高考数学二轮复习专题七应用题第22讲三角函数应用题课件

第22讲三角函数应用题第22讲三角函数应用题

1.如图,某生态园将一块三角形地ABC的一角APQ开辟为水果园,已知∠A为1

20°,AB,AC的长度均大于200米,现在边界AP,AQ处建围墙,在PQ处围竹篱笆.(1)若AP+AQ=200米,如何使得三角形地块APQ面积最大?(2)已知竹篱笆长50

米,AP段围墙高1米,AQ段围墙高2米,造价均为每平方米100元,求围墙总造价的取值范围.解析(1)设AP=x米,则AQ=(200-x)米,所以S△APQ=

x(200-x)sin120°≤

×

=2500

(米2),当且仅当x=200-x时取等号,即AP=AQ=100(米),

Smax=2500

(米2).(2)由

=

=

,得AP=100sin∠AQP,AQ=100sin∠APQ,故围墙总造价y=100(AP+2AQ)=10000(sin∠AQP+2sin∠APQ)=10000

cos∠AQP,因为0<∠AQP<

,∴

<

cos∠AQP<

,所以y∈(5000

,10000

).答:围墙总造价的取值范围为5000

~10000

元.2.如图,某公园有三条观光大道AB,BC,AC围成直角三角形,其中直角边BC=20

0m,斜边AB=400m.现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB,BC,AC大道上嬉

戏,所在位置分别记为点D,E,F.(1)若甲乙都以每分钟100m的速度从点B出发在各自的大道上奔走,到大道的

另一端时即停,乙比甲迟2分钟出发,当乙出发1分钟后,求此时甲乙两人之间

的距离;(2)设∠CEF=θ,乙丙之间的距离是甲乙之间距离的2倍,且∠DEF=

,请将甲乙之间的距离y表示为θ的函数,并求甲乙之间的最小距离.解析(1)依题意得BD=300m,BE=100m,在△ABC中,cosB=

=

,∴B=

,在△BDE中,由余弦定理得:DE2=BD2+BE2-2BD·BE·cosB=3002+1002-2×300×100×

=70000,∴DE=100

.答:此时甲乙两人之间的距离为100

m.(2)由题意得EF=2DE=2y,∠BDE=∠CEF=θ,在直角三角形CEF中,CE=EF·cos∠CEF=2ycosθ,在△BDE中,由正弦定理得

=

,即

=

,∴y=

=

,0<θ<

,所以当θ=

时,y有最小值50

.答:甲乙之间的最小距离为50

m.题型一三角函数与解三角形的综合应用题例1

(2018南京高三第三次模拟)如图,公园里有一湖泊,其边界由两条线段

AB,AC和以BC为直径的半圆弧

组成,其中AC为200米,AC⊥BC,∠A为

.若在半圆弧

,线段AC,线段AB上各建一个观赏亭D,E,F,再修两条栈道DE,DF,使DE∥AB,DF∥AC.记∠CBD=θ

.(1)试用θ表示BD的长;(2)试确定点E的位置,使两条栈道长度之和最大.解析(1)连接DC.在△ABC中,AC=200米,AC⊥BC,∠A=

,所以∠CBA=

,AB=400米,BC=200

米.因为BC为直径,所以∠BDC=

,所以BD=BCcosθ=200

cosθ米.(2)在△BDF中,∠DBF=θ+

,∠BFD=

,BD=200

cosθ,所以

=

=

,所以DF=400cosθsin

,BF=400cos2θ,所以DE=AF=400-400cos2θ,所以DE+DF=400-400cos2θ+400cosθsin

=

sin2θ-cos2θ+3=200sin

+300.因为

≤θ<

,所以

≤2θ-

<

,所以当2θ-

=

,即θ=

时,DE+DF有最大值500,此时E与C重合.答:当E与C重合时,两条栈道长度之和最大.【核心归纳】解三角形的实际应用题一般引进“角变量”,利用正弦定

理、余弦定理建立目标函数,再利用公式化简目标函数,最后结合三角函数的

图象求解最值.1-1

(2018江苏如皋高三调研)在某城市街道一侧l1的某处安装路灯,路宽OD

为12

米,灯杆AB长4米,且与灯柱OA成120°角,路灯采用可旋转灯口方向的锥形灯罩,灯罩轴线BC与灯的边缘光线(如图BM,BN)都成30°角,当灯罩轴线

BC与灯杆AB垂直时,灯罩轴线正好通过OD的中点.(1)求灯柱OA的高h;(2)设∠ABC=θ,且

≤θ≤

,求灯所照射路面宽度MN的最小值.解析(1)连接AC,设∠ACO=α,则∠ACB=60°-α,在Rt△ACO中,AC=

=

,在直角△ACB中,AC=

=

,则有

=

,解得tanα=

,在Rt△ACO中,AO=ON·tanα=6

×

=10.故灯柱OA的高h为10米.(2)以O为坐标原点,ON,OA分别为x,y轴,建立直角坐标系,则A(0,10),B(2

,12),D(12

,0),∠ABC=θ∈

.①若∠ABC=

,由(1)知,MN=8

;②若∠ABC=θ∈

,则直线BM的方程为y=(x-2

)tanθ+12,则xM=-

+2

>0,直线BN的方程为y=(x-2

)tan

+12,则xN=-

+2

<12

,所以MN=xN-xM=12

=12

=

=

,又∠ABC=θ∈

时,所以当θ=

时,MN取最小值12-12

.综合①②知,当θ=

时,MN取最小值12

-12.题型二三角函数与导数的综合应用题例2

(2018江苏,17)某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆O的一段圆

弧MPN(P为此圆弧的中点)和线段MNO的半径为40米,点P到MN

的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为

矩形ABCD,大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP,要求A,B均在线段MN上,C,D均在

OC与MN所成的角为θ.(1)用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积,并确定sinθ的取值范围;(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的

θ为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产

值最大.

解析(1)设PO的延长线交MN于H,则PH⊥MN,所以OH=10米.过O作OE⊥BC于E,则OE∥MN,所以∠COE=θ,故OE=40cosθ米,EC=40sinθ米,则矩形ABCD的面积为2×40cosθ(40sinθ+10)=800(4sinθcosθ+cosθ)平方米,△CDP的面积为

×2×40cosθ(40-40sinθ)=1600(cosθ-sinθcosθ)平方米.过N作GN⊥MN,分别交圆弧和OE的延长线于G和K,则GK=KN=10米.令∠GOK=θ0,则sinθ0=

,θ0∈

.当θ∈

时,才能作出满足条件的矩形ABCD,所以sinθ的取值范围是

.答:矩形ABCD的面积为800(4sinθcosθ+cosθ)平方米,△CDP的面积为1600(cosθ-sinθcosθ)平方米,sinθ的取值范围是

.(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3,所以设甲的单位面积的年产值为4k,乙的单位面积的年产值为3k(k>0).则年总产值为4k×800(4sinθcosθ+cosθ)+3k×1600(cosθ-sinθcosθ)=8000k

(sinθcosθ+cosθ),θ∈

.设f(θ)=sinθcosθ+cosθ,θ∈

.则f'(θ)=cos2θ-sin2θ-sinθ=-(2sin2θ+sinθ-1)=-(2sinθ-1)(sinθ+1),令f'(θ)=0,得θ=

,当θ∈

时,f'(θ)>0,所以f(θ)为增函数;当θ∈

时,f'(θ)<0,所以f(θ)为减函数,因此,当θ=

时,f(θ)取到最大值.答:当θ=

时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.【核心归纳】引进“角变量”时先利用三角公式、三角函数的定义等建

立目标函数,再对目标函数求导,利用导数与三角函数的单调性、极值与最值

的关系求解最值.2-1

(2018苏锡常镇四市高三调研)图①是一斜拉桥的航拍图,为了分析大桥

AB,CD与桥面

AC均垂直,通过测量知两索塔的高度均为60m,桥面AC上一点P到索塔AB,

CD距离之比为21∶4,且P对两塔顶的视角为135°.(1)求两索塔之间桥面AC的长度;(2)研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关,可简单抽象

为某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比(比例系数为正

数a),且与该处到索塔的距离的平方成反比(比例系数为正数b).问两索塔对桥

面何处的“承重强度”之和最小,并求出最小值.图①图②解析(1)设AP=21t米,CP=4t米,t>0,记∠APB=α,∠CPD=β,则tanα=

=

,tan

β=

=

,由tan(α+β)=tan45°=

=

=1,化简得7t2-125t-300=0,解得t=20或t=-

(舍去),所以AC=AP+PC=21×20+4×20=500米.答:两索塔之间桥面AC的长度为500米.(2)设AP=x米,点P处的承重强度之和为L(x).则L(x)=60

,且x∈(0,500),即L(x)=60ab

,x∈(0,500),记l(x)=

+

,x∈(0,500),则l'(x)=

+

,令l'(x)=0,解得x=250,当x∈(0,250)时,l'(x)<0,l(x)单调递减;当x∈(250,500)时,l'(x)>0,l(x)单调递增;所以x=250时,l(x)取到最小值,L(x)也取到最小值,最小值为

.答:两索塔对桥面AC中点处的“承重强度”之和最小,且最小值为

.题型三解三角形与导数的应用题例3

(2018扬州高三第三次调研)如图,某生态农庄内有一直角梯形区域

ABCD,AB∥CD,AB⊥BC,AB=3百米,CD=2百米.该区域内原有道路AC,现新修

一条直道DP(宽度忽略不计),点P在道路AC上(异于A,C两点),∠BAC=

,∠DPA=θ.(1)用θ表示直道DP的长度;(2)计划在△ADP区域内种植观赏植物,在△CDP区域内种植经济作物.已知

种植观赏植物的成本为每平方百米2万元,种植经济作物的成本为每平方百

米1万元,新建道路DP的成本为每百米1万元,求以上三项费用总和的最小值.解析(1)过点D作DD'垂直线段AB,垂足为D'.在Rt△ABC中,因为AB⊥BC,∠BAC=

,AB=3百米,所以BC=

百米.在Rt△ADD'中,易知AD'=1百米,DD'=

百米,所以AD=2百米,则sin∠DAD'=

,故∠DAD'=

,又∠BAC=

,所以∠DAP=

,在△ADP中,由正弦定理得

=

,所以DP=

,

<θ<

.

(2)在△ADP中,由正弦定理得

=

,所以AP=

=

,

<θ<

.所以S△APD=

AP·PD·sinθ=

·

·

·sinθ=

,

<θ<

.又S△ADC=

AD·DC·sin∠ADC=

×2×2sin

=

.所以S△DPC=S△ADC-S△APD=

-

,

<θ<

.设三项费用总和为f(θ),则f(θ)=

×2+

×1+

×1=

+

=

+

,

<θ<

.所以f'(θ)=

,

<θ<

,令f'(θ)=0,则θ=

.列表:所以当θ=

时,f(