2021-2022学年黑龙江省大庆市龙凤区九年级（上）期末数学试卷（五四学制）（解析版）

2021-2022学年黑龙江省大庆市龙凤区九年级第一学期期末数学

试卷（五四学制）

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1.下列具有二次函数关系的是（）

A.正方形的周长y与边长x

B.速度一定时，路程s与时间，

C.正方形的面积y与边长x

D.三角形的高一定时，面积y与底边长x

2.如图，在RtzMBC中，/AC8=90°,—则下列结论中正确的是（）

AC2

1

D.tanB=2

2

3.如图，是。。的直径，AB=CD，若/AOB=40°,则圆周角/BPC的度数是（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

4.小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样

的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是（）

A.第一块B.第二块C.第三块D.第四块

5.如图，半径为3的0A经过原点。和点C（0,2）,B是y轴左侧0A优弧上一点，则

tanN08C为()

A.—B.2^2C.返D.-^2

3"N43

6.如图，△ABC的内切圆与AB,BC,C4分别相切于点£>,E,F,且40=2,8c=5,

则aABC的周长为（）

;工

E

A.16B.14C.12D.10

7.如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿无轴移动,当GM与直线/：y=^

只有一个公共点时，点A的坐标为（）

*

A.（-12,0）B.（-13,0）C.(±12,0)D.(±13,0)

8.如图，在△ABC中，点及为aABC的内心,ZA=60°,8=2,80=4.则△OBC的

面积是（）

A

C

A.4MB.2yC.2D.4

9.二次函数》=（x-a）（x-b）-2（a<b）与“轴的两个交点的横坐标分别为加和〃，

且mV〃，下列结论正确的是（）

A.m<a<n<hB.a<m<h<nC.m<a<h<nD.a<m<n<h

10.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-N+2后的顶点为A点，且与X轴的正半轴

交于点8,P点为该抛物线对称轴上一点，则OP+当尸的最小值为（）

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

11.比较大小：sin80°tan50°（填或

12.飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间f（单位：s）的函数解析式是s

=20-0.5巴飞机着陆后滑行，〃才能停下来.

13.如图，一根排水管道的横截面是半径为13cM的圆.排水管内有水，若水面宽度AB=

24cm,则水管中的水最大深度为cm.

«—24―►

14.如图，点A,B,C在。。上，四边形OA3C是平行四边形，若对角线AC=2«,则竟

的长为_______

15.构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，在计算tanl5。时，如图,

在RtZ\ACB中，ZC=90",NABC=30°,延长CB使BO=A8,连接AO,得NQ=

2-V3

15°,所以tanl5°=2-«.类比这种方法，计算

CD-2-h/3-（2+>/3）（2-73）

tan22.5°的值为

16.已知二次函数丫=办2+法+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表:

则当y<5时，x的取值范围是.

17.我们定义一种新函数：形如y=|以2+bx+c|（a六0,b2-4ac>0）的函数叫做“鹊桥”函

数.小丽同学画出了“鹊桥”函数），=卬-左-3|的图象（如图所示），并写出下列五个

结论：

①图象与坐标轴的交点为（-1,0）,（3,0）和（0,3）；

②图象具有对称性，对称轴是直线x=l；

③当-IWxWl或x23时，函数值y随x值的增大而增大；

④当x=-1或x=3时，函数最小值是0；

⑤当x=l时，函数的最大值是4.

其中正确结论的序号是.

18.如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=9,BC=4,以点C为圆心，3为半径做G）C,

分别交AC,8C于£>,E两点，点尸是OC上一个动点，则肯■PA+PB的最小值为

A

三、解答题（本大题共10小题，共66分）

19.计算：

（1）2sin30°+3cos600+tan45°；

⑵|卜2cos45。+（4）4

20.如图，以40,〃/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球

的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度力（单位：m）与飞

行时间f（单位：s）之间具有函数关系//=20r-5f2.解答以下问题

（1）小球从飞出到落地要用多少时间？

（2）小球飞行的最大高度是多少？此时需要多少飞行时间？

21.避雷针是用来保护建筑物、高大树木等避免雷击的装置.如图，小陶同学要测量垂直于

地面的大楼8c顶部避雷针CQ的长度（B,C,。三点共线），在水平地面4点测得N

C48=53°,ND4B=58°,A点与大楼底部B点的距离AB=20m,求避雷针CD的长

度.（结果精确到0.1m.参考数据：sin58°-0.85,cos58°=0.53,tan58°=1.60,sin53°

七0.80,cos53°弋0.60,tan53°七1.33)

D

□□

□□

□□

□□

□□

□□

22.如图，在△ABC中，AB=AC,以4B为直径的。。分别与BC,AC交于点力，E,过点

。作。匕LAC,垂足为点F.

(1)求证：直线。F是。。的切线；

(2)求证：BE^=CF*AC.

23.河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥，水面宽6m时，水面离桥孔顶部3m.因降暴雨水

位上升\m.

(1)如图①，若以桥孔的最高点为原点，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式;

(2)一艘装满物资的小船，露出水面的高为05”、宽为4,“(横断面如图②).暴雨后

这艘船能从这座拱桥下通过吗？请说明理由.

24.如图，AB为。。的直径，C为。。上一点，AQ和过点C的切线互相垂直，垂足为£>,

AB,CC的延长线交于点E.

(1)求证：AC平分NZM8；

(2)若8E=3,CE=3«,求图中阴影部分的面积.

D

25.某景区超市销售-一种纪念品，这种商品的成本价15元/件，已知销售价不低于成本价,

且物价部门规定这种商品的销售价不高于24元/件，市场调查发现，该商品每天的销售

量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系如图所示.

（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）求每天的销售利润W（元）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件

销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

A

26.如图，平行四边形ABCD中，AB+BC=20,sinA=—,尸是A8边上一点，设。C=x,

5

△PCQ的面积为y.

（1）求），与x的函数关系式，并求△PCO的面积的最大值；

（2）若以DC为直径的圆过P、B两点，求CO的长.

27.如图，。。是△4BC的外接圆，AD是。。的直径，尸是AD延长线上一点，连接C£）,

CF,且C尸是00的切线.

（1）求证：/DCF=NCAD.

（2）探究线段CP,FD,FA的数量关系并说明理由；

Q

(3)若cosB=±,AD=2,求FD的长.

5

B.

A

c

28.如图，在直角坐标系中，直线y=Jx+l与x轴、y轴的交点分别为A、B,以x=-1

为对称轴的抛物线产-x2+bx+c与x轴分别交于点A、C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点P是第二象限内抛物线上的动点，设抛物线的对称轴/与x轴交于一点£>,连

接PD,交AB于E,求出当以A、。、E为顶点的三角形与△A08相似时点P的坐标：

(3)若点。在第二象限内，且tan/AQ£>=2,线段C。是否存在最小值？如果存在直接

写出最小值，如果不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1.下列具有二次函数关系的是（）

A.正方形的周长y与边长x

B.速度一定时，路程s与时间，

C.正方形的面积y与边长x

D.三角形的高一定时，面积y与底边长x

【分析】根据题意，列出函数解析式就可以判定.

解：A、y=4x,是一次函数，错误；

B、s—vt,v一定，是一次函数，错误；

C、y=x2,是二次函数，正确；

。、y=■^桁，/?一定，是一次函数，错误.

故选：C.

【点评】本题考查二次函数的定义，掌握其定义是解决此题关键.

【分析】分别利用未知数表示出各边长，再利用锐角三角三角函数关系得出答案.

解：：在RtZxABC中，NACB=90°,—

AC2

・••设3C=x,则4C=2x,故

故0雨=绘=/—=豆，故A选项错误；

ABV5x5

sin8=M=3=亚，故8选项错误；

ABV5x5

cosA=^^=-^=冬区，故C选项错误；

ABV5x5

tanB=-^-=2,故。选项正确；

BC

故选：D.

【点评】此题主要考查了锐角三角三角函数关系，正确记忆边角关系是解题关键.

3.如图，是。。的直径，窟=而，若/AOB=40°,则圆周角/BPC的度数是（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

【分析】求出/BOC,利用圆周角定理即可解决问题.

解：••⑥=而,

AZAOB=ZCOD=40°，

：.ZBOC=180°-40°-40°=100°,

.•.NBPcJ/BOC=50。，

2

故选:B.

【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练

掌握基本知识，属于中考常考题型.

4.小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样

的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是（）

A.第一块B.第二块C.第三块D.第四块

【分析】要确定圆的大小需知道其半径.根据垂径定理知第①块可确定半径的大小.

解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线,

两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长.

故选：4.

【点评】本题考查了确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分

线的交点即为该圆的圆心.

5.如图，半径为3的OA经过原点。和点C（0,2）,8是），轴左侧OA优弧上一点，则

tan/。8c为（）

【分析】作直径CD,根据勾股定理求出。£>,根据正切的定义求出tan/CD。，根据圆

周角定理得到NOBC=/CDO,等量代换即可.

解：作直径CD，

•.•/COZ)=90°,

...点。在x轴上，

在Rt^OCD中，CD=6,OC=2,

22=4

贝IjOO=VCD-0CV2'

tanNC£>0=^=返，

0D4

由圆周角定理得，ZOBC^ZCDO,

Jo

则tan/OBC=",

4

故选：C.

【点评】本题考查的是圆周角定理、锐角三角函数的定义，掌握在同圆或等圆中，同弧

或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半、熟记锐角三角函数的定

义是解题的关键.

6.如图，/XABC的内切圆。。与AB,BC,C4分别相切于点O,E,F,且4力=2,BC=5,

则aABC的周长为（)

A.16B.14C.12D.10

【分析】根据切线长定理得到AF=AO=2,BD=BE,CE=CF,根据BC=5,于是得到

△ABC的周长=2+2+5+5=14,

解：:△ABC的内切圆。。与AB,BC,CA分别相切于点£),E,F,

：.AF=AD=2,BD=BE,CE=CF,

•：BE+CE=BC=5,

:.BD+CF=BC=5,

；.△ABC的周长=2+2+5+5=14,

故选：B.

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题

的关键.

7.如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当G)A与直线/：丫=导

只有一个公共点时，点A的坐标为()

A.(-12,0)B.(-13,0)C.(±12,0)D.(±13,0)

【分析】由题意可知：直线/与0A相切，设切点为8,过点8作BEJ_OA于点E,利用

直线/的解析式设出点3的坐标，可得线段BE,OB的长，由直角三角形的边角关系可

得tan/AOB=W；解直角三角形A3。可得。8的长，利用勾股定理可求OA的长，点

12

A坐标可得，同理可求当A在x轴的正半轴上的坐标为(13,0).

解：当。A与直线/：>=导只有一个公共点时，直线/与。A相切,

设切点为B,过点8作8E_L0A于点E,如图，

•••点8在直线上，

5

:.设8（m，m）,

12

5

：・OE=-m,BE=——m.

12

RRR

在RtZ\OEB中，tanZAOB=—=-^-.

OE12

•・•直线/与OA相切，

：.AB.LBO.

ARH

在中，tan/A03=a^-.

OB12

VAB=5,

・・.03=12.

O/1=VAB2-K）B2=752+122=13-

AA（-13,0）.

同理，在x轴的正半轴上存在点（13,0）.

综上所述，点A的坐标为（±13,0）.

故选：D.

【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，正比例函数的性质，正比例函数图象上

点的坐标的特征，解直角三角形，勾股定理.利用点的坐标表示出相应线段的长度是解

题的关健.

8.如图，在AABC中，点。为aABC的内心，ZA=60°，CD=2,BD=4.则△OBC的

面积是（)

D

BC

A.473B.273C.2D.4

【分析】过点8作的延长线于点兄由点力为△ABC的内心，ZA=60°,得

NBOC=120。，则/8。”=60°,由8。=4,求得8”，根据三角形的面积公式即可得

到结论.

解：过点8作BH,CD的延长线于点H.

•.•点。为△ABC的内心，ZA=60°,

：.ZDBC+ZDCB^—CZABC+ZACB)(180°-ZA),

22

：.ZBDC=90°+2NA=90°+—X60°=120°,

22

则/BDa=60°,

VBD=4,

：.DH=2,8H=2«,

"：CD=2,

.♦.△OBC的面积'cZXB/yJxzX2狙=2«，

故选：B.

【点评】本题考查了三角形内心的相关计算，熟练运用含30°角的直角三角形的性质是

解题的关键.

9.二次函数丁=(x-a)(x-Z?)-2(a<b)与x轴的两个交点的横坐标分别为相和〃，

且"V",下列结论正确的是()

A.m<a<n<hB.a<m<b<nC.m<a<h<nD.a<m<n<b

【分析】依照题意画出二次函数y=(x-a)(x-b)及y=(x-a)(x-b)-2的大

致图象，观察图象即可得出结论.

解：二次函数)，=(x-a)(x-Z?)与x轴交点的横坐标为a、b,将其图象往下平移2

个单位长度可得出二次函数y=(x-a)(x-b)-2的图象，如图所示.

观察图象，可知：机

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的图象，依照题意画出图象，利

用数形结合解决问题是解题的关键.

10.如图，在平面直角坐标系中，抛物线)，=-N+2后的顶点为A点，且与x轴的正半轴

交于点8，P点为该抛物线对称轴上一点，则OP+^AP的最小值为()

C.3D.2M

【分析】连接AO、48,PB,作PHA.OA于H,BCJ_A。于C,如图，解方程得至U-/+2后

=0得8(2«,0),利用配方法得到A(、忌3),则。4=2正，从而可判断AAOB

为等边三角形，接着利用/。4尸=30°得到利用抛物线的对称性得到尸0=

PB,所以。P+£AP=PB+P”，根据两点之间线段最短得到当“、P、8共线时，PB+PH

的值最小，最小值为8c的长，然后计算出8c的长即可.

解：连接A。、AB,PB,作PHLOA于"，BCLAO于C,如图，

当y=0时，-N+2d泉=0,解得xi=0,X2=2«,则8(2正，0),

y=-x2+2y[^c=-(x-«)2+3,则A(«,3),

0A=yj(V3)2+32=2\/3-

而AB=AO=2y[^,

：.AB=AO=O8,

...△A08为等边三角形，

4P=30°,

：.PH^—AP,

2

垂直平分OB,

：.PO=PB,

：.OP+—AP=PB+PH,

2

当H、P、8共线时，尸8+PH的值最小，最小值为8c的长,

而尤=返48=返乂2«=3,

.•.0尸+*”的最小值为3.

【点评】本题考查了抛物线与X轴的交点：把求二次函数），="2+加+c（a,b,C是常数,

“W0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程.也考查了二次函数的性

质和最短路径的解决方法.

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

11.比较大小：sin80°<tan50°（填或.

【分析】正弦函数值小于1,而tan50°>tan45°,故tan50°>I即可比较二者大小.

解：Vtan50">tan45°,tan45°=1,

：.tan50°>1,

又sin80°<1,

Asin80°<tan50°；

故答案为：V.

【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性，正弦（切）函数值随角的增大而增大，但

锐角的正弦函数值小于1.

12.飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间1（单位：s）的函数解析式是s

=20t-0.5凡飞机着陆后滑行200m才能停下来.

【分析】根据二次函数的顶点坐标即可求解.

解：s=201-0.5卢

=-0.5(r-20)2+200

当f=20时，s有最大值为200.

即飞机着陆后滑行200〃z才能停下来.

故答案为200.

【点评】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是求二次函数的顶点坐标.

13.如图，一根排水管道的横截面是半径为13cm的圆.排水管内有水，若水面宽度AB=

24cm,则水管中的水最大深度为8cm.

<—24—►

【分析】连接。8,过点。作OC_LAB于点D,交OO于点C,先由垂径定理求出8。的

长，再根据勾股定理求出0。的长，进而得出CD的长即可.

解：连接OB,过点。作OCLA8于点。，交。。于点C,如图所示：

；AB=24cvn,

：.BD^—AB^U(cm),

2

*.*OB=OC=13cm,

在RtzXOBO中，O°=J0B2_BD2=J]32_]22=5(cm),

.\CD=OC-0D=13-5=8(cm),

即水管中的水最大深度为8cm,

【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；正确作出辅助线，构造出直角三角形

是解答此题的关键.

14.如图，点A,B,C在。。上，四边形0A8C是平行四边形，若对角线AC=2«,则总

【分析】作圆周角/4WC,连接。8交AC于N,根据圆周角定理得出/4OC=2/AMC,

根据平行四边形的性质得出NB=NA0C=2NAMC,根据圆内接四边形的性质得出力

AMC+ZB=18O°,求出NAMC=60°,求出NAOC=120°,解直角三角形求出ON、

OA,再根据弧长公式求出即可.

如图，作圆周角/AMC,连接。8交AC于N,

贝UNAOC=2/AMC,

♦.•四边形OABC是平行四边形，

：.ZB=ZAOC=2ZAMC,

,/四边形MABC是。。的内接四边形，

.../AA/C+/5=180°,

ZAMC+2ZAMC=180",

AZAMC=60°,

，NAOC=120°,

•.•四边形0ABe是平行四边形，

：.AN=CN=^AC=^-X2爪=«，

•：OA=OC,

：.ZAOB=ZCOB=60°,

...NOAC=NOC4=30°,

：.OA=2ONf

・・・（2ON）2=。胡+（正）2,

解得：ON=1,

即OA=2ON=2,

・0的长导120兀乂2_4冗

•.AC的长无—r）

4行山、兀

故答案为L：24丁.

0

【点评】本题考查了直角三角形的性质，圆周角定理，弧长公式，平行四边形的性质，

圆内接四边形的性质等知识点，能求出NAOC的度数是解此题的关键.

15.构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，在计算tan15。时，如图,

在Rt^ACB中，ZC=90°,NA8C=30°,延长CB使BD=A8,连接AD,得NQ=

15°,所以tan15°=黑=』==2一《.类比这种方法，计算

CD2-h/3"（2.班看）（照2-近'、）vo

tan22.5°的值为

【分析】在等腰直角△ABC中，NC=90°,延长CB至点。，使得4B=BD,则/BAO

=ND.设4C=1,求出CD,可得结论.

解：如图，在等腰直角△ABC中，ZC=90°,延长CB至点。，使得AB=8£）,则/8A。

，45°=ZBAD+ZD=2ZD,

：.ZD=22.5°,

设AC=1,则BC=1,AB=&4C=&,

CD=CB+BD=CB+AB=1+近,

…AC_1_IF_r-.

/.tan22.5°-an-CD_14/2-(l-h/2)(l-V2)-^

故答案为：-x/2-L

【点评】本题考查解直角三角形，分母有理化，特殊直角三角形的性质，三角函数等知

识，解题的关键是学会利用特殊直角三角形解决问题.

16.己知二次函数），=依2+公+。中，函数），与自变量x的部分对应值如表:

X・,,-10123…

­•105212…

则当y<5时，x的取值范围是0Vx<4.

【分析】根据表格数据，利用二次函数的对称性判断出x=4时，y=5,然后写出yV5

时，x的取值范围即可.

解：由表可知，二次函数的对称轴为直线x=2,

所以，x=4时，y=5,

所以，y<5时，x的取值范围为0<x<4.

故答案为：0VxV4.

【点评】本题考查了二次函数与不等式，观察图表得到y=5的另一个x的值是解题的关

键.

17.我们定义一种新函数：形如y=|«x2+bx+c|（aWO,b2-4ac>0）的函数叫做“鹊桥”函

数.小丽同学画出了“鹊桥”函数y=|%2-2x-3］的图象（如图所示），并写出下列五个

结论：

①图象与坐标轴的交点为（-1,0）,（3,0）和（0,3）；

②图象具有对称性，对称轴是直线x=l；

③当-IWxWl或x23时，函数值），随x值的增大而增大；

④当x=-l或x=3时，函数最小值是0：

⑤当x=l时，函数的最大值是4.

其中正确结论的序号是①②③④.

【分析】由（-1,0）,（3,0）和（0,3）坐标都满足函数y=|N-2x-3|知①是正确

的；从图象可以看出图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x=l,②也是

正确的；根据函数的图象和性质，发现当-IWxWl或时，函数值y随x值的增大

而增大，因此③也是正确的；函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y=0,求

出相应的x的值为x=-1或x=3,因此④也是正确的；从图象上看，当-1或x>3,

函数值要大于当x=l时的）=层-2%-3|=4,因此⑤时不正确的；逐个判断之后，可得

出答案.

解：①；（-1,0）,（3,0）和（0,3）坐标都满足函数y=|N-Zr-3|,...①是正确

的；

②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x=l,因此②也是正

确的；

③根据函数的图象和性质，发现当-IWxWl或x23时，函数值），随x值的增大而增大,

因此③也是正确的；

④函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y=0,求出相应的x的值为x=-1或

x—3,因此④也是正确的；

⑤从图象上看，当x<-l或x>3,存在函数值要大于当x=l时的）=|炉-2x-3|=4,

因此⑤是不正确的；

故答案为：①②③④.

【点评】考查了二次函数图象与x轴的交点问题，理解“鹊桥”函数尸的意

义，掌握“鹊桥”函数与)，=|a/+bx+c|与二次函数y=“x2+bx+c之间的关系；两个函数性

质之间的联系和区别是解决问题的关键：二次函数y=or2+bx+c与x轴的交点、对称性、

对称轴及最值的求法以及增减性应熟练掌握.

18.如图，在RtZ\ABC中，ZC=90°,AC=9,BC=4,以点C为圆心，3为半径做

分别交AC,于。,E两点，点P是G)C上一个动点，则与4+尸3的最小值为_

【分析】在AC上截取CQ=\,连接CP,PQ,BQ,证明△ACPs^pc。，可得PQ=^AP,

当5、Q、P三点共线时，［■PA+PB的值最小，求出3。即为所求.

解：在AC上截取CQ=1,连接CP,PQ,BQ,

\"AC=9,CP=3,

.CP=1

AP-T

,:CP=3,CQ=1,

.CQ=1

,*CP3，

XACPs/\PCQ,

：.PQ=^AP,

o

：.—PA+PB=PQ+PB^BQ,

3

...当5、Q、P三点共线时，［■P4+PB的值最小,

在RtZ\BCQ中，BC=4,CQ=1,

*,•<2^—V-17,

：.^PA+PB的最小值行,

故答案为：J百.

【点评】本题考查胡不归求最短距离，熟练掌握胡不归求最短距离的方法，利用三角形

相似将告上4转化为PQ是解题的关键.

三、解答题(本大题共10小题，共66分)

19.计算：

(1)2sin30°+3cos60°+tan45°；

(2)11-V2|"2cos450+(4)2.

【分析】(1)直接利用特殊角的三角函数值分别代入得出答案；

(2)直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幕的性质分别化简得出答案.

解：(1)原式=2X"1"+3X—+1

=工

T

⑵=«-l-2X*+9

=8.

【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键.

20.如图，以40,〃/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球

的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度/?（单位：“）与飞

行时间，（单位：s）之间具有函数关系力=20f-5巴解答以下问题

（1）小球从飞出到落地要用多少时间？

（2）小球飞行的最大高度是多少？此时需要多少飞行时间？

（2）由配方法，得到抛物线顶点坐标，问题可解.

解：（1）令/7=20-0

解得fi=O（舍去），£2=4

...小球从飞出到落地要用4s

（2）由配方法得

y=20t-5t2=-5Ct-2）2+20

'：a=-5<0

.,.小球飞行的最大高度是20〃?，此时需要飞行2s.

【点评】本题是代数综合题，考查了二次函数和一元二次方程的有关知识.

21.避雷针是用来保护建筑物、高大树木等避免雷击的装置.如图，小陶同学要测量垂直于

地面的大楼8C顶部避雷针CD的长度（B,C,。三点共线），在水平地面力点测得N

CAB=53°,ZDAB=58°,A点与大楼底部B点的距离AB=20m,求避雷针CD的长

度.（结果精确到0.1初参考数据：sin58°-0.85,cos58°"0.53,tan58°«=1.60,sin53"

«=0.80,cos530弋0.60,tan53°弋1.33）

D

/C_____

【分析】解直角三角形求出8C,BD,根据求解即可.

解：在RtZ^AB。中，VtanZBAD=—,

AB

：.BD=32（米），

在Rt/XCAB中，VtanZC/lB=—,

AB

：.BC=26.6（米），

：.CD=BD-BC^5A（米）.

答：避雷针。C的长度为5.4米.

【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常

考题型.

22.如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的。。分别与BC,4c交于点D,E,过点

。作£>FJ_AC,垂足为点F.

（1）求证：直线。尸是。。的切线；

（2）求证:BD2=CF-AC.

【分析】（1）连接0力，根据等腰三角形的性质可得/0DB=N4BC=NC,由力FL4C,

得NCDF+NC=90。，等量代换可证NO£»F=90°,从而证明结论；

（2）连接AO,根据圆周角定理知NAO8=90°,从而证明△CFOSACDA,得C。2：

CF-AC,而CD=BD,代入即可.

【解答】证明：（1）如图，连接。。，

A

VAB=AC,

・・・ZABC=ZCf

OB=OD,

:.ZODB=ZABC=ZC9

V£>F±AC,

.,.ZCDF+ZC=90°,

：.ZCDF+ZODB=90Q,

・・・NOQF=90°,

又・・,。。是半径，

・・・直线是。。的切线;

(2)如图，连接A。，

〈AB是。0的直径，

：.ADA.BC9

\'AB=ACf

:・DB=DC,

・・・NCQ?+NC=90°,NC+NDAC=90°,

：.ZCDF=ZDAC9

,.・NO尸C=NAOC=90°,

:.XCFDsXCDA,

.CDCA

••=，

CFCD

:.C》=CF・AC,

：.BD2^CF-AC.

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，等腰三角形的性质，灵

活运用这些性质解决问题是解题的关键.

23.河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥，水面宽6m时，水面离桥孔顶部3m.因降暴雨水

位上升1m.

（1）如图①，若以桥孔的最高点为原点，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式;

（2）一艘装满物资的小船，露出水面的高为05”、宽为4〃？（横断面如图②）.暴雨后

这艘船能从这座拱桥下通过吗？请说明理由.

【分析】（1）根据点A的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）代入x=2求出y值，用其减去-2求出可通过船的最高高度，将其与0.5比较后即

可得出结论.

解：（1）设抛物线的解析式为｝，=以2（a#0）,

将4（3,-3）代入

-3—9a,解得：a—-—,

3

...抛物线的解析式为'=--1x2.

14

（2）当x=2时，y=-^X22=.

33

49

-（-2）=—>0.5,

33

...暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过.

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的应用、二次函数解析式以及二次函数图象

上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点A的坐标，利用待定系数法求出抛物线的

解析式；（2）根据二次函数图象上点的坐标特征结合水高求出可通过船的最高高度（宽

度固定）.

24.如图，AB为。。的直径，C为。。上一点，A。和过点C的切线互相垂直，垂足为

AB,0c的延长线交于点E.

（1）求证：AC平分/D48；

（2）若BE=3,CE=3«,求图中阴影部分的面积.

【分析】（1）连接0C,如图，利用切线的性质得C0J_C£>,则A£>〃C。，所以ND4C

=ZACO,加上NAC0=NC40,从而得至ljNZ）AC=NCA0；

（2）设半径为广，利用勾股定理得到3+27=（丹3）2,解得，=3,再利用锐角三角

函数的定义计算出/COE=60°,然后根据扇形的面积公式，利用S蹦=5ACOE-S1a彩COB

进行计算即可.

解：（1）连接0C,如图，

与。。相切于点C,

：.COLCD,

VAD1CD,

：.AD//COf

：.ZDAC=NAC。，

9

：0A=0Cf

：.NACO=NCAO,

：.ZDAC=ZCAOf

即AC平分ND48；

（2）设O。半径为r，

在RtZiOEC中，•・・OE2+EC2=OC2,

・・・3+27=（H-3）2,解得「=3,

・・・OC=3,OE=6,

OC1

.,.cosZC(9E=—=—,

OE2

・・・NCOE=60°,

60•兀，32973

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线，

必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系.简记作：见切点，连半径，见垂直.也

考查了圆周角定理和扇形的面积公式.

25.某景区超市销售-一种纪念品，这种商品的成本价15元/件，已知销售价不低于成本价，

且物价部门规定这种商品的销售价不高于24元/件，市场调查发现，该商品每天的销售

量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系如图所示.

（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）求每天的销售利润W（元）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件

销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

义什，

~01521*邛兀什）

【分析】（1）利用待定系数法求解可得y关于x的函数解析式：

（2）根据“总利润=每件的利润X销售量”可得函数解析式，利用二次函数的性质进一

步求解可得.

解：（1）设y与无的函数解析式为y="+九

将（15,45）、（24,36）代入，得：

（15k+b=45

l24k+b=36，

解得:尸1,

lb=60

所以y与x的函数解析式为y=-x+60（15—W24）；

(2)根据题意知，W=(x-15)y

=(x-15)(-A-+60)

=-N+75x-900,

,:a=-KO,

.•.当X＜华时，W随x的增大而增大,

2

.•.当x=24时、W取得最大值，最大值为324,

答：每件销售价为24元时，每天的销售利润最大，最大利润是324元.

【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析

式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质.

4

26.如图，平行四边形ABC。中，AB+BC=20,sinA=—,尸是48边上一点，设。C=x,

5

△PCD的面积为y.

（1）求y与x的函数关系式，并求力的面积的最大值；

（2）若以。C为直径的圆过P、B两点，求CQ的长.

【分析】(1)过。作。HJ_A8于，，根据AB=C£)=x,得A£)=BC=20-x,又sinA=

—,故£>"=AO・sinA=9(20-x),_—x1+Sx--—(x-10)2+40,即知当x

5555

=10时，的面积的最大值是40；

（2）连接80,根据以QC为直径的圆过P、B两点得NZ）BC=90°,可得sin/O3C=

sinA=—,BD=—CD=—x,故BC=也口2也2=之，即得x+gx=20,即可解得CD

55555

为争

解：（1）过。作。”_LAB于，，如图：

由B

*：AB=CD=x,

：.AD=BC=2Q-xf

4

sinA=—,

5

4.

：.DH=AD*sinA=—(20-x)，

5

1499

.,.y=—X—(20-x)e-—x2+8x=(x-10)2+40,

2555

V-A2<o,

5

,当x=10时，y取最大值为40,

故△PC。的面积的最大值是40；

(2)连接8D如图：

：.ZDBC=90°,

•：ZDCB=ZA,

4.

/.sinZDCB=sinA——，

5

55

BC22X,

-VCD-BD-To

VCD+BC=20,

2

/.x+—x=20,

5

解得X=争，

故CD为孕.

2

【点评】本题考查平行四边形、二次函数、圆的综合知识，难度适中，解题的关键是用

含x的代数式表示相关的线段的长度.

27.如图，。。是△48C的外接圆，4D是。。的直径，尸是4。延长线上一点，连接CD,

CF,且CF是。。的切线.

(1)求证：N