《向量的向量积》教学设计、导学案、同步练习

《6.2.4向量的数量积》教学设计

第2课时向量的向量积

【教材分析】

本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向

量及其应用》，本节内容教材共分为两课时,其中第一课时主要研究数量积的概念,第二课时

主要研究数量积的运算律,本节课是第二课时，本节课主要学习平面向量的数量积的运算律

及其运用。

向量的数量积是继向量的线性运算（加法、减法、向量的数乘）后的又一种新的运算，它

的内容很丰富。包括定义、几何意义、性质与运算律,而且在物理和几何中具有广泛的应用。

向量数量积是代数、几何与三角的结合点，很好地体现了数形结合的数学思想。但它与向量

的线性运算有着本质的区别,运算结果是一个数量。

【教学目标与核心素养】

课程目标学科素养

A.掌握数量积的运算律；1.数学抽象：数量积的运算律；

B.利用数量积的运算律进行化简、求2.逻辑推理：证明数量积的运算律；

值；3.数学运算：运用数量积的运算律求值；

【教学重点】：数量积的运算律；

【教学难点】：利用数量积的运算律化简、求值。

【教学过程】

教学过程教学设计意图

一、复习回顾，温故知新

1.向量的数乘的运算律通过复习上节所学知识，

【答案】设3、B为任意向量，2、〃为任意实数，则有：引入本节新课。建立知识

—►—►间的联系，提高学生概

（1）2（//a）=

括、类比推理的能力。

（2）（2+=Aa+jua

(3)l(a+b)=2.a+

2.平面向量的数量积定义：

a-b=\a\\b\cos0

平面向量的数量积的结果是数量。

二、探索新知

1.平面向量数量积的运算律

探究：类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，你能得到数

量积运算的哪些运算律？你能证明吗？

平面向量数量积的运算律通过探究，让学生证明，

讲解向量数量积的运算

对于向量。,b.c和实数上有

(1)o•b=b•4!»律，提高学生的解决问

⑵—•(油)'

(3)S+b)・L。・e+卜题、分析问题的能力。

证明：⑴因为a7=|a||B|cose,b-a=]b\\a\cos0

所以，a-b=b-ao

(2)当式〉0时，与谢夹角、々与血夹角一样。

因为(Aa)-b^Aa\\b\cos。=A\a\\b\cos。="a•b)，

a.(4)=|Q||41cos。=X\a^b\cosO-A(a•b)

同理，当Xv0时,(/!〃)•B=4(〃•5)=〃•(Ab)成立。

所以，=2(a-^)=a•(Ab)。

(3)通过思考，总结

ML

0A|BlDifC

s6.2-22

证明；如图6.2・22.任鼠一点0,作QA=a，OB-

b,OC-c,历=a+瓦

设向量叫a+b与c的夹角分别为4，为，§•它

C

j1在向量ch的投影向量分别为QAi.0Bn0D),与

方向相同的单位向量处则’

Q4*=»|a|cos^c.

0B；=闻cos%,

OD^=|«+b|cos^e.

因为a=H6,所以丽=血.于是

时=函+而：=函+引.

1-1

a4-fc|ctw0e=|«|cxjs^e+|b|cos%”.

第范和

(a-bC(M0-lauw%-bcm9t)r=0.

tm

a-5co*0—aioo«0-bccn&=0.

即

a-bco*9=a6〃+bco»9:,

桥以

a•bcco.&=accos^：+；6cco*0,.

因It

(d•c-«•c—J•c.

思考：设〃,B,c是向量，(Q・1),c=a・5c)一定成立吗？为什么？

【答案】•••(。•芬。表示与一个与c共线的向量，

而a・区・c)表示一个与a共线的向量，但°与,不一定共线。

所以(aZ>c/a•区七)。

结论：向量数量积不满足结合律。

例1.对任意〃力£尺,恒有(a+b)2=a2+2ab+b2,

22对任意向量。，是否也有下面类似的结论？

(a+b\a-b)=a-b,a,通过思考，让学生明白向

—*■—*—►2-►—►—2—♦f-►—*—*2—*2量数量积不满足结合律，

(1)(〃+人)2=〃+2a-b+b；(2)(a+b)(a-b)-a-b。

提高学生解决问题的能

【解析】

~►—►—►—►—►—►—►—►—►—►—►—►—►—►力。

(1)(〃+6)2=(a+b)(a+b)=a-a+a-b+b-a+b'b

一2一--2

=a+2a•b+b

—►—►—►—>―►-►­»—►―—»—►—

(2)(〃+6)(〃-6)=a-a-a-b+b'a-b-b

-2-2

=a-b

例2.已知口=6,@=4,夹角9=60°,求(3+2by(a-3b)

解：原式=a-a-3a$+23.4-63$

=|"|2-^-b-6\b\2

=向2一面向cos"6向2

=62-6x4xcos60°-6x42=-72

例3.已知|7|=3,向=4,且】与」不共线,当彳为何值时，向量

通过例题进一步巩固向

a+kb^a-kb互相垂直？量数量积的运算律，提高

解："+kb^a-kb互相垂直的充要条件是(a+应.(［应=0,学生运用所学知识解决

->2。­2_—*2__*2_问题的能力。

即a-k2b=0,因为a=32=9,b=4?=16。

所以9—16左2=0,解得左=±及。

4

3—一—一

也就是说，当左=±—时，向量〃+左力与。-左Z?互相垂直。

4

三、达标检测

1.给出下列判断：①若才+〃=0,则a=6=0；②已知a,b,。是三个

非零向量,若a+6=0,则|a•c=18•c|；③a,6共线oa•b=\a\\b\；

®\a\\b\<a•b-,⑤a•a•a=a「；⑥才+8三2a・b；⑦向量a,b满足：通过练习巩固本节所学

b>0,则a与，的夹角为锐角；⑧若a,6的夹角为则|引cos。知识，通过学生解决问题

表示向量6在向量H方向上的投影长.其中正确的是：_______.的能力，感悟其中蕴含的

【解析】由于片》0,所以，若/+犬=0,则a=6=0,故①正数学思想，增强学生的应

确；用意识。

若a+b=0,则a=~b,又a,b,c是三个非零向量，所以a,c=~b•c,

所以|a•c|=|6•c|,②正确；a,6共线oa•6=±|a||引，所以③不

正确；

对于④应有|a||引力a・6；

对于⑤，应该是a•a•a=|a「a；

⑥@2斗方》2|司16132a•瓦故正确；

当a与6的夹角为。时，也有因此⑦错；

【答案】①②⑥

2.若非零向量2人满足/a/=3/b/=/a+28/,则以与6夹角的余弦值为

【解】设a与6夹角为。,因为/i/=3/6/,

所以/a/z=9/”,

又/a/=/a+26/,所以/"=/"+4/6/2+4@•b

—1a/2-\-^lb/2+4/a/•/b/•cos。=131b『+12/6/cos9,

於91bl2=131b『+、21bl2cos。,故有cos。=一；.

o

【答案】-1

o

3.已知/a/=3,/b/=2,向量H,6的夹角为60。，c=3a+5b,d=ma—

3b,求当勿为何值时，。与d垂直？

【解析】由已知得a•6=3X2Xcos60°=3.

由c_Ld,知c•d=0,

即c•d=(3a+5b)•5a—3ti)

—Zma+(5加-9)a•b-151)

=27勿+3(5%一9)—60

=42/27-87

=0,

2929

勿=诵，即勿=逾时，c与d垂直.

四、小结

通过总结，让学生进一步

1.理解数量积的定义；巩固本节所学内容，提高

2.向量数量积的运算律；

概括能力,提高学生的数

五、作业

学运算能力和逻辑推理

习题6.211(1),18题

能力。

【教学反思】

在整个探求过程中，充分利用“旧知识”及“旧知识形成过程”并利用它探求新知识。

这样的过程,既是学生获得新知识的过程,更是培养学生能力的过程。我感觉不足的有：(1)

教师应该如何准确的提出问题在教学中,教师提出的问题要具体、准确,而不应该模棱两可。

（2）教师如何把握“收”与“放”的问题何时放手让学生思考，何时教师引导学生，何时教师

讲授，这是个值得思考的问题。（3）教师要点拨到位，在学生出现问题后，教师要及时点评加

以总结,要重视思维的提升,提高学生的数学能力和素质。（4）课堂语言还需要进一步提炼。

在教学中,提出的问题,分析引导的话应具体,明确,不能让学生不知道如何回答,当然有些问

题我也考虑过该如何问，只是没有找到更合适的提间方法,这方面的能力有待加强。

《6.2.4向量的数量积》导学案

第2课时向量的向量积

【学习目标】

1.掌握数量积的运算律；

2.利用数量积的运算律进行化简、求值；

【教学重点】：数量积的运算律；

【教学难点】：利用数量积的运算律化简、求值。

【知识梳理】

L向量数量积的运算律

⑴6=（交换律）.

（2）（八a）•b==（结合律）.

（3）（a+6）-c=（分配律）.

【学习过程】

一、探索新知

1.平面向量数量积的运算律

探究：类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，你能得到数量积运算的哪

些运算律？你能证明吗？

思考：设a,3,c是向量，（。・方）-c=a•（各•（?）一定成立吗？为什么？

例L对任思a力eR，恒有（a+/?）2="2+2况,+62，（“+8）（。_勿=。2_/，对任

意向量"〃，是否也有下面类似的结论？（1）-7,2-2---2.（）

（a+b）=a+2a-b+b2

———一一2-*2

（a+b）（a-b）=a—b

例2.已知〃6M=4,夹角6=60°,求(a+2b)・(a-3b)

例3.已知|:|=3,|B|=4,且］与方不共线，当A为何值时，向量Z+无与；-无互相垂

直？

【达标检测】

1,给出下列判断：①若4+62=0,则@=6=0；②已知4b,。是三个非零向量，若a

+6=0,则|司•c|=|6•c|；③a,6共线=3•b=|a||引；®\a\\b\<a*b；（§）a•a,a—

Ia|3；⑥3+6222a・6；⑦向量a,6满足：a•Z>>0,则a与6的夹角为锐角；⑧若a,6的

夹角为8,则1bleosJ表示向量6在向量3方向上的投影长.其中正确的是：.

2.若非零向量a,6满足/a/=3/6/=/a+26/,则a与6夹角的余弦值为.

3.已知/z/=3lbl=2,向量46的夹角为60°,c=3a~\~5b,d=ma—3b,求当力为

何值时，。与d垂直？

参考答案：

探究：平面向量数量积的运算律

对于向量a・人c和实效人，有

（1）Q•b=b•

⑵3）♦—・》）=♦・（独”

（3）（a+b）*<r=-a・e+b・c・

证明：⑴因为a/=|a|而cos。,b-a^b\\a\cos0所以，a-b=b-a□

（2）当几>0时，彳力与谢夹角、々与血夹角一样。

因为(Ad)-b^Aa\\b\cos。二丸|a11Z?|cos。=A(a•b)，

a-(AZ?)=|a||友?|cos。=2|a||/?|cos。=A(a-b)

同理，当X<0时,(%〃)•b=A(a•Z)=a•(4)成立。

所以，(Aa).务=Ma.B)=a.(4)。

(3)

图6.2-22

证明；如图6.2・22,任取一点0.作QA=a，弓公=

b,OC=c.历=<|十瓦

设向量a.b.a+b与c的夹角分别为4。%乳它

们在向量c上的投影向量分别为。41.OBjtOD）.与c

方向相同的单位向量处则’

OAI=*|«|COS^C,

OBi=|»|cosae,

OD*=|fl+ir|cos

因为a=而5,所以丽=BE,于是

丽=函卜瓦瓦=函+麻.

即

<i4-fc|ct»0e-|a|co5^e+|b|co§8出

整理.福

(“Tco(»a6%—bcm9t)e=0.

所以

o-co*0-aco*bco&=Q.

即

十

•-bw9=aco*"；ba»9:.

所以

a-bcm9=accos6：-»ca»&.

flit

(d*b>•c-d•c-b•c.

思考：••・（“心）-c表示与一个与c共线的向量，而a-（"c）表示一个与“共线的向量,

但口与c不一定共线。所以（。•与七//（万。）

(1)(〃+b)2=(a+b)(a+b)=a-a+a-b~\~b-a+b-b=a+2a-b+b

例

1.—►—*-―►―—►―>―►—►—►―►—►—►―►2—►2

(2)(a+b)(a-b)=a-a~a-b+b-a~b-b=a-b

例2解：=a-a-3a-b-^-2b-a-6b-b=\a\1-a-b-6\b\

=|^|2-|^||^|cos^-6|^|2=62-6x4xcos60°-6x42=-72

例3.解：a+kb^a-kb互相垂直的充要条件是（a+左/）•（〃一左/）=。，

22

即a-k2b=0,因为a=3=9,b=4=16o

3

所以9—1608=0,解得％=±二。

4

3一—_>f

也就是说，当左=±—时，向量a+kZ?与〃一女人互相垂直。

4

达标检测

1.【解析】由于才20,520,所以，若才+〃=0,则a=b=0,故①正确；

若a+6=0,则a=-b,又a,b,。是三个非零向量，所以a•°=一6•c,所以|a•c\

=|6・c|,②正确；a,6共线oa・6=±|H|6|,所以③不正确；

对于④应有|引2a,b・,

对于⑤，应该是a•a•a=IH%；

⑥才+一22\a\\b\22z,b,故正确；

当司与6的夹角为。时，也有d・》0,因此⑦错；

【答案】①②⑥

2.【解】设a与人夹角为9,因为/a/=3/6/,所以/a/2=9/6/2,

又/a/=/a+26/,所以/@/"=la/2+^/b/2+4a•b—lai2+^lbl2-\-^lal•Ibl,cos。=

13/Z?r+12/6/cos3,

1

J-

即91bl2=131b1b『cos。,-3-

【答案】

3.【解析】由已知得a•6=3X2Xcos60°=3.

由cJ-d,知c•d=0,

即c•d—(3a+56)•{ma—3b)=3ma+(5〃-9)a,b~151)

=27ffl+3(5ffl-9)-60=42^-87=0,

2929

."./n=—,即0=；7时，c与d垂直.

《6.2.4向量的数量积》同步练习

第2课时向量的向量积

一、选择题

1.有四个式子：①“=£；@O+a=ai③G-丽=雨;④］则=同限其中

正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.设MZ7为非零向量，则”存在负数几，使得力=力1”是"/"•〃<（）”的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知H=W=2,。石=2,贝1〃一0=（）

A.1B.若C.2D.豆或2

4.已知均为单位向量，且（2a+5〉（a—25）=—孚，则向量£石的夹角为（）

,71兀3n5万

A.—B.-C.—D.—

6446

5.（多选题）对于平面向量，给出下列四个命题：

A.命题pi：若小3>0,贝嗫与3的夹角为锐角；

B.命题「2：u\a-b\=|a|•\b\"是ua//bn的充要条件;

C.命题「3：当2万为非零向量时，'力+3=留是“忻+山=|同—|力|”的必要不充

分条件；

D.命题pm若|&+力=|山,则|2山2忻+2山。

其中的真命题是（)

6.（多选题）若,4（£=11黑翁,…，萨S）是思感£溷所在的平面内的点，且

嗨—函,「端!■扇.

A.鬲H网=…=瓯H函；

B.卜鬲|的最小值一定是|史?曲|;

C.点,烟、0,在一条直线上；

D.向量।谟,及函在向量।函的方向上的投影向量必相等.

其中正确的说法是（）

二、填空题

7.已知口=1,忖=后，且与£垂直，则［与B的夹角为.

8.已知同=2,同=3,［与B的夹角为60°.若£+4与苏+B的夹角锐角，则实数2

的取值范围为.

9.若同=L|^|=2,\a-b\=2,贝［］.+耳=,

10.在中，|通+恁|=|通_恁|,AB=3,AC=4,则/Bae：,

而在瓦方向上的投影向量是.

三、解答题

H.已知阿=4阿=禽，:与苦的夹角为冷

（1）求,科；

（2）求鲍为何值时，।『硼,书懿僦-两ii.

Vy1>,

12.设a,救满足同=仿隹1,|32-2b|=«.

(1)求五,3的夹角；

(2)求|3五+山.

《6.2.4向量的数量积》同步练习答案解析

第2课时向量的向量积

一、选择题

1.有四个式子：①iG=£；②0+£=£；③0—丽=丽7；④忖©=问一可.其中

正确的有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【解析】由向量的加减与乘法运算知①②③正确，

对④，由于=故不一定正确，则正确的有3个

故选C

2.设典Z2为非零向量，则”存在负数2,使得帆=2"”是“6•〃<()”的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

试题分析：若mX<0,使m=2",则两向量加，”反向，夹角是180。，那么

m-n=\m\|n|cos180°=：-|m||n|<0；若mF<0,那么两向量的夹角为(90。,180。］,并

不一定反向，即不一定存在负数;I,使得帆=4〃，所以是充分而不必要条件，故选A.

3.已知/=W=2,40=2,则，—q=()

A.1B.73C.2D.君或2

【答案】C

【解析】

a—q=—2a-b+b—32、-2x2+2。=^4=2•故选C.

4.已知均为单位向量，且（2M+5）・伍-25）=—孚，则向量海的夹角为（）

71C兀八3兀c、兀

AA.—B.—C.—D.—

6446

【答案】A

【解析】设向量5的夹角为火因为11=181=1,

所以(2M+Z?)•(a—2b)=2—3a,•/?—2=—3cos。=373

F

即cos9=,9=—.

26

故选A.

5.（多选题）对于平面向量，给出下列四个命题：

A.命题pi：若2i>0,贝展与3的夹角为锐角；

B.命题「2：a\a-b\=\a\■\b\n是ua//bn的充要条件；

C.命题「3：当2,3为非零向量时，“4+1=6”是“何+瓦=||向那”的必要不充

分条件；

D.命题P4：若.+力=1瓦,则|2同2恒+2小。

其中的真命题是（）

【答案】BD

【解析】对于A,命题由：当Ri>0时，向量R与3的夹角可能为0,故为假命题；对于

B,命题P2：当|嬴闿*词..闽时，则向量高壬中至少有一个零向量或COSQ,B）=±1故

翻整,壬；当w壬时，则|*备IH痢I_I®'11

故为真命题；对于c,命题「3：当薪#壬={6时，卜豳#圳中阈T聊成立；当

|«*»HI司-闽|,向量a与坂为非零向量时,a与3反向，未必有点超=后,故为假命题；对

于D,命题P4：若p+b\=\b\,则/+2b\=I（a+b）+b\<\a+b\+\b\=2\b\,故为真命

题，的，羯正确，故选B,D.

6.（多选题）若,4（京=］器,，“•，,，内）是瘗Ii谦所在的平面内的点，且

鬲..函,=弧函.

A

A.’西卜H|=…=卜椅4、H也融|；

B.卜鬲|的最小值一定是|长短;1;

c.点,烟、4f在一条直线上；

D.向量蕊,及蔡在向量।函的方向上的投影向量必相等.

其中正确的说法是（）

【答案】CD

【解析】由।璃T函'n演T函可得

嗨T函—I蕊!，」函=瞰n1恒^T瀛步福•=瞰=.蕊7蕊二领,所以,蔡1.函，由此

可知点.4在过点,④垂直于麒城的直线上，所以“C.点涮、堵在一条直线上；D向量I遢及

毫在向量।函的方向上的投影向量必相等”是正确的.故选CD„

二、填空题

7.已知口=1，M=J5,且与£垂直，则［与B的夹角为.

【答案】450

【解析】=

/.|a|2-同Wcos8=0,

aJ_=显

cos0--

b0—2

­.•0°<6»<180\.-.6»=45°,故答案为45°.

8.已知同=2,利=3,々与B的夹角为60°.若£+4与苏+B的夹角锐角，则实数之

的取值范围为.

【解析】由题意可知a=Wjqcos60°=2x3xg=3.

又(a+XZ?).(4a+Z?)=Xa+1^6/*/?+Ab,

・•・£+与;iZ+B的夹角为锐角，・•・x/+(a?+