高考数学总复习数形结合的思想

高考冲刺数形结合的思想

编稿：孙永钊审稿：张林娟

【高考展望】

在高考题中，数形结合的题目出现在高中数学知识的方方面面上，把图象作为工具、载体，以此寻求

解题思路或制定解题方案，真正体现数形结合的简捷、灵活特点的多是填空小题。

从近三年新课标高考卷来看，涉及数形结合的题目略少，预测今后可能有所加强。因为对数形结合等

思想方法的考查，是对数学知识在更高层次的抽象和概括能力的考查，是对学生思维品质和数学技能的考

查，是新课标高考明确的一个命题方向。

1.数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究

图形的性质，是一种重要的数学思想方法。它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。“数缺形时

少直观，形少数时难入微”，利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质。

2.数形结合的思想方法在高考中占有非常重要的地位，考纲指出“数学科的命题，在考查基础知识

的基础上，注重对数学思想思想方法的考查，注重对数学能力的考查”，灵活运用数形结合的思想方法，

可以有效提升思维品质和数学技能。

3.“对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次的抽象和概括的考查，考查时要与数学知识相结

合”，用好数形结合的思想方法，需要在平时学习时注意理解概念的几何意义和图形的数量表示，为用好

数形结合思想打下坚实的知识基础。

4.函数的图象、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等，是“以形示数”，而解析几何的方程、

斜率、距离公式，向量的坐标表示则是“以数助形”，还有导数更是数形结合的产物，这些都为我们提供

了“数形结合”的知识平台。

5.在数学学习和解题过程中，要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径，制定解题方案，养成数

形结合的习惯，解题先想图，以图助解题。用好数形结合的方法，能起到事半功倍的效果，''数形结合千

般好，数形分离万事休”。

【知识升华】

纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的

效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。是通过“以形助数”（将所研究的代数问题转化为研究其对应

的几何图形）或“以数助形”（借助数的精确性来阐明形的某种属性），把抽象的数学语言与直观的图形结

合起来思考，也就是将抽象思维与形象思维有机地结合起来，是解决问题的一种数学思想方法.它能使抽

象问题具体化，复杂问题简单化，在数学解题中具有极为独特的策略指导与调节作用。

具体地说，数形结合的基本思路是：根据数的结构特征，构造出与之相应的几何图形，并利用图形的

特性和规律，解决数的问题；或将图形信息全部转化成代数信息，使解决形的问题转化为数量关系的讨论。

选择题，填空题等客观性题型，由于不要求解答过程，就某些题目而言，这给学生创造了灵活运用数

形结合思想，寻找快速思路的空间。但在解答题中，运用数形结合思想时，要注意辅之以严格的逻辑推理,

“形”上的直观是不够严密的。

1.高考试题对数形结合的考查主要涉及的几个方面：

(1)集合问题中Venn图(韦恩图)的运用；

(2)数轴及直角坐标系的广泛应用；

(3)函数图象的应用；

(4)数学概念及数学表达式几何意义的应用；

(5)解析几何、立体儿何中的数形结合。

2.数形结合思想解决的问题常有以下几种：

(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；

(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；

(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；

(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；

(5)构建立体几何模型研究代数问题；

(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；

(7)构建方程模型，求根的个数；

(8)研究图形的形状、位置关系、性质等.

3.运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：

(1)等价性原则。要注意由于图象不能精确刻画数量关系所带来的负面效应；

(2)双方性原则。既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行儿何分

析容易出错；

(3)简单性原则。不要为了“数形结合”而数形结合，具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；

二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系，做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值

范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线为佳。

4.进行数形结合的信息转换，主要有三个途径：

(1)建立坐标系，引入参变数，化静为动，以动求解，如解析几何；

(2)构造成转化为熟悉的函数模型，利用函数图象求解；

(3)构造成转化为熟悉的几何模型，利用图形特征求解。

5.常见的“以形助数”的方法有：

(1)借助于数轴、文氏图，树状图，单位圆；

(2)借助于函数图象、区域(如线性规划)、向量本身的几何背景；

(3)借助于方程的曲线，由方程代数式，联想其几何背景，并用几何知识解决问题，如点，直线，斜率,

距离，圆及其他曲线，直线和曲线的位置关系等，对解决代数问题都有重要作用，应充分予以重视

【典型例题】

类型一、数轴、韦恩图在集合中的应用

【例1】设集合A={x|l<x<4},集合B={X|X2_2X-3WO},则AC(CRB)=()

A.(1,4)B.(3,4)C..(1,3)D.(1,2)U(3,4)

【思路点拨】先求出集合B,再利用数轴画图求解。

【答案】B；

【解析】8=3/一2*-3・0}={》|一1<》《3},AD(CRB)={X|1<X<

4}「{X|X<-1,或x>3}={x[3<x<4}。故选B.

【总结升华】不等式型集合的交、并集通常可以利用数轴进行，解题时注意验证区间端点是否符合题

尼、O

举一反三：

【变式1】设全集U=MTV={1,2,3,4,5},M。0%={2,4},则％=()

A.{1,2,3}B.{1,3,5}C.{1,4,5}D.{2,3,4}

【答案】B；

【解析】画出韦恩图，可知N={1,3,5}。

【变式2】设平面点集A=<(x,y)(y—x)(y—工)2018=卜乂刈*—厅+⑶―则AB

所表示的平面图形的面积为()

33471

(A)—71(B)—7C(C)-ri(D)—

4572

【答案】D；

y-x>0y-x<0

【解析】由(y—x)(y——)20可知<］或者，,在同一坐标系中做出平面区域如图,

xy——>0y--<0

xx

由图象可知AD8的区域为阴影部分，根据对称性可知，两部分阴影面积之和为圆面积的一半，所以面积

为7上F,选D.

2

类型二、利用数形结合思想解决函数问题

【例2】已知/(x)=/+3x-5,xe[Z,/+l],若f(x)的最小值记为力⑴,写出力⑺的表达式。

【思路点拨】依据函数/(无)=f+3尤-5的对称轴与区间的位置关系，结合函数图象确定/(幻在

xe[r,/+l]上的增减情况，进而可以明确在何处取最小值。

329

【解析】由于/(幻=/+3%—5=(%—3)2—二，

24

3

所以抛物线/(x)的对称轴为1=-2,开口向上，

33

①当一<t,即12-一时，/(x)在[t,t+1]上单调递增(如图①所示),

22

...当X=t时，/(X)最小，即/(X)mm=/Q)=r+3-5。

35333

②当/<――</1,即——<f<——时，/(x)在上,——］上递减，在［一一J+1］上递增(如图②)。

2+2222

3329

...当x=—2时，/(x)最小，BU/(x)min=/(--)=-—,

35

③当f+—一，B|J/<一一时，/(x)在［t,t+1］上单调递减(如图③)。

22

.•.当X=t+1时，/(X)最小，即/。焉=/。+1)=『+5-1,

图①图②图③

综合①②③得

,5

厂+51(/<--)

29,53、

/?(/)=<--(--</<--)»

422

,3

t12+3t-5(r>--)

【总结升华】通过二次函数的图象确定解题思路，直观、清晰，体现了数形结合的优越性。应特别注

意，对于二次函数在闭区间上的最值问题，应抓住对称轴与所给区间的相对位置关系进行讨论解决。首先

确定其对称轴与区间的位置关系，结合函数图象确定在闭区间上的增减情况，然后再确定在何处取最值。

举一反三:

【变式1］已知函数/(》)=一/+2℃+1—a在oWxWl时有最大值2,求a的值。

【解析】Vf(x)=-(x-a)2+a2-a+\,

抛物线y=/(x)的开口向下，对称轴是x=a,如图所示:

(1)当a<0时，如图(1)所示,

当x=0时，y有最大值，即为"=/(0)=1-〃。

1—a=2(>即a=-I,适合a<0。

(2)当OWaWl时，如图(2)所示，

当x=a时，y有最大值，即'max=/'(。)=/一。+1。

1+J5

Aa2—a+l=2,解得。=------。

2

1+J5_

•.,OWaWl,a=-----不合题意。

2

(3)当a>l时，如图(3)所示。

当x=l时，y有最大值，即'max=/'(I)=。。，a=2。

综合(1)(2)(3)可知，a的值是一1或2

【变式2】已知函数/(x)=x|x-2|。

(I)写出/(x)的单调区间;

(II)设a>0,求/(x)在[0,a]上的最大值。

x2-2x(x>2)

【解析】/0)=〈

-x2+2x(x<2)

如图:

(1)/(x)的单调增区间：(7,1],[2,+oo)；单调减区间：(1,2)

(2)当aWl时，=f(a)=a\a-2\=2a-a2

当l<aKl+a时，/(%)_=1

2

当a>l+0,/(x),nax=/(«)=a-2a»

例3.(2015重庆校级模拟)定义在R上的奇函数f(x),当这0时，

log1(x+1),x€[0,1)

f(x)=,2,

1-|x-3|,x€[1,+8)

则关于x的函数F(x)=f(x)-a(0<a<l)的所有零点之和为()

A.1-2aB.2a-IC.1-2'aD.2'a-1

【思路点拨】函数F(x)=f(x)-a(0<a<l)的零点转化为：在同一坐标系内y=f(x),y=a的图象交

点的横坐标.

作出两函数图象，考查交点个数，结合方程思想，及零点的对称性，根据奇函数f(x)在xK)时的解析式,

作出函数的图象，结合图象及其对称性，求出答案.

【答案】A

【解析】•••当xNO时，

、log-^(x+1),x€[0,1)

f(x)=<L；

1-|x-3|,x€[1,+8)

即xG[0,1)时，f(x)=log1(x+1)e(-1,0]；

~2

x€[l,3]时，f(x)=X-2G[-1,1]；

xG(3,+oo)时，f(x)=4-xG(-oo,-1)；

画出x>0时f(x)的图象，

再利用奇函数的对称性，画出x<0时f(x)的图象，如图所示；

则直线y=a,与y=f(x)的图象有5个交点，则方程f(x)-a=0共有五个实根,

最左边两根之和为-6,最右边两根之和为6,

x(-1>0)时，-x£(0,1),

•\f(-x)=logj(-x+1),

-2

又f(-x)=-f(x),

Af(x)=-log|(-x+1)=logJ(1-X)1=log2(1-x),

~2~2

・,•中间的一个根满足log2(1-x)=a,HP1-x=2a,

解得x=l-2a,

.••所有根的和为1-2a.故选A.

【总结升华】这类题“万变不离其宗”只需掌握基本初等函数的图像及其图像变换口诀再配合函数性质即

可轻松解决.

举一反三:

【变式】(2016渭南一模)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x£R,都有f(x+2)=f

(x).当-l<x<0时，f(x)=x2,若直线y=-x+m与函数y二f(x)的图象有两个不同的公共点，则实

数m的值为()

A.2k-A(kGZ)B.2k+A(kGZ)

44

C.2k或2k(k^Z)D.2k或2k+2(kGZ)

44

【答案】D

【解析】(x+2)=f(x).

二函数的周期是2,

若0<x<l,则-1<-x<0,

则f(-x)=-x2,

•••函数f(x)是偶函数，

•\f(-x)--X2=f(X),

即f(x)=-x2,0<x<l,

作出函数f(x)的图象如图:

在一个周期［-1,1］内，当直线经过点(1,-1)时，两个函数有两个交点，此时m=0,

当直线与y=-x2相切时，两个函数有两个交点，

由-x2=-x+m得x2-x+m=O,

由判别式△=(),即1-4m=0,

得m=A,

4

•••函数的周期是2k,

，m=2k或2k+工(kCZ),故选D.

4

【变式2】设函数/(x)在R上可导，其导函数为尸(X),且函数y=(l—x)/'(x)的图像如题(8)图

所示，则下列结论中一定成立的是()

(A)函数/(x)有极大值/(2)和极小值/(I)

(B)函数/(x)有极大值/(一2)和极小值/⑴

(C)函数/(x)有极大值/(2)和极小值/(—2)

(D)函数/(x)有极大值/(—2)和极小值/(2)

【答案】D；

【解析】由图象可知当x<—2时，y=(l-%)/'U)>0,所以此时/,(%)>0,函数递增.当—2<x<1

时，y=(l-x)/'(x)<0,所以此时/'(x)<0,函数递减.当l<x<2时，y=(l-x)/'(x)>0,所以

此时/'(x)<0,函数递减.当x>2时，y=(l—x)/'(x)<0,所以此时/'(x)>0,函数递增.所以函数

f(x)有极大值/(-2),极小值/(2),选D.

类型二：利用数形结合思想解决方程中的参数问题

【例4】若关于x的方程=x+有两个不同的实数根，求实数m的取值范围。

【思路点拨】将方程的左右两边分别看作两个函数，画出函数的图象，借助图象间的关系后求解，可

简化运算。

【解析】画出/(x)=J2x+1和g(x)=x+/”的图象,

当直线y=x+m过点（一万,0）,即机=2时，两图象有两个交点。

,y=x^m

->=以+1

又由当曲线y=/（x）与曲线y=g（x）相切时，二者只有一个交点,

设切点（%,%），则/（%）=1，即I------=1，解得切点（0/），

依。+1

又直线y=x+/篦过切点（0,1）,得机=1,

...当一《机＜1时，两函数图象有两个交点，即方程有两个不等实根。

2

误区警示：作图时，图形的相对位置关系不准确，易造成结果错误。

【总结升华】

1.解决这类问题时要准确画出函数图象，注意函数的定义域。

2.用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把

方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图），然后作出两个函数

的图象，由图求解。

3.在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点：

①要准确理解一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；

②要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；

③要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；

④精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，便于问题求解。

举一反三：

【变式】若关于x的方程%在（-1,1）内有1个实根，则k的取值范围是。

2

【解析】把方程左、右两侧看作两个函数，利用函数图象公共点的个数来确定方程根的个数。

Qi53

如图：当女=一二或一上4火〈二时，关于x的方程V—二x=Z在（-1,1）内有1个实根。

16222

【例5】若方程在内有唯一解，求实数m的取值范围。

【思路点拨】将方程的左右两边分别看作两个函数，画出函数的图象，借助图象间的关系后求解。

【解析】（1）原方程可化为

设

在同一坐标系中画出它们的图象（如图）。由原方程在（0,3）内有唯一解，知的图象只

有一个公共点，可见m的取值范围是或

举一反三：

JT

【变式1高清课程数形结合的思想ID:403936】若不等式10&亦＞$出2%（〃＞0,4r1）对任意工昼（0,—）都成立,

4

则〃的取值范围为.

【解析】记yi=log«x,j2—sin2x,原不等式相当于%＞以，

作出两个函数的图象，如图所示，

ITTT

所以当一vq<l时，(0,—)都有y\>yz.

44

TT

【变式2】若0〈0〈2n,且方程2sin(6+；)=/〃有两个不同的实数根，求实数m的取值范围及这两

个实根的和。

［解析】将原方程2sin(。+?)=机转化为三角函数％=2sin(x+()的图象与直线必=加有两个不

同的交点时，求a的范围及a+B的值。

7T

设m,在同一坐标中作出这两个函数的图象

x=2sin(x+§),y2=

由图可知，当一2<m<G或6cm<2时，yi与丫2的图象有两个不同交点,

1T

即对应方程2sin(，+j)=加有两个不同的实数根，

若G<〃Z<2,设原方程的一个根为玉=.+C,则另一个根为“?一。.

若一2cm<6,设原方程的一个根为％=看一a,则另一个根为％=看一。，

所以这两个实根的和为71:或§7乃.

717

且由对称性可知，这两个实根的和为一或一万。

33

类型三：依据式子的结构，赋予式子恰当的几何意义，数形结合解答

［例6］求函数/(e)=.3sm」+3的最大值和最小值

2cos6+4

【思路点拨】f(.可变形为sin』一(—1),故/⑻可看作是两点A(cos6,sin。)和8(—2,—1)的

2cos^-(-2)

3

连线斜率的3倍，只需求出K"范围即可；也可以利用三角函数的有界性，反解求解。

方法一：数形结合

A(cosasin。)可看作是单位圆/+>2=1上的动点，3(—2,—1)为圆外一点，如图，

由图可知：心8€伏必，左物］，显然长胡=0,

设直线B4的方程：y+l=Z(x+2),

.|%*0-0+2"1|4

=d=l,解得4BA=k=—

\Jk2+\-3

・••/(“[0,2]

3sin6+3

方法二：令/(6)=y=

2cos。+4

3sin9+3=2ycosO+4y,3sin6-2ycose=4y—3

732+(-2y)2sin(6»+0)=4y-3,4y-3|<^32+(-2y)2

.•.16/-24y+9<9+4y2,:.0<y<2即/(6)e［0,2］

【总结升华】一些代数式所表示的几何意义往往是解题的关键，故要熟练掌握一些代数式的几何意义:

(1)+(y_/?)2表示动点(x,y)与定点(a,b)两点间的距离；

(2)2於表示动点(x,y)与定点(a,b)两点连线的斜率；

x-a

(3)求ax+by的最值，就是求直线ax+by=t在y轴上的截距的最值。

举一反三：

【变式1】已知圆C：(x+2)2+y2=l,P(x,y)为圆C上任一点。

(1)求+的最大、最小值；

(2)求匕工的最大、最小值；

x-1

(3)求x—2y的最大、最小值。

【解析】联想所求代数式的几何意义，再画出草图，结合图象求解。

(1)Ji+y2表示点(x,y)与原点的距离，

由题意知P(x,y)在圆C上，又C(—2,0),半径r=l。

A|OC|=2o

旧+y的最大值为2+r=2+l=3,

小£+y2的最小值为2—r=2—1=1。

(2)—表示点(x,y)与定点(1,2)两点连线的斜率，

x-1

y—2

设Q(1,2),--=k,过Q点作圆C的两条切线，如图：

将上千=k整理得kx-y+2-k-Oo

.,\-2k+2-k\,3±6

••CI-I=-1,角军皆rk一,

VF714

所以上二2的最大值为主芭，最小值为三5。

x-l44

(3)令x—2y=u,则可视为一组平行线系，

当直线与圆C有公共点时，可求得u的范围，

I-2-»I

最值必在直线与圆C相切时取得。这时d1,

u=—2+\[5o

.,•x-2y的最大值为-2+«,最小值为-2-不。