广东省深圳市龙岗区龙城初级中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷

2022-2023学年广东省深圳市龙岗区龙城初级中学九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题，共30分）1．（3分）一个由长方体截去一部分后得到的几何体如图水平放置，其俯视图是（）A． B． C． D．2．（3分）如图，点D、E分别是△ABC上AB、AC边上的中点，△ADE为阴影部分．现有一小孩向其投一小石子且已投中，则石子落在阴影部分的概率是（）A． B． C． D．3．（3分）已知关于x的方程x2﹣6x+m﹣1＝0没有实数根，则m的取值范围是（）A．m＜10 B．m＝10 C．m＞10 D．m≥104．（3分）关于反比例函数，点（a，b）在它的图象上，下列说法中错误的是（）A．当x＜0时，y随x的增大而增大 B．图象位于第二、四象限 C．点（b，a）和（﹣b，﹣a）都在该图象上 D．当x＜﹣1时，y＜25．（3分）下列命题是真命题的是（）A．四边相等的四边形是正方形 B．物体在任何光线照射下影子的方向都是相同的 C．如果2a＝3b，则 D．有一个角为120°的两个等腰三角形相似6．（3分）如图，把一根长为4.5m的竹竿AB斜靠在石坝旁，量出竿长1m处离地面的高度为0.6m，则石坝的高度为（）A．2.7m B．3.6m C．2.8m D．2.1m7．（3分）在△ACB中，∠ABC＝90°，用直尺和圆规在AC上确定点D，使△BAD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（）A． B． C． D．8．（3分）由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S△AOB＝1，则图中与△AOB位似的三角形的面积为（）A．（）3 B．（）7 C．（）6 D．（）69．（3分）定义新运算：a※b＝，例如：4※5＝，4※（﹣5）＝．那么函数y＝2※x（x≠0）的图象大致是（）A． B． C． D．10．（3分）如图，反比例函数图象经过正方形OABC的顶点A，BC边与y轴交于点D，若正方形OABC的面积为12，BD＝2CD，则k的值为（）A．3 B． C． D．二.填空题（共5小题，共15分）11．（3分）已知正方形ABCD的对角线长为6cm，则正方形ABCD的面积为cm2．12．（3分）规定：在实数范围内定义一种运算“◎”，其规则为a◎b＝a（a+b），方程（x﹣2）◎7＝0的根为．13．（3分）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？若设这批椽的数量为x株，则可列分式方程为．14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，点D是AB的中点，连接CD，将△BCD沿射线CA方向平移，在此过程中，△BCD的边CD与Rt△ABC的边AB、AC分别交于点E、F，当△AEF的面积是Rt△ABC面积的时，则△BCD平移的距离是．15．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，若∠BEC＝45°且AE＝4，ED＝2，则AB的长为．三.解答题（共7题，共55分）16．（8分）（1）计算：；（2）解方程：2y2+4y＝y+2．17．（7分）我校开展“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：（1）本次被调查的学生有名；补全条形统计图；（2）扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数是；（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，请用列表法或画树状图法分析甲和乙同学同时被选中的概率．18．（6分）由边长相等的小正方形组成的网格，以下各图中点A、B、C、D都在格点上．（1）在图1中，PC：PB＝；（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．①如图2，在AB上找点P，使得AP：PB＝1：3；②如图3，在BC上找点P，使得△APB∽△DPC．19．（8分）如图，在矩形ABCD的BC边上取一点E，连接AE，使得AE＝EC，在AD边上取一点F，使得DF＝BE，连接CF．过点D作DG⊥AE于G．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB＝4，BE＝3，求DG的长．20．（7分）某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每周可卖出300件，市场调查反映，如调整价格，每涨1元，每周少卖出10件，每周销量不少于240件．（1）每件售价最高为多少元？（2）实际销售时，为尽快减少库存，每件在最高售价的基础上降价销售，每降1元，每周销量比最低销量240件多卖20件，要使利润达到6500元，则每件应降价多少元？21．（10分）小华同学学习函数知识后，对函数通过列表﹣描点﹣连线，画出了如图所示的图象．x……﹣4﹣3﹣2﹣1﹣﹣﹣01234……y……1241a0﹣4b﹣﹣1……请根据图象解答：（1）【观察发现】①完成描点，把图象补充完整；②表格中：a＝，b＝③写出函数的一条性质：；④若函数图象上的两点（x1，y1），（x2，y2）满足x1+x2＝0，则y1+y2＝0．（填“对或错”）（2）【延伸探究】如图2，将过A（﹣1，4），B（4，﹣1）两点的直线向下平移n个单位长度后，得到直线l与函数的图象交于点P，连接PA，PB．①求当n＝3时，直线l的解析式和△PAB的面积；②直接用含n的代数式表示△PAB的面积．22．（9分）【问题发现】数学小组成员小明做作业时遇到以下问题：请你帮助解决（1）若四边形ABCD是菱形，边长为2，∠ABC＝60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，如图1，连接CE、DE，则BP与CE的数量关系为，DE长度的最小值为．【类比探究】数学小组对该问题进一步探究，请你帮助解决：（2）如图2，若四边形ABCD是正方形，边长为2，点O为BD中点，点P是射线BD上一动点，以AP为斜边在AP边的右侧作等腰Rt△APE，∠AEP＝90°，连接OE、DE．求：①BP与OE的数量关系；②求DE长度的最小值．【拓展应用】（3）如图3，在（2）的基础上，当P是对角线BD的延长线上一动点时，以AP为直角边在AP边的右侧作等腰Rt△APE，∠APE＝90°，连接BE，若AB＝2，BE＝6，求△BPE的面积．

2022-2023学年广东省深圳市龙岗区龙城初级中学九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，共30分）1．【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示．【解答】解：从上面看，是一个矩形．故选：A．2．【分析】根据三角形中位线定理得出DE＝BC，DE∥BC，根据相似三角形的判定定理和性质定理，得出＝（）2＝，即可求解．【解答】解：∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE＝BC，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝，∴石子落在阴影部分的概率是．故选：C．3．【分析】根据根的判别式得出b2﹣4ac＜0，代入求出不等式的解集即可得到答案．【解答】解：∵关于x的方程程x2﹣6x+m﹣1＝0没有实数根，∴b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×1×（m﹣1）＜0，解得m＞10．故选：C．4．【分析】A．利用反比例函数的性质，可得出当x＜0时，y随x的增大而增大；B．利用反比例函数的性质，可得出反比例函数的图象位于第二、四象限；C．利用反比例函数图象上点的坐标特征，可得出点（b，a）和（﹣b，﹣a）都在反比例函数的图象上；D．利用反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数的性质，可得出当x＜﹣1时，y＜4．【解答】解：A．∵k＝﹣4＜0，∴当x＜0时，y随x的增大而增大，选项A不符合题意；B．∵k＝﹣4＜0，∴反比例函数的图象位于第二、四象限，选项B不符合题意；C．∵点（a，b）在反比例函数的图象上，∴ab＝﹣4，∴点（b，a）和（﹣b，﹣a）都在反比例函数的图象上，选项C不符合题意；D．当x＝﹣1时，y＝﹣＝4，且当x＜0时，y随x的增大而增大，∴当x＜﹣1时，y＜4，选项D符合题意．故选：D．5．【分析】根据正方形的判定判断A；根据平行投影和中心投影的特点和规律判断B；根据比例的性质判断C；根据等腰三角形的性质以及相似三角形的判定判断D．【解答】解：A、四边相等的矩形是正方形，故本选项中的命题是假命题，不符合题意；B、物体在太阳光线照射下影子的方向都是相同的，在灯光的照射下影子的方向与物体的位置有关，故本选项中的命题是假命题，不符合题意；C、如果2a＝3b，则＝，故本选项中的命题是假命题，不符合题意；D、有一个角为120°的等腰三角形底角为30°，所以有一个角为120°的两个等腰三角形一定相似，故本选项中的命题是真命题，符合题意；故选：D．6．【分析】根据DC∥BF，可得＝，进而得出BF即可．【解答】解：过点B作BF⊥AD于点F，∵DC⊥AD，BF⊥AD，∴DC∥BF，∴△ACD∽△ABF，∴＝，∴＝，解得：BF＝2.7．故选：A．7．【分析】若△BAD∽△CBD，可得∠ADB＝∠BDC＝90°，即BD是AC的垂线，根据作图痕迹判断即可．【解答】解：当BD是AC的垂线时，△BAD∽△CBD．∵BD⊥AC，∴∠ADB＝∠CDB＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠A+∠ABD＝∠ABD+∠CBD＝90°，∴∠A＝∠CBD，∴△BAD∽△CBD．根据作图痕迹可知，A选项中，BD是∠ABC的平分线，不与AC垂直，不符合题意；B选项中，BD是AC边上的中线，不与AC垂直，不符合题意；C选项中，BD是AC的垂线，符合题意；D选项中，AB＝AD，BD不与AC垂直，不符合题意．故选：C．8．【分析】根据余弦的定义得到OB＝OA，进而得到OG＝（）6OA，根据位似图形的概念得到△GOH与△AOB位似，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．【解答】解：在Rt△AOB中，∠AOB＝30°，∵cos∠AOB＝，∴OB＝OA，同理，OC＝OB，∴OC＝（）2OA，……OG＝（）6OA，由位似图形的概念可知，△GOH与△AOB位似，且位似比为（）6，∵S△AOB＝1，∴S△GOH＝[（）6]2＝（）6，故选：C．9．【分析】根据题干中新运算定义求出y＝2※x的解析式，进而求解．【解答】解：由题意得y＝2※x＝，故选：D．10．【分析】过B作BH⊥x轴于H，过A作AM⊥x轴于M，CN⊥BH于N，交y值于E，通过证得△AOM≌△COE，△COE≌△BCN，得出CN＝OE＝OM，BN＝CE＝AM，由BD＝2CD，根据平行线分线段成比例定理求得CE：CN＝CE：OE＝AM：OM＝1：3，利用勾股定理以及正方形的面积即可求得A的坐标，进而求得k的值．【解答】解：过B作BH⊥x轴于H，过A作AM⊥x轴于M，CN⊥BH于N，交y值于E，∵四边形OABC是正方形，∴OA＝OC，∠AOC＝90°，∴∠COE+∠AOE＝∠AOE+∠AOM＝90°，∴∠COE＝∠AOM，在△COE与△AOM中，，∴△AOM≌△COE（AAS），∴OM＝OE，AM＝CE，同理，△COE≌△BCN，∴CN＝OE，BN＝CE，∵BH∥y轴，∴＝，∴BD＝2CD，∴＝，∴＝＝，∵OA2＝OM2+AM2，正方形OABC的面积为12，∴12＝9AM2+AM2，∴AM＝，∴OM＝，∴A（，），∵反比例函数y＝（x＞0）图象经过正方形OABC的顶点A，∴k＝×＝，故选：B．二.填空题（共5小题，共15分）11．【分析】根据正方形的对角线相等且互相垂直，正方形是特殊的菱形，菱形的面积等于对角线乘积的一半进行求解即可．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AC＝BD＝6cm，AC⊥BD，∴正方形ABCD的面积＝×AC×BD＝18cm2，故答案为：18．12．【分析】直接根据定义的这种运算的规则求解．【解答】解：由题意得：（x﹣2）（x﹣2+7）＝0，（x﹣2）（x+5）＝0，x﹣2＝0或x+5＝0，x1＝2，x2＝﹣5．故答案为：x1＝2，x2＝﹣5．13．【分析】根据题意可知：x株需要6210文，（x﹣1）株的运费＝一株椽的价钱，从而可以列出相应的方程．【解答】解：设这批椽的数量为x株，由题意可得：，故答案为：．14．【分析】根据三角形中线把三角形的面积分成相等的两部分得到S△ACD＝S△ABC，根据题意得到△AEF的面积是△ADC面积的，通过证得△AEF∽△ADC求得AF，即可求得CF．【解答】解：∵D是AB的中点，∴S△ACD＝S△ABC，∵△AEF的面积是Rt△ABC面积的，∴△AEF的面积是△ADC面积的，∵EF∥CD，∴△AEF∽△ADC，∴＝（）2＝，即＝，∴AF＝，∴CF＝2﹣，∴△BCD平移的距离是2﹣，故答案为2﹣．15．【分析】解法一：分别以AB，CD为直角边作等腰Rt△ABF和等腰Rt△DCG，判定△BEF∽△ECG，即可得到AB的长；解法二：过C作CF⊥BE于F，过F作FG⊥BC于G，交AD于H，判定△EFH∽△FCG，即可得出＝＝＝1，设EH＝x，则FG＝x，BG＝AH＝4﹣x，HF＝GC＝DH＝x+2，再根据FG2＝BG×CG，即可得到x的值，进而得到AB的长．【解答】解法一：如图，分别以AB，CD为直角边作等腰Rt△ABF和等腰Rt△DCG，依题意得∠F＝∠G＝∠BEC＝45°，∴∠FBE+∠BEF＝∠CEG+∠BEF＝135°，∴∠FBE＝∠CEG，∴△BEF∽△ECG，∴＝，即＝，解得AB＝或（舍去），∴AB的长为，故答案为：．解法二：如图，过C作CF⊥BE于F，过F作FG⊥BC于G，交AD于H，则∠CFE＝90°，∠ECF＝∠CEF＝45°，∴△CEF是等腰直角三角形，∴EF＝CF，又∵∠EFH+∠CFG＝∠FCG+∠CFG＝90°，∴∠EFH＝∠FCG，∴△EFH∽△FCG，∴＝＝＝1，设EH＝x，则FG＝x，BG＝AH＝4﹣x，HF＝GC＝DH＝x+2，∵Rt△BCF中，FG⊥BC于G，∴FG2＝BG×CG，∴x2＝（4﹣x）×（x+2），解得x＝或x＝（舍去），∴AB＝HG＝HF+FG＝x+2+x＝．故答案为：．三、解答题（共7题，共55分）16．【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；（2）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．【解答】解：（1）＝2﹣3+1﹣（2﹣）＝2﹣3+1﹣2+＝﹣2；（2）2y2+4y＝y+2，2y（y+2）﹣（y+2）＝0，（y+2）（2y﹣1）＝0，y+2＝0或2y﹣1＝0，y1＝﹣2，y2＝．17．【分析】（1）用选择“篮球”的人数除以其所占百分比，可得本次被调查的学生总人数；求出选择“足球”的人数，再补全条形统计图即可．（2）用选择“排球”的人数除以本次被调查的学生总人数再乘以360°即可．（3）画树状图得出所有等可能的结果数，以及甲和乙同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）本次被调查的学生人数为30÷30%＝100（名）．故答案为：100．选择“足球”的人数为35%×100＝35（名）．补全条形统计图如下：（2）扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数为×360°＝18°．故答案为：18°．（3）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种，∴甲和乙同学同时被选中的概率为＝．18．【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．（2）①取格点E，F连接EF交AB于点P，点P即为所求．②取格点A′，连接DA′交BC于点P，连接AP，点P即为所求．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴＝＝，故答案为：1：2．（2）①如图2中，点P即为所求．②如图3中，点P即为所求．19．【分析】（1）根据矩形的性质判定四边形AECF是平行四边形，根据AE＝EC，即可得结论；（2）根据矩形和菱形的性质证明△ADG∽△EAB，对应边成比例即可求出DG的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵BE＝DF，∴AD﹣DF＝BC﹣BE，即AF＝EC，∴四边形AECF是平行四边形，∵AE＝EC，∴四边形AECF是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AD＝BC，在Rt△ABE中，AB＝4，BE＝3，根据勾股定理，得AE＝＝＝5，∵四边形AECF是菱形，∴EC＝AE＝5，∴AD＝BC＝BE+EC＝3+5＝8，∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠AEB，∵DG⊥AE，∴∠DGA＝∠B＝90°，∴△ADG∽△EAB，∴＝，即＝，∴DG＝．20．【分析】（1）设每件的售价为x元，利用每周的销售量＝300﹣10×上涨的价格，结合每周销量不少于240件，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；（2）设每件应降价y元，则每件的销售利润为（66﹣y﹣40）元，每周的销售量为（240+20y）件，利用每周销售该商品获得的利润＝每件的销售利润×每周的销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出y值，再结合要尽快减少库存，即可得出每件应降价13元．【解答】解：（1）设每件的售价为x元，依题意得：300﹣10（x﹣60）≥240，解得：x≤66．答：每件售价最高为66元．（2）设每件应降价y元，则每件的销售利润为（66﹣y﹣40）元，每周的销售量为（240+20y）件，依题意得：（66﹣y﹣40）（240+20y）＝6500，整理得：y2﹣14y+13＝0，解得：y1＝1，y2＝13．又∵要尽快减少库存，∴y＝13．答：每件应降价13元．21．【分析】（1）①把x＝﹣，x＝2代入函数解析式分别求得a、b的值；②根据函数图象可得性质；③假设x1＝﹣，则y1＝1，再根据x2求出y2的值，可知y1+y2＝0不一定成立；（2）①首先利用待定系数法求出直线AB的解析式，当n＝3时，直线l的解析式为y＝﹣x，设直线AB与y轴交于C，利用平行线之间的距离相等，可得△PAB的面积＝△AOB的面积，从而得出答案；②设直线l与y轴交于D，同理得△PAB的面积＝△ABD的面积，即可解决问题．【解答】解：（1）①把x＝﹣，代入函数解析得y＝4x2＝，所以a＝；把x＝2代入函数解析式得y＝﹣＝﹣2，所以b＝﹣2；故答案为：，﹣2；②由图象知：函数有最大值为4，当x＞0时，y随x的增大而增大（答案不唯一）；故答案为：函数有最大值为4（答案不唯一）；③假设x1＝﹣，则y1＝1，∵x1+x2＝0，∴x2＝，∴y2＝﹣8，∴y1+y2＝0不一定成立，故答案为：错；（2）①设直线AB的解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3，当n＝3时，直线l的解析式为y＝﹣x，设直线AB与y轴交于C，则△PAB的面积＝△AOB的面积，∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝＝＝，∴△PAB的面积为；②设直线l与y轴交于D，∵l∥AB，∴△PAB的面积＝△ABD的面积，由题意知，CD＝n，∴S△ABD＝S△ACD+S△BCD＝＝．∴△PAB的面积为．22．【分析】（1）连接AC，由四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°＝∠ADC，可得△ABC和△ADC是等边三角形，又△APE是等边三角形，可证明△BAP≌△CAE（SAS），即得BP＝CE；∠ABP＝∠ACE＝30°，延长CE交AD于K，则E在射线CK上运动，当DE⊥CK，即E与K重合时，DE取最小值，可得DK＝CD＝×2＝1，故DE的最小值为1；（2）①连接AO，根据四边形ABCD是正方形，O是BD的中点，知△AOB是等腰直角三角形，有∠BAO＝45°＝∠ABO，＝，而△APE是等腰直角三角形，即可得＝，∠BAP＝∠OAE，从而△ABP∽△AOE，有＝＝，∠ABP＝∠AOE＝45°，故BP＝EO；②延长OE交AD于T，由∠AOE＝45°，知E在射线OT上运动，当DE⊥OT，即E与T重合时，DE取最小值，可求出DT＝AD＝×2＝1，故DE的最小值为1；（3）连接AC交BD于点F，过点E作EG⊥BP交直线BP于点G，根据四边形ABCD是正方形，AB＝2，可得BF＝AF＝AB•sin45°＝，证明△FAP≌△GPE（AAS），即有FP＝EG，PG＝AF＝，设FP＝EG＝x，可得62＝（2+x）2+x2，解得FP＝4﹣＝EG，BP＝FP+BF＝4，从而S△BPE＝BP•EG＝8﹣2．【解答】解：（1）连接AC，如图：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∵∠ABC