导数中两种零点问题解决方法

导数中的零点问题解决方法解决零点问题，需要采用数形结合思想，根据函数的图像或者趋势图像找出符合题意的条件即可，因此用导数判断出单调性作出函数图像或趋势图像至关重要。一、能直接分离参数的零点题目此类问题较为简单，分离之后函数无参数，则可作出函数的准确图像，然后上下移动参数的值，看直线与函数交点个数即可。例1.已知函数，若关于的方程只有一个实数根，求的值。二、不能直接分离参数的零点问题（包括零点个数问题）这里需要注意几个转化，以三次函数为例，若三次函数有三个不同的零点，则函数必定有两个极值点，且极大值和极小值之积为负数，例如在区间上有零点，此时并不能确定零点的个数，只能说明至少有一个零点，若函数在区间上单调，只需要用零点存在性定理即可，但是若函数在区间上不单调，则意味着在区间上存在极值点。在解决此类问题时常用的知识是零点存在定理和极限的相关知识，但必不可少的是求出函数的趋势图像，然后根据趋势图像找符合零点问题的条件即可，这里需要说明一下，参数影响零点的个数问题主要有两个方向，一是参数影响单调性和单调区间的个数，二是参数影响函数的极值或最值，而通过这两个方向就可以影响函数的趋势图像，进而影响零点的个数，因此分类讨论思想在此类问题中必不可少。例2.已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是例3.已知函数在区间上有两个不同零点，求实数的取值范围。例4.已知函数（1）讨论的单调性；（2）若，当函数有三个不同的零点时，的取值范围恰好是，求的值。例5.已知函数（1）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；（2）若，函数在区间内有零点，求的取值范围。答案导数中的零点问题解决方法解决零点问题，需要采用数形结合思想，根据函数的图像或者趋势图像找出符合题意的条件即可，因此用导数判断出单调性作出函数图像或趋势图像至关重要。一、能直接分离参数的零点题目此类问题较为简单，分离之后函数无参数，则可作出函数的准确图像，然后上下移动参数的值，看直线与函数交点个数即可。例1.已知函数，若关于的方程只有一个实数根，求的值。解析：，令，，令，则当时，，单调递增；当时，，单调递减，注意这里的单调性不是硬解出来的，因为你会发现的式子很复杂，但是如果把当成两个函数的和，即，此时的单调性和极值点均相同，因此可以整体判断出的单调性和极值点。所以（注意：有一个根转化为图像只有一个交点即可）二、不能直接分离参数的零点问题（包括零点个数问题）这里需要注意几个转化，以三次函数为例，若三次函数有三个不同的零点，则函数必定有两个极值点，且极大值和极小值之积为负数，例如在区间上有零点，此时并不能确定零点的个数，只能说明至少有一个零点，若函数在区间上单调，只需要用零点存在性定理即可，但是若函数在区间上不单调，则意味着在区间上存在极值点。在解决此类问题时常用的知识是零点存在定理和极限的相关知识，但必不可少的是求出函数的趋势图像，然后根据趋势图像找符合零点问题的条件即可，这里需要说明一下，参数影响零点的个数问题主要有两个方向，一是参数影响单调性和单调区间的个数，二是参数影响函数的极值或最值，而通过这两个方向就可以影响函数的趋势图像，进而影响零点的个数，因此分类讨论思想在此类问题中必不可少。例2.已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是解析：当时，有两个零点，不符合题意当时，，若，则若，则，此时函数在上单增，此时在上存在零点，不符合题意。当时，若，则，若，则或此时要保证函数存在唯一的正零点，则，解得注意：如果不是的大题没必要分类讨论，做出符合题意的图像反推即可例3.已知函数在区间上有两个不同零点，求实数的取值范围。解析：，可知函数在上递减，在上递增，要保证函数在上有两个不同的零点，根据函数的趋势图像可得必须满足例4.已知函数（1）讨论的单调性；（2）若，当函数有三个不同的零点时，的取值范围恰好是，求的值。解析：（1）当时，在上单调递增当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）只有当时才有可能满足有三个零点因为有两个极值点，要满足有三个零点必须满足，结合可得，因为恰有三个零点时，的取值范围是所以题目可以转化为在上恒成立，且在上恒成立设，对其求导可得在递增，在递减，因此图像必须满足以下趋势：所以验证：当时，函数有三个不等的实数根，所以有两个不相等且不等于-1的实数根，所以必须满足综上，第一问很简单，但是是解决第二问必要的前提，第二问题目中函数有三个不同的零点，但是题目中有两个参数，类似于双参数问题解决方法，最后将两个参数中已知的那个作为自变量，然后转化为恒成立问题即可，三个零点意味着两个极值的积为负值，然后再根据不同的的取值转化为函数恒成立问题，通过函数的趋势图像即可解出符合题意的条件。但是很多同学缺省最后检验的步骤，同时也不理解为什么需要验证，如果不验证，则即便满足有三个零点，此时的的取值范围也可以不是题目中给出的范围，注意这个恰字就说明了必须要进行最后的验证。例5.已知函数（1）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；（2）若，函数在区间内有零点，求的取值范围。解析：（1）当时，，在递增，当时，令，，此时位置不确定因此需要讨论Case1:当时，，此时在递减，Case1:当时，，此时在上递增，Case3:当时，即，此时综上所述（2）本题目隐藏一个条件即，又知，所以如果在区间内有零点，则在内至少有两个极值点或者至少有三个单调区间或者说在内不可以恒正也不可以恒负。（要好好理解这句话）题目中有两个参数，根据可得，若当或时，函数为单调函数，不符合题意，故只能在内取值，此时，且要满足才可令，根据单调性可知，此时成立，因此要保证在上至少有三个单调区间，则需要满足条件题目第二问的关键是理解原函数单调区间的个数和导函数零点个数之间的关系，建