2020-2021学年福建省宁德市高二（上）期末数学试卷 （解析版）

2020-2021学年福建省宁德市高二（上）期末数学试卷

一、单项选择题（共8小题）.

1.设点A（l,-1,6）关于坐标原点的对称点是2,则1421等于（）

A.4B.2aC.272D.2

2.总体由编号01,02,29,30的30个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,

选取方法是从如下随机数表的第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个

数字，则选出来的第5个个体的编号为（）

第1行78166232080262426252536997280198

第2行32049234493582003623486969387481

A.27B.26C.25D.24

3.已知°,6都是实数，那么a＞2”是“方程N+y2-2x-a=0表示圆”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.同时掷两个骰子，向上的点数之和是6的概率是（）

A.—B.—C.—D.—

189362

5.某学校为了解传统教学和教改实验的课堂教学情况，选取20人平均分成同样水平的两组

（甲组采用教改实验教学，乙组采用传统教学），一学期以后根据他们的期末成绩绘制

茎叶图，如图所示，则（）

甲

3«

51369

X75432I125

2

A.乂甲＞乂乙,S甲2>s乙2B.工甲＞%乙，S甲2Vs乙2

C.x甲〈X乙,S甲2>s乙2D.X甲〈X乙，S甲2Vs乙2

6.在长方体ABCQ-A181GD1中，AB=BC=1,A4i=«,则异面直线4G与CQi所成角

的余弦值为（）

A.3B.返C.返D.叵

4244

7.已知抛物线C：尤2=4y的焦点为凡过尸点倾斜角为30°的直线/与C交于A,B两点

（A在8的右侧）,则需卜=（）

A.9口D.-1--5-c.7+VsD.3

7

22

8.已知圆Ci：x2+y2=b2(b>0)与双曲线c^：b>0),若在双曲

1a2b2

线C2,上存在一点P,使得过点P所作的圆Ci的两条切线互相垂直，则双曲线C2的离

心率的取值范围是（）

A.（1,争B.除-KX＞）C.（1,a]D.[a,8

二、多项选择题（共4小题）.

9.下列有关命题的说法正确的是（）

A.若命题pVq为真命题，则命题p和命题q至少一个为真

B.若命题pAq为假命题，则命题p和合题q都是假命题

C.命题“若炉=1,则尤=1”的否命题为“若N=i,则XTM”

D.命题“若无=y,则sinx=siny”的逆否命题为真命题

10.某校为了解高二年级800名学生课余时间参加中华传统文化活动的情况（每名学生最多

A.表中机的数值为12

B.估计该年级参加中华传统文化活动场数不高于2场的学生约为144人

C.若采用系统抽样方法进行调查，从该校高二800名学生中抽取容量为50的样本，则

分段间隔为16

D.根据上表知，从该校的高二年级的800名学生随机抽取80人，必有1人参加中华传

统文化活动

11.某次数学考试的一道多项选择题，要求是：”在每小题给出的四个选项中，全部选对的

得5分，部分选对的得3分，有选错的得。分.”已知某选择题的正确答案是CD且甲、

乙、丙、丁四位同学都不会做，下列表述正确的是（）

A.甲同学仅随机选一个选项，能得3分的概率是a

B.乙同学仅随机选两个选项，能得5分的概率是!

C.丙同学随机选择选项，能得分的概率是看

D.丁同学随机至少选择两个选项，能得分的概率是上

10

2.

12.已知椭圆C：今+丫2=1的左、右两个焦点分别为人、F?,直线（k^O）与C交

于A、8两点，轴，垂足为E,直线BE与椭圆C的另一个交点为P,则下列结论

正确的是（）

A.若///尸2=60°,则△RPR的面积为返

6

B.四边形A尸出尸2,可能为矩形

C.直线BE的斜率为/k

D.若尸与A、8两点不重合，则直线PA和尸8斜率之积为-4

三、填空题（共4小题）.

2

13.双曲线N-匚=1的渐近线方程为

4

14.已知命题3x6R,N-QX+IWO"为假命题，则〃的取值范围是.

15.如图所示，已知在四面体ABCD中，点M,N分别是棱BC,AD的中点，若而=

xAE+yAC4-2AD,其中尤，y，z为实数，贝!Jx+y+z的值为.

16.已知关于x的方程,|x2-l尸_x+a-

（1）若x>l时，方程有解，则实数。的取值范围是.

（2）若方程有两解，则实数。的取值范围是.

四、解答题（共6小题）.

22

17.设命题/?：实数。满足〃-2勿-3/2<0（?>0）,命题q：方程：——4r—=1表不焦

6-aa-2

点在y轴上的椭圆.

(1)若f=l,p/\q为真命题，求。的取值范围；

(2)若“是p的充分不必要条件，求实数f的取值范围.

18.为创建全国文明城市，宁德市进行“礼让斑马线”交通专项整治活动，按交通法规定：

机动车行经人行横道时，应当减速慢行：遇行人正在通过人行横道，应当停车让行.如

表是2020年宁德市某一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”行

为，其中违章情况统计数据如表：

月份12345

违章驾驶员人数10085807065

(1)请利用所给数据求违章人数y与月份x之间的回归直线方程

(2)预测该路口2020年9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数；并估计该路口经

过几个月后“不礼让”的不文明行为可以消失.

n__

*£Xj/j-nxy--n

参考公式：bH------------工孙=1115.

a=y-bx乙，,

告2-2i=l

〉.x「nx

i=l

19.某学校为了了解同学们现阶段的视力情况，对全校高三学生的视力情况进行了调查，从

中随机抽取了100名学生的体检表，对视力情况绘制了如图频率分布直方图.如图所示.从

左至右五个小组的频率之比依次是2：2：3：2：1.

(1)求X的值；

(2)估计该校学生视力的平均值；

(3)用频率估计概率，若从样本中视力属于第3组至第5组的所有学生中随机抽取六名

学生，求抽出的学生中有两名视力不低于0.8的概率.

20.已知A(1,0),B(4,0),动点P满足|PB|=2|PA|,直线/：y=kx+4.

(1)求动点尸的轨迹方程G

(2)若直线/与C相切，求人的值；

(3)若直线/与C相交于M,N两点,0为坐标原点，△OMN的面积为求人的值.

21.如图，在四棱锥P-ABC。中，△PA。是等边三角形，底面ABCO是棱长为2的菱形,

JT

侧面底面48CZ),。是的中点，ZDAB=-^--

(1)证明：8。_1面PAD；

(2)求二面角A-PB-C的正弦值.

22r~

22.已知椭圆「：与丁71(a>b>0)的左、右焦点分别为为、尸2,离心率为"，M

a"bJ2

是椭圆上的动点，△MFiB的最大面积为1.

(1)求椭圆「的方程；

22

(2)求证：过椭圆「：^y+^y-1(a>b>0)上的一点T(xo,J0)的切线方程为

(3)设点P是直线/：尤=2上的一个动点，过尸做椭圆「的两条切线，切点分别为A,

B,则直线是否过定点？若是，求出这个定点坐标，否则，请说明理由.

参考答案

一、单项选择题（共8小题）.

1.设点A（l,-1,&）关于坐标原点的对称点是8,则|AB|等于（）

A.4B.2^3C,242D.2

解：因为点A（l,-1,泥）关于坐标原点的对称点是8（-1,1,-a）,

故AB=1'JEI-C-I）2+（-1-1）2+[A/2_（_V2）12==4-

故选：A.

2.总体由编号01,02,29,30的30个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,

选取方法是从如下随机数表的第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个

数字，则选出来的第5个个体的编号为（）

第1行78166232080262426252536997280198

第2行32049234493582003623486969387481

A.27B.26C.25D.24

解：从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右

读，

第一个数为23,符合条件，

第二个数为20,符合条件，

第三个数为80,不符合条件，

以下符合条件依次为：26,24,25,

故第5个数为25.

故选：C.

3.已知°,6都是实数，那么a>2”是“方程N+y2_2x-a=0表示圆”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解：x2+y2-lx-a—（尤-1）2+y2=l+«>0,

所以l+a>0即-I,

由。>2能推出a>-l,反之不成立，

故“42”是“方程N+y2-2x-a=O表示圆”的充分不必要条件.

故选：A.

4.同时掷两个骰子，向上的点数之和是6的概率是()

A.—B.—C.—D.—

189362

解：同时掷两枚骰子，

基本事件总数及=6X6=36,

向上的点数和是6包含的基本事件有：

(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3),

共有5个，

•••向上的点数和是6的概率为P=磊.

故选：C.

5.某学校为了解传统教学和教改实验的课堂教学情况，选取20人平均分成同样水平的两组

(甲组采用教改实验教学，乙组采用传统教学)，一学期以后根据他们的期末成绩绘制

茎叶图，如图所示，则()

-38

521369

521125

1312

4—4

A.*甲>5(乙，S甲2>51乙2B.乂甲〉%乙，S甲2Vs乙2

C.乂甲<乂乙，S甲2>S乙2D.X甲〈X乙，S甲2<S乙2

解：根据茎叶图知甲的平均数为乂甲=亲父

(125+131+132+133+134+135+137+138+141+144)=135,

-----1

乙的平均数为：xy=—X(113+118+121+123+126+129+131+132+135+142)=127,

乙10

甲的方差为：S田2=1-X[(-10)2+(-4)2+(-3)2+(-2)2+(-1)2+02+22+32+62+92]

甲10

=26,

乙的方差为：S72=-4-X[(-14)2+(-9>+(-6)2+(-4)2+(-1)2+22+42+52+82+152]

=66.4.

所以x甲>x乙，s甲2Vs乙2.

故选：B.

6.在长方体ABC£>-48ICLDI中，AB=BC=1,则异面直线4G与CP所成角

的余弦值为（）

A.—B.返C.返D.

4244

•：ADi//BC,且ADi=8C,.•.四边形4BC£h为平行四边形,

：.CDi//AiB,

...异面直线4G与Cd所成角为/8AC1,

;在长方体ABCD-中，AB=BC=1,441=日，

：.AiB=2,BCi=2,人/广加，

又为4cl的中点，

••.80UQ，AIO-|AICI冬，

・••在RtZXAiOB中，cosNOA由=MiV2,

AjB4

...异面直线AiCi与CDr所成角的余弦值为返.

4

故选：C.

7.已知抛物线C：N=4y的焦点为凡过尸点倾斜角为30°的直线/与C交于A,8两点

（A在2的右侧），则他

|BF

A.9B.芋C.7+473D.3

解：由已知抛物线的方程可得：F(0,1),且直线/的斜率为左=tan30。=返，

3

所以直线/的方程为：>=也+1,即x=«(y-l),

3

代入抛物线方程可得：3y2-皿+3=0,解得〉A=3,yB=i

所以由抛物线的定义可得：|4尸|=>^4=3+1=4，18回=为43+14，

lAF

所以|BF9,，

T

故选：D.

22

8.已知圆g：x2+y2=b2(b>0)与双曲线C)：号-4=1(2>0,b>0),若在双曲

线C2,上存在一点P,使得过点P所作的圆Ci的两条切线互相垂直，则双曲线C2的离

心率的取值范围是()

A.(1,争B.[喙,2C.(1,V3]D./,-KO)

解：设过点尸所作的圆Ci的两条切线的切点分别为A,B,则PALM,

四边形PAOB为正方形，

•••1。尸1=小，

设淖=机2曰。2,+co),则J=2b2-福

222

将点尸的坐标代入双曲线的方程中，有七[工m=],

Q2,2O2/22\2o

•2Sabo3.kC-3./、2冷刀4曰c-O

-■m=^—2=-----2----三"'解倚万，

a+bcac

，离心率返,

a2

双曲线C2的离心率的取值范围是［返，+8）.

2

故选：B.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中有多项符

合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）

9.下列有关命题的说法正确的是（）

A.若命题pVq为真命题，则命题p和命题“至少一个为真

B.若命题pAq为假命题，则命题p和合题q都是假命题

C.命题“若无2=1,则尤=1”的否命题为“若N=l,则xWl”

D.命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为真命题

解：选项4由pVg命题的真假判断即可判断A正确，

选项2：若pAq为假命题，则命题p,q可以一真一假，B错误,

选项C：命题“若N=l,则x=l”的否命题为“若则xWl"，C错误,

选项。：因为命题“若尤=»则sinx=siny”为真命题，所以命题的逆否命题也为真命题,

D正确，

故选：AD.

10.某校为了解高二年级800名学生课余时间参加中华传统文化活动的情况（每名学生最多

A.表中机的数值为12

B.估计该年级参加中华传统文化活动场数不高于2场的学生约为144人

C.若采用系统抽样方法进行调查，从该校高二800名学生中抽取容量为50的样本，则

分段间隔为16

D.根据上表知，从该校的高二年级的800名学生随机抽取80人，必有1人参加中华传

统文化活动

解：对于4由统计表得：

8%+10%+20%+26%+18%+m%+4%+2%=100%,

解得相=12,故A正确；

对于B,计该年级参加中华传统文化活动场数不高于2场的学生约为：800X

(8%+10%+20%)=304人，故2错误；

对于C,若采用系统抽样方法进行调查，从该校高二800名学生中抽取容量为50的样本,

则分段间隔为：等=16,故C正确；

50

对于D,从该校的高二年级的800名学生随机抽取80人，不一定有1人参加中华传统文

化活动，故。错误.

故选：AC.

11.某次数学考试的一道多项选择题，要求是：”在每小题给出的四个选项中，全部选对的

得5分，部分选对的得3分，有选错的得。分.”已知某选择题的正确答案是CD,且甲、

乙、丙、丁四位同学都不会做，下列表述正确的是()

A.甲同学仅随机选一个选项，能得3分的概率是技

B.乙同学仅随机选两个选项，能得5分的概率是！

C.丙同学随机选择选项，能得分的概率是看

D.丁同学随机至少选择两个选项，能得分的概率是上

解：在每小题给出的四个选项中，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得。

分.

已知某选择题的正确答案是8,且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，

对于A,甲同学仅随机选一个选项，能得3分的概率是P=一=士，故A正确；

C12

以1

对于8,乙同学仅随机选两个选项，能得5分的概率是P=一4=!，故8正确；

0

Cj+Cn1

对于C,丙同学随机选择选项，能得分的概率是-I_7=白故C正确；

Cl+C2+C3+C45

/1

对于丁同学随机至少选择两个选项，能得分的概率是P=\~_7==，故。

q+c；+c：11

错误.

故选：ABC.

2.

12.已知椭圆C：亍+丫？」的左、右两个焦点分别为人、F?,直线尸质（20）与C交

于A、8两点，AELx轴，垂足为E,直线BE与椭圆C的另一个交点为P,则下列结论

正确的是（）

A.若///尸2=60°,则△RPR的面积为返

6

B.四边形A尸出尸2,可能为矩形

C.直线BE的斜率为/k

D.若P与A、8两点不重合，则直线PA和尸3斜率之积为-4

2L

解：由椭圆c：号"+y2=i，得〃=2,b=l,c=M，

在△尸后尸2中，由余弦定理可得，

22

|FIF2|2=|PF[|+|PF2|-2|PF!I|PF2|COS600）

即4c2=4出-31PMi|P园,解得|PF1IIPFo|M，

143

••.SAFPF金乂底屏厚故A错误；

△FiPF:2323

若四边形AE8F2为矩形，则即不•邛=0,

即（尤A+C）（XB+C）+用”=0,

y=kx

联立，v2„，得（4R+1）无2=%

[丁+y=1

44k2

VkyB=，

得XA+XB=0,XAXB=%Jg，~7^1

即一54—+3-4^k—2=0,得8炉-1=0,该方程有实根，故2正确；

4kz+l4k"+l

由（4N+1）尤2=4,得尤=±2.1，由对称性，不妨设左＞0，

丫4丁+1

-2k

得A

4k2+144k2+])'

1当T故c正确;

则E

4k2+1BE.

4k2+1

yA-yp-VB-ypyB+yp

kPA=，

XA-XP'XB-XPxB+xP

k2、2

BE所在直线方程为y=qG-J4k2：）'与椭圆*+y2=i联立,

可得x2+k2(xi2)2-4=0,

V4kz+1

即(k2+1)x2-I4kX-K~^2--4=0.

44k2+14kz+l

2

14k

得Xp+Xp=

k/1-2k

yB+Vp=7^

故kpA=卷’则kpA'k1k1故。错误•

PB-2k2

故选：BC.

三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置）

2

13.双曲线x2-工_=1的渐近线方程为y=±2x

4

2

解：•.•双曲线标准方程为/一上_=1,

x4

2

其渐近线方程是乂2_工_=0,

4

整理得y=±2x.

故答案为>=土2尤.

14.已知命题3x6R,N-ox+lWO"为假命题，则a的取值范围是（-2,2）.

解：,命题a3xGR,N-OY+IWO"为假命题则命题"mVxER,为真命题

故方程N-〃元+1=。的△=〃？-4V0解得：-2VaV2故〃的取值范围是：（-2,2）

故答案为：（-2,2）

15.如图所示，已知在四面体ABCD中，点M,N分别是棱BC,AD的中点，若疝=

xAE+yAC1-2AD,其中-乃z为实数，贝i|x+y+z的值为——1-_

解：由题意，可得而=屈-疝=《疝-/（屈+正）

1►[►].—•..

=_彳AB_5附万AD=xAB+yALz&,

所以x=y=-£,z=-^-,

所以x+y+z=-3-《■士•=-4-.

2222

故答案为：-费.

16.已知关于X的方程d|x2-l尸-x+<7.

（1）若X>1时，方程有解，则实数。的取值范围是（1,+8）.

（2）若方程有两解，则实数。的取值范围是_（-1,0）UWU

解：令尸/iX2-1

当N-1》0,即xW-1或X》1时，yTx2-1，

整理可得N-y2=i(y\o),

此时y=41x2-l|表示的图象是双曲线无轴的上方部分，

当N-1<0,即-1cx<1时，yT卜X4

整理可得炉+廿=1(y》0),

此时y=J|x2_l|表示的图象是以原点为圆心,1为半径的圆的上半部分，

则可画出y=7Ix2-lI的图象如图所示，

(1)当x>l时，方程有解，即y=,|x2-l|与尸-x+a在尤>1的部分有交点,

当直线y=-经过点5(1,0)时，〃=1,

则观察图象可得〃>1；

(2)若方程有两解，即yT|x2-l|与>=-x+a的图象有2个交点，

可知y=-X+〃与双曲线的一条渐近线y=-x平行，且》=-%与函数只有1个交点，

当直线y=经过点A(-1,0)时，a=-1,此时有1个交点，

则观察图象可得，当直线y=-l+。在丁=-X和y=7+1之间时，有2个交点，满足题

意，此时-IVaVO,

当直线y=-x+〃过点3(1,0)时，有2个交点，满足题意，此时〃=1,

当直线y=-x+〃与圆的一部分相切于点C时，有2个交点，满足题意，

此时裳=1,解得。=±72(舍负)，

综上可得，实数a的取值范围是(-1,o)U{1)UV2).

故答案为：(1)(1,+8)；(2)(-1,0)U{1}U{/2).

/

四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

22

17.设命题0：实数a满足a2-2勿-3?<0(?>0),命题q：方程：———=］表示焦

6-aa-2

点在y轴上的椭圆.

(1)若f=l,「八4为真命题，求。的取值范围；

(2)若q是p的充分不必要条件，求实数/的取值范围.

解：(1)当f=l时，p：-l<a<3,

22

由方程工_£^=1表示焦点在y轴上的椭圆，得6-2>0,

a-26-a

:・q：2V〃(4,

-1<Ca<3

：pAq为真命题KO-

2<a<4

故。的取值范围是：｛a|2<a<3｝；

(2)由。2-2加-3f2<0(r>0),得(a-3f)(a+f)<0(f<0),即p：-

若q是p的充分不必要条件，贝U(2,4)呈(-33力,

3t>4且不能同时取等，港.

则

-t42

故实数f的取值范围是：｛Ht港｝•

18.为创建全国文明城市，宁德市进行“礼让斑马线”交通专项整治活动，按交通法规定:

机动车行经人行横道时，应当减速慢行：遇行人正在通过人行横道，应当停车让行.如

表是2020年宁德市某一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”行

为，其中违章情况统计数据如表：

月份12345

违章驾驶员人数10085807065

(1)请利用所给数据求违章人数y与月份尤之间的回归直线方程了=bx+J

(2)预测该路口2020年9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数；并估计该路口经

过几个月后“不礼让”的不文明行为可以消失.

n__

*zX]V「nxy..n

参考公式：b"-----------a-_b-.工和尸1115.

£2-2ayDXi=1

〉,町-nx

i=l

解：（1）由表中数据知，x=3y=80>

n__

-12x-y--nxy

,_i=l工_1115-1200_”

b=--------------=——~———-O.J,

n

0__n55_45

上叼-nx

i=l

即一「1CUU，

a=y-bx=105.5

二所求回归直线方程为.y=-8.5X+105.5；

（2）令X=9,则y=_8.5x9+105.5=2C人.

令-8.5x+105.5=0,得XQ12.4,

故预测该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数为29,估计经过13个月“不礼

让”的不文明行为可以消失.

19.某学校为了了解同学们现阶段的视力情况，对全校高三学生的视力情况进行了调查，从

中随机抽取了100名学生的体检表,对视力情况绘制了如图频率分布直方图.如图所示.从

左至右五个小组的频率之比依次是2：2：3：2：1.

（1）求x的值；

（2）估计该校学生视力的平均值；

（3）用频率估计概率，若从样本中视力属于第3组至第5组的所有学生中随机抽取六名

学生，求抽出的学生中有两名视力不低于0.8的概率.

解：（1）因为从左至右五个小组的频率之比依次是2：2：3：2：1,

故直方图中从左到右各组频率依次为0.2,0.2,0.3,0.2,0.1,

故x=L

(2)设该校学生视力平均值为x，

则，=0.3X0.2+0.5X0.2+0.7X0.3+0.9XQ.2+1.IX0.=0.66.

(3)由第3组至第5组的频率比为3：2：1得,从第3组抽取的人数为3人，记为

〃2,“3，

从第4组抽取的人数为2人，记为"，fa;从第5组抽取的人数为1人，记为ci,

随机抽取两名学生的情况有15种，分别为：

42),(。1,。3)，(〃1,bl),(41,Z?2),("1,Cl),("2,〃3)，(。2,bl),

(。2,Z?2),(。2,Cl),

(的，bl),(。3,历)，(。3,C1),(Z?l,岳)，(bl,Cl),(Z?2,Cl),

其中视力不低于0.8的有(bi,历)，(.bi,ci),(历，ci)共3种，

故从样本中视力属于第3组至第5组的所有学生中随机抽取六名学生，

抽出的学生中有两名视力不低于0.8的概率为2=2=言.

155

20.已知A(1,0),B(4,0),动点P满足|P8|=2|尸A|,直线/：y=kx+4.

(1)求动点尸的轨迹方程G

(2)若直线/与C相切，求上的值；

(3)若直线/与C相交于N两点，0为坐标原点，△OMN的面积为、6，求左的值.

解：(1)设p(x,y),

则IPA|T(x-l)2+y2,|PB|=7(X-4)2+y2,

2V(x-l)2+y2=7(x-4)2+y2>

22

.,.4[(X-1)2+y2]=(x-4)+y,

・・・x2+y2=4.

(2)：I：kx-y+4=0,

•・,直线/与C相切，

4

；.{2I=2,解得k=±愿.

(3)S^MON=百。M|•I•smZMON=J•2•2"sin』MNN=代，

sin/M0N=^^,

TTOTT

♦：/MONS(0,n),・•・/MON=〒或"一，

Oo

...圆心0到直线l的距离为北或1,

•••由/得k=±亚巨，由7母=_=1＞得卜=±/!^,

Mk"+13Vk+1

k=±或k=±V15-

21.如图，在四棱锥P-ABC。中，△PAD是等边三角形，底面ABC。是棱长为2的菱形,

JT

侧面底面A8C。，。是A。的中点，ZDAB=—.

O

(1)证明：8。_1面以。；

(2)求二面角A-PB-C的正弦值.

【解答】(1)证明：连结8。，：底面A8CO是菱形,

,7T

NDAB=F-，

0

则△ABO为等边三角形，(1分)

，OB±AD

又：面PA。，面ABC。，

面PADC面ABCD=AD,OBu面ABCD,

.'.OBXffiPAD

（2）解：连结PO,：△PA。是等边三角形，。是AO的中点，贝|尸。，4。，

由（1）得尸。_LOB,

如图建立空间直角坐标系xOy,

则A（l,0,0）,B（0,匾，0）,P（0,0,73）.C（-2,0）

AB=（-1,V3，0）,AP=（~1,0,弧），

设面48尸的法向量为W=（x,y,z）,

AB,n=0律-x+V3y=0

令x=M，得n=（行,1)

.AP-n=0l-x-h/3z=0,1,

面8PC的一个法向量为%=（0,1,1）,

..c°s\n,m，娓*近二5

二面角A-PB-C的正弦值为

5

D1"：

0.

i"r

22

22.已知椭圆「：^-+^r=l（a>b>0）的左、右焦点分别为尸1、F2,离心率为乂2,M

b22

是椭圆上的动点，△MFiB的最大面积为1.

（1）求椭圆「的方程；

22

（2）求证：过椭圆「：力屋看1（a〉b>0）上的一点T（xo,yo）的切线方程为

x0・xy0*y

（3）设点P是直线/：x=2上的一个动点，过尸做椭圆「的两条切线，切点分别为A,

B,则直线A3是否过定点？若是，求出这个定点坐标，否则，请说明理由.

【解答】（1）W：•1-SAHFllyH|<y-2c-b=bc,

即1用1=6时，