为,,所以在上递减,在上递增,在处取得极小值也即是最小值,,,,,所以在区间上的最大值为.要使在区间上任取三个实数,,均存在以,,为边长的三角形,则需恒成立,且,也即,也即当、时,成立,即,且,解得.所以的取值范围是.故选:D【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值,考查恒成立问题的求解,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
依题意得,再求点到平面的距离为点到直线的距离,用公式所以即可得出答案.【详解】解:正三棱柱的所有棱长均为2,则,点到平面的距离为点到直线的距离所以,所以.故答案为:【点睛】本题考查椎体的体积公式,考查运算能力,是基础题.14、9【解析】
做出满足条件的可行域,根据图形,即可求出的最大值.【详解】做出不等式组表示的可行域,如图阴影部分所示,目标函数过点时取得最大值,联立,解得,即,所以最大值为9.故答案为:9.【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域,利用数形结合求线性目标函数的最值,属于基础题.15、1.【解析】试题分析:由题意,可看作五个位置排列五种事物,第一位置有五种排列方法,不妨假设排上的是金,则第二步只能从土与水两者中选一种排放,故有两种选择不妨假设排上的是水,第三步只能排上木,第四步只能排上火,第五步只能排上土,故总的排列方法种数有5×2×1×1×1=1.考点:排列、组合及简单计数问题.点评:本题考查排列排列组合及简单计数问题,解答本题关键是理解题设中的限制条件及“五行”学说的背景,利用分步原理正确计数,本题较抽象,计数时要考虑周详.16、【解析】
根据题意画出图形,设,利用三角形相似求得的值,代入三角形的面积公式,即可求解.【详解】如图所示,设,由与相似,可得,解得,再由与相似,可得,解得,由三角形的面积公式,可得的面积为.故答案为:.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用,以及三角形相似的应用,着重考查了数形结合思想,以及推理与运算能力,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)或(2)证明见解析【解析】
(1)将写成分段函数的形式,由此求得不等式的解集.(2)由(1)求得最小值,由此利用基本不等式,证得不等式成立.【详解】(1)当时,恒成立,解得;当时,由,解得;当时,由解得所以的解集为或(2)由(1)可求得最小值为,即因为均为正实数,且(当且仅当时,取“”)所以,即.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的求法,考查利用基本不等式证明不等式,属于中档题.18、(1);(2)见解析;(3)见解析【解析】
(1)令H(x)=h(x)﹣f(x)=ex﹣1﹣aln(x+1)(x≥0),求得导数,讨论a>1和a≤1,判断导数的符号,由恒成立思想可得a的范围;(2)求得F(x)=h(x)﹣g(x)的导数和二阶导数,判断F'(x)的单调性,讨论a≤﹣1,a>﹣1,F(x)的单调性和零点个数;(3)由(1)知,当a=1时,ex>1+ln(x+1)对x>0恒成立,令;由(2)知,当a=﹣1时,对x<0恒成立,令,结合条件,即可得证.【详解】(Ⅰ)解:令H(x)=h(x)﹣f(x)=ex﹣1﹣aln(x+1)(x≥0),则,①若a≤1,则,H'(x)≥0,H(x)在[0,+∞)递增,H(x)≥H(0)=0,即f(x)≤h(x)在[0,+∞)恒成立,满足,所以a≤1;②若a>1,H′(x)=ex﹣在[0,+∞)递增,H'(x)≥H'(0)=1﹣a,且1﹣a<0,且x→+∞时,H'(x)→+∞,则∃x0∈(0,+∞),使H'(x0)=0进而H(x)在[0,x0)递减,在(x0,+∞)递增,所以当x∈(0,x0)时H(x)<H(0)=0,即当x∈(0,x0)时,f(x)>h(x),不满足题意,舍去;综合①,②知a的取值范围为(﹣∞,1].(Ⅱ)解:依题意得,则F'(x)=ex﹣x2+a,则F''(x)=ex﹣2x>0在(﹣∞,0)上恒成立,故F'(x)=ex﹣x2+a在(﹣∞,0)递增,所以F'(x)<F'(0)=1+a,且x→﹣∞时,F'(x)→﹣∞;①若1+a≤0,即a≤﹣1,则F'(x)<F'(0)=1+a≤0,故F(x)在(﹣∞,0)递减,所以F(x)>F(0)=0,F(x)在(﹣∞,0)无零点;②若1+a>0,即a>﹣1,则使,进而F(x)在递减,在递增,,且x→﹣∞时,,F(x)在上有一个零点,在无零点,故F(x)在(﹣∞,0)有一个零点.综合①②,当a≤﹣1时无零点;当a>﹣1时有一个零点.(Ⅲ)证明:由(Ⅰ)知,当a=1时,ex>1+ln(x+1)对x>0恒成立,令,则即;由(Ⅱ)知,当a=﹣1时,对x<0恒成立,令,则,所以;故有.【点睛】本题考查导数的运用:求单调区间,考查函数零点存在定理的运用,考查分类讨论思想方法,以及运算能力和推理能力,属于难题.对于函数的零点问题,它和方程的根的问题,和两个函数的交点问题是同一个问题,可以互相转化;在转化为两个函数交点时,如果是一个常函数一个含自变量的函数,注意让含有自变量的函数式子尽量简单一些.19、(1);(2).【解析】
(1)由l参数方程与椭圆方程联立可得A、B两点参数和,再利用M点的参数为A、B两点参数和的一半即可求M的坐标;(2)利用直线参数方程的几何意义得到,再利用计算即可,但要注意判别式还要大于0.【详解】(1)由已知,曲线的参数方程为(为参数),其普通方程为,当时,将(为参数)代入得,设直线l上A、B两点所对应的参数为,中点M所对应的参数为,则,所以的坐标为;(2)将代入得,则,因为即,所以,故,由得,所以.【点睛】本题考查了伸缩变换、参数方程与普通方程的互化、直线参数方程的几何意义等知识,考查学生的计算能力,是一道中档题.20、(1)(2)是,【
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