（人教A版2019必修第二册）数学6.4平面向量的应用(单元教学设计)

6.4平面向量的应用(单元教学设计)

一、【单元目标】

(1)会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问

题中的作用。

(2)借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理。

(3)能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题。

二、【单元知识结构框架】

平面几何中

的向量方法

余弦定理、余弦定理、正弦定理

向量的应用

正弦定理应用举例

向量在物理中

的应用举例

三、【学情分析】

学生已经学习过了勾股定理、任意角的三角函数、平面向量等相关知识，这为过渡到本节内容的学习起

着铺垫作用。高一下学期阶段的学生思维较为活跃，求知欲也较强，但没有接触过数学定理的证明，没有证

明定理的经验，将实际问题转化为数学问题的建模能力有待提高.因此教师要提供针对性的研究素材，并作

必要的启发和引导，证明余弦定理的过程中也会存在困难，教师可以适时的点拨。

四、【教学设计思路/过程】

课时安排：约5课时

教学重点：用向量方法解决简单的儿何问题、实际问题的方法与步骤，用向量方法证明余弦定理和正弦定

理，余弦定理和正弦定理的应用。

教学难点：如何把几何问题、实际问题转化为向量问题，余弦定理和正弦定理的证明。

教学方法/过程：

五、【教学问题诊断分析】

6.4.1平面几何中的向量方法

一、复习回顾：

(1)向量加法的三角形法则、平行四边形法则；

(2)向量平行、垂直的判断方法；

在之前向量的学习中，我们发现，平面几何图形的很多性质都可以用向量表示出来.因此平面几何中的

许多问题都可以用向量运算的方法加以解决.下面我们通过例题，探究向量方法在平面几何中的应用.

二、新知探究

例1如图，OE是△ABC的中位线，用向量方法证明：DE//BC,DE=^BC.

证明：如图，因为OE是AABC的中位线，

所以而=之荏，AE=^AC.

从而屁=AE-AD=^AC-^AB=|(^4C-AB).

又前=尼・福

所以屁=之前.

于是DE//BC,DE=^BC.

用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：

(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面儿何问题转化为向量问

题；

(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；

(3)把运算结果“翻译”成几何关系.

例2如图，己知平行四边形A8CD,你能发现对角线4c和8D的长度与两条邻边AB和AO的长度之

间的关系吗？

解：第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量

问题:

如图，取｛荏，而｝为基底，设而=出AD=b,则

AC=a+b,'DB=a-b.

第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系：

前2=(a+b)2=d2+2d-b+b2,

DB2=(d-bY=a2-2a-b+b2.

上面两式相加，得尼2+而2=2m2+岸)

第三步，把运算结果“翻译”成几何关系：

AC2+BD2=2(AB2+AD2).

三.课堂检测

设计意图：例题变式练.

1.已知尸是△ABC内的一点，AP^-(AB+AC),则△ABC的面积与△A3P的面积的比值为()

3

3

A.-B.2C.3D.6

2

答案：C

解析：在△/记(7中，设边的中点为D,则％吼=竺迎=当.

S4ABpSA4BPAP

因为AP=，(A3+AC)=2AD,所以卜4=斗尸］,所以组叫=3.故选C.

332Smp

2.在△ABC中，|Aq=|Aq=2,S.ABAC=2,则"BC的形状是.

答案：等边三角形

解析：因为AB・AC=|AB|kqcosA=4cosA=2,所以cosA=g,

又NA为的内角，所以NA=60。.

又卜@=卜4,所以ZMSC为等边三角形.

3.已知菱形/WCD的边长为2,NB4QW20。，点E,F分别在边BC,QC上，BC=3BE,DC=ADF,

若4E-AF=1,则2的值为.

答案：2

BD

解析：

如图，AE=AB+BE=AB+-BC,

3

AF=AD+DF=AD+-DCBC+-AB,

22

由题意知2N0,

所以A尸=（A8+!BC）・（BC+，A8）

3A

11,1,

=（1+—）ABBC+-AB2+-BC2

3AA3

124

=（1+—）x2x2xcos120°4---P—=1»

3/143

解得4=2.

四、课堂小结：

1.用向量方法解决平面几何问题的''三步曲"；

2.用向量方法解决平面几何问题的应用.

五.课后作业

设计意图：巩固提升.

1.习题6.4.1

2.6.4.1平面几何中的向量方法（分层作业）（必做题+选做题）

6.4.2向量在物理中的应用举例

1、情境引入

例3：在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体

向上运动，两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗？

答：上面的问题可以抽象为如图所示的数学模型.只要分析清楚尸、G,。三者之间的关系（其中F为

尸1、尸2的合力），就得到了问题的数学解释

不妨设|尸1|=尸2|,以尸1、尸2为邻边的四边形是菱形f

力后与力尸2的合力与重力G大小相等、方向相反J

如I=\F1\COS^整理得闾=琛|~

6G

当。在［0,司内逐渐增大时，cos］的值由大变小，|尸i|由小变大

即尸1、尸2之间的夹角越大越费力

追问：（1）我何值时，|用最小，最小值是多少？

(2)IF\|能等于|G|吗?为什么？

答：⑴当月）°时，㈤最小,|Filmin=^|G|

⑵当6=120°时,|FX|=\F2\=\G\

2、探索新知

[例4]一条河的两岸平行，河的宽度d=500m,一艘船从A处出发到河

的正对岸B处，船航行的速度|也|=10km/h,水流速度必1=2km/h,

问行驶航程最短时，所用时间是多少(精确到0.1min)?

解：设点B是河对岸一点，A8与河岸垂直，那么当这艘船实际沿着AB方

向行驶时，船的航程最短

22

如图，设v=Vi+V2,则|v|=7|VI|-|V2I=V96(km/h)

此时，船的航行时间t=R=接x60x3.1(min)

所以，当航程最短时，这艘船行驶完全程需要3.1min

方法规律：用向量解决物理问题的一般步骤(四步曲)

(1)问题的转化，即把物理问题转化为数学问题

(2)模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型

(3)参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值

(4)问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象

四、课堂检测

1、如图，在重6(X)N的物体上有两根绳子，绳子与铅垂线的夹角分别为30°,60°,物

体平衡时，两根绳子拉力的大小分别为(C)

A.3OOGN,3OO拓NB.150NJ50N

C.3OOx/3N,3OOND.3OON.3OON

2,一条宽为小km的河，水流速度为2km/h,在河两岸有两个码头A,B,已知A8=，§km,船在水中

最大航速为4km/h；问怎样安排航行速度，可使该船从A码头最快到达彼岸B码头？用时多少？

解：如图所示，设AC为水流速度，为航行速度，以AC和A。为邻边作平行四边形ACEQ

当AE与重合时能最快到达彼岸

根据题意知ACJ_AE

在RtZ\AOE和平行四边形ACED中

\DE\=\AC\=2,\AD\=4,NAEZ)=90。

；.|AE|=|AO|2一|函=2小

小+2小=0.5（h）,sinNEA£）=g

NEAO=30。

...船实际航行速度大小为4km/h,与水流成120。角时能最快到达8码头，用时0.5小时

五、课堂小结

用向量解决物理问题一般按如下步骤进行：

①转化：把物理问题转化为数学问题

②建模：建立以向量为主体的数学模型

③求解：求出数学模型的相关解

④回归：回到物理现象中，用已获取的数值去解释一些物理现象

六.课后作业

设计意图：巩固提升.

1.习题6.4.2

2.6.4.2向量在物理中的应用举例（分层作业）（必做题+选做题）

6.4.3（1）余弦定理

一、新知导入

1.创设情境，生成问题

如图，某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道的长度.工程技术人员先小.

在地面上选一适当的位置A,量出A到山脚B,「的距离，其中48=木km,AC=\

km,再利用经纬仪测出力对山脚阿（即线段比）的张角/胡£150。.

【问题1]我们知道勾股定理，即在中，已知两条直角边a,6和0=90°,A

则02=丁+反那么一般的三角形中，是否也有相似的结论？

【提示】在中，c—si+lf—2abcosC这个公式是余弦定理的形式之一.当C=90°时，则cosC—

0,将cosC=0代入上式即是勾股定理c,=a2+4.

【问题2]你能通过上面的问题1的结论计算求出山脚的长度比■吗？

【提示】利用BCt=A^+ACt-2AB>ACcos/可求出8C的长.

2.探索交流，解决问题

【探究1】已知一个三角形的两条边及其它们的夹角，这个三角形的大小、形状能完全确定吗？

【提示】根据三角形全等的判断方法可知，这个三角形的大小、形状是完全确定的.

【探究2】在△/欧中，如果已知边品〃和角那么从向量的角度考虑，边。的长度可视为什么？向量花

如何用已知边所对应的向量表示？如何求出|荔I?

【提示】边。的长度可视为I葩1;AB=CB-CA；通过向量的数量积求|葩|.

二、余弦定理

1.余弦定理：

文字语言：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.

符号语言：层=店+,2—2Z?ccosA,b1=a1-\-c1—2occos_B,c1=cr+b2—2abcos—C.

【探究3】在△48c中，已知三条边，如何求出其三个内角？

._—r附人力占rm人八i+m'Ib2+不一MaC_t）a1）―c

【提不】可将余弦定理中的二个公式变形为cosA=----------,cosB=------------,cosC=---------。

Ibc2acZab

j>2+c2-a2a2+c2-h2a2+b2^c2

推比：cosA-*-,cosB=­2--«cosC=—.

2.解三角形

一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他

元素的过程叫做解三角形.

【做一做】在△A2C中，符合余弦定理的是（）

A..c2—a2+b2-2abcosCB.c^—a2—^—2bccosA

,,,q2+庐+,2

C.tr—cr—^—lbccosAD.cosC=-------------

解析：注意余弦定理形式，特别是正负号问题.

答案：A

三、典型例题

例5在△A3C中，已知6=60cm,c=34cm,A=41°,解这个三角形（角度精确到1。，边长精确到1cm）.

例6在&ABC4>,a=7,b=S,锐角C满足sinC=哼,求B（精确到1。）.

四、课堂检测

1.（多选题）设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2,c=25，cosA=^",

贝Ib=（）

A.2B.3C.4D.2啦

解析：由余弦定理，得/=庐+,2—2"以《A,

：.4=b2+n~6b,即廿一68+8=0,

:.b=2或b=4.

答案：AC

2.一个三角形的两边长分别为5和3,它们夹角的余弦值是一主则三角形的另一边长是,

解析：设另一边长为x,则/=5?+32—2X5X3X(-1')=52,

答案：2V13

3.在△ABC中，a=7,8=4小，c=，T§,则△ABC的最小角的大小为.

解析：泌〉c,为最小角，由余弦定理得

-c272+(4^3)2—(V13)2V3

cosC=2ab=2X7X4小=2'

jr

又CG(0,7t),C=g.

答案:I

4.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为.

解析：设三角形的底边长为m则周长为5a

所以等腰三角形的腰长为2a,设顶角为a,

(z)\2+fzJ\

x2azk2aZ

由余弦定理，得8

cosa=2X2aX2a

7

答-

M:8

【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生

的应用意识。

五、课堂小结

1、余弦定理

/■/*2,2%CCOSA

/•/♦^・ZGCCOSB

6cosC

2.余弦定理的推论:

cosAO—---------

2bc

S3

cos80~~-----

2ac

cosCO----

lab

3.用余弦定理可以解决两种解三角形的题型:

(1)已知三边解三角形.

(2)已知两边及一角解三角形.

【设计意图】

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力，提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。

六、课后作业

1.习题6.4.3(1)

2.6.4.3余弦定理(第1课时)(分层作业)(必做题+选做题)

6.4.3(2)正弦定理

一、新知导入

1.创设情境，生成问题

古埃及时代，尼罗河经常泛滥，古埃及人为了研究尼罗河水运行的规律，准备测量各种数据._c_______

当尼罗河涨水时，古埃及人想测量某处河面的宽度(如图)，如果古埃及人通过测量得到了18

h'、-

DAB

的长度，NBAC,/4K'的大小，那么就可以求解出河面的宽度3古埃及人是如何利用这些

数据计算的呢？

2.探索交流，解决问题

如图,在R58C中，看‘系,薪各自等于什么？

【问题1]

【提示】

【问题2】在一般的△A3C中，系*=七=/还成立吗？课本是如何说明的？你还有其

billZjlbl!"!LJbill

他方法吗？

【提示】在一般的aABC中，焉=卷=品仍然成立，课本借助直角三角形和向量的数

量积来证明.还可借助外接圆或向量的投影来证明.

二、正弦定理

1.正弦定理的表示

(1)文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等,即'=磊=舟4

sin/IsinDsinv

拓展：该比值为该三角形外接圆的直径.

2.正弦定理的变形形式

设三角形的三边长分别为a,h,c,外接圆半径为R,正弦定理有如下变形：

(l)a=27?sinA,£»=2/?sinB,c=27?sinC.

ab

砺，砺,

(2)sinA=sin8=sinC=2R-

(3)a:bc=sinA：sin8：sinC.

a_____b_____c________a+：+c

⑷sinA-sinsin「sinA+sinB+sinC

【思考1】正弦定理的主要功能是什么？

提示实现三角形中边角关系的互化.

【思考2】在△A3C中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,那么a：〃：c=A：B：C对吗？

提示不对.根据正弦定理，a=2RsinA,Z?=2Rsin8,c=2HsinC.所以abc=sinA:sinB:sin

C.

【做一做】在△ABC中，下列等式总能成立的是()

A.acosC=ccosAB/sinC=csinA

C.absinC=/?csinBD.asinC=csinA

解析由正弦定理易知，选项D正确.

答案D

三、典型例题

例7在ZUBC中，已羯1=15°,8=4S°,C=3+6,解这个三角服

解法1：由三角形内角和定理，得：

C=180°-(A+8)=180°-(15°+30°)=120°.

山下昉由理俎_csinA_(3+6)sin15。_(3+6)sin(45。-30。)

9>qsinCsin1200sin1200

_(3+V3)(sin45°cos300-cos45°sin30°)_(3+>/1)(当X当一曰片)_6

sin120°-逅-'

csinB_(3+^)sin450(3+6)x苧

b==V6+x/2.

sinCsin120°V3

~2

例8.在2L4BC中，已知B=30°,b=<2,c=2,解这个三角形.

解：由正弦定理，得：sinC=^=空嘤=条

DV22

因为c>b,8=30。，所以30。<C<180。.

于是C=45°,或C=135°.

⑴当C=45°时，A=105°.

bsi"_asin1050_逅sin(600+45°)

此时,

sinBsin30°sin30°

_42{sin60°cos450+cos600sin45°)

1V3+1.

sin3005

(2)当C=135。时，A=15°.

bsinA_\[2sin\[2sin

此时,150_(60°-45°)

sinB~sin300-sin30°

V2(sm60°cos450-cos60°sm45°)

=V3-1.

sin3001

注：由三角函数的性质可知，在区间（0,兀）内，余弦函数单调递减，所以利用余弦定理求角，只有一解;

正弦函数在区间（0,今内单调递增，在区间《,兀）内单调递减，所以利用正弦定理求角，可能有两解.

四、课堂检测

1.在△ABC中，a=3,b=5,sinA=§,则sin8=（）

A.gB.^。.亭D.l

2.在△ABC中，若A=60。，8=45。，BC=3®则AC=（）

A.4小B.2小C.小D雪

3.在△ABC1中，sinA：sinB：sinC=3：4：5,则△48。是（）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.锐角三角形D.钝角三角形

4.在△ABC中，a=5,b=5y[3,A=30°,则8=.

答案LB2.B3.A4.60°或120°

【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生

的应用意识。

五、课堂小结

1.正弦定理：

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.即

a.bc

sinAsinBsinC

2.正弦定理可以解决：

（1）已知两角和一边，解三角形；

（2）已知两边和其中一边的对角，解三角形.

【设计意图】

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力，提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。

六、课后作业

1.习题6.4.3（2）

2.6.4.3正弦定理（第2课时）（分层作业）（必做题+选做题）

6.4.3（3）余弦定理、正弦定理应用举例

一、新知导入

1.创设情境，生成问题

珠穆朗玛峰是喜马拉雅山脉的主峰，海拔8848.13米，29029英尺（此数据是在国

家测绘局第一大地测量队的协助下，于1975年测定的，1992年又对其进行了复测），

是地球上的第一高峰，位于东经86.9°,北纬27.9°.

【问题】8848.13米一一这个珠峰原“身高”是如何测定的？

【提示】对于那次珠峰测高过程中我国所采用的技术与方法，我们可能感到不可思议，简单来说，那就是

数字的测量与解三角形的应用.

二、余弦、正弦定理应用举例

1.实际应用问题中的专用名词与术语：

（1）基线：在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.为使测量具有较高的精确度，

应根据实际需要选取合适的基线长度.一般来说，基线越近，测量的精确度越高.

（2）仰角和俯角：在目标视线和水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水

平视线下方的角叫俯角（如图①）.

北

水平线

(3)方位角：指从正北方向按咽囹转到目标方向线所转过的水平角，如6点的方位角为。(如图②).

(4)方向角：从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60。，指以正南方向为始边,

顺时针方向向西旋转60°.

2.运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤

①分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图(一个或几个三角形);

②建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解三角形的

数学模型.

③求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解.

④检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解.

3.三角形的面积公式:

(1)在△/8C中，边8GCA,46上的高分别记为几，"，耳，则

①S=gah“=gbh”=gchc；

乙乙乙

②S=gabsinC=gacsin8=；bcsinA.

(2)三角形面积公式的其他形式:

abc

①幺n«c=,其中*为的外接圆半径;

4E

②殳械=2#sin/sin5sinC,其中A为△/a1的外接圆半径;

③必械=g(a+b+c)r,其中r为内切圆的半径;

a+6+c

④S△必=7pp—ap—bp—c,其中夕=

2

拓展：三角形中有关边和角的常用性质:

(1)三角形内角和定理：在△/回中，A+B+C=^

(2)在△4%?中，a>A»4>gsin给sinB；

⑶在△板中，a+b>c,b+c>a,c+a>b.

(4)在中，/为锐角=cos^>0«a<62+c；力为直角=cos1=0=才三4+&力为钝角QCOS/1<0

=a,Z/+c；

【做一做】1.从/处望6处的仰角为。，从8处望/处的俯角为£,则a,£的关系为()

A.a>BB.a=BC.。+8=90°D.。+£=180°

2.若点/在点。的北偏东30°方向上，点5在点。的南偏东60°方向上，且则点4在点片的()

A.北偏东15°方向上B.北偏西15°方向上

C.北偏东10°方向上D.北偏西10°方向上

【答案】l.B2.B

三、典型例题

例9如图,A,B两点都在河的对岸(不可到达)，设计一种测量A,B两点间距离的方法，并求出A,

B间的距离.

一1"B

1*1-1

解：如图，在A,B两点的对岸选定两点C,D,测得CD=，并且在C,D两点分别测得zBCA=a,zACD=

P,zCDB=y,ZBDA=8.

在AADC中，由正弦定理，得

A。—asin(7+b)_asin(7+6)

一sin(180"—(£+7+3))—sin("+y+3)

在ABDC中，由正弦定理,得

Acc-..................a...s..i.n.....v...................----------<--z-s--i-n---v--------

sin(18()—(a+/7+/))sin(ez+/7+/)

A。=asin(…)3c=-刖._

sin(/?+/+5)sin(a+"+/)

于是，在AABC中，由余弦定理可得A,B两点间的距离

AC2+BC2-2-ACxBCcostz

a2sin2(/+<5■)a1sin2/2•a2sin(7+<5)siny-cosez

sin2(/J+/+J)sin2(a+/7+/)sin(/7+/+tJ)sin(cr+/?+/)

例10如图,AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点.设计一种测量建筑物高度AB的

方法，并求出建筑物的高度.

解：如图，选择一条水平基线HG,使H,

G,B三点在同一条直线上.在G,H两

点用测角仪器测得A的仰角分别是a,

aCD=o,测角仪器的高DH=A.

那么，在AACD中，由正弦定理，得

AC_asm/3

sin（tz—/?）

AB=AE+h=ACsinor+/z

所以，这座建筑物的高度为AB=。要吃,+h