人教A版高中数学（选择性必修二）同步讲义第04讲 4.3.1等比数列的概念（教师版）

第04讲4.3.1等比数列的概念课程标准学习目标①理解等比数列的定义.会推导等比数列的通项公式，能运用等比数列的通项公式解决一些简单的问题.掌握等比中项的概念。②能根据等比数列的定义推出等比数列的常用性质.能运用等比数列的性质解决有关问题.。能应用等比数列的定义判断等比数列，会应用等比数列的通项公式进行基本量的求解，能应用等比数列的性质解决与等比数列相关的问题知识点01：等比数列的概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母SKIPIF1<0表示(SKIPIF1<0)符号语言SKIPIF1<0（或者SKIPIF1<0）(SKIPIF1<0为常数，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0)知识点02：等比中项如果SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列，那么SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的等比中项．即：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的等比中项⇔SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列⇔SKIPIF1<0.【即学即练1】（2023秋·福建漳州·高二校考阶段练习）在等比数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】由SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故选：D知识点03：等比数列的通项公式一般地，对于等比数列SKIPIF1<0的第SKIPIF1<0项SKIPIF1<0有公式SKIPIF1<0.这就是等比数列SKIPIF1<0的通项公式，其中SKIPIF1<0为首项，SKIPIF1<0为公比．知识点04：等比数列的单调性已知等比数列SKIPIF1<0的首项为SKIPIF1<0，公比为SKIPIF1<01、当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，等比数列SKIPIF1<0为递增数列；2、当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，等比数列SKIPIF1<0为递减数列；3、当SKIPIF1<0时，等比数列SKIPIF1<0为常数列（SKIPIF1<0）4、当SKIPIF1<0时，等比数列SKIPIF1<0为摆动数列.【即学即练2】（2023春·高二课时练习）已知SKIPIF1<0为等比数列，则“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0为递增数列”的（

）A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件C．既不充分也不必要条件 D．充要条件【答案】A【详解】当公比SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不递增，充分性不成立，当等比数列SKIPIF1<0为递增数列时，SKIPIF1<0，显然必要性成立.综上所述：“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0为递增数列”的必要而不充分条件.故选：A知识点05：等比数列的判断（证明）1、定义：SKIPIF1<0（或者SKIPIF1<0）（可判断，可证明）2、等比中项法：验证SKIPIF1<0（特别注意SKIPIF1<0）（可判断，可证明）3、通项公式法：验证通项是关于SKIPIF1<0的指数型函数（只可判断）知识点06：等比数列常用性质设数列SKIPIF1<0是等比数列，SKIPIF1<0是其前SKIPIF1<0项和．（1）SKIPIF1<0(2)若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.特别地，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…仍是等比数列，公比为SKIPIF1<0(SKIPIF1<0).(4)若数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是两个项数相同的等比数列，则数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0(其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是非零常数)也是等比数列．【即学即练3】（2023秋·广东深圳·高三校考阶段练习）在等比数列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的公比SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．4【答案】B【详解】SKIPIF1<0是等比数列，依题意，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：B题型01等比数列通项公式的应用【典例1】（2023秋·福建宁德·高二福建省宁德第一中学校考阶段练习）记SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【详解】SKIPIF1<0①，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0②，①-②得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是首项为-1，公比是2的等比数列，故SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0【典例2】（2023春·北京东城·高二统考期末）已知数列SKIPIF1<0的首项SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0；数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0.【答案】4SKIPIF1<0【详解】由题意数列SKIPIF1<0的首项SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0；由此可知SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0为首项是SKIPIF1<0，公比为2的等比数列，故SKIPIF1<0，首项也适合该式，故答案为：4；SKIPIF1<0【典例3】（2023·全国·高二课堂例题）已知数列SKIPIF1<0是公比为q的等比数列．(1)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的通项公式；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求n．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)9【详解】（1）由等比数列的通项公式可知，SKIPIF1<0，两式相除得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．因此，这个数列的通项公式是SKIPIF1<0．（2）因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．【变式1】（2023春·江苏南通·高二期末）已知数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的通项公式为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因此数列SKIPIF1<0是首项为1，公比为2的等比数列，SKIPIF1<0，故选：C.【变式2】（2023·西藏日喀则·统考一模）已知各项均为正数的等比数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0【详解】设等比数列SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为:SKIPIF1<0.【变式3】（2023秋·高二课时练习）在等比数列SKIPIF1<0中，(1)已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(3)已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(4)已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0(4)SKIPIF1<0【详解】（1）等比数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.（2）等比数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.（3）等比数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.（4）等比数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.题型02等比中项【典例1】（2023秋·江苏宿迁·高三校考阶段练习）在等比数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的两根，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的两根，所以SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为正数，所以SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．故选：A.【典例2】（2023·全国·高二随堂练习）若a，G，b成等比数列，则称G为a和b的等比中项．(1)求45和80的等比中项；(2)已知两个数SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的等比中项是2k，求k．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【详解】（1）设SKIPIF1<0为45和80的等比中项，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以45和80的等比中项为SKIPIF1<0（2）两个数SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的等比中项是SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，满足题意，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【变式1】（2023秋·山东潍坊·高三统考阶段练习）已知等差数列SKIPIF1<0的公差不为0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列，则这个等比数列的公比是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．4【答案】B【详解】等差数列SKIPIF1<0,设公差为d，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列，故SKIPIF1<0，又因为公差不为0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则这个等比数列的公比是SKIPIF1<0.故选：B【变式2】（2023春·河南信阳·高二信阳高中校考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0是等比数列，函数SKIPIF1<0的零点分别是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】由题意可得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，故选：D题型03等比数列的判断与证明【典例1】（2023·全国·高二专题练习）如果数列SKIPIF1<0是等比数列，那么（

）A．数列SKIPIF1<0是等比数列 B．数列SKIPIF1<0是等比数列C．数列SKIPIF1<0是等比数列 D．数列SKIPIF1<0是等比数列【答案】C【详解】对于C，设等比数列SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为非零常数，则数列SKIPIF1<0是等比数列，故C正确；对于ABD，取SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0是等比数列，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0不是等比数列，故A错误.而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0不是等比数列，故B错误.而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0不是等比数列，故D错误.故选：C.【典例2】（2023·高二课时练习）函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为常数，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0），数列SKIPIF1<0是首项为4，公差为2的等差数列，求证：数列SKIPIF1<0是等比数列．【答案】证明见解析【详解】数列SKIPIF1<0是首项为4，公差为2的等差数列，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且k>0，k≠1，所以SKIPIF1<0，∴数列SKIPIF1<0是等比数列.【典例3】（2023·全国·高二专题练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的通项公式．【答案】SKIPIF1<0【详解】解：由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是以1为首项3为公比的等比数列，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．【变式1】（2023·全国·高二专题练习）在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0是等比数列；(2)求数列SKIPIF1<0的通项公式．【答案】(1)证明详见解析；(2)SKIPIF1<0.【详解】（1）依题意，数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0，公比为SKIPIF1<0的等比数列.（2）由（1）得：数列SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0，公比为SKIPIF1<0的等比数列，所以SKIPIF1<0.【变式2】（2023春·高二课时练习）已知数列SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.证明：数列SKIPIF1<0是等比数列；【答案】证明见解析【详解】证明：因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为首项是4，公比为2的等比数列.题型04等比数列性质的应用【典例1】（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）已知数列SKIPIF1<0是正项等比数列，数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（

）A．24 B．32 C．36 D．40【答案】C【详解】因为SKIPIF1<0是正项等比数列，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：C.【典例2】（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）在正项等比数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是（

）A．12 B．18 C．24 D．36【答案】C【详解】在正项等比数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时，等号成立，即SKIPIF1<0的最小值是24.故选：C.【典例3】（2023·江西·校联考二模）在正项等比数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的两个根，则SKIPIF1<0.【答案】5【详解】因为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的两个根，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为正项等比数列，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故答案为：5.【变式1】（2023秋·辽宁沈阳·高三新民市高级中学校考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0是等差数列，数列SKIPIF1<0是等比数列，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】解：∵数列SKIPIF1<0是等差数列，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.∵数列SKIPIF1<0是等比数列，∴SKIPIF1<0，又由题意SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.故选：D．【变式2】（2023秋·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知在等比数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的两个实数根，则SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【详解】∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的两个实数根，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据等比数列的性质有：SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0【变式3】（2023秋·甘肃白银·高二校考阶段练习）正项等比数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值是．【答案】8【详解】因为正项等比数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故答案为：8题型05构造等比数列求通项公式（构造法求通项）【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的通项公式为.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【详解】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0故SKIPIF1<0是以公比为2的等比数列，且首项为SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0,故答案为：SKIPIF1<0【典例2】（2023·全国·高二专题练习）已知数列SKIPIF1<0的首项SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0．求数列SKIPIF1<0的通项公式；【答案】SKIPIF1<0【详解】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.又∵SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0是以2为首项，2为公比的等比数列,∴SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【典例3】（2023秋·甘肃白银·高二校考阶段练习）在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(1)证明：数列SKIPIF1<0是等比数列；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前n项和Sn．【答案】(1)证明见解析(2)SKIPIF1<0【详解】（1）证明：由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以数列SKIPIF1<0是以4为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0【变式1】（2023秋·福建福州·高二校联考期末）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0为等比数列，并求SKIPIF1<0的通项公式.【答案】证明过程见详解，SKIPIF1<0.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是以2为首项，3为公比的等比数列，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0【变式2】（2023春·高二课时练习）数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0为等比数列；(2)求SKIPIF1<0的通项公式．【答案】(1)证明见解析(2)SKIPIF1<0【详解】（1）由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0，公比为SKIPIF1<0的等比数列.（2）由（1）得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【变式3】（2023·全国·高三专题练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)写出该数列的前SKIPIF1<0项；(2)求数列SKIPIF1<0的通项公式.【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，SKIPIF1<0为公比的等比数列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.题型06等比数列在传统文化中的应用1．（2023秋·江苏淮安·高三统考开学考试）谢尔宾斯基（Sierpinski）三角形是一种分形，它的构造方法如下：取一个实心等边三角形（如图1），沿三边中点的连线，将它分成四个小三角形，挖去中间小三角形（如图2），对剩下的三个小三角形继续以上操作（如图3），按照这样的方法得到的三角形就是谢尔宾斯基三角形．如果图1三角形的边长为2，则图4被挖去的三角形面积之和是（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】第一种挖掉的三角形边长为SKIPIF1<0，共SKIPIF1<0个，面积为SKIPIF1<0；第二种挖掉的三角形边长为SKIPIF1<0，共SKIPIF1<0个，面积为SKIPIF1<0，第三种挖掉的三角形边长为SKIPIF1<0，共SKIPIF1<0个，面积为SKIPIF1<0，故被挖去的三角形面积之和是SKIPIF1<0.故选：D2．（2023·全国·高三专题练习）科赫曲线因形似雪花，又被称为雪花曲线.其构成方式如下：如图1将线段SKIPIF1<0等分为线段SKIPIF1<0，如图2.以SKIPIF1<0为底向外作等边三角形SKIPIF1<0，并去掉线段SKIPIF1<0，将以上的操作称为第一次操作；继续在图2的各条线段上重复上述操作，当进行三次操作后形成如图3的曲线.设线段SKIPIF1<0的长度为1，则图3中曲线的长度为（

）

A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．3【答案】C【详解】依题意，一条线段经过一次操作，其长度变为原来的SKIPIF1<0，因此每次操作后所得曲线长度依次排成一列，构成以SKIPIF1<0为首项，SKIPIF1<0为公比的等比数列，所以当进行三次操作后的曲线长度为SKIPIF1<0.故选：C3．（2023·北京·高三专题练习）“十二平均律”

是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于SKIPIF1<0.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0故选D.4．（2023秋·福建三明·高三统考期末）在第24届北京冬奥会开幕式上，一朵朵六角雪花飘拂在国家体育场上空，畅想着“一起向未来”的美好愿景.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程，若第1个图中的三角形的周长为3，则第4个图形的周长为.

【答案】SKIPIF1<0【详解】由题意，当SKIPIF1<0时，第1个图中的三角形的边长为SKIPIF1<0，三角形的周长为SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，第2个图中“雪花曲线”的边长为SKIPIF1<0，共有SKIPIF1<0条边，其“雪花曲线”周长为SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，第3个图中“雪花曲线”的边长为SKIPIF1<0，共有SKIPIF1<0条边，其“雪花曲线”周长为SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，第4个图中“雪花曲线”的边长为SKIPIF1<0，共有SKIPIF1<0条边，其“雪花曲线”周长为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.A夯实基础B能力提升A夯实基础一、单选题1．（2023秋·广东江门·高三校联考阶段练习）设SKIPIF1<0是等比数列，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．24 B．36 C．48 D．64【答案】C【详解】在等比数列SKIPIF1<0中，设公比为SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故选：C.2．（2023秋·西藏林芝·高三校考阶段练习）在等比数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0.故选：C.3．（2023春·贵州黔东南·高二校考阶段练习）数列1，1，1，…，1，…必为（

）A．等差数列，但不是等比数列 B．等比数列，但不是等差数列C．既是等差数列，又是等比数列 D．既不是等差数列，也不是等比数列【答案】C【详解】数列1，1，1，…，1，…是公差为0的等差数列，也是公比为1的等比数列.故选：C.4．（2023秋·河北石家庄·高三石家庄市第十八中学校考阶段练习）已知等比数列SKIPIF1<0的各项均为正数，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．27 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】设SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0的各项均为正数，所以SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：D5．（2023秋·重庆·高三校联考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．12 D．36【答案】D【详解】由SKIPIF1<0可知数列SKIPIF1<0是公比为SKIPIF1<0的等比数列，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0.故选：D.6．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知公差不为SKIPIF1<0的等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：B7．（2023秋·安徽·高三安徽省宿松中学校联考开学考试）分形几何是一门新兴学科，图1是长度为1的线段，将其三等分，以中间线段为边作无底边正三角形得到图2，称为一次分形；同样把图2的每一条线段重复上述操作得到图3，称为二次分形；……，则第5次分形后图形长度为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】图1的线段长度为SKIPIF1<0，图2的线段长度为SKIPIF1<0，图3的线段长度为SKIPIF1<0，，则一次分形长度为SKIPIF1<0，二次分形长度为SKIPIF1<0，，SKIPIF1<0次分形后线段的长度为SKIPIF1<0，故5次分形后长度为SKIPIF1<0，故选：C.8．（2023秋·山东潍坊·高三校考阶段练习）正项等比数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值等于（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】设SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，等号成立，故SKIPIF1<0的最小值等于SKIPIF1<0故选：D二、多选题9．（2023春·山东淄博·高二校考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0的首项为4，且满足SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0为等差数列 B．SKIPIF1<0为递增数列C．SKIPIF1<0为等比数列 D．SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0【答案】BCD【详解】由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0为等比数列，且公比为2，故A错误，C正确，SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0均为单调递增的数列，且各项均为正数，所以SKIPIF1<0为递增数列，B正确，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，D正确，故选：BCD10．（2023秋·甘肃·高二校考阶段练习）下列命题中，正确的有（

）A．数列SKIPIF1<0中，“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0是公比为2的等比数列”的必要不充分条件B．数列SKIPIF1<0的通项为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0为单调递增数列，则SKIPIF1<0C．等比数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的两根，则SKIPIF1<0D．等差数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前n项和为分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【答案】AD【详解】A：因为当SKIPIF1<0时，显然数列SKIPIF1<0不可能是等比数列，但是SKIPIF1<0是公比为2的等比数列一定有SKIPIF1<0成立，因此选项A正确；B：因为SKIPIF1<0为单调递增数列，所以有SKIPIF1<0，因为函数SKIPIF1<0是减函数，所以SKIPIF1<0，因此选项B不正确；C：因为在等比数列SKIPIF1<0中，设公比为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的两根，所以有SKIPIF1<0，于是有SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此选项C不正确；D：因为等差数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前n项和为分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以由SKIPIF1<0，因此选项D正确，故选：AD三、填空题11．（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则通项公式SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【详解】SKIPIF1<0，因此数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，SKIPIF1<0为公比的等比数列，因此SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<012．（2023春·江西·高二统考期末）记等比数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【详解】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，由数列SKIPIF1<0是等比数列，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.四、解答题13．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）数列SKIPIF1<0的满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)将数列SKIPIF1<0中去掉数列SKIPIF1<0的项后余下的项按原来的顺序组成数列SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前50项和SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)1473【详解】（1）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是以2为首项，2为公比的等比数列，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．（2）由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0中要去掉数列SKIPIF1<0的项有5项，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0．14．（2023秋·江苏·高二专题练习）设各项都是正数的数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的通项公式．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）已知SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，两式作差，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．又数列SKIPIF1<0的各项都是正数，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，显然数列SKIPIF1<0是以1为首项，1为公差的等差数列，所以SKIPIF1<0；（2）由（1）得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0，公比为3的等比数列，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.B能力提升1．（2023秋·安徽·高三安徽省马鞍山市第二十二中学校联考阶段练习）0.618是无理数SKIPIF1<0的近似值，被称为黄金比值.我们把腰与底的长度比为黄金比值的等腰三角形称为黄金三角形.如图，SKIPIF1<0是顶角为SKIPIF1<0，底SKIPIF1<0的第一个黄金三角形，SKIPIF1<0是顶角为SKIPIF1<0的第二个黄金三角形，SKIPIF1<0是顶角为SKIPIF1<0的第三个黄金三角形，SKIPIF1<0是顶角为SKIPIF1<0的第四个黄金三角形SKIPIF1<0，那么依次类推，第2023个黄金三角形的周长大约为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】第一个黄金三角形SKIPIF1<0的底为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得腰长SKIPIF1<0，记第SKIPIF1<0个黄金三角形的底边长为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，第SKIPIF1<0个黄金三角形的底边长为SKIPIF1<0，腰长为SKIPIF1<0，而第SKIPIF1<0个黄金三角形的底边长SKIPIF1<0为第SKIPIF1<0个黄金三角形的腰长，则SKIPIF1<0，因此，各个黄金三角形的底边长依次排成一列得数列SKIPIF1<0，是首项为2，公比为SKIPIF1<0的等比数列，第SKIPIF1<0个黄金三角形的底边长SKIPIF1<0，腰长为SKIPI